a prova de Matemática da FUVEST 2ª fase

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1 a prova e Matemática a FUVEST ª fase - 00

2 Matemática QUESTÃO 0 QUESTÃO 0 A iferença entre ois números inteiros positivos é 0. Ao multiplicar um pelo outro, um estuante cometeu um engano, teno iminuío em 4 o algarismo as ezenas o prouto. Para conferir seus cálculos, iviiu o resultao obtio pelo menor os fatores, obteno 9 como quociente e como resto. Determine os ois números. Seno a e b, com a b, os números peios, temos: a = b + 0 (I) ab 40 = 9b + (II) Substituino (I) em (II), vem (b + 0) b 40 = 9b + b 9b 6 Logo, b = ou b = (não convém). omo a = b + 0, a = 4 Resposta: 4 e. A hipotenusa e um triângulo retângulo está contia na reta r : y = 5x, e um e seus catetos está contio na reta s : y = x. Se o vértice one está o ângulo reto é um ponto a forma (k, 5) sobre a reta s, etermine a) toos os vértices o triângulo; b) a área o triângulo. Do enunciao temos a figura, one A, e são os vértices o triângulo retângulo. (s) y = x (r) y = 5x A(k, 5) a) O vértice A (k, 5) pertence à reta (s). Então, 5 = k, ou seja, k = 6. Logo, A (6, 5). O vértice é a intersecção entre as retas (r) e (s). Daí, temos o sistema: ( ) y = 5 x, y = x one x = e y =. Logo, (, ) O vértice pertence à reta (r). Assim, temos (a, 5a ). As retas A e s são perpeniculares. O coeficiente angular a reta s é. Assim, o coeficiente angular a reta A é. Então: 5a 5 =, ou seja, a = 4. Logo, ( 4, 7) a 6 Resposta: (6, 5), (, ) e (4, 7) b) A meia o cateto A é A meia o cateto A é ( 6 4) + ( 5 7), ou seja,. ( 6 ) + ( 5 ), ou seja,. Então, a área o triângulo é Resposta: 6., ou seja, 6. FUVEST/00 ª FASE ANGLO VESTIULARES 45

3 QUESTÃO 0 a) alcule cosθ em função e senθ e e cosθ. b) alcule senθ em função e senθ e e cosθ. π c) Para 0 θ, resolva a equação: sen θ + cosθ + = a) cosθ = cos (θ + θ) = cosθ cosθ senθ senθ = ( sen θ)cosθ sen θcosθ = ( 4sen θ)cosθ Resposta: ( 4sen θ)cosθ b) senθ = sen (θ + θ) = senθ cosθ + senθ cosθ = cos θsenθ + (cos θ ) senθ = (4cos θ )senθ Resposta: (4cos θ )senθ sen θ θ c) sen θ+ cos θ+ = cos senθ cosθ Usano os resultaos os itens anteriores, temos: sen θ+ cosθ + = 4cos θ + 4sen θ cos θ+ cosθ+ = cos θcos θ cosθ (não convém) ou π cos θ= 0 θ= π sen θ cos θ. senθ cosθ Resposta: S = π π QUESTÃO 04 Na figura abaixo, têm-se um cilinro circular reto, one A e são os centros as bases e é um ponto a intersecção a superfície lateral com a base inferior o cilinro. Se D é o ponto o segmento, cujas istâncias a A e A são ambas iguais a, obtenha a razão entre o volume o cilinro e sua área total (área lateral somaa com as áreas as bases), em função e. A 46 FUVEST/00 ª FASE ANGLO VESTIULARES

4 Do enunciao temos a figura: h h r... meia o raio a base h... meia a altura E D A F Os triângulos ED e A são semelhantes. Então, r h rh = = h (r + h) (). r Seno V o volume o cilinro, S a sua área total e supono V S πr h ou seja V rh =,, = πrh + πr S ( r + h) De () e (), resulta Resposta: V S =. ( ). V S a razão peia, temos que QUESTÃO 05 onsiere ois números reais λ e µ tais que λ, µ e λ µ 0. a) Determine uma relação entre λ e µ, para que as equações polinomiais λx µx x (λ + ) e λx x (λ + ) possuam uma raiz comum. b) Nesse caso, etermine a raiz comum. a) Seno r a raiz comum, temos λ r µ r r (λ + ) () λ r r (λ + ) () Subtraino membro a membro, segue que λr (µ + λ)r r [λ r (µ + λ)] µ + λ oncluímos que r ou r = λ. Substituino na igualae (), temos: Para r : (λ + ) λ = (Não convém, pois λ.) µ + λ ( + + Para r = λ µ λ ) µ λ : ( λ + ) λ λ λ (µ + λ) (µ + λ) λ(λ + ) µ + µλ + λ µ λ λ λ µ + µλ µ λ µ(µ + λ) (µ + λ) (µ ) (µ + λ) omo µ, evemos ter µ + λ. Resposta: µ + λ FUVEST/00 ª FASE ANGLO VESTIULARES 47

5 µ + λ b) omo r = e λ λ + λ temos r = λ Resposta: µ = λ, r =. QUESTÃO 06 No plano complexo, caa ponto representa um número complexo. Nesse plano, consiere o hexágono regular, com centro na origem, teno i, a uniae imaginária, como um e seus vértices. a) Determine os vértices o hexágono. b) Determine os coeficientes e um polinômio e grau 6, cujas raízes sejam os vértices o hexágono. a) Na figura abaixo, temos: (0, ) A(a, b) a = cos 0 a = b = sen 0 b = (0, 0) 0 Da simetria a figura, poemos eterminar os vértices o hexágono. Resposta: (0, ), (0, ),,,,,,, e b) Os números complexos x cujos afixos são os vértices o hexágono, poem ser escritos por: π π x = + k isen k one k { 0,,,, 4, 5}. + π + π cos, 6 6 Temos que x 6 = cos(π +kπ) + i sen(π + kπ). omo cos(π + kπ) = e sen(π + kπ), temos x 6 =, ou seja, x 6 +. Too polinômio a forma k(x 6 + ), com k 0, tem como raízes os números complexos representaos pelos vértices o hexágono. k(x 6 + ) = kx 6 + 0x 5 + 0x 4 + 0x + 0x + 0x + k Resposta: Os coeficientes são, nesta orem, k, 0, 0, 0, 0, 0, k, com k *. QUESTÃO 07 Um agricultor irriga uma e suas plantações utilizano uas máquinas e irrigação. A primeira irriga uma região retangular, e base 00m e altura 0m, e a seguna irriga uma região compreenia entre uas circunferências e centro O, e e raios 0m e 0m. A posição relativa essas uas regiões é aa na figura A O, 4 FUVEST/00 ª FASE ANGLO VESTIULARES

6 one A e são os pontos méios as alturas o retângulo. Sabeno-se aina que os pontos A, e O estão alinhaos e que O m, etermine a) a área a intersecção as regiões irrigaas pelas máquinas; b) a área total irrigaa. Utilize as seguintes aproximações: =, 4,π =, 4 e arc sen, 40ra. Do enunciao temos a figura: D E 0 A M N α α O F 00 Temos que: DN 0 sen = sen = sen = DO 0 omo arc sen, 40ra, então,4 ra. I) álculo a área A o setor circular OD. omo,4 ra, então,6 ra. Então: π 0 π A = 06 A 0,6 II) álculo a área A o triângulo OD. No triângulo retângulo OND, temos: (ON) + (ND) = (OD) (ON) + 0 = 0 ON = 0 omo =, 4, tem-se ON =,. Então, A = D ON ou seja A 0 ( ) ( ),, =,. Logo, A =. III) álculo a área A o retângulo DEF. Temos que: N = NO O, ou seja, N =, 0 N =, Então, A = (D) (N), ou seja, A,. Logo, A = 64. a) A área A a intersecção as regiões irrigaas pelas máquinas é aa por: A= A A + A, ou seja, A = A =. Resposta: m. b) A área total A T a região irrigaa é a soma a área a região retangular mais a área a coroa circular e raios 0 e 0 e menos a área obtia no item (a), ou seja: A T (π 0 π 0 ). Seno π =,4, tem-se que A T = 44. Resposta: 44m. Nota: No enunciao entenemos por uma região compreenia entre uas circunferências como seno a coroa circular e raios 0m e 0m. FUVEST/00 ª FASE ANGLO VESTIULARES 49

7 QUESTÃO 0 QUESTÃO 09 Um ao, cujas faces estão numeraas e um a seis, é ito perfeito se caa uma as seis faces tem probabiliae /6 e ocorrer em um lançamento. onsiere o experimento que consiste em três lançamentos inepenentes e um ao perfeito. alcule a probabiliae e que o prouto esses três números seja a) par; b) múltiplo e 0. a) A probabiliae e o prouto ser par é igual a menos a probabiliae o prouto ser ímpar e P= = = Resposta: ímpar 7 ímpar e ímpar b) Para o prouto ser múltiplo e 0, eve sair necessariamente um fator 5 e um fator par. Assim, temos os casos: 5 e par e ímpar não 5 6 P = ! = ou 5 e par e 5 P () =! ! = ou 5 e par e par P () = 9! ! = Assim, a probabiliae peia é: P = + + = = Resposta: Dao um número real a, consiere o seguinte problema: Achar números reais x,x,,x 6, não toos nulos, que satisfaçam o sistema linear: (r ) (r ) x r + ((r ) (r ) (r 4) (r 6)a + ( ) r )x r + (r )x r +, para r =,,, 6, one x 0 = x 7. a) Escreva o sistema linear acima em forma matricial. b) Para que valores e a o problema acima tem solução? c) Existe, para algum valor e a, uma solução o problema com x =? Se existir, etermine tal solução. a) Atribuino para r os valores o enunciao e lembrano que x 0 e x 7, temos o sistema: x x ( a + ) x x x x + x4 + x5 6x4 + ( a ) x5 + x6 O sistema em forma matricial é: x 0 0 ( a + ) x x 0 Resposta : x = ( a ) x x FUVEST/00 ª FASE ANGLO VESTIULARES

8 b) O sistema o item anterior é homogêneo. Para ter soluções iferentes a trivial, é suficiente que o eterminante a matriz os coeficientes seja igual a zero. Assim: ( a + ) ( a ) ( ) ( a + ) ( ) ( a ) ou Resposta: a = ou a = c) Para x = na ª equação o sistema, temos: x x x = a = a = Substituino na ª equação o sistema e como x (ª equação), temos: ( a) a = Substituino nas emais equações, resulta x 4, x 5 e x 6. Resposta: Sim, a =, e a solução é,, 0, 0, 0, 0. QUESTÃO 0 São aos os pontos A e e um segmento conteno os pontos G, H e I. Sabe-se que A e pertencem, respectivamente, às iagonais E e DF e um quarao DEF, cujo centro é O. A istância e A a O é igual a GH e a meia o lao o quarao é igual a GI. onstrua, usano régua e compasso, um quarao DEF, satisfazeno as conições acima. Descreva e justifique as construções utilizaas. Enunciao Gráfico D O A O L-5(A, 90 ) L-(A, GH) F E FUVEST/00 ª FASE ANGLO VESTIULARES 5

9 D O A O J E F G H M I As iagonais e um quarao são perpeniculares entre si e interceptam-se nos respectivos pontos méios. Assim:. O centro O vê o segmento A sob 90º, logo está na circunferência e iâmetro A. omo ele ista GH e A, está na circunferência e centro em A e raio GH. Há, portanto, uas respostas: O e O.. Obtemos o comprimento a metae a iagonal o quarao, construino o triângulo GMJ, retângulo e isósceles, e catetos (Teorema e Pitágoras). GI. e E estão na reta OA, e D e F estão na reta O. E, aina, estão toos eles na circunferência e centro em O e raio. 5 FUVEST/00 ª FASE ANGLO VESTIULARES

10 omentário Nesta prova, notamos um equilíbrio quanto ao grau e ificulae apresentao pelas questões. riativas, porém trabalhosas, elas evem ter exigio os caniatos muita agiliae na parte operacional. A questão e construção geométrica é um exemplo e como se poe avaliar a capaciae e resolver uma situação nova com o conhecimento aquirio. Inciência ASSUNTO Aritmética onstrução Geométrica Equação Polinomial Geometria Analítica Geometria o Espaço Geometria Plana Número omplexo Probabiliae Sistema Linear Trigonometria 4 5 Nº DE QUESTÕES FUVEST/00 ª FASE ANGLO VESTIULARES 5

11 omentário Final O vestibular tem compromisso com o processo eucacional o país ao eterminar as conições e ingresso nas universiaes. O conhecimento e a capaciae e aplicá-lo em situações iversas, necessários para a conquista a vaga esejaa, são sinalizaos pelos exames e caa instituição. O vestibular a FUVEST, com certeza, é um parão e referência seguio por centenas e escolas que procuram auxiliar seus alunos na realização o esejo e ingresso. É gratificante para alunos e professores que levaram a sério o trabalho e preparação verificar, ao término as provas, que seu esforço foi recompensao. Excelente vestibular. Parabéns, FUVEST! FUVEST/00 ª FASE ANGLO VESTIULARES 55