, α 1 α + 1 d dx (log x ) = 1 1. x dx = log x, x 0

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1 Instituto Superior Técnico Departamento e Matemática Secção e Álgebra e Análise CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I LEIC-TAGUS, LERCI, LEGI E LEE o SEM. 006/07 5 a FICHA DE EXERCÍCIOS PRIMITIVAÇÃO DE FUNÇÕES ELEMENTARES Primitivação é a operação inversa a erivação. Mais precisamente, uma primitiva e uma função f é uma função F com erivaa F = f, i.e. tal que F () = f(). Escreveremos então que F () = f(), o que significa precisamente que F é uma função com erivaa F = f. Notem que F = f (F + c) = f para qualquer constante c R, pelo que se F é uma primitiva e f, então F + c também é uma primitiva e f. O objectivo esta ficha é aprener a encontrar primitivas e algumas funções elementares, quano essas primitivas poem também ser epressas como funções elementares. Aqui, o termo função elementar significa uma função que poe ser epressa por aição, multiplicação, ivisão e composição e funções polinomiais, potências, funções trigonométricas, hiperbólicas e respectivas inversas, e funções eponencial e logaritmo. I. Primitivas Imeiatas. As fórmulas para as erivaas e algumas funções bem nossas conhecias, conuzem à seguinte tabela e primitivas imeiatas: (α ) = α α α = α+, α α + (log ) = = log, 0 (e ) = e e = e (a ) = (log a)a a = a log a, a R+ \ {} (sen ) = cos cos = sen (cos ) = sen sen = cos (tan ) = cos () = tan cos () (cot ) = sen () = cot sen ()

2 CDI I - LEIC-TAGUS, LERCI, LEGI, LEE SEM. 006/07 FICHA ( + 5 (senh ) = cosh (cosh ) = senh (arcsen ) = (arctan ) = + (argsenh ) = + (argcosh ) = cosh = senh senh = cosh = arcsen = arctan + = argsenh + = argcosh Temos também que f (f + g) = + g (f + g) = f + g e f (cf) = c cf = c f, para qualquer constante c R. Usano estes factos, etermine uma primitiva e caa uma as seguintes funções. ) 5 ) + 3) + 5 4) 5) ) 7) 0) ) 8) ( + ) 3 9) cos () 4 3 3) 4) + 6) 6 sen () ) tan () ) cot () 5) 7) e +3 8) e 9) 3e + 0) ) a b ) 3 5) cos() 6) sen() cos() + 3) 3 + 4) 3 sen() 7) senh() + 3 cosh()

3 CDI I - LEIC-TAGUS, LERCI, LEGI, LEE SEM. 006/07 FICHA 5 3 II. Primitivas Quase-Imeiatas. A fórmula para a erivaa a função composta iz-nos que F () = (F (u())) = F (u()) u () f() F (u()) = f(u()) u (). Esta fórmula, combinaa com a tabela anterior e primitivas imeiatas, conuz à seguinte tabela e primitivas quase-imeiatas. u() α u () = u()α+, α α + u () = log u() u() e u() u () = e u() a u() u () = au() log a, a R+ \ {} cos(u())u () = sen(u()) sen(u())u () = cos(u()) u () = tan(u()) cos (u()) u () = cot(u()) sen (u()) cosh(u())u () = senh(u()) senh(u())u () = cosh(u()) u () = arcsen(u()) u () u () = arctan(u()) + u () u () = argsenh(u()) + u () u () = argcosh(u()) u ()

4 4 CDI I - LEIC-TAGUS, LERCI, LEGI, LEE SEM. 006/07 FICHA 5 Temos assim por eemplo que sen (cos ) tan = cos = = log cos cos e cos (sen ) cot = sen = = log sen sen Usano estes factos, etermine uma primitiva e caa uma as seguintes funções. ) 5 ) + 3) 4) 5) 6) ) sen() 8) cos(3) 9) sen() cos() 0) sen( ) ) cos( ) ) cos( + ) 3) sen( ) 4) cos( ) 5) sen(/) 6) cos( 3 ) 7) sen( 3 + ) 8) sen( ) cos( ) 9) sen 3 () cos() 0) cos() sen () ) e 5 3) e + e + e 3 5) e 6) e 8) e e e 9) 3 7 3) 3) ) e + e 35) e 4 ) sen() cos () 4) e 7) e/ 30) ) e + + e 36) + 3 e + e 37) e sen(e ) 38) e sen () sen() 39) log cos(log ) log(log ) 40) 4) 4) log ( + ) 43) tan() 44) cot(5 7) 45) tan( ) 46) sen (3) 47) tan cos () 48) tan 3 ()

5 CDI I - LEIC-TAGUS, LERCI, LEGI, LEE SEM. 006/07 FICHA ) a 50) 3 5) 8 + e 55) e 53) 56) a + 5) ( + ) 54) e + e a ) senh( + ) cosh( + ) III. Primitivas e Funções Racionais. É possivel primitivar qualquer função racional, i.e. qualquer função f = p/q com p e q polinómios, em termos e funções elementares (cf. Spivak). Ilustramos aqui esse facto quano p é um polinómio e grau e q é um polinómio o terceiro grau a forma q() = 3 + b + b + b 0. A primitiva e f = p/q epene essencialmente a natureza este polinómio enominaor. Caso. O polinómio enominaor q tem 3 raizes reais istintas, i.e. q() = ( α)( β)( γ), com α, β, γ R, α β γ α. Neste caso, a função racional f = p/q poe ser escrita na forma pelo que f() = A α + B β + C, com A, B, C R, γ f() = A log α + B log β + C log γ. Caso. O polinómio enominaor q tem uma raiz real simples e outra raiz real upla, i.e. q() = ( α)( β), com α, β R, α β. Neste caso, a função racional f = p/q poe ser escrita na forma pelo que f() = A α + B β + C, com A, B, C R, ( β) f() = A log α + B log β Caso 3. O polinómio enominaor q tem uma raiz real tripla, i.e. q() = ( α) 3, com α R. Neste caso, a função racional f = p/q poe ser escrita na forma f() = C β. A α + B ( α) + C, com A, B, C R, ( α) 3

6 6 CDI I - LEIC-TAGUS, LERCI, LEGI, LEE SEM. 006/07 FICHA 5 pelo que f() = A log α B α C ( α). Caso 4. O polinómio enominaor q tem apenas uma raiz real simples, i.e. q() = ( α)(( a) + b ), com α, a, b R, b 0. Neste caso, a função racional f = p/q poe ser escrita na forma f() = A α + B + C, com A, B, C R, ( a) + b pelo que f() = A log α + B + C ( a) + b, one a última primitiva é quase-imeiata, poeno ser epressa usano as funções logaritmo e arco tangente. Usano estes factos, etermine uma primitiva e caa uma as seguintes funções. ) ( + )( ) 4) 5 7) ) ( )( + ) 3 3) ( )( + ) + 3 6) ( + ) ( 3) 9) ) 5) 8) ) 5) + + 8) ( )( + ) ) ) ( 4)( + ) 7) 4 3) 6) ) (4 )( + ) + ) ( ) 5) ( + )( ) 8) + + 0) + ) ( + 3)( ) 4 ( + )( + 3) ( )( + ) ) 6) 9) + (4 )( + ) ( )( + ) ) 7) 30) ( )( + + ) ( + )( + ) + ( + )( + 3) ( + )( + + )

7 CDI I - LEIC-TAGUS, LERCI, LEGI, LEE SEM. 006/07 FICHA 5 7 IV. Primitivação por Partes. A fórmula para a erivaa o prouto e uas funções u e v, (u v) = u v + u v u v = (u v) u v, á origem à fórmula e primitivação por partes: u() v () = u() v() u () v(). Esta fórmula é particularmente útil quano a função que queremos primitivar poe ser epressa como o prouto e uma função u, cuja erivaa é mais simples o que u, com uma função v com primitiva imeiata ou quase-imeiata v. Há ois truques que são usaos e forma frequente na primitivação por partes. O primeiro é escrever f() = f() e consierar u = f e v =. Obtem-se então que f() = f() f (). Por eemplo, log = log = log = log = log. O seguno truque é usar primitivação por partes para encontrar f em termos a própria f e epois resolver em orem à f. Por eemplo, log = log = log log log log = (log ) pelo que log log = (log (log ) ) =. Usano estes factos, etermine uma primitiva e caa uma as seguintes funções. ) sen ) cos 3) e 4) log 5) (log ) 6) sen 7) cos 8) e 9) log( + ) 0) sen () ) cos () ) sen 3 () 3) cos 3 () sen () 4) 3 e 5) e a sen(b) 6) cos(log ) 7) arcsen 8) arctan 9) arctan 0) arctan(/ ) ) arctan( ) ) 3 + 3) ) (log ) 3

8 8 CDI I - LEIC-TAGUS, LERCI, LEGI, LEE SEM. 006/07 FICHA 5 5) log(log ) 8) log 9) 6) log 7) (log ) log( + ) + 30) cos() log( + cos ) 3) sen() log( + sen ) 3) cosh() cos() 33) senh 34) cosh 35) senh () 36) cosh () V. Primitivação por Substituição. A fórmula para a erivaa a função composta, já referia nesta ficha, á origem à fórmula e primitivação por substituição: ( ) f() = f(u(t))u (t) t. t=u () O proceimento associao à utilização esta fórmula para eterminar f() poe ser resumio nos seguintes 3 passos: (i) consierar a substituição = u(t) e = u (t) t em f() ; (ii) encontrar f(u(t))u (t) t como função elementar a variável t; (iii) fazer a substituição inversa t = u () na função elementar obtia em (ii). Usano a substituição inicaa, etermine uma primitiva e caa uma as seguintes funções. 5 ) ( + )( + ), = t ), = t 3) ( ), = t 4) ( + ) + 3, + 3 = t 5) ( + 3) +, + = t 6) + +, + = t 7) +, + = t 8) 3 3 ( + 4 ), = t3 9) + 3, = t6 0) +, t = ) +, t = + 3) ) + e, t = + e 4) + e, t = e + e (e )( + e ), t = e

9 CDI I - LEIC-TAGUS, LERCI, LEGI, LEE SEM. 006/07 FICHA 5 9 e 4 5) e +, t = e 6) ( + log ()), t = log log 7) (log() ), t = log 8) log ( log ), t = log cos 9) 4 + sen (), t = sen 0) cos + sen (), t = sen sen ) 4 + cos (), t = cos ) sen + cos (), t = cos cos 3) + sen cos (), t = sen 4) sen + cos sen (), t = cos sen() 5) ( sen ) cos (), t = sen 6) sen() cos ( + cos ()), t = cos 7) cos, t = sen() 8) sen, t = cos() 9) cos ( sen ), t = sen() 30) sen ( + cos ), t = cos() 3) cosh, t = senh() 3) senh, t = cosh() tan 33), t = tan 34) + tan + tan, t = tan 35) +, = tan t 36) +, = senh t 37), = 38) cos t, = cosh t 39), = sen t 40), = sen t 4), t = 4) +, t = + 43) +, = tan t 44) +, = senh t 45), t = 46), = cos t 47), = cosh t 48), = sen (t) ( )

10 0 CDI I - LEIC-TAGUS, LERCI, LEGI, LEE SEM. 006/07 FICHA 5 VI. Treino Complementar. Usano qualquer um os métoos e primitivação inicaos anteriormente, etermine uma primitiva e caa uma as seguintes funções. ) e ( + e ) ) 4) 7) ( + ) 8) e e + e + 3) 5) + + 6) ( + ) 9) ) + 4 ) 3 ) + 3) ( ) ( + ) 3 4) 6) log(cos ) tan 7) sen3 () cos () 9) tan () 0) cos 3 () ) arctan ( + ) 5) tan 8) cos 3 () ) sen 3 () 3) arctan 4) arctan( + ) + 5) arctan 6) arctan ( + ) 3 7) arctan( ) 8) log( + ) 9) log( + ) 30) log(a + ) 3) arcsen(/) 3) arcsen(/) 33) arcsen( ) 34) e 37) 40) 43) 35) log( + ) 36) (arcsen ) log 38) e log( + e + ) 39) ( + ) ) 4) tan ( + ) ( + + ) 44) 3 ( + + ) 3 45) 6 +