Bacharelado em Ciência e Tecnologia Bacharelado em Ciências e Humanidades. Representação Gráfica de Funções

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1 Bacharelado em Ciência e Tecnologia Bacharelado em Ciências e Humanidades BC 0005 Bases Computacionais da Ciência Representação Gráfica de Funções Prof a Maria das Graças Bruno Marietto 1

2 DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO Dados os conjuntos T (tempo) e E (espaço). Qual a regra ou lei que associa um elemento de T a um elemento de E? Observando a formação ou regularidade dos elementos que se sucedem em ambos os conjuntos, podemos dizer que a correspondência entre os mesmos pode ser representada pela seguinte frase: O espaço é numericamente igual a 20 vezes o tempo, ou seja, Espaço = 20 x tempo 2

3 DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO Definição de função: Uma função é uma lei segundo a qual, para cada elemento x em um conjunto A corresponde um único elemento y em um conjunto B O conjunto A é chamado domínio da função e o conjunto B é o contra-domínio, ou imagem A variação de y, ou f(x), é o conjunto de todos os valores possíveis de f(x) quando x varia em todo o domínio 3

4 DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO Considere a variação de espaço em relação ao tempo, durante a trajetória de um trem por uma ferrovia O que se deseja saber é como varia o espaço percorrido pelo trem de acordo com o tempo gasto Foram feitas medidas do espaço percorrido pelo trem em intervalos de tempo iguais, digamos, de hora em hora, com os seguintes resultados: Tempo (h) Espaço (Km)

5 DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO Existe uma lei, regra de formação, que relaciona estes dois conjuntos (tempo e espaço)? Podemos afirmar que entre dois conjuntos há uma correspondência quando existe uma Lei tal que, ao se considerar um elemento de um conjunto, podemos associá-lo fazendo uso da lei a outro elemento do outro conjunto 5

6 DEFINIÇÃO DE FUNÇÃO Espaço = 20 x tempo y=f(t)=20*t Domínio da função = conjunto do tempo Imagem da função = conjunto dos valores do espaço percorrido y=f(0)=20*0=0 y=f(1)=20*1=20 y=f(2)=20*2=40 6

7 EXERCÍCIO A dívida pública dos EUA (em bilhões de dólares) para alguns anos encontra-se no gráfico a seguir: Determine: a) Variáveis envolvidas b) Variável dependente c) Variável independente d) Domínio da função e) Conjunto imagem f) A variação da dívida entre os anos de 1985 e 1987 g) A dívida permaneceu constante em algum período? 7

8 REPRESENTAÇÃO DE FUNÇÃO Uma função pode ser representada das seguintes formas: o verbalmente (descrevendo-a com palavras) o numericamente (através de tabela de valores) o visualmente (através de gráficos) o algebricamente (utilizando-se uma fórmula explícita) 8

9 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA Muitas vezes, dado o modelo matemático de um sistema, encontramos a necessidade de visualizar o comportamento do mesmo, ou então precisamos encontrar uma solução mas não sabemos ao certo por onde começar a procurá-la Nestes casos, gráficos das funções em questão podem auxiliar no entendimento e podem, inclusive, fornecer uma primeira aproximação para a solução procurada 9

10 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA: EXEMPLO 1 Suponha que deseja-se prever a taxa de crescimento de uma faixa sócio econômica da população num período de anos não abordado numa pesquisa Seria necessário fazer um modelo matemático em cima do gráfico obtido com os dados disponíveis para se conseguir a informação desejada através de uma extrapolação 10

11 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA: EXEMPLO 1 11

12 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA: EXEMPLO 2 Considere o caso de um movimento uniformemente variado definido pela equação a seguir: Como exemplo, vamos supor s 0 =0, v 0 =20m/s e a=-5 m/s 2, ou seja, o corpo está freando 12

13 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA: EXEMPLO 2 Como o corpo está freando, a posição máxima que irá atingir é s=40m, e levará 4 segundos para atingi-la, como mostrado pelo ponto (b) Em (b) a sua velocidade será nula. A partir daí a aceleração negativa pode ser vista como uma aceleração em sentido contrário e, portanto, o corpo começará a voltar e atingirá a posição s = 0 novamente em t=8s (ponto c) 13

14 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA: Efetuando os mesmos cálculos para os outros dados, ter-se-á também o valor 1,3 EXEMPLO 3 Populações, em geral, crescem muito rapidamente, pois a cada geração são mais indivíduos para se reproduzir Dividindo a população de cada geração pela da geração anterior, obtém-se: 14

15 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA: EXEMPLO 3 Considere os dados da tabela a seguir, que mostram o crescimento de uma população (em milhares) de bactérias Qual a equação que descreve esse crescimento populacional de bactérias? Esboce o gráfico 15

16 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA: EXEMPLO 3 p 1 /p 0 =1,3 p 1 =p 0 *1,3 p 2 /p 1 =1.3 p 2 /p 0 *1,3=1,3 p2=p0*1,3*1,3 p2=p0*1,3 2 p 3 /p 2 =1,3 p 3 /p 0 *1,3 2 =1,3 p3=p0*1,3*1,3 2 p3=p0*1,3 3 P(x) = p0*1,3 x P(x) = 140*1,3 x 16

17 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA: EXEMPLO 3 P(x) = 140*1,3 x Esta é uma função exponencial com base 1,3, assim chamada porque a variável x está no expoente A base representa um fator de crescimento pelo qual a população muda a cada geração. Considerando r a taxa percentual, diz-se neste caso que a taxa de crescimento é r = 30% = 0,3 17

18 PARTE PRÁTICA 18

19 SCILAB O Scilab é um software utilizado para resolução de problemas numéricos É gratuito e distribuído com código fonte 19

20 SCILAB Digitando o comando: Estaremos criando uma variável real chamada x cujo valor é igual a 2 O ponto-e-vírgula ao final da instrução não é obrigatório. Caso ele não seja colocado, a variável será apresentada na tela: 20

21 VARIÁVEIS Em programas computacionais precisamos armazenar informações para utilizarmos durante a execução do programa 3000:B712 Armário Memória do computador 2000:12EC

22 VARIÁVEIS As linguagens de programação permitem que os usuário atribuam nomes para as posições de memória da máquina nome Armário Memória do computador idade nacionalidade profissao

23 VARIÁVEIS Uma variável é um endereço da memória de acesso randômico (RAM), representada por um nome (rótulo), criado pelo usuário, cujo conteúdo pode se alterar no decorrer do programa nome Uma variável é composta por dois elementos: Identificador: nome dado pelo programador à variável Conteúdo: valor atual da variável

24 VARIÁVEIS Identificador Identificador Identificador nome Maria Carla idade 17 nacionalidade brasileira nome idade nacionalidade profissao Identificador profissao estudante Uma variável assume apenas UM valor por vez

25 SCILAB Veremos agora como, cada vez que mencionarmos o nome de uma variável, estaremos na verdade utilizando o seu conteúdo Esta operação define y como sendo uma variável com valor igual ao valor de x mais cinco, ou seja, y terá um valor igual a 7 Neste caso, z será igual à multiplicação dos valores guardados em x e y, ou seja, z será igual a 14 Aqui, w será igual à divisão dos valores guardados em z e x, ou seja, w será igual a 7 25

26 SCILAB Além dos operadores acima, o Scilab possui várias funções matemáticas que podem ser facilmente utilizadas, como por exemplo: A função exp() representa a exponencial natural. Ou seja, exp(x) = e x 26

27 SCILAB Iremos definir para a função seno(x) um intervalo de valores de x no qual queremos plotar a função Vamos usar o intervalo [0;2 π ]. Assim, para definir x, podemos usar o seguinte comando em Scilab : Tal instrução criará um vetor x cujo primeiro valor será igual ao primeiro valor do intervalo. O segundo valor será dado pelo valor anterior somado ao valor do passo. Isto irá se repetir até que o valor da soma seja igual ou menor do que o último valor do intervalo 27

28 Vamos considerar a função: SCILAB No intervalo x [0;2π ] Sempre que desejamos produzir um gráfico de uma função, precisamos, primeiramente, definir em quais pontos gostaríamos de visualizar a função, ou seja, para quais valores de x No Scilab existem duas formas para se definir estes valores: o Definindo diretamente os pontos x nos quais queremos plotar a função o Definindo um intervalo de valores de x no qual queremos plotar a função 28

29 SCILAB Por exemplo, considere o seguinte comando: Que irá resultar no vetor: x=[ ] Tendo criado um vetor x, precisamos agora encontrar os valores de f (x) nestes pontos. Para tanto, utilizamos o seguinte comando: Gera um vetor f cujos elementos são dados pelo seno dos elementos definidos em x 29

30 SCILAB Finalmente, podemos fazer o gráfico utilizando o comando: O primeiro parâmetro se refere ao eixo das abscissas e o segundo ao eixo das ordenadas 30

31 SCILAB Resumindo o que foi visto até aqui, produzimos o gráfico utilizando a seguinte seqüência de instruções: 31

32 SCILAB Para colocar nomes nos eixos dos gráficos podemos usar os comandos: 32

33 SCILAB Para colocar as linhas de grade no gráfico, podemos usar o comando: 33

34 SCILAB Para alterar a cor da curva no gráfico, podemos adicionar um parâmetro ao comando plot, dado pela primeira letra da cor desejada em Inglês. Por exemplo: 34

35 SCILAB: SINTAXE DE FUNÇÕES Um cuidado precisa ser tomado para plotar gráficos de funções que envolvam multiplicação ou divisão de vetores. Vamos considerar, por exemplo, a função: f(x)=xe x no intervalo x 2 [0; 1] : Seguindo os passos discutidos anteriormente temos: 1) Criação de um vetor de valores para x: 35

36 SCILAB: SINTAXE DE FUNÇÕES 2) Cálculo de f(x) Para conseguir o resultado de f(x)=xe x corretamente, precisamos utilizar a seguinte instrução: Ou seja, o operador multiplicação precisa ser precedido de um ponto 36

37 SCILAB: SINTAXE DE FUNÇÕES 37

38 SCILAB: SINTAXE DE FUNÇÕES Um cuidado precisa ser tomado para plotar gráficos de funções que envolvam multiplicação ou divisão de vetores. Vamos considerar, por exemplo, a função: f(x)=x 2 no intervalo x [0; 10] : 38

39 SCILAB: SINTAXE DE FUNÇÕES f(x)=x/(1+x 2 ) no intervalo x [0; 40] : 39

40 ATIVIDADE EM AULA A empresa COLKS é a uma indústria automobilística do pequeno país chamado Govers, em que a moeda oficial é o dubila O lucro mensal da COLKS é função do número de carros produzidos no mês Ela tem um custo fixo de 50 dubilas e um custo variável função do número de carros produzidos no mês. Usando NC para definir o número de carros produzidos em um mês, o custo variável é dado por 48(NC) 0,9. Vamos dizer que ela venda cada carro por 50 dubilas. Assim, o seu lucro L mensal é dado por 40

41 ATIVIDADE EM AULA 1. Usando uma calculadora ou o computador, determine o lucro L da COLKS ao produzir NC=1, NC=4 e NC=10 carros. Interprete os resultados que você obteve 2. Agora faça um gráfico de L em função de NC para 0 NC 20. A partir de quantos carros mensalmente vendidos a COLKS começa a ter lucro? 3. Analisando o gráfico, quantos carros a COLKS tem que produzir no mês para ter um lucro de cerca de 100 dubilas? 41

42 ATIVIDADE EM AULA 42

43 ATIVIDADE EM AULA 43

44 ATIVIDADE PARA CASA Resolução dos Exercícios Capítulo Representação Gráfica de Funções otrês (03) dos exercícios do Capítulo "Representação Gráfica de Funções", referentes à segunda aula do curso de Bases Computacionais da Ciência, devem ser resolvidos e anexados nesta atividade oreforçando, dos exercícios deste capítulo o aluno irá escolher três (03) deles para enviar a resolução. oa entrega deve ser feita na forma de um arquivo no formato PDF ou DOC oa data limite de entrega está disponível no ambiente Tidia, na opção Atividades 44

45 ATIVIDADE PARA CASA Uso de Funções na Prática Esta atividade tem por objetivo utilizar os conceitos de funções, com o uso do software Scilab, em uma situação prática. Para isto o aluno(a) deverá: 1) Apresentar a descrição de uma situação real 2) Tendo como base esta descrição, deverá gerar pelo menos uma função que modele o fenômeno analisado 3) Com o uso do software Scilab, o aluno deverá propor pelo menos quatro usos da função no entendimento da situação considerada 4) Os comandos utlizados no Scilab para cada uma das questões propostas devem ser apresentados A entrega deve ser feita na forma de um arquivo no formato PDF ou DOC 45

46 REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DE FUNÇÕES 46

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