Trigonometria nos Triângulos

Transcrição

1 M TRIRÃO TRIRÃO T TRIRÃO T TRIRÃO T TRIRÃO T TRIRÃO T TRIRÃO TRIRÃO T Trigonometria nos Triângulos (U) uas avenias retilíneas e se cruzam seguno um ângulo e 0. Um posto e gasolina situao na avenia a 400 m o ponto e encontro as avenias se encontra a que istância a avenia? a) 00 m c) 50 m X e) 00 m b) 50 m ) 50 m (UM-R) Um balão parao no céu é observao sob um ângulo e. fastano-se metros, o observaor passa a vê-lo sob um ângulo ε tal que tg ε. etermine a altura o balão. Multiplique o resultao por ( 6 ). m aerno e tiviaes sen m 400 Θ 400 Θ 00 m ε No triângulo, temos: tg 60 ) Θ No triângulo, temos: tg ε 0 0 Substituino em, vem: ( ) ( ) ( 0 ) ortanto, ( 6 ) ( ) ( ) 6 ( ) 99m (M-S) Quantos egraus e 9 cm e altura são necessários para substituir uma rampa e 9,5 m e etensão com inclinação e 0)? azeno a figura, vem: 0) 9,5 m sen 0 ) 95, 9, 5 Æ 4,75 m Logo, o número e egraus é: 475, N 5 09, N 5 egraus 4 (UMG) No triângulo, o ângulo j é reto, 5 6 e cos ( ). 5 onsierano esses aos, calcule o comprimento o cateto. Representano o triângulo, temos: 5 6 y y 0 ( 5 6 ) Θ y 050 y cos ( ) Θ Θ y 5 y 5 Substituino em, temos: 9y y 050 Θ y 75 Θ y ortanto: Θ 5 5

2 M 5 (UJ-MG) Na preparação e um sow e música popular, os técnicos escoleram o melor ponto, o palco, one, em caso e emergência, o cantor everia ficar. ara localizar a lina L one se colocariam os seguranças o cantor, foram feitas as seguintes meias (ver figura abaio): 0 m, M 0 m e o ângulo 60. (Use,7.) L M área e segurança X 6 (U) Se a meia o ângulo é igual a, e 0, então a área o triângulo a figura vale: a) 0 ) 0 b) e) 5 c) 5 Usano a figura, temos: 0) 0) sen 0 ) 5 5 Θ Θ 0 ssim: cos 0 ) Θ 0 Θ 5 área o triângulo é: b S Θ S 5 Na emergência, a istância aproimaa os seguranças situaos em M ao ponto será: a) m c)8 m X e)4 m b) 0 m ) 6 m o enunciao, temos: L M área e segurança 7 (USal-) autora alegrava-se em conseguir estimar o comprimento e objetos inacessíveis como, por eemplo, a altura a torre mostraa na figura abaio. 0 m 60 0 m ε o triângulo, temos: 0 0 tg , m 0 m partir o conecimento e relações trigonométricas e sabeno que sen ε 0,648 e cos ε 0,7660, ela poia encontrar que, em metros, era aproimaamente igual a: a) 6 Xb) 7 c) 8 ) 9 e) 0 Observano a figura, temos: tg ε 0 Mas: tg ε sen ε tg ε Θ ε 0, 648 cos 0, 7660 Λ 0,84 Substituino em, vem: 0 084, Θ 68, m ortanto, a altura a torre era aproimaamente 7 m. 4

3 8 (UMT) Um rebite é prouzio com as imensões inicaas na figura. alcule o valor, em cm, a imensão. 0 (URJ) Um barco navega na ireção, próimo a um farol, conforme a figura abaio. M 90) cm cm cm 45) No #, temos: tg 45 ) Θ Θ cm ortanto: 0 Θ 0 cm No #, temos: tg 45 ) Θ Θ cm Logo: 9 4 cm a figura, temos: 0) 000 m (aptao e ONGIOVNNI, Vincenzo et alii. e Via. São aulo: Ática, 990.) No ponto, o navegaor verifica que a reta, a embarcação ao farol, forma um ângulo e 0) com a ireção. pós a embarcação percorrer 000 m, no ponto, o navegaor verifica que a reta, a embarcação ao farol, forma um ângulo e com a mesma ireção. Seguino sempre a ireção, a menor istância entre a embarcação e o farol será equivalente, em metros, a: a) 500 X b) 500 c) 000 ) 000 y 9 (M-S) elas etremiaes e e um segmento i, traçam-se perpeniculares, e sobre elas tomam-se os segmentos cm e cm. m i toma-se o ponto tal que os ângulos z e z sejam congruentes. alcule os comprimentos os segmentos e &, sabeno-se que 0 cm. elos aos o problema, temos: ε ε No triângulo, temos tg ε. No triângulo, temos tg ε. 0 Logo: 4 0 Θ ortanto, 4 cm e 6 cm. 0 Logo: y Θ y 500 m 0) 000 m menor istância é y. y y tg 0 ) etg60 ) y e y e, vem: y. e, vem: Θ 500 m 5

4 M m questões como a, a resposta é aa pela soma os números que ientificam as alternativas corretas. (UR) Uma pessoa e m e altura, passeano pela ciae, camina em lina reta em uma rua orizontal, na ireção a portaria e um eifício. pessoa pára para ver o topo esse eifício, o que a obriga a olar para cima num ângulo e 0 com a orizontal. pós caminar 49 m, pára uma seguna vez para ver o topo o eifício e tem e olar para cima num ângulo e 45 com a orizontal. Supona que caa anar o eifício tena m e altura. Utilize Λ,7. Nessa situação, é correto afirmar: (0) O eifício tem menos e 0 anares. (0) No momento em que a pessoa pára pela primeira vez, ela está a 60 m a portaria o eifício. (04) Quano a pessoa pára pela seguna vez, a istância em que ela se encontra a portaria é igual à altura o eifício. (08) Se, epois a seguna vez em que pára, a pessoa caminar mais 5 m em ireção à portaria, para ver o topo o eifício será necessário erguer os olos num ângulo maior o que 60 com a orizontal. 0. orreto m O triângulo é isósceles. Logo,. tg Θ 49 0 Θ, Θ Λ 64 m Logo, a altura o eifício é m. O número e anares é: 66 : anares 0. Incorreto la está a ( ) 5 m a portaria o eifício. 04. Incorreto Na seguna vez ela está a 64 m a portaria o eifício, portanto essa istância é iferente a altura o eifício (66 m). 08. orreto α 9 m 0 49 m 64 m tg ε 64 9 Λ, ε. 60 tg 60,7 45 ε é maior que 60, pois,.,7. ortanto: m (MK-S) Uma estação, e proução e energia elétrica, e uma fábrica estão situaas nas margens opostas e um rio e largura km. ara fornecer energia a, ois fios elétricos a ligam a, um por terra e outro por água, conforme a figura. Supono-se que o preço o metro o fio e ligação por terra é R$,00 e que o metro o fio e ligação pela água é R$ 0,00, o custo total, em reais, os fios utilizaos é: X a) c) e) b) ) o enunciao, temos a figura: No triângulo retângulo G, temos: G tg ε G Ι tg ε Ι ε 0 No triângulo H, temos: ε ψ 80 e e, vem que ψ 80, ou seja, ψ 0. Seno ε ψ, então o triângulo H é isósceles e, portanto, H H. No triângulo retângulo GH, temos: sen 60 G H Θ α fio fio km cotaa em km Θ H H Logo, H. o enunciao, o custo, em reais, os fios utilizaos é tal que: Θ R$ 8 000,00 0 H fio fio β G 6

5 (Unemat-MT) rampa e acesso a um estacionamento e automóveis faz um ângulo e 0) com o solo e, ao subi-la, um carro esloca-se orizontalmente 8 m e istância, conforme o eseno. ε 0) 8 m Sobre os aos, julgue os itens:. altura a rampa, representaa por, no eseno, é e 8 m.. O comprimento a rampa inclinaa, por one sobem os carros, é o obro a altura.. Na mesma rampa, se o ângulo formao com o solo fosse e, ou seja, o obro e ε, então a altura também seria o obro. o enunciao, temos: aos: sen 0) cos 0) X M 4 (GV-S) Na figura estão representaos ois quaraos e lao e ois setores circulares e 90 e raio : Sabeno que os pontos, e estão alinaos, a soma os comprimentos o segmento e o arco e circunferência 5, em função e, é igual a: a) ( 0 π ) 6 b) ( 0 π ) 6 c) (4 0 π ) ) ( 0 π ) 4 e) ( 0 π ) ε 0) 8. Veraeiro No triângulo retângulo, temos: tg 0 ) 8 sen 0 ) cos 0 ) m. Veraeiro No triângulo retângulo, temos: sen 0 ) Θ. also δ No #, retângulo em, tem-se: sen ε Θ ε 0 ssim: tg ε Θ Θ e π Θ 5 π 6 9 ortanto: π 0 π α α α δ δ δ 8 δ No triângulo retângulo δδδ, temos: tg 60 ) δ 8 δ 8 δ8 m sen 60 ) δ δ 8 δ δ 6 m 7

6 M 5 (esupa-) água utilizaa em um sítio é captaa e um igarapé para a casa, que está istante ele 70 metros. eseja-se construir uma piscina a 50 metros a casa e pretene-se captar a água o mesmo ponto o igarapé até a piscina. Sabeno que o ângulo formao pelas ireções casa piscina e igarapé piscina é e 60, a quantiae e encanamento necessária será, em metros, igual a: a) 0 b) 45 c) 60 X ) 80 7 (Vunesp-S) ois terrenos, T e T, têm frentes para a rua R e funos para a rua S, como mostra a figura. O lao p o terreno T mee 0 m e é paralelo ao lao o terreno T. frente o o terreno T mee 50 m e o funo 7 o terreno T mee 5 m. o lao o terreno T á um outro terreno, T, com frente para a rua Z, na forma e um setor circular e centros e raio I. I m 5 Rua Z Rua S T T T Rua R 70 m Usano a lei os cossenos, temos: cos δ φ 0 (não serve) Logo, 80 m. etermine: a) as meias o funo i o terreno T e a frente o terreno T ; b) a meia o lao o terreno T e o perímetro o terreno T. o enunciao, temos a figura, cotaa em m: Rua Z 5 Rua S 6 (UM) m um triângulo e vértices, e, 6 cm, 0 m e o ângulo interno formao pelos laos i e p mee. meia o cosseno o ângulo interno formao pelos laos o e p é: 7 a) Xc) e) b) ) 9 9 azeno a figura, vem: 6 ε 0 plicano a lei os cossenos, temos: () () 0 () () 9 () 9 cos plicano novamente a lei os cossenos, vem: () () 0 () () 9 () 9 cos ε ( ) cos ε 40 9 cos ε 40 cos ε 40 cos ε a) plicano o teorema os cossenos ao triângulo, temos: () () 0 () cos 0 () (0) 0 (50) Θ 70 e 05 m elo teorema e Tales, temos: Θ 5 50 Θ 5 m 70 b) o item anterior, temos 70 e 05. Os triângulos e são semelantes. Logo: T T T G Rua R Θ 0 05 Θ 45 e O comprimento o arco G, em m, é igual a 9 9 π 9 45, ou 60 seja, 5π. ortanto, o perímetro o terreno T, em m, é igual a π, ou seja, 5 9 (6 0 π). 8

7 8 (UR) m um triângulo, a meia o lao é, a o ângulo Ê é 75), e a o ângulo  é 45). ois pontos, e, pertencem ao lao i. Sabe-se que a istância o é e que o segmento I é perpenicular a i. Nessas conições, é correto afirmar: (0) meia o ângulo ˆ é igual a. (0). (04) 6 (08) 5 0. orreto 0 z 0 j 80) Θ 45) 0 75) 0 j 80) Θ j 0. Incorreto sen 45 ) Θ Θ cos 45 ) Θ Θ 04. orreto No triângulo retângulo, temos: 4444 sen 60 ) Θ Θ orreto Usano a lei os cossenos no triângulo, temos: () () 0 () cos 45) ( ) 0 ( ) () () 5 5 ortanto: ) 45) 9 (UI) m um triângulo, um os ângulos mee 60 e os laos ajacentes a esse ângulo mee em cm e cm. O valor o perímetro esse triângulo, em centímetros, é: a) 0 5 ) 0 7 b) 5 0 e) X c) 0 azeno a figura, temos: plicano a lei os cossenos, vem: cos cm O valor o perímetro o triângulo é: cm 60 9 M 0 (URN) o se tentar fiar as etremiaes e um peaço e arame reto, e 0 m e comprimento, entre os pontos M e e um plano, o arame, por ser maior o que o esperao, entortou, como mostra a figura abaio. partir esses aos, calcule, em metros: a) o comprimento os segmentos MS e S ; b) quanto o arame everia meir para que tena o mesmo tamano o segmento M. (UM) onsiere um triângulo inscrito numa circunferência e raio unitário cujos laos meem a, b e c. etermine a soma 0 j 0 k, em que, j e k são ângulos internos esse triângulo. esenano o triângulo, vem: a plicano a lei os senos, temos: a b c R Θ 9 0 sen sen j sen k sen sen j sen k Logo: Θ sen Θ 60 ) sen Θ sen j Θ j 0 ) sen j M Θ sen k Θ k 90) sen k ortanto: 0 j 0 k ) 0 90) 00) 0 0) N R 0 a) álculo e MS MR MR: cos 0 ) MR 0 cos 0 ) NT RS: cos 60 ) NT 0 cos ) 0 NT RS RS 0 MS: MS MR 0 RS m álculo e S T T: sen 60 ) T 0 sen 60 ) NR TS: sen 0 NR 0 sen NR TS TS 5 Ι S T 0 TS m b) Observano que é a ipotenusa o triângulo retângulo MS, poese usar: (M) (MN) 0 (N) 9 (MN) 9 (N) 9 cos (MN) (M) cos 50) ( M) M m S c O b r

8 M (atec-s) No centro e uma praça eve ser pintaa uma lina com o formato e um polígono regular, não conveo, como mostra o projeto a seguir. (UMT) ara eterminar a altura e um morro, um topógrafo aotou o seguinte proceimento: scoleu ois pontos, e, situaos no mesmo plano vertical que passa por. Meiu a istância i, encontrano 6 m. om auílio e um teoolito meiu os ângulos ε, ψ e ι, encontrano, respectivamente,, 90) e 0). figura ilustra o proceimento escrito. Se os vértices pertencem a circunferências e raios 4 m e m, respectivamente, o comprimento total a lina a ser pintaa, em metros, é igual a: ( ) ( ) X e) 6 9 ( 5 ) ( ) a) 5 ) b) c) ι orizontal Qual a altura o morro (), em metros, encontraa pelo topógrafo? a figura, temos: ψ ε 0) 0) 90) 6 m orizontal O H Usano a lei os senos no #, temos: sen 0 ) sen 60 ) 6 No #, temos: Θ Θ 54 6 m G sen 60 ) Θ Θ 8 m 54 Se o polígono GH é regular, e as circunferências têm raios e 4 m e m, então no triângulo O tem-se: O 4 m, O m e O 45 ssim, O 0 O 9 O 9 O 9 cos Θ 9 5 O perímetro o polígono é m 0

9 4 (MK-S) Três ilas,,, e, aparecem num mapa, em escala : 0 000, como na figura. 0) M 6 (MK-S) Supono, 7, a área o triângulo a figura vale: a),5 45) b),5 c),0 ),5 e),45 0) X as alternativas, a que melor aproima a istância entre as ilas e é: a), km ),4 km b), km X e),7 km c),9 km Se: m 00 cm km 000 m cm e cm no mapa cm 0, km então: cm no mapa corresponerá a, km, ou seja,, km. 0 j 0 k k 80 k 45 plicano a lei os senos, temos:, X sen 0 sen 45 Substituino Λ,4, vem: Λ,7 km 5 (urb-s) lorianópolis, uritiba e elo Horizonte, respectivamente, capitais e Santa atarina, araná e Minas Gerais, estão localizaas conforme a figura ao lao. partir os aos fornecios, qual a istância entre lorianópolis e elo Horizonte? a) 700 km b) 95 km c) 95 km ) 700 km e) 90 km a figura, temos: sen 0 ) sen ) 00 05) cm uritiba aos: cos 0) 0,4 sen 0) 0,9 cos ) 0,97 sen ) 0, , 00, Θ Θ 95 km 00 elo Horizonte 0) ) lorianópolis H 45) 45) 0) a figura, temos: No #H: H H sen 0 ) Ι Ι H cos 0 ) H H Ι Ι H No #H: H H Ι H área o # é: 9( ) 9 ( H) 9( H 0 H) 9 ( H) 9( 0) 9 azeno-se 7,, a área é 7,,ouseja,,5. 7 (Mack-S) No terreno a figura, uma pessoa pretene construir uma resiência, preservano a área vere a região assinalaa. 0) M Se 80 m, 0 m e MN 40 m, a área livre para a construção, em metros quaraos, é e: a) 400 ) 000 b) 600 e) 00 c) 800 X Os triângulos e NM são semelantes. 0 N 0 80 M 60 m M sen m sen m ortanto, a área livre para a construção é: m 0) 0) 0) 80 N 40 M

10 M 8 (uvest-s) No paralelogramo abaio, temse que e 0. lém isso, sabe-se que o ponto pertence ao lao e à bissetriz o ângulo. 0 (Unicamp-S) Um omem e,80 m e altura sobe uma laeira com inclinação e 0), conforme mostra a figura. No ponto está um poste vertical e 5 m e altura, com uma lâmpaa no ponto. a) alcule. b) etermine i sabeno que a área o quarilátero é. o enunciao, temos a figura: 5) 50) 5) 5) 0) sombra,80 m ee-se que: a) calcule o comprimento a sombra o omem epois que ele subiu 4 m laeira acima; b) calcule a área o triângulo. 0) 5 m a) plicano o teorema os cossenos no triângulo, temos: () () 0 () 9 () 9 () 9 cos 50 () Ι 0 b) No triângulo retângulo, temos: sen 0 Ι Ι omo a área o trapézio é igual a, temos: 9 ( 0 ) 9 9 ( 0 ) 9 Ι 9 (U) Se um painel retangular foi afiao um cartaz e formato triangular, como mostra a figura, a área S ocupaa pelo cartaz é igual a: a) 5 m ) 0 m b) 0 m X e) 5 m c) 5 m Seno o comprimento a sombra o omem, em metros, epois que ele subiu 4 m laeira acima, e S a área, em metros quaraos, o triângulo, tem-se: a) Os triângulos e são semelantes. ssim: ,,80 m 4 m , m sen 60 ) b) S 5 S 9 ( 4 0, 5) 9 S m 0) 5 m 4 m S 0) 5 m 4 5 sen 0 S S 9 S 5 m