Cálculo Numérico Computacional Exercícios. que coïncida com f até na terceira derivada:

Transcrição

1 Cálculo Numérico Computacional Exercícios fórmula e Taylor T. Praciano-Pereira Dep. e Matemática Univ. Estaual Vale o Acaraú Sobral, 7 e fevereiro e 7 Relembrano: Fórmula e Taylor A equação a reta tangente y = f(x) = f(a) + f (a)(x a) = b + m(x a) (1) é a equação e um polinômio o primeiro grau tangente ao gráfico e f. Observe que a equação (1) é a equação e um polinômio esenvolvio no ponto x = a 1. Descobrimos b e m impono as conições: b = f(a) m = f (a) Vamos explorar este métoo nesta lista e exercícios. 1. Encontre a equação e uma parábola (polinômio o seguno grau) tangente ao gráfico e f memorizano também a curvatura (seguna erivaa) y = A + B(x a) + C(x a) () em que, como no caso anterior, temos na equação () um polinômio esenvolvio no ponto x = a. Descreva as equações para eterminarmos os coeficientes A, B, C. Solução 1 Por hipótese conhecemos uma função y = f(x) a qual conhecemos f(a), f (a), f (a) em que a é um ponto o omínio esta função Queremos encontrar tal que P (x) = A + B(x a) + C(x a) (3) P (a) = f(a) ; P (a) = f (a) ; P (a) = f (a) (4) Temos portanto três equações que vão nos permitir encontrar as três incognitas A, B, C, os coeficientes e P. Desenvolveno temos O polinômio é P (a) = A = f(a) (5) P (a) = B = f (a) (6) P (a) = C = f (a) C = f (a) (7) P (x) = A+B(x a)+c(x a) = f(a)+f (a)(x a)+ f (a) (x a) (8) 1 Discuta com o professor (ou com os seus colegas) o que é um polinômio esenvolvio no ponto x = a novamente, um polinômio esenvolviono ponto x = a. Fórmula e Taylor Encontre a equação e um polinômio o terceiro grau que coïncia com f até na terceira erivaa: y = A + B(x a) + C(x a) + D(x a) 3 (9) Descreva as equações para eterminarmos os coeficientes A, B, C, D. Solução O métoo é semelhante ao a questão anterior, apenas com uma equação a mais porque agora temos que encontrar um polinômio o terceiro grau. A resposta é (eu não aceito apenas a resposta) P (x) = A + B(x a) + C(x a) + D(x a) 3 = (1) f(a) + f (a)(x a) + f (a) (x a) + f (a) 3! (x a) 3 (11) 3. Derivaas parciais Consiere uma função z = f(x, y) (1) que seja erivável numa vizinhança o ponto (a, b, f(a, b)). Então ela tem um plano tangente no ponto (a, b, f(a, b)), semelhante ao caso a função univariaa com a reta tangente. Encontre a equação o plano tangente ao gráfico e f no ponto (a, b, f(a, b)). Solução 3 A erivaa implicita é o moelo a equação o plano tangente z = x + y (13) A equação (13) é chamaa e iferencial total e representa uma forma linear nas variáveis x, y, z a qual poemos euzir o plano tangente em qualquer ponto (a, b) o omínio e f one ela seja erivável Se fizermos as substituições z := z c = z f(a, b) (14) y := y b (15) x := x a (16) na equação (13) teremos a equação o plano tangente no ponto (a, b, f(a, b)) = (a, b, c) z c = (a a) + (y b) (17) A equação (17) é a expressão geral o plano tangente ao gráfico e uma função, no ponto (a, b, f(a, b)) = (a, b, c).

2 4. Fórmula e Taylor multivariaa e grau 1 Observe que a equação o plano tangente poe ser escrita e forma semelhante à equação a reta tangente. Encontre as semelhanças e escreva a fórmula e Taylor multivariaa e grau 1. Você vai precisar e um prouto e matrizes (já ouviu falar o Graiente, a Jacobiana?). Solução 4 A expressão o plano tangente, obtia na equação (17), poe ser escrita numa forma semelhante à fórmula e Taylor. Seja z = f(x, y) uma função iferenciável num vizinhança e um ponto (a, b) e seja (a, b, c) = (a, b, f(a, b)). Então neste ponto existe um plano tangente (porque f é iferenciável) e temos: z = x + y (18) z c = (a a) + (y b) (19) z f(a, b) = (a a) + (y b) () z = P (x, y) = f(a, b) + (a a) + (y b) (1) ( z = P (x, y) = f(a, b) + ) ( ) x a y b ) z = g(x, y) = f(a, b)d(f) (a,b) ( x a y b () (3) 5. Fórmula e Taylor (a) Ache o esenvolvimento e Taylor para f(x) = sen(x) no ponto x = e orem 7 (grau 7). (b) Ache o esenvolvimento e Taylor para g(x) = cos(x) no ponto x = e orem 7 (grau 7). Calcule a erivaa e g(x) + if(x). Será que o resultao poeria ser interpretao como seno (g(x) + if(x)) = i(g(x) + if(x)) Solução 5 (a) Precisamos as erivaas e f(x) = sen(x), na origem que são, 1,, 1,, 1,, 1 em que o primeiro coeficiente correspone a f() a erivaa e orem zero, e os emais são as erivaas sucessivas. O esenvolvimento e Taylor na origem será então P (x) = x x3 7! (31) (b) Veja o gráfico o esenvolvimento e Taylor o seno na figura (fig. 1) página 4, O gráfico foi obtio com Gnuplot com os comanos Veja Na equação (18) calculamos a erivaa implícita e z = f(x, y) e na (19) fizemos a substituição 4 f(x) sin(x) z := z c (4) x := x a (5) y := y b (6) conseguino assim na equação () a equação e um plano, que é o plano tangente ao gráfico e f no ponto (a, b, f(a, b)) = (a, b, c). Na equação (1) escrevemos a equação e um polinômio o primeiro grau em x, y, que é a própria equação o plano, que está expressa matricialmente nas equações (), (3). Observe que se esignarmos A = (a, b) (7) ( ) A = (8) X = (x, y) (9) então poemos expressar a fórmula e Taylor e forma bem parecio com o caso univariao z = P (X) = f(a) + A(X A) t (3) Figura 1: Desenv. o seno e orem 7 na origem na figura (fig. ) página 5, (c) Precisamos as erivaas e g(x) = cos(x), na origem que são 1,, 1,, 1,, 1,, 1

3 P(x) = x x**3/6. + x**5/1. x**7/54. set xrange [ 5:5] set yrange [ 5:5] plot f(x), sin(x), set term postscript portrait color enhance set output exer.1.1.eps plot P(x), sin(x), Q(x) = 1 x**/. + x**4/4. x**6/7. + x**8/43. set xrange [ 5:5] plot Q(x),,cos(x) set term postscript portrait enhance color set output "exer.1..eps" plot Q(x),,cos(x) Figura : Comanos o Gnuplot - esenvol o seno na origem Figura 4: comanos o Gnuplot - essenvol. o coseno na origem em que o primeiro coeficiente correspone a g() a erivaa e orem zero, e os emais são as erivaas sucessivas. O esenvolvimento e Taylor na origem será então Q(x) = 1 x 8! (3) Veja o gráfico o esenvolvimento o coseno, na origem, na figura (fig. 3) página 5, Q(x) cos(x) x (Q(x) + ip (x)) = Q (x) + ip (x) = i(p (x) iq (x)) (36) Q (x) = x + x3 3! x5 5! + x7 7! (37) P (x) = 1 x 8! (38) sen(x) Q (x) = x x3 7! (39) cos(x) P (x) = 1 x 8! (4) x (P (x) + iq(x)) = x (cos(x) + isen(x)) = (41) i(p (x) iq (x)) = i(cos(x) + isen(x)) (4) xf(x) = if(x) (43) A equação (43) resumo o conjunto e equações, em que temos uma função cuja erivaa é o prouto e uma constante por ela mesma. A única função com esta proprieae é a exponencial o que levou Euler a escrever a sua célebre fórmula fórmula e Euler e ix = (cos(x) + isen(x)) (44) 6. Aplicações Figura 3: Desenvo. o coseno na origem Os comanos o Gnuplot para obter este gráfico são Veja na figura (fig. 4) página 6, () Somano as uas expressões, os esenvolvimentos o seno e o coseno no ponto x =, que se encontram nas equações (31), (3) temos Q(x) + ip (x) cos(x) + isen(x) (33) sen(x) P (x) = x x3 7! (34) cos(x) Q(x) = 1 x 8! (35) Solução 6 (a) Calcule o valor aproximao e sen(.1) usano a fórmula e Taylor e orem 7. print P(.1) print sin(.1) print P(.) print sin(.) print P(.5) print sin(.5)

4 print P() print sin() print P(4) print sin(4) (b) Calcule o valor aproximao e cos(.1) print cos(.1) print Q(.1) print Q(.) print cos(.) print cos(.5) print Q(.5) print Q() print cos() print cos(4) print Q(4) (c) Sabeno que as taxas e variação parciais e z = f(x, y) no ponto (1, ) são = ; = 3 e que f(1, ) = 5 calcule aproximaamente f(1.1,.1) Vamos calcular a equação o plano tangente no ponto one conhecemos f(a, b),, que é o ponto (a, b) = (1, ) para encontrar um valor aproximao a função numa vizinhança este ponto. Da equação o plano tangente temos (fórmula e Taylor) P (x, y) = f(a, b) + (1,)(x 1) + (1,)(y ) (45) P (x, y) = 5 + (x 1) + 3(y ) (46) f(1.1,.1) P (1.1,.1) = 5 + (1.1 1) + 3(.1 ) = (47) = 4.5 (48) Vamos ver um exemplo, com uma função conhecia para avaliarmos a valiae esta aproximação. f(x,y) = x** - 3*x*y + y** fx(x,y) = *x - 3*y fy(x,y) = -3*x + *y P(x,y) = f(1,) + fx(1,)*(x-1) + fy(1,)*(y-) print f(1.1,.1) print P(1.1,.1) -1.3 set zrange [-5:5] set xrange [-3:3] set yrange [-3:3] splot f(x,y), P(x,y) 7. Polinômio Poemos encontrar um polinômio que memoriza as informações e uma função e forma parecia com o polinõmio e Taylor, mas usano informações em ois pontos. Encontre um polinômio P esenvolvio no ponto x = a tal que P (a) = f(a); P (a) = f (a) P (b) = f(b); P (b) = f (b) em que [a, b] é um intervalo em que f está efinia e é erivável. Sugestão: escreva a expressão e um polinômio esenvolvio no ponto x = a. Solução 7 P (x) = a + a 1(x a) + a (x a) + a 3(x a) 3 (49) P (a) = a = f(a) (5) P (a) = a 1 = f (a) (51) P (b) = f(a) + f (a)(b a) + a (b a) + a 3(b a) 3 = f(b) (5) P (b) = f (a) + a (b a) + 3a 3(b a) = f (b) (53) (54) f(a) + f (a)(b a) + a (b a) + a 3(b a) 3 = f(b) (55) f (a)(b a) + a (b a) + 3a 3(b a) 3 = f (b)(b a) (56) (57) f(a) + f (a)(b a) a 3(b a) 3 = f(b) f (b)(b a) (58) a 3 = f(b) f (b)(b a) f(a) f (a)(b a) (b a) 3 (59) a = f(b) (f(a)+f (a)(b a)+a3(b a) 3 ) (b a) (6)

5 8. Aplicação Encontre um polinõmio tal que a) P ( 3) = 3 P ( 3) = 1 P (3) = 1 P (3) = 1 b) P ( 3) = 3 P ( 3) = 1 P (3) = 3 P (3) = 1 Faça o gráfico estes polinômio. Solução 8 Vamos aplicar os cálculos feitos no Gnuplot. (a) a) P ( 3) = 3 = f( 3) P ( 3) = 1 = f ( 3) P (3) = 1 = f(3) P (3) = 1 = f (3) a = -3 b = 3 elta = b - a a = 3 a1 = -1 a3 = - ( *3 + 6.)/6**3 print a a = (1 - (3-6 + a3*6**3) )/6** print a. P(x) = a + a1*(x + 3) + a*(x + 3)** + a3*(x + 3)**3 plot P(x), set xrange [-3:3] plot P(x),