Projeto 3. 8 de abril de y max y min. Figura 1: Diagrama de um cabo suspenso.

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1 Cabos suspensos Projeto 3 8 e abril e 009 A curva escrita por um cabo suspenso pelas suas etremiaes é enominaa curva catenária. y ma y min 0 Figura 1: Diagrama e um cabo suspenso. A equação que escreve a curva é obtia supono que o cabo é um material fleível porém incapaz e ser comprimio ou istenio. Ou seja, supomos que aa uma etensão e cabo e tamanho l, o mesmo poe muar e forma sob a ação e forças mas o seu comprimento será sempre l. A seção a seguir escreve o esenvolvimento a equação iferencial para a catenária. Essa seção poe ser pulaa em uma primeira leitura. Desenvolvimento a equação De acoro com as variáveis na figura 1, a catenária possui a epressão aa por y( = ρg cosh ( ρg + y min ρg. (1 Seja y( a equação que escreve o cabo suspenso. Vamos fazer a análise e forças que agem sobre uma seção e tamanho h o cabo. 1

2 h Θ h Θ mg h Figura : Forças sobre uma seção o cabo. Amitimos que o cabo está em uma situação estática, portanto a resultante e forças sobre qualquer seção o cabo é nula. A etremiae esquera sofre a ação e uma tensão (, enquanto que a etremiae ireita sofre uma tensão ( + h. O primeiro vetor forma uma ângulo π + θ com o eio e o último, um ângulo θ +h. Por fim o cabo sofre ação a força gravitacional, aa por m g, one m = ρ ˆ +h é a massa o cabo 1 e ρ a sua ensiae linear e massa. A componente horizontal a resultante as forças sobre o cabo é 1 + (y (ζ ζ ( ( cos θ ( + h cos θ +h = 0, ou seja, ( cos θ = ( + h cos θ +h, (3 one ( = ( e ( + h = ( + h são as normas euclieanas usuais para os vetores tensão nos pontos e + h. Note que a igualae na epressão (3 não epene e h, portanto temos que a componente horizontal a tensão no cabo é uma constante. ( cos θ = ( + h cos θ +h =. (4 1 A massa o segmento e cabo é obtia multiplicano a ensiae linear pelo comprimento o segmento. Por sua vez, o segmento é calculao a seguinte forma. Uma curva em uas imensões parametrizaa por uma variável ζ I R é formaa pelo conjunto e pontos {(f(ζ, g(ζ R ζ I R}. O comprimento e um segmento e curva para ζ [a, b] I é ao pela epressão ˆ b a q (f (ζ + (g (ζ ζ.

3 A componente vertical a resultante a forças sobre o cabo é ou seja, e acoro com a epressão (, ( + h senθ +h ( senθ mg = 0, ( + h senθ +h ( senθ = ρg ˆ +h 1 + (y (ζ ζ. (5 Os ângulos θ e θ +h estão relacionaos à curva aa pela função y( pela relação θ = tan 1 (y (, e moo que o termo senθ poe ser esenvolvio e acoro com senθ = cos (θ senθ cos θ = cos (θ tan θ = cos (θ tan ( tan 1 ( y ( = cos (θ y (. O mesmo poe ser feito para senθ +h. Dessa forma, a epressão (5 poe ser reescrita como ( + h cos (θ +h y ( + h ( cos (θ y ( = ρg e a partir e (4 temos y ( + h y ( = ρg Diviino pelo termo constante h, y ( + h y ( h = ρg ( 1 h ˆ +h ˆ +h ˆ +h 1 + (y (ζ ζ. 1 + (y (ζ ζ. O limite h 0 a epressão acima leva à equação iferencial orinária (EDO y ( = ρg 1 + (y ( 1 + (y (ζ ζ que escreve o comportamento para a função y, que satisfaz as hipóteses iniciais. Para obter a forma final a curva catenária (1, resolvemos o problema e valor inicial associao à EDO acima sujeita às conições inciais, y(0 = y min e y (0 = 0. 3

4 Aproimação numérica para a tensão no cabo A eigência e que no ponto =, a altura o cabo é y ma inter-relaciona as emais constantes o problema: y ma = ρg cosh ( ρg + y min ρg. (6 Assim, uma vez conhecios cinco os parâmetros ρ, g,,, y min e y ma, o outro poe ser eterminao a partir a solução numérica a equação (6. Uma vez eterminaos os parâmetros ρ, g e, poemos calcular a tensão ( em qualquer ponto o cabo : ( = 1 + (y ( ² = 1 + senh ( ρg. (7 Como eemplo, vamos consierar o eemplo, ao pelos parâmetros, ρ = 1 Kg m, g = 9.8m s, = 100m, y min = 5m e y ma = 15m. Inicialmente vamos buscar eterminar a tensão horizontal,. De acoro com a equação (6, eve satisfazer a equação 15 = ( cosh 50 Ou seja evemos eterminar o zero a função f( = ( cosh Uma aproimação grosseira para a tensão horizontal é obtia consierano que a curva é formaa por uas retas e acoro com o iagrama a figura 3. y ma y min 0 Θ Figura 3: Diagrama simplificao. A epressão (7 é obtia com um pequeno esforço algébrico. Consierano as equações o esenvolvimento com as substituições 0 e h, poemos concluir a partir a razão entre as componentes vertical e horizontal que ˆ q tan θ = y ( = ρg 1 + (y (ζ ζ. Por outro lao, como cos θ =, temos que ( senθ = s 0 1 (. Aplicano essa última relação na componente vertical e utilizano a primeira relação acima, obtemos o resultao. 4

5 Nesse caso, o balanço a forças é um problema simples e geometria. A solução permite aproimar a tensão horizontal por ( ρg (y min y ma. 4 (y min y ma A partir os aos o problema, temos que 149. O gráfico e f próimo à essa aproimação nos inica que estamos no caminho certo: Figura 4: Gráfico para a função f. Basta agora aplicar o métoo a secante (ou o métoo Newton-Raphson, se assim o quiseres com aproimações iniciais 0 = 100 e 1 = 1300, por eemplo. Realizano uma escolha para a tolerância no resíuo e 10 1, após 43 iterações temos uma solução aproimaa com 5 ígitos eatos: Assim, sabemos que 0 = , 1 = , = , 3 = , 4 = , 5 = , 6 = = ou aina, que a melhor aproimação com 5 ígitos e precisão é