MATEMÁTICA MÓDULO 12 COORDENADAS NO PLANO E DISTÂNCIA ENTRE PONTOS INTRODUÇÃO 1. O PONTO NO PLANO 1.1. COORDENADAS CARTESIANAS
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- Daniel de Almada da Conceição
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1 PROF. HAROLDO FILHO COORDENADAS NO PLANO E DISTÂNCIA ENTRE PONTOS INTRODUÇÃO Algumas as utiliaes são: atribuir um significao geométrico a fatos e natureza numérica, como o comportamento e uma função real e resolver problemas e Geometria Plana e Espacial. Os problemas e Geometria Analítica são resolvios através e coorenaas, equações e processos algébricos. 1. O PONTO NO PLANO 1.1. COORDENADAS CARTESIANAS Sejam os eios O e O, perpeniculares em O. Eles eterminam um plano ( ). Consieremos um ponto qualquer P, P ( ) e tracemos por ele as retas ( ) paralela a O e ( ) paralela a O. Chamemos P 1 e P, respectivamente, as intersecções e ( ) com o eio O e e ( ) com o eio O. P P 0 P O e P 1 eterminam o segmento orientao OP 1 cuja meia algébrica é a abscissa o ponto P. OP 1 P Oe P eterminam o segmento orientao OP cuja meia algébrica é a orenaa o ponto P. OP P Os números reais P e Pconstituem um par orenao que etermina a posição o ponto P no plano ( ). São as coorenaas o ponto P. 1
2 O plano ( ) é enominao plano cartesiano e os eios O e O que o eterminam são os eios cartesianos, seno o eio O o eio as abscissas e Ou o eio as orenaas. O inica o sistema e eios cartesianos ortogonais (ou ortogonais, ou retangulares). O ponto O é a origem o sistema. 1.. QUADRANTES Os eios cartesianos eterminam 4 regiões istintas no plano cartesiano, os quarantes. (, +) II quarante III quarante (, ) 0 (+, +) I quarante IV quarante (+, ) Verificamos facilmente que eiste uma corresponência biunívoca entre o conjunto os pontos P o plano e o conjunto os pares orenaos ( P, ). P Assim, o ponto A tem sua posição efinia no plano cartesiano ( ) pelo par orenao (3, 4) e inicamos por A(3, 4) e lemos ponto A e coorenaas cartesianas 3 e 4. Da mesma forma os pontos B, C e D. B( 4, 1), C(, 5) e D(5, 3) 4 A B E C 3 F 4 5 D
3 Um ponto pertencente ao eio as abscissas tem orenaa nula. Se pertencente ao eio as orenaas tem abscissa nula, e na origem ambas as coorenaas são nulas, = = 0. Um ponto pertencente à bissetriz o 1º e 3º quarantes tem coorenaas iguais e quano pertencente à bissetriz os quarantes Pares tem coorenaas simétricas. b 1, 3 {P(, ) R} b, 4 {P(, ) R} b 4 b 13 Um ponto pertencente à bissetriz o 1º e 3º quarantes tem coorenaas iguais e quano pertencente à bissetriz os quarantes Pares tem coorenaas simétricas. b 1, 3 {P(, ) R} b, 4 {P(, ) R} 1.3. DISTÂNCIA DE DOIS PONTOS Sejam os pontos A( A, A) e B( B, B) referios num sistema e eios cartesianos ortogonais. Procuremos a istância entre ois pontos. Do triângulo ABC tiramos ( ) ( ) B A B A B BA A BA C B A 1 B 1 A 0 A B 3
4 . RAZÃO DE SECÇÃO.1. RAZÃO DE SECÇÃO DE UM SEGMENTO POR UM PONTO Sejam os pontos A B C colineares. Chamamos razão e secção o segmento AB pelo ponto C ao número real r, razão entre as meias algébricas os segmentos AC e CB. AC r (ABC) CB Tomemos A( A, A), B( B, B) e C( C, C). B 1 B C 1 A 1 A C A C B O feie e paralelas A1A, C1C e B1B etermina, sobre as retas AB e OY e o feie e retas paralelas AA, CC e BB, etermina sobre as retas AB e OX segmentos proporcionais, então r AC AC 1 1 C A C A CB C B 1 1 B C B A. Portanto as coorenaas (, ) o ponto que ivie o segmento compreenio por P1 1,1 ep, seguno a razão r : PP r r, r 1 PP são aas pelas fórmulas: r 1 r. 4
5 3. BARICENTRO O baricentro e um triângulo é o ponto e concurso e suas meianas. Ele ivie caa meiana na razão :1. G, 3 3 A B C A B C G 4. PONTO NO ESPAÇO Dao um ponto P o espaço, sua posição fica eterminaa plenamente em relação ao sistema através e suas istâncias PF, PV e PH aos 3 panos coorenaos ou pelas projeções estas istâncias sobre os eios coorenaos, respectivamente, AO, OB e OC. AO = BH = CV=PF = (abscissa) OB = AH = CF = PV = (orenaa) OC = BF = AV = PH = z (cota) As fórmulas vistas para o ponto no plano poem ser utilizaas no espaço, acrescentano mais uma coorenaa. 5
6 4.1. DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS ( ) ( ) (z z ) B A B A B A 4.. BARICENTRO z z z,,z A B C A B C A B C G G G 6
7 EXERCÍCIOS DE COMBATE 1. Determine o perímetro o triângulo e vértices A(1, -1), B(5, ) e C(-7, -3).. Demonstre analiticamente que as iagonais e um retângulo são congruentes. 3. O jogo a velha traicional consiste em um tabuleiro quarao iviio em 9 partes, no qual ois jogaores, alternaamente, vão colocano peças (uma a caa jogaa). Ganha o jogo aquele que alinhar, na horizontal, na vertical ou na iagonal, três e suas peças. Uma versão chamaa JOGO DA VELHA DE DESCARTES, em homenagem ao criaor a geometria analítica, René Descartes, consiste na construção e um subconjunto o plano cartesiano, no qual caa jogaor, alternaamente, anota as coorenaas e um ponto o plano. Ganha o jogo aquele que primeiro alinhar três e seus pontos. A sequência abaio é o registro a sequência as jogaas e uma partia entre ois jogaores iniciantes, em que um anotava suas jogaas com a cor preta e o outro, com a cor cinza. Eles esistiram a partia sem perceber que um eles havia ganhao. 1,1,,3,,, 3,3, 4,3, 1,,1,, 3,,,3 3,1 4,. Com base nessas informações, é correto afirmar que o jogaor que ganhou a partia foi o que anotava sua jogaa com a cor a) cinza, em sua terceira jogaa. b) preta, em sua terceira jogaa. c) cinza, em sua quarta jogaa. ) preta, em sua quarta jogaa. 4. Ache as coorenaas o ponto e interseção as meianas o retângulo e vértices A( 1, 4, 7), B(4, 8, 3) e C( 6, 0, 5). 5. O baricentro o triângulo ABC é o ponto G(3, 3). Determine os 3 vértices este triângulo, sabeno-se que os pontos méios e e seus laos são os pontos M( 3, 4) e N(7, 3). 6. Num eterminao instante t as posições e uas partículas P e Q são aas por ( 1+t,1+t ) e (4+t,-3 +6t). As partículas se chocam? 7. Determine as coorenaas o ponto equiistante os vértices A(-1, ), B(6, 3) e C(0, -5) o triângulo ABC. 7
8 8. Determine a natureza o quarilátero ABCD, seno A(-, 6), B(0, ), C(4, 0) e D(, 4). 9. Um heágono regular possui ois vértices opostos e coorenaas a, b e b,a. A área esse heágono é: 3 a b 4 a) 3 a b 4 b) 3 3 a b 4 c) 3 3 a b ) 3 a b e) 10. Um ponto está situao a igual istância os pontos 3,5 e,4, e a sua istância ao eio os é o obro a sua istância ao eio os. Sabeno que esse ponto não está no primeiro quarante, suas coorenaas são: a) b) c) ) e) 14 7, , , , , Sabeno que a meiana e Euler e um quarilátero é o segmento que une os pontos méios e suas iagonais, o comprimento a meiana e Euler o quarilátero ABCD e vértices A 1,1, B,3, C 3, 4 e D 3, 1 é: a) 34 8
9 b) 34 c) ) e) Os catetos AC e AB e um triângulo retângulo estão sobre os eios e um sistema cartesiano. Se M = ( 1, 3) for o ponto méio a hipotenusa BC, é correto afirmar que a soma as coorenaas os vértices esse triângulo é igual a: a) 4 b) 1 c) 1 ) Sejam A (0, 3), C(, 5) os vértices opostos e um quarao. Encontre as coorenaas os ois vértices restantes. 14. Uma partícula se move e tal moo que as suas istâncias aos pontos (3, 4) e (5, ) são sempre iguais. Determine a equação que escreve o lugar geométrico este ponto. 15. A área e um quarao que tem A = (4,8) e B = (,) como vértices opostos é: a) 36 b) 0 c) 18 ) 16 9
10 GABARITO 1. A meia o perímetro o triângulo é p AB BC CA. B 7 1 A 5 C 3 Determinemos as meias os laos: AB (5 1) ( 1) BC ( 7 5) ( 3 ) CA (1 7) ( 1 3) Então, p Consieremos o retângulo ABCD, seno os vértices os pontos A(0, 0), B(b, 0), C(b, c) e D(0, c). D C 0 A B Determinemos AC e BD : (b 0) (c 0) b c e AC (0 b) (c 0) b c BD = AC BD mé. (AC) = mé. (BD). 10
11 3. Consiere a figura. De acoro com a sequência e jogaas apresentaa, poemos concluir que o jogaor que ganhou a partia foi o que anotava sua jogaa com a cor cinza, em sua terceira jogaa, ou seja, na jogaa (1, 3). 4. O encontro as meianas o triângulo é seu baricentro, logo G 1, G 4, zg 3 G( 1, 4, 3) Resposta: ( 1, 5); ( 5, 3) e (15, 1). 6. As trajetórias se P e Q se interceptam no ponto (5,3). P passa por esse ponto no instante t = e Q no instante t = 1.Logo, elas não se chocam. 7. Nota: Este ponto é o circuncentro o triângulo centro a circunferência circunscrita ao triângulo. A 3 B 1 0 P(, ) 6 5 C Seja P(, ) o ponto procurao. Das conições o problema AP BP CP Determinemos estas istâncias AP ( 1) ( ), ( 6) ( 3) BP e CP ( 0) ( 5). Igualano a e elevano ambos os membros ao quarao 11
12 ( 1) ( ) ( 6) ( 3) ( 1) ( ) ( 0) ( 5) ª ( 7) ª ( 7) e em 7 = = 10 = 3 portanto P(3, -1) 8. Determinemos as meias os laos AB, BC, CD e DA. AB (0 ) ( 6) BC (4 0) (0 ) CD ( 4) (4 0) DA ( ) (6 4) Os quatro laos são congruentes, poeno o quarilátero ser quarao ou losango. Verifiquemos através as suas iagonais AC e BD. AC (4 ) (0 6) BD ( 0) (4 ) O quarilátero é um losango. 9. ( ) ( ) (a b) (a b) a b. PQ P Q P Q esta istância vale uas vezes o lao o heágono. S 3 HEXÁGONO RESPOSTA: C a b RESPOSTA: D 1
13 11. RESPOSTA: A 1. RESPOSTA: D 13. Seja B ou D (h, k), então AB = BC e AC² = AB² + BC² One obtemos h 0 k 3 h k h 0 k 3 h k 5 Ou simplificano, essas relações tornam-se h k 5, h k h 8k 15 0 Ou colocano h = k 5 na seguna relação, temos k 5 k k 5 8k 15 0 Ou k 8k 15 0 k 3, k 5 Quano k = 3, h 3 = - 5, h = , h =. Quano k = 5, h = 5 5 = 0. Assim, B e D são (-, 3) e (0, 5) 14. ( 3) ( 4) ( 5) ( ) A meia a iagonal o quarao é aa pela istância entre os pontos A e B. (4 ( )) (8 ) 7 (l ) l 76 l 36. AB RESPOSTA: A 13
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