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1 Calculo I Gabarito da lista 9 Aplicações da derivada tarcisio@member.ams.org T. Praciano-Pereira Dep. de Computação Univ. Estadual Vale do Acaraú 3 de novembro de 9 página da disciplina Documento produzido com L A TEX sis. op. Debian/Gnu/Linux Exercícios. Faça o gráfico da função y = f(x) = x + 5x + 6 detatalhadamente, explicando todas as passagens com uso da derivada. Solução A derivada, f (x) e o gráfico de y = f(x) se encontram na figura Na figura () página, f (x) 3 f (x) = x + 5 = ==> x =.5 f(.5) =.5 f( ) = f( 3) = Figura : Gráfico da parábola

2 f (x) = x + 5 f (x) = ; x {.5} () f (x) < x <.5; f (x) > x >.5 () f é crescente na semi-reta x >.5 (3) f é decrescente na semi-reta x <.5 (4) f tem ponto de mínimo quando x =.5 (5). Calcule a derivada da função y = g(x) = +x e depois faça o gráfico desta função cuidadosamente, explicando todas as passagens. Solução A figura () página, mostrar o gráfico da parábola y = + x x, do seu inverso multiplicativo, cuja derivada é +x (+x ) h(x) = + x g (x)= x ( + x ) h(x) > ==> <g(x)<.5 g(x)= h(x) Figura : o inverso da parábola y = g(x), feito à mão g (x) = g (x) = h(x) = + x (6) x (+x ) < x > g é decrescente (7) x (+x ) = x = g tem tangente horizontal (8) g (x) = g() = (9) x (+x ) > x < g é crescente ()

3 g é crescente na semi-reta x <, é decrescente na semi-reta x >, é derivável, com derivada nula apenas em x = onde tangencia a reta y =. O gráfico na figura (3) página 3 foi feito com gnuplot. 6 h(x) g(x) Figura 3: gnuplot: o inverso da parábola y = g(x) 3. Calcule a derivada da função y = r(x) = x +x e depois faça o gráfico desta função cuidadosamente, explicando todas as passagens. 3

4 Solução 3 r (x) = ( x (+x ) () r (x) > x [, ] () r(x) é crescente x [, ] (3) r(x) é decrescente x [, ] (4) x > + x = + x > x = x (5) x > + x > x x + x = ( x) (6) x > + x > x r(x) [, ] (7) r( x) = r(x) {(x < ) r(x) [, ]} (8) graf(r(x)) R x [, ] (9) r (x) = x {, } () x {, }r tem tangente horizontal () Na figura (4) página 5, gráfico feito á mão, com xfig e figura (5) página 6, o gráfico feito com gnuplot. 4. Calcule a derivada de y = p(x) = 3cos 5 (x) + cos (x) 5cos(x) Solução 4 p(x) = f(g(x)) () f(x) = 3x 5 + x 5x; g(x) = cos(x) (3) p (x) = f (g(x))g (x) = ( 5g(x) 4 + g(x) 5)g (x) (4) p (x) = ( 5cos 4 (x) + cos(x) 5)sen(x) (5) p (x) = 5cos 4 (x)sen(x) cos(x)sen(x) + 5sen(x) (6) p (x) = 5(( sen (x)) )sen(x) sen(x) + 5sen(x) (7) p (x) = 5( sen(x) + sen (x))sen(x) sen(x) + 5sen(x) (8) p (x) = 5sen(x) 3sen (x) + 5sen 3 (x) sen(x) + 5sen(x) (9) p (x) = 3sen(x) 3sen (x) + 5sen 3 (x) sen(x) (3) 5. Dois carros de corrida, A, B, que tem a mesma potência, se emparelham num curva no ponto x do autódromo. Depois disto o piloto do carro B observou que seu carro estava com um entupimento de valvulas perdendo potência e consequentemente velocidade. Finalmente o carro B perdeu a corrida. Faça um gráfico simulando a corrida dos dois carros a partir do ponto x. Solução 5 A figura (6) página 7, mostra as curvas de velocidade dos dois carros como idênticas até o ponto x a partir de onde a velocidade do carro B começou a cair. 4

5 gráfico de r se encontra dentro da faixa R x [,] r graf(r) Figura 4: gráfico de r(x) feito à mão com xfig 6. Calcule as derivadas das funções abaixo e diga onde são contínuas a) f(x) = cos(x + 3) b) f(x) = sin(3x + 7) c)f(x) = sin(x+3) cos(4 x) d) sin(x) +x e)f(x) = xsin(x) +x f) x +3 x+ +x a) f (x) = sen(x + 3) b) f (x) = 3cos(3x + 7) c)f (x) = cos(x+3)cos(4 x)+sen(x+3)sen(4 x) cos (4 x) d) f (x) = cos(x)(+x ) xsin(x) (+x ) e)f (x) = (sin(x)+xcos(x))(+x ) 4x sin(x) (+x ) f) f (x) = (x+3)(+x ) x(x +3 x+) (+x ) 7. A função f(x) = x é a inversa da função g(x) = x justifique esta afirmação com uma conta adequada. Calcule a derivada de f(x) = x e indique o domínio de validade. 5

6 r(x) dr(x) Figura 5: gráfico de y = r(x), r (x) com gnuplot Solução 6 Esta afirmação tem que ser limitada, por exemplo x tem dois valores para cada x, então temos fazer uma seleção. O usual é considerar x como o valor positivo. Depois não há raiz real de número negativos, então o Dom ( x) = {x; x } = R +. Com estas restrições então f(x) = x, g(x) = x é um par de funções inversas: x = g(f(x)) = f(g(x)) = x (3) f (g(x))g (x) = = f (g(x)) = g (x) = x (3) y = g(x) = x = x = y = x = y (33) f (g(x)) = f (y) = y ; n = = f (y) = ny n (34) Portanto a regra de derivação para f(x) = x = x é a mesma que para f(x) = x n quando n é um inteiro maior do. 8. A função f(x) = 3 x é a inversa da função g(x) = x 3 justifique esta afirmação com uma conta adequada. Calcule a derivada de f(x) = 3 x e indique o domínio de validade. 6

7 A, B A B x Figura 6: Gráfico da velocidade dos carros A, B Solução 7 f (x) = x /3 3 = nx n ; n = 3 9. A função f(x) = x p q pode ser vista como a composição de funções. Explicite isto e calcule a derivada de y = f(x). Solução 8. Calcule a derivada de y = f(x) = f(x) = x p q = q (x p ) = h(g(x)) (35) f (x) = h (g(x))g (x) = p q (xp ) /q x p (36) m = p/q p + p = p/q (37) f (x) = mx m = p q x(p/q) (38) x 3 x validade de f e de f. Faça o grafico de y = f(x). Solução 9 Em gnuplot indique qual é o domínio de Dom f(x) = [, ) (39) g(x) = x; h(x) = x3 x ; (4) g (x) =.5/g(x); h (x) = (3x ( x)+x 3 ) ( x) (4) f(x) = g(h(x)); f (x) = g (h(x))h (x) (4) 7

8 pow(x,n) = x**n; g(x) = sqrt(x); h(x) = pow(x,3)/(-x); f(x) = g(h(x)); dg(x) =.5/g(x); dh(x) = (3*pow(x,)*(-x)+pow(x,3))/pow(-x,); df(x) = dg(h(x))*dh(x); set xrange [.:.8]; plot f(x),df(x),; pause - delta =.; df(x) = (f(x+delta) - f(x))/delta; ##set terminal post enhance portrait colour ##set output trabalhos/exer9_gabarito_9.eps plot f(x),df(x),df(x),; pause - que está no arquivo exer9 gabarito 9.gnuplot. A figura (7) página 8, mostra o resultado do script do gnuplot, a derivada aproximada, Q f(x) 8 f(x) df(x) df(x) Figura 7: gráfico de f(x), f (x), Q f(x), com =. serve para verificar, graficamente, se os cálculos foram feitos corretamente. 8