Notas de aulas. André Arbex Hallack

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1 Cálculo I Notas de aulas André Arbex Hallack Julho/007

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3 Índice 0 Preliminares 0. Números reais Relação de ordem em IR Valor absoluto Funções Funções exponenciais e logarítmicas Funções trigonométricas A Derivada. Motivação Limites Teoremas para (ajudar no) cálculo de limites Continuidade A definição da Derivada Derivadas e continuidade Regras de derivação Derivação implícita Aplicações da Derivada 65. Acréscimos e diferenciais A Derivada como razão de variação Taxas relacionadas Alguns resultados importantes i

4 .5 Concavidade e pontos de inflexão Aplicações em problemas de máximos e/ou mínimos Aplicações nos esboços de gráficos Apêndice A : Limites no infinito Apêndice B : Limites infinitos Apêndice C : Formas indeterminadas e a Regra de L Hopital Apêndice D: Aproximações via Polinômios de Taylor A Integral Definida 3 3. Motivação Somas de Riemann e a definição da Integral Definida Propriedades da Integral Definida O Teorema Fundamental do Cálculo Integrais Indefinidas Mudança de variável na integração Técnicas de integração Integração por partes Algumas integrais trigonométricas Substituições trigonométricas Integrais de funções racionais (Frações Parciais) Integrais impróprias Aplicações geométricas da Integral Definida Áreas de regiões planas Volumes de (alguns) sólidos de revolução Referências 85

5 Capítulo 0 Preliminares 0. Números reais Ao longo deste curso iremos trabalhar sobretudo com o conjunto IR dos números reais, os quais identificamos geometricamente com os pontos de uma reta (orientada), a reta real : Vejamos agora alguns conjuntos de números reais nessa identificação: IN = {,, 3,... } (números naturais) IR Z = {...,,, 0,,, 3,... } (números inteiros) IR Q = { p/q ; p, q Z, q 0 } (números racionais) IR Temos ainda números reais que não são racionais. São os chamados números irracionais. Alguns exemplos: (A) Consideremos um triângulo retângulo cujos catetos medem : Do Teorema de Pitágoras, temos a = b + c =. Portanto a = (e não é racional).

6 CAPÍTULO 0 (B) Outro número irracional famoso: FATO: A razão entre o comprimento e o diâmetro de qualquer circunferência é constante. Essa razão é um número chamado π. Assim, se C é qualquer circunferência, l o seu comprimento e r seu raio, temos: π é um número irracional ( π 3, 459 ) l r = π Obs.: Existem muito mais números irracionais do que racionais! Operações básicas em IR Existem em IR duas operações básicas: ADIÇÃO: a IR, b IR a + b IR (soma) MULTIPLICAÇÃO: a IR, b IR a b IR (produto) Essas operações possuem as seguintes propriedades: COMUTATIVIDADE: a + b = b + a a b = b a quaisquer que sejam a, b IR. ASSOCIATIVIDADE: a + (b + c) = (a + b) + c a (b c) = (a b) c quaisquer que sejam a, b e c IR. EXISTÊNCIA DE ELEMENTOS NEUTROS: a + 0 = a a = a para todo a IR. EXISTÊNCIA DE INVERSOS: Todo a IR possui um INVERSO ADITIVO ( a) IR tal que a + ( a) = 0. Todo a 0 em IR possui um INVERSO MULTIPLICATIVO a IR tal que a a =. DISTRIBUTIVIDADE: a (b + c) = (a b) + (a c) para todos a, b e c IR.

7 Preliminares 3 Conseqüências: (das propriedades) ) Duas novas operações: Subtração: Dados a, b IR, definimos: a b = a + ( b) ; a Divisão: Dados a, b IR, com b 0, definimos: = a b. b ) a 0 = 0 para todo a IR. 3) Se a b = 0, então a = 0 ou b = 0. 4) Cada a IR possui um único inverso aditivo a IR. Cada a 0 em IR possui um único inverso multiplicativo a IR. 5) a = ( ) a para todo a IR. 6) a = a para todo a 0 em IR. 7) Para todos a, b IR, temos: a ( b) = ( a) b = (a b) e ( a) ( b) = a b. 8) Se a = b então a = ±b. 0. Relação de ordem em IR Podemos decompor a reta IR como uma união disjunta IR = IR + IR { 0} : IR + IR é o conjunto dos números reais POSITIVOS; é o conjunto dos números reais NEGATIVOS. De modo que: Dado a IR, ocorre uma, e apenas uma, das seguintes alternativas: ou a IR + ou a = 0 ou a IR a IR + a IR ; A soma de dois números positivos é um número positivo. O produto de dois números positivos é um número positivo.

8 4 CAPÍTULO 0 Dados números reais a e b, escrevemos a < b (ou b > a ) e dizemos que a é menor do que b (ou b é maior do que a ) quando b a IR +, ou seja, b a é um número positivo: Propriedades da relação de ordem: ) Se a < b e b < c então a < c. ) Se a, b IR então a = b ou a < b ou a > b. 3) Se a < b então a + c < b + c para todo c IR. 4) Se a < b, temos: c > 0 a c < b c c < 0 a c > b c 5) Se a < b e a < b então a + a < b + b. 6) Se 0 < a < b e 0 < a < b então 0 < a a < b b. 7) Se a > 0 então a > 0. 8) Se 0 < a < b então 0 < b < a. Intervalos: Dados números reais a < b, definimos: (a, b) = { x IR ; a < x < b } [a, b] = { x IR ; a x b } (a, b] = { x IR ; a < x b } [a, b) = { x IR ; a x < b }

9 Preliminares 5 (a, + ) = { x IR ; x > a } [a, + ) = { x IR ; x a } (, b) = { x IR ; x < b } (, b] = { x IR ; x b } (, + ) = IR Atenção: + e não são números reais! São apenas símbolos! Conjuntos limitados: Um subconjunto X IR é dito LIMITADO quando existem números reais a e b tais que, para todo x X tem-se a x b. Isto significa que X [a, b], com a, b IR. (Exemplos) Observações: (A) Todo conjunto finito é limitado. (B) CUIDADO! NÃO CONFUNDA ILIMITADO COM INFINITO! Podemos ter conjuntos infinitos que sejam limitados. (C) FATO: O conjunto IN = {,, 3, 4,...} dos números naturais NÃO É limitado. Conseqüências importantes deste fato: (C.) Propriedade arquimediana: Dados números reais a e b, com a > 0, é possível obter um número natural n IN tal que n a > b. (C.) Densidade dos racionais: Dados dois números reais a e b quaisquer, com a < b, é possível obter um número RACIONAL r = p/q Q (p, q Z, q 0) tal que a < r < b (por menor que seja a distância entre a e b ).

10 6 CAPÍTULO 0 A densidade dos racionais nos permite concluir que, dado qualquer número real x (mesmo irracional), é possível obter uma seqüência de números RACIONAIS que se aproximam de x tanto quanto quisermos!!! Exemplos: ) π = 3, , = 3 0 3, 4 = , 4 = , 45 = π ) Tome um número racional r > 0 e considere: r = ) (r + 3r Q (r > 0, r > 3 ) r 3 = ) (r + 3r Q (r r 3 > 0, r3 > 3 ) r 4 = ) (r 3 + 3r3 Q (r r 3 r 4 > 0, r4 > 3 ). r n+ = ) (r n + 3rn Q (r n r n+ > 0, rn+ > 3 ). Esta seqüência de racionais (r, r, r 3,... ) se aproxima (cada vez mais) de um certo número real. Qual? Tente generalizar esse processo! 0.3 Valor absoluto Dado qualquer número real DE x ) da seguinte forma: x, definimos o VALOR ABSOLUTO DE x (ou MÓDULO { x = x se x 0 x se x < 0 Geometricamente (na Reta), o valor absoluto de um número real x é a distância de x até o 0 (zero). (Exemplos)

11 Preliminares 7 Propriedades: ) Para todo x IR temos x = max {x, x} (o maior dos dois valores). ) Para todo x IR temos x = x. 3) a b = a b quaisquer que sejam a, b IR. 4) a + b a + b quaisquer que sejam a, b IR. 5) Seja c > 0 : x c c x c x c x c ou x c 0.4 Funções Definição: Uma função f : X Y é constituída de: (a) Um conjunto X chamado o DOMÍNIO da função (onde a função está definida) (b) Um conjunto Y chamado o CONTRA-DOMÍNIO da função (onde f toma os valores ) (c) Uma correspondência que associa, de modo bem determinado, a CADA elemento x X um ÚNICO elemento f(x) = y Y. Obs.: Estaremos interessados em estudar funções tais que X e Y são conjuntos de números reais. Por isso vamos sempre considerar este caso de agora em diante. Imagem: Dada uma função f : X Y, sua IMAGEM é o conjunto f(x) = { f(x) ; x X } Y Os elementos do domínio são representados por uma VARIÁVEL INDEPENDENTE. Os elementos da imagem são representados por uma VARIÁVEL DEPENDENTE. Gráfico: O GRÁFICO de uma função f : X Y Plano Cartesiano tais que y = f(x), com x X. é o conjunto dos pontos (x, y) do Funções limitadas: Uma função f : X Y é dita LIMITADA quando sua imagem f(x) é um conjunto limitado. Em geral, é dita LIMITADA EM A X quando f(a) é um conjunto limitado.

12 8 CAPÍTULO 0 Funções crescentes ou decrescentes: Uma função f : X Y é dita CRESCENTE quando x < x em X f(x ) < f(x ).... DECRESCENTE quando x < x em X f(x ) > f(x ). (Obs.: o mesmo tipo de definição se aplica também a subconjuntos do domínio - por exemplo, podemos dizer que uma certa função é crescente ou decrescente em um determinado intervalo dentro do domínio). Exemplos: (A) f : IR IR dada por f (x) = x + 4. (B) f : [, 3] IR dada por f (x) = x + 4. (C) f 3 : IR IR dada por f 3 (x) = x. (D) f 4 : IR IR dada por f 4 (x) = x + 4. (E) f 5 : [, ] [0, + ) dada por f 5 (x) = x. (F) f 6 : [, ] IR que associa x y tais que x + y = NÃO É UMA FUNÇÃO BEM DETERMINADA. (G) f 7 : IR IR dada por f 7 (x) = x se x > 4 3 se x 4 (H) f 8 : (, 0) (, ] IR dada por f 8 (x) = x. (I) f 9 : IR IR dada por f 9 (x) = x +. (J) f 0 : [0, + ) IR dada por f 0 (x) = x.

13 Preliminares 9 Máximos e mínimos: Dizemos que uma função f : X Y assume VALOR MÁXIMO ABSOLUTO (ou GLOBAL) em um ponto c X quando f(x) f(c) para todo x X. Neste caso f(c) é chamado VALOR MÁXIMO ABSOLUTO DE f. Quando existir um intervalo (a, b) contendo c X tal que f(x) f(c) para todo x (a, b) X, então c é dito um PONTO DE MÁXIMO RELATIVO (ou LOCAL) e f(c) é um VALOR MÁXIMO RELATIVO DE f. De modo análogo, definimos também MÍNIMOS ABSOLUTOS (GLOBAIS) E MÍNIMOS RELATIVOS (LOCAIS). (Ilustração) Exemplo: f 4 : IR IR dada por f 4 (x) = x + 4. Observações: (i) Todo máximo (mínimo) absoluto é máximo (mínimo) local. (ii) Uma função PODE NÃO ASSUMIR valores máximos ou mínimos. Exercício: Para cada uma das funções dos exemplos anteriores (Exemplos (A)-(J)), determine seus pontos e valores máximos e mínimos, se existirem. Construção de funções através de operações: Sejam f, g : X IR funções definidas num mesmo domínio X IR. A partir de f e g vamos construir novas funções (f + g), (f g), (f g) : (f + g) : X IR dada por (f + g)(x) = f(x) + g(x) (f g) : X IR dada por (f g)(x) = f(x) g(x) (f g) : X IR dada por (f g)(x) = f(x) g(x)

14 0 CAPÍTULO 0 Para ilustrar, consideremos a função indentidade f : IR IR dada por f(x) = x e funções constantes do tipo g c : IR IR dadas por g c (x) = c (cada c é um número real qualquer, fixado). Utilizando a função identidade e funções constantes, podemos construir (através das operações de adição e multiplicação) um importante tipo de função p : IR IR chamada FUNÇÃO POLINOMIAL: p(x) = a n x n + a n x n a x + a x + a 0 para todo x IR (essa é dita uma função polinomial de grau n) (Exemplos) a n, a n,..., a, a, a 0 IR, a n 0 Se quisermos utilizar a operação de divisão, temos que tomar o cuidado para evitar divisões por 0 (zero). Assim, dadas f, g : X IR e sendo Z = { x X ; g(x) = 0 }, podemos definir: (f/g) : X Z IR pondo (f/g)(x) = f(x) g(x) Para ilustrar, temos as chamadas FUNÇÕES RACIONAIS, dadas pelo quociente de funções polinomiais: (Exemplos) p, q : IR IR (polinomiais), Z = { x IR ; q(x) = 0 } (p/q) : IR Z IR dada por (p/q)(x) = p(x) q(x) Composição de funções: Sejam f : X IR e g : Y Z funções tais que f(x) Y (a imagem de f está contida no domínio de g).

15 Preliminares A cada elemento de X associamos um único elemento de Z, aplicando inicialmente a função f e depois a função g. Podemos pensar então em uma função de X em Z que associa a cada elemento x X um único elemento g(f(x)) Z : (g f) : X Z x g(f(x)) (Exemplos) Inversão de funções: Seja f : X Y uma função. A cada x X está associado um único f(x) Y. Nos interessa a situação em que a associação inversa f(x) x é uma função de Y em X. Para isso, f deverá possuir duas características: f(x) = Y (a imagem de f é todo o conjunto Y ); x x em X f(x ) f(x ) em Y. Uma função f : X Y é chamada SOBREJETORA quando f(x) = Y, ou seja, a imagem de f é todo o contradomínio Y. (Exemplos) Uma função f : X Y é chamada INJETORA quando elementos distintos do domínio têm sempre imagens distintas, ou seja, x x em X f(x ) f(x ) em Y. (Exemplos) Uma função f : X Y é INVERTÍVEL quando ela é sobrejetora e injetora ao mesmo tempo (BIJETORA). Neste caso existe uma FUNÇÃO g : Y X que associa y g(y) e tal que g(f(x)) = x x X e f(g(y)) = y y Y. g é dita A INVERSA DA FUNÇÃO f e escrevemos g = f. (Exemplo)

16 CAPÍTULO 0 Exercício: Para cada uma das funções dadas posteriormente, faça o que se pede: a) Faça um esboço do GRÁFICO da função. b) Obtenha o conjunto IMAGEM e responda se a função dada é LIMITADA ou não. c) Em que partes de seu domínio a função é CRESCENTE ou DECRESCENTE? d) Determine pontos e valores MÁXIMOS ou MÍNIMOS (quando existirem). e) A função é INJETORA? Justifique. f) A função é SOBREJETORA? Justifique. g) Se a função dada for GRÁFICO DA FUNÇÃO INVERSA. INVERTÍVEL, determine sua INVERSA e faça um esboço do ) f : IR IR dada por f (x) = 3x. ) g : IR IR + {0} dada por g (x) = 3x. 3) h : IR IR dada por h (x) = x ) p : (0, 3] (0, 6] dada por p (x) = x. 5) q : (, 5] IR dada por q (x) = { x se x < x + se x. 6) r : [0, + ) IR + {0} dada por r (x) = x 3x. 7) s : IR IR dada por s (x) = x +. 8) u : [, 3] IR dada por u (x) = x +. 9) v : IR + IR + dada por v (x) = x. 0) f : IR IR dada por f (x) = x. ) g : IR IR dada por g (x) = x 3 +.

17 Preliminares 3 ) h : ( 3, + ) IR dada por h (x) = x ) p : IR + {0} IR {0} dada por p (x) = x. 4) q : IR IR dada por q (x) = 5) r : IR IR dada por r = q.s. { se x 3 0 se x < ou x > 3. { /x se x 0 6) s : IR IR dada por s (x) = 0 se x = 0. x se x < 0 7) u : IR [, + ) dada por u (x) = / se x = 0. x se x > 0 8) v : (, ) [0, + ) IR dada por v (x) = { π se x < x se x 0. 9) f 3 : (, ] IR dada por f 3 (x) = x. 0.5 Funções exponenciais e logarítmicas Revisão: a IR, n =,, 3,... a n = a a a... a (n vezes). a 0 a 0 = e a n = a n (n =,, 3,...). n PAR e a 0 : b = n a b n = a, b 0. n ÍMPAR e a IR : b = n a b n = a. Definimos potências RACIONAIS de números reais positivos do seguinte modo: a > 0, p, q inteiros, q 0 a p/q = q a p Temos, neste caso: a r a r = a r +r e a r > 0.

18 4 CAPÍTULO 0 Nos interessa agora definir a x, com x IR (qualquer, mesmo irracional). Para isso consideremos a > 0. Se x é racional, já temos a p/q = q a p. Se x é IRRACIONAL, sabemos que é possível obter uma seqüência de racionais r, r, r 3,... que se aproxima de x tanto quanto quisermos: r, r, r 3,... x FATO: A seqüência a r, a r, a r 3,... se aproxima de um número real, o qual DEFINI- MOS como a x. Temos então a nossa função exponencial de base a: Fixado a > 0 em IR, a função f a : IR IR + dada por f a (x) = a x para todo x IR é chamada FUNÇÃO EXPONENCIAL DE BASE a. Propriedades: a x a y = a x+y, (a x ) y = a x y, (a b) x = a x b x, a 0 = Gráfico: Crescimento ou decrescimento: f a (x) = a x é { CRECENTE se a > DECRESCENTE se a < Inversa: Se a então f a : IR IR + x a x é SOBREJETORA e INJETORA, admitindo portanto uma função inversa fa : IR + IR y fa (y).

19 Preliminares 5 f a é chamada FUNÇÃO LOGARÍTMICA DE BASE a e escrevemos f a (y) = log a y. Temos então: y = a x x = log a y. x y fa a x = y f a x = log a y f a x = log a y = log a a x f a y = a x = a log a y Fixado a > 0, a em IR, temos a função f a : IR + IR dada por f a (y) = log a y. Propriedades: log a (x y) = log a x + log a y, log a (x y ) = y log a x, log a = 0 Gráfico: Um número especial (A) Séries numéricas: Uma SÉRIE NUMÉRICA é uma soma x + x + x com uma quantidade INFINITA de parcelas. ATENÇÃO: Uma série pode representar ou não um número real bem definido!!! Para vermos isso, precisamos observar o comportamento das chamadas somas parciais: s = x s = x + x s 3 = x + x + x 3.

20 6 CAPÍTULO 0 Quando a seqüência s, s, s 3,... se aproxima tanto quanto desejarmos de um número a IR à medida que n cresce, dizemos que a série CONVERGE PARA a e escrevemos x + x + x = a Caso contrário a série é chamada DIVERGENTE (a soma não é um número real bem definido). Exemplos: ) é uma série DIVERGENTE. s = s = + = s 3 = + + = 3. s n = n. A seqüência s, s, s 3,... não se aproxima de nenhum número real em particular. Portanto a série é divergente. ) Se r IR e r <, sabemos que + r + r + r = r (CONVERGENTE!) Em particular: = = = 3) (série harmônica) é uma série DIVERGENTE. 4) π 3! ( π ) 3 ( π ) 5 ( π ) = (CONVERGENTE) 5! 7! 5) é uma série DIVERGENTE. (B) Séries de termos não-negativos: Vamos considerar séries x + x + x tais que x n 0 para todo n IN. FATO: Uma série x + x + x de termos não-negativos converge se, e somente se, existe b IR tal que x + x + x x n b para todo n IN ( a soma é limitada ).

21 Preliminares 7 (C) O número e : Consideremos a série + +! + 3! + 4! + 5! +... É fácil ver que < + +! + 3! + 4! + 5! +... < = 3 4 Segue do FATO anterior que a série + +! + 3! CONVERGE para um 4! número real (entre e 3), conhecido por CONSTANTE DE EULER e denotado por e. O número real e acima definido irá desempenhar um importante papel ao longo do nosso curso de Cálculo I, no que se refere às funções exponencial e logarítmica, na base e : Exponencial: e x e sua inversa, a função logarítmica log e x (escrevemos log x ou ln x ). Obs.: Outro modo de obter o número e : ( + (, + ) ) (, + 3) 3, ( + 4) 4... e 0.6 Funções trigonométricas Medidas de ângulos em radianos: Um ângulo mede RADIANO quando corresponde a um arco de circunferência (centrada no vértice do ângulo) de comprimento igual ao raio da circunferência considerada: Assim, um ângulo que mede θ rad r o raio da circunferência considerada: corresponde a um arco de comprimento θ r, sendo θ = l r l = θ r Desta forma, é fácil ver que a medida de uma volta em radianos é π rad : πr = θ r θ = π rad

22 8 CAPÍTULO 0 Relações trigonométricas nos triângulos retângulos: Consideremos 0 < θ < π e um ângulo de θ rad em um triângulo retângulo: sen θ = b a cos θ = c a tg θ = sen θ cos θ = b c cos θ + sen θ = O círculo trigonométrico: Relações: cos θ + sen θ =, sec θ = + tg θ, csc θ = + ctg θ, ctg θ = tg θ ( sen θ 0) Ângulos notáveis: θ (rad) 0 π/6 π/4 π/3 π/ π 3π/ π sen θ 0 cos θ tg θ

23 Preliminares 9 Fórmulas de transformação: cos(a + b) = cos a cos b sen a sen b sen (a + b) = sen a cos b + sen b cos a cos(a b) = cos a cos b + sen a sen b sen (a b) = sen a cos b sen b cos a sen a = cos a cos a = cos a cos b = sen a sen b = + cos a cos(a + b) + cos(a b) cos(a b) cos(a + b) sen a cos b = sen (a + b) + sen (a b) Funções trigonométricas: Função SENO: sen : IR IR x sen x Gráfico: Im ( sen ) = [, ] sen ( x) = sen x (é uma função ÍMPAR) sen (x + π) = sen x (é uma função PERIÓDICA de período T = π)

24 0 CAPÍTULO 0 A função SENO é CRESCENTE em [kπ π/, kπ + π/], k PAR, k Z... DECRESCENTE em [kπ π/, kπ + π/], k ÍMPAR, k Z Assume o VALOR MÁXIMO ABSOLUTO em x = kπ + π/ (k Z) Assume o VALOR MÍNIMO ABSOLUTO em x = kπ + 3π/ (k Z) Se sen x 0, então temos csc x = sen x. Assim, não é difícil ver que a função csc : IR {kπ, k Z} IR, que associa x csc x = / sen x tem gráfico: A função SENO NÃO É injetora e NÃO É sobrejetora, mas f : [ π/, π/] [, ] x sen x é BIJETORA e tem portanto inversa f : [, ] [ π/, π/] y f (y) = arc sen y Exercício: Faça um estudo semelhante ao que fizemos com a função SENO, para as funções COSSENO e TANGENTE.

25 Capítulo A Derivada. Motivação Seja dada uma função f : X Y (X, Y IR). Para cada x X, a melhor maneira de se aproximar f numa vizinhança de x por uma função cujo gráfico é uma reta é através da reta tangente ao gráfico de f no ponto (x, f(x)), se houver esta tangente. Conseqüência: Podemos relacionar uma série de informações sobre o comportamento de f com o coeficiente angular m t da reta tangente ao gráfico de f em cada ponto (onde existir). Por exemplo: (A) f crescente em um intervalo m t > 0 neste intervalo.

26 CAPÍTULO (B) f decrescente em um intervalo m t < 0 neste intervalo. (C) f assumindo máximo ou mínimo local no interior de um intervalo } m t = 0 no ponto de máximo ou mínimo. (D) Concavidade do gráfico de f voltada para cima, em um intervalo } m t crescente neste intervalo. (E) Concavidade do gráfico de f voltada para baixo, em um intervalo } m t decrescente neste intervalo. Obtendo m t (coeficiente angular da reta tangente) Dada f : X Y (X, Y IR), seja a I(intervalo aberto) X. Queremos obter o coeficiente angular m ta da reta t a, tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a)) :

27 A Derivada 3 Para fazermos isso, vamos utilizar APROXIMAÇÕES POR RETAS SECANTES : Para cada x a (em I), temos uma reta secante s a (que depende do ponto x), secante ao gráfico de f, passando pelos pontos (a, f(a)) e (x, f(x)) : Temos então uma função m sa : I {a} IR x m sa (x) = f(x) f(a) x a Nos interessa investigar o comportamento de m sa (x) (coeficiente angular das secantes) quando x se aproxima de a, sem assumir o valor a ( x a ). O esperado é que, quando x a, m sa (x) se aproxime tanto quanto quisermos de algum número real e teremos m sa (x) m ta IR, quando x a Neste caso, dizemos que a função f é derivável no ponto a, existe a reta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a)) e seu coeficiente angular m ta é chamado a derivada de f no ponto a (escrevemos f (a) ). Obs.: É fundamental, para fazermos x a, que possamos aproximar o ponto a por uma seqüência de pontos do domínio X de f, diferentes de a. Exemplo:

28 4 CAPÍTULO Precisamos portanto sistematizar o todo este processo, ou seja, Dada uma função g : X Y e um ponto a que pode ser aproximado por pontos x X, x a queremos estudar o comportamento de g(x) quando x a (x se aproxima de a por valores diferentes de a) e saber se g(x) L IR quando x a.. Limites Dada uma função f : X IR, nos interessa conhecer o comportamento de f(x) quando x se aproxima de a, x a. Para isso, a não precisa pertencer ao domínio de f, mas deve ser aproximado por pontos do domínio: Definição.. (Ponto de acumulação): Um ponto a é chamado um PONTO DE ACUMULAÇÃO do conjunto X quando podemos encontrar pontos de X, diferentes de a, tão próximos de a quanto quisermos, ou seja, a pode ser aproximado por pontos de X diferentes de a. Denotamos por X o conjunto dos pontos de acumulação de X. Exemplos: (A) A = [, 3) O conjunto dos pontos de acumulação de A é A = [, 3]. (B) B = (0, ) (, 3) Temos B = [0, 3]. (C) C = [, ] (3, 5) {7} Neste caso C = [, ] [3, 5].

29 A Derivada 5 Consideremos agora, por exemplo, a função f : IR {} IR dada por f(x) = 3x x x não pertence ao domínio de f, mas é ponto de acumulação de IR {}. Podemos então observar o comportamento de f(x) quando x (x se aproxima de, x ) Temos: x 0 0, 9 0, 99 0, 999 0, 9999 f(x) 3, 7 3, 97 3, 997 3, 9997 x,, 0, 00, 000 f(x) 7 4, 3 4, 03 4, 003 4, 0003 Observemos que f(x) se aproxima cada vez mais de 4 à medida que x. Dizemos então que 4 é o limite de f(x) quando x tende a (x ) e escrevemos: lim x 3x x x = 4. A definição de limite Definição.. Sejam f : X IR uma função e a X (a é ponto de acumulação do domínio - não precisa pertencer a X). Dizemos que um número real L é o LIMITE de f(x) quando x tende a a, e escrevemos quando... lim f(x) = L x a... podemos obter f(x) tão próximo de L quanto desejarmos, sempre que x se aproxima de a, por valores (no domínio de f) diferentes de a. TRADUZINDO... para cada ɛ > 0 dado, é possível obter um δ > 0 (em geral dependendo do ɛ) tal que : se x X e 0 < x a < δ então f(x) L < ɛ.

30 6 CAPÍTULO Alguns limites fundamentais Fixemos c IR e seja f : IR IR dada por f (x) = c x IR (função constante). Para cada a IR temos: lim f (x) = lim c = c x a x a Seja f : IR IR dada por f (x) = x x IR (função identidade). Para cada a IR temos: lim f (x) = lim x = a x a x a Seja f 3 : IR IR dada por f 3 (x) = sen x x IR. Temos: lim sen x = 0 x 0 Seja f 4 : IR IR dada por f 4 (x) = cos x x IR. Temos: lim cos x = x 0 Seja f 5 : IR { 0} IR dada por f 5 (x) = sen x x Temos: sen x lim = x 0 x x 0. Seja f 6 : IR { 0} IR dada por f 6 (x) = cos x x Temos: cos x lim = 0 x 0 x x 0. Seja f 7 : IR { 0} IR dada por f 7 (x) = ex x Temos: e x lim = x 0 x x 0.

31 A Derivada 7.3 Teoremas para (ajudar no) cálculo de limites Teorema.. Sejam f : X IR e a X. Temos: lim f(x) = L lim (f(x) L) = 0 lim f(x) L = 0 x a x a x a Em particular, considerando L = 0, temos: lim f(x) = 0 lim f(x) = 0. x a x a Exemplo: Sabemos que lim x 0 x = 0. Então segue que lim x 0 x = 0. Teorema.. (Sanduíche) Sejam f, g, h funções tais que f(x) g(x) h(x) para todo x a em um intervalo aberto contendo a. Se lim x a f(x) = L = lim x a h(x), então lim x a g(x) = L. Exemplo: Vamos mostrar que lim x 0 sen x = 0.

32 8 CAPÍTULO Teorema.3. Sejam f, g : X IR, a X e lim x a f(x) = L, lim x a g(x) = M. Então: lim [f(x) ± g(x)] = L ± M ; x a lim f(x) g(x) = L M ; x a lim x a lim x a f(x) g(x) = L M se M 0 ; n n f(x) = L { se n é ÍMPAR e L é qualquer real se n é PAR e L > 0 Exemplos: (A) Seja p : IR IR dada por p(x) = c n x n + c n x n c x + c 0, com c n, c n,..., c, c 0 IR (constantes) e c n 0 ( p é uma função polinomial de grau n).

33 A Derivada 9 (B) Funções racionais (quocientes de funções polinomiais) (C) lim x 0 cos x =

34 30 CAPÍTULO (D) lim x 0 sen x x = (E) lim x 0 cos x x = 0

35 A Derivada 3 Teorema.4. Se lim x a f(x) = 0 e g é limitada num intervalo aberto contendo o ponto a (sem precisar estar definida em a), então lim x a f(x) g(x) = 0. (Exemplo) Teorema.5. (Troca de variáveis) Se lim f(u) = L, lim u(x) = b u b x a x a u b, então lim f(u(x)) = lim f(u) = L x a u b (x a u b) e Exemplos: (A) lim x 0 sen 4x 4x (B) lim x 0 sen 3x x (C) Seja f uma função definida num intervalo contendo um ponto a. Vamos observar o que f(x) f(a) ocorre com o limite lim quando fazemos a mudança de variáveis h = x a : x a x a (D) lim x 0 5 x x

36 3 CAPÍTULO Exercícios: f(x) ) Prove que se lim f(x) = L 0 e lim g(x) = 0 então (não existe) lim x a x a x a g(x). Sugestão: Suponha que exista lim x a f(x) g(x) ) Calcule os limites abaixo, justificando: [ ] f(x) = M e considere lim f(x) = lim x a x a g(x) g(x). a) lim x 3 x 9 x 3 b) lim x / 3 + x 5 x c) lim x 0 x + x Sugestão: racionalize o numerador d) lim x x x 4 6 Sugestão: use que (a n b n ) = (a b).(a n + a n b ab n + b n ) e) lim x 3 x + 3 (/x) + (/3) ( ) i) lim x 3 sen x 0 3 x f) lim x 0 j) lim h 0 x x h h g) lim x 3 3 k) lim x 3 x + 5x + 6 x x + 5x 3x 3 x h) lim u 5 u l) lim y y y + m) lim t 0 cos t sen t x x 3x 7x + 0 n) lim o) lim x (x ) x 4 4x 5x + 36 p) lim w 0 sen 3w sen 5w q) lim h 0 3 h + h r) lim x 0 + tg x sen x s) lim t 0 sen t t t) lim x π sen x x π u) lim x 0 x cos x v) lim x 0 cos x x w) lim x 0 3 x x x) lim x 0 3x cos (x/) Teoremas adicionais sobre limites Teorema.6. (Unicidade do limite) Sejam f : X IR e a X. O lim x a f(x), quando existe, é único. Teorema.7. Sejam f : X IR e a X. Se existe L = lim x a f(x) então a função f é LIMITADA num intervalo aberto contendo o ponto a. Exemplo: Seja f : IR {0} IR dada por f(x) = x x 0. 0 é ponto de acumulação do domínio IR {0}. Podemos afirmar que NÃO EXISTE o intervalo aberto contendo 0. lim x 0 x, pois f não é limitada em nenhum

37 A Derivada 33 Teorema.8. Sejam f : X IR, a X e L = lim x a f(x). Se L > M então f(x) > M para todo x a do domínio em um intervalo aberto contendo o ponto a. Em particular, se lim f(x) > 0 então f(x) > 0 para todo x a do domínio em um x a intervalo aberto contendo a. Obs.: Analogamente, vale resultado semelhante caso lim x a f(x) = L < M. Teorema.9. (Limites laterais) Sejam f : X IR e a X. Se a pode ser aproximado tanto por pontos de X maiores que a quanto por pontos de X menores do que a, podemos investigar ambos os limites laterais de f: lim f(x) x a + (limite de f(x) quando x tende a a PELA DIREITA, isto é, por valores x X, com x > a) lim f(x) x a (limite de f(x) quando x tende a a PELA ESQUERDA, isto é, por valores x < a em X) Temos, neste caso, que existe L = lim x a f(x) se, e somente se, existem e são iguais a L ambos os limites laterais, ou seja: lim x a + f(x) = lim f(x). x a Exemplo: Seja f : IR {0} IR dada por f(x) = x x. Obs.: OS TEOREMAS ANTERIORES VALEM TAMBÉM PARA LIMITES LATERAIS, COM AS DEVIDAS ADAPTAÇÕES!

38 34 CAPÍTULO Exercícios: ) Sejam f, g : IR IR dadas por: f(x) = { x se x x + se x > g(x) = { x se x se x > Faça um estudo sobre os limites: lim f(x) x lim g(x) x lim (f.g)(x) x ) Mostre que lim x a f(x) f(a) x a = lim h 0 f(a + h) f(a) h (se existirem) 3) Para cada função f : X IR dada a seguir e cada a X X (a é ponto do domínio e ponto de acumulação do domínio), também fornecido, obtenha m ta = coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a)). (a) f : IR IR dada por f (x) = 3x e a = 5. (b) f : IR IR dada por f (x) = x e a = 3. (c) f 3 : IR IR dada por f 3 (x) = sen x e a = π/6. (d) f 4 : IR IR dada por f 4 (x) = cos x e a = π/6. (e) f 5 : IR IR dada por f 5 (x) = e x e a =. (f) f 6 : (0, + ) IR dada por f 6 (x) = /x e a =. Faça ainda um esboço e confira se a resposta encontrada faz sentido com o esboço. Sugestões: Aproxime m ta fazendo x a. pelos coeficientes angulares m sa (x) das secantes por (a, f(a)) e (x, f(x)), Para as letras (c),(d) e (e), use também o exercício anterior. Pode tentar também fazer antes o Exercício 4) (veja o enunciado abaixo) e assim este e- xercício se torna um caso particular. 4) Para cada função f : X IR do exercício anterior, tente generalizar o resultado, obtendo m ta para um a X qualquer!

39 A Derivada 35.4 Continuidade Definição.3. Consideremos uma função f : X IR tal que X X (todo ponto do domínio é ponto de acumulação). Dado um ponto a, dizemos que f condições são satisfeitas: É CONTÍNUA NO PONTO a quando as seguintes ) Existe f(a) (ou seja, a X); ) Existe lim x a f(x) ; 3) lim x a f(x) = f(a). Se f não é contínua em um ponto a, dizemos que f TEM UMA DESCONTINUIDADE EM a. É DESCONTÍNUA EM a, ou que f Dizemos que f : X IR é uma FUNÇÃO CONTÍNUA EM X quando ela é contínua em todos os pontos de seu domínio. Exemplos: (e contra-exemplos) (A) Toda função polinomial é contínua! (B) Seno e cosseno, no ponto 0 : (C) Contra-exemplo: uma descontinuidade REMOVÍVEL:

40 36 CAPÍTULO (D) Contra-exemplo: uma descontinuidade ESSENCIAL: Continuidade e operações entre funções Teorema.0. Sejam f, g : X IR, X X e a X. Se f e g são contínuas no ponto a X, então: (f ± g) são contínuas em a ; (f g) é uma função contínua em a ; (f/g) é contínua em a se g(a) 0. Teorema.. (Composição) Sejam f : X IR (X X ) e g : Y IR (Y Y ) de forma que a composta g f : X IR está bem definida Se f é contínua em a X e g é contínua em b = f(a) Y então a composta g f : X IR é contínua no ponto a X. Exercícios: ) Seja f : [0, + ) IR dada por f(x) = x. (i) Mostre que lim x 0 x = 0 (Sugestão: Considere apenas o limite lateral lim x - pois 0 x 0 +

41 A Derivada 37 só pode ser aproximado pela direita - e para isto, compare x com 3 x para 0 < x < ) (ii) Conclua que f é contínua (em todos os pontos de seu domínio). x (iii) Mostre que lim x 0 x (racionalize). (iv) Generalize para g : [0, ) IR dada por g(x) = n x, n =, 4, 6, 8,... ) Dadas f : X IR abaixo, discuta a sua CONTINUIDADE (onde f é contínua ou não), justificando: (a) f : (, 6] IR dada por f(x) = 6 x. (b) f : [0, + ) IR dada por f(0) = 0 e f(x) = x se x 0. x + se x x 3 + (c) f : IR IR dada por f(x) =. 3 se x = Funções contínuas em intervalos Quando estudamos problemas sobre máximos e mínimos, podemos ter funções que não assumem valores máximos e/ou mínimos. Por exemplo: f : IR IR dada por f(x) = x NÃO ASSUME MÁXIMO NEM MÍNIMO! g : (, ) IR dada por g(x) = x NÃO ASSUME MÁXIMO NEM MÍNIMO!

42 38 CAPÍTULO Existe uma situação (envolvendo continuidade) na qual estes problemas não ocorrem: Teorema.. (MAX-MIN) Se f : [a, b] IR é uma função contínua (em todos os pontos do intervalo limitado e fechado [a, b]), então f assume valores máximo e mínimo neste intervalo [a, b], ou seja, existem pontos c M e c m em [a, b] tais que f(c M ) f(x) para todo x [a, b] f(c m ) f(x) para todo x [a, b] Outra boa propriedade das funções contínuas é a PROPRIEDADE DO VALOR IN- TERMEDIÁRIO : Teorema.3. (Teorema do valor intermediário) Se f : X IR é contínua no intervalo [a, b] X e f(a) f(b), então f assume todos os valores entre f(a) e f(b), ou mellhor, dado qualquer d entre f(a) e f(b), existe x entre a e b tal que f(x) = d. (Ilustração) (Exemplo).5 A definição da Derivada Definição.4. Consideremos uma função f : X IR, com X X (todo ponto do domínio é ponto de acumulação do domínio). Dizemos que f é DERIVÁVEL em a X quando existe o limite f (a) = lim x a f(x) f(a) x a = lim h 0 f(a + h) f(a) h O número f (a) IR é chamado A DERIVADA DE f NO PONTO a.

43 A Derivada 39 Observações: Em nossas aplicações, o domínio X será sempre um intervalo (e já teremos X X ); Outras notações para f (a) : f (a) = D x f(a) = df df (a) = dx dx x=a ou ainda f (a) = y (a) = dy (a), se y = f(x) dx Podemos considerar a função f : x f (x) definida em todos os pontos x X existir f (x). f é chamada a FUNÇÃO DERIVADA DE f. onde Interpretação geométrica Já vimos, como motivação para o estudo de limites, que se f : X IR é derivável em a X, então f (a) representa o coeficiente angular m ta da reta tangente ao gráfico de f no ponto (a, f(a)) : Vimos também que o conhecimento de f (a) = m ta para os pontos a X pode nos trazer uma série de informações sobre o comportamento da função f. Primeiros exemplos: (A) Fixemos c IR (constante) e seja f : IR IR dada por f(x) = c x IR.

44 40 CAPÍTULO (B) Seja g : IR IR dada por g(x) = x 3 x IR. Vamos calcular g (), por exemplo: Exercício: (i) Generalize o exemplo acima e mostre que se g(x) = x 3 então g (x) = 3x x IR. (ii) Generalize (i) e mostre que se f(x) = x n (n =,, 3,...) então f (x) = nx n. (C) Seja f : IR IR dada por f(x) = sen x. Exercício: Obtenha a derivada de g : IR IR dada por g(x) = cos x. (D) Seja u : IR IR dada por u(t) = e t (função exponencial na base e).

45 A Derivada 4 (E) Seja f : IR IR dada por f(x) = x. (F) Seja g : IR {0} IR dada por g(x) = x 4 = x 4. Exercício: Generalize o exemplo acima e mostre que se g(x) = x n (n =,, 3,...) então g (x) = nx n x 0. (G) Fixemos a > 0. Seja u : IR IR dada por u(t) = a t (função exponencial na base a).

46 4 CAPÍTULO.6 Derivadas e continuidade Teorema.4. Se f : X IR é DERIVÁVEL em a X, então f é CONTÍNUA em a. De fato: f(x) f(a) Se f é derivável em a X, então existe o limite lim x a x a Existe f(a) (pois a X). [ ] f(x) f(a) Se x a, temos: f(x) f(a) = (x a). x a Como lim x a f(x) f(a) x a lim f(x) f(a) = lim x a x a = f (a) e lim x a (x a) = 0, segue que f(x) f(a) x a = f (a). lim x a (x a) = f (a) 0 = 0 Logo lim x a f(x) = f(a) e portanto f é contínua no ponto a. Algumas conseqüências: São contínuas em todos os pontos de seus domínios as funções: f : IR {0} IR dada por f(x) = x n (n =,, 3....), g : IR IR dada por g (x) = sen x, g : IR IR dada por g (x) = cos x, u : IR IR dada por u(t) = a t seus domínios. (a > 0), pois são todas deriváveis em todos os pontos de Se uma determinada função é descontínua em algum ponto de seu domínio, então ela não é derivável neste ponto de descontinuidade. CUIDADO! Não podemos garantir a recíproca do teorema anterior, ou seja, podemos ter uma função que é contínua mas não é derivável em determinados pontos. Exemplo: f(x) = x é contínua no ponto 0 ( lim x 0 x = 0 = f(0) ), mas já vimos que f (0).

47 A Derivada 43.7 Regras de derivação Teorema.5. Se f, g : X IR são deriváveis em a X, então: (a) Para cada constante c IR, (cf) : X IR é derivável em a e (cf) (a) = c f (a) ; (b) f ± g são deriváveis em a e (f ± g) (a) = f (a) ± g (a) ; (c) (f g) é derivável em a e (f g) (a) = f (a).g(a) + f(a).g (a) ; (d) (f/g) é derivável em a se g(a) 0 e (f/g) (a) = f (a).g(a) f(a).g (a) [g(a)]. Exemplos: (A) Para cada função f dada abaixo, obtenha f (onde existir a derivada) ) f : IR IR dada por f(x) = 6x 3 3x x + 7. ) f : IR IR dada por f(t) = 6t 0 t ) f : IR Z IR, Z = {x IR ; cos x = 0}, dada por f(x) = tg x. Exercício: Obtenha d dx ctg x, d dx sec x, d dx csc x 4) f : IR IR dada por f(u) = e u (u cos u).

48 44 CAPÍTULO 5) f : IR IR dada por f(t) = sen t. 6) f : IR {0} IR dada por f(x) = x n = x n (n =,, 3,...). (B) Seja g : IR IR dada por g(x) = 4 x. ) Obtenha as equações das retas tangentes ao gráfico de g e que passam pelos pontos: A(, 3), B(, 7), e C(, ). ) Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de g e que é paralela à reta y = x.

49 A Derivada 45 3) Obtenha a equação da reta normal ao gráfico de g no ponto A(, 3). 4) Em que ponto a tangente ao gráfico é horizontal? (tem coeficiente angular 0) 5) Onde o coeficiente angular da tangente é positivo? 6) Onde o coeficiente angular da tangente é negativo? A Regra da Cadeia - Derivadas de funções compostas Teorema.6. (Regra da Cadeia) Sejam u : X IR e g : Y IR tais que u(x) Y a composta (g u) : X IR está bem definida: e Dado a X, se u é derivável em a (existe u (a)) e g é derivável em b = u(a) (existe g (b) = g (u(a)) ), então a composta (g u) : X IR é derivável em a X em temos ainda: (g u) (a) = g (b) u (a) = g (u(a)) u (a) Quanto à função derivada (g u) : x (g u) (x), escrevemos (g u) (x) = g (u(x)) u (x) para todo x onde existirem as derivadas.

50 46 CAPÍTULO Exemplos: Para cada função f : IR IR dada abaixo, obtenha f (onde existir a derivada): (A) f dada por f(x) = cos(x 3 + ). (B) f dada por f(t) = (4t 3 t + 3t ). (C) f dada por f(x) = (5x x + ) 3. (D) f dada por f(w) = (w 3w + )(3w + ) 4. (E) f dada por f(t) = e kt, k 0 (constante).

51 A Derivada 47 (F) f dada por f(t) = sen t. (G) f dada por f(t) = cos 5 t. (H) f dada por f(x) = e (x). (I) f dada por f(w) = (e w sen w). (J) f dada por f(t) = e π cos(t3).

52 48 CAPÍTULO Derivadas de funções inversas Teorema.7. Seja f : I (intervalo) J (intervalo) uma função INVERTÍVEL (bijetora = injetora e sobrejetora) e CONTÍNUA (em todos os pontos de seu domínio I). Sua inversa g : J I é contínua em todos os pontos de J. Mais ainda: Se f é derivável em a I e f (a) 0, então g é derivável em b = f(a) e podemos obter g (b) através da Regra da Cadeia. Exemplos: (A) Derivada da função logarítmica na base e: Exercício: Fixado a > 0, a, obtenha g (x) se g : (0, + ) IR é dada por g(x) = log a x Resposta: g(x) = log a x, x (0, + ) g (x) = x ln a x > 0.

53 A Derivada 49 (B) Raízes: (C) Funções trigonométricas e suas inversas: Exercício: (a) Se g : [, ] [0, π] é dada por g(x) = arc cos x, mostre que g (x) = x (, ) x

54 50 CAPÍTULO (b) Se h : IR ( π/, π/) é dada por h(x) = arc tg x, mostre que h (x) = + x x IR.8 Derivação implícita Seja f : [, ] IR a função dada por f(x) = x para todo x [, ]. Pondo y = f(x), temos: y = x y = x, y 0 ( ) x + y = (y 0) A equação (*) acima estabelece uma relação entre x e y = f(x). Juntamente com a restrição y 0 ela define bem a função f. Por isso dizemos que f ESTÁ IMPLICITAMENTE DEFINIDA POR (*). Tendo em mente que y = f(x), ou seja, y é função de x, é fácil ver que a equação (*) estabelece a igualdade entre x + f(x) e a função constante e igual a. Podemos pensar portanto em DERIVAR EM RELAÇÃO À VARIÁVEL x. Vamos fazer isso, admitindo que y = f(x) é derivável e tomando o cuidado de lembrar que y = f(x), ou seja, y é uma composição de funções e DEVEMOS USAR A REGRA DA CADEIA: x + y = x + yy = 0 ( ) y = x y (y 0) Lembrando que y = f(x) = x, temos: f (x) = y x = x, x (, )

55 A Derivada 5 Possíveis vantagens da derivação implícita: Derivar a equação (*) que define f implicitamente pode ser mais simples do que tentar obter a derivada através da expressão explícita de f. Uma equação em x e y pode definir implicitamente várias funções e, caso isto ocorra, a derivação implícita serviria para todas elas. Exemplos: (A) Admitindo que f : (0, + ) IR dada por f(x) = ln x é derivável, obtenha f (x) por derivação implícita. (B) Fixado qualquer α IR e admitindo que f : (0, + ) IR dada por f(x) = x α derivável, use logarítmos para obter f (x) por derivação implícita. seja (C) Obtenha a equação da reta tangente à curva x 4 + y = no ponto (, 3 /). (D) Seja g : (0, + ) IR dada por g(x) = log a x (a > 0, a ). Admitindo que g é derivável, obtenha g (x) via derivação implícita.

56 5 CAPÍTULO x (E) Se y = 3 x 3 +, obtenha y (x) por derivação implícita. Exercícios: ) O objetivo deste exercício é observar a naturalidade da medida de ângulos em radianos, no seguinte sentido: alguns cálculos podem ser mais simples quando utilizamos radianos ao invés de graus como unidades de medida. Quando lidamos com as funções trigonométricas, por exemplo, quase todos os resultados decorrem do seguinte limite: lim x 0 sen x x = (Limite Trigonométrico Fundamental) Ajuste a demonstração que fizemos em aula para o limite acima, considerando desta vez a medida dos ângulos em GRAUS. Calcule também d sen x dx quando x é medido em graus. ) Para cada função dada abaixo (por questões de economia de espaço, estamos cometendo um abuso ao omitir os domínios e contra-domínios), calcule sua derivada (onde existir): a) f(x) = 0x + 9x 4 b) h(x) = (x 4x + )(6x 5) c) f(w) = w w 3 7 d) f(x) = + x + x + x 3 e) g(x) = (8x 7) 5 f) s(t) = ( ) 3 3t + 4 g) h(z) = 9z3 + z 6t 7 6z + h) H(x) = x + 3 4x + 9 i) f(x) = 5 /x j) f(x) = 6x 5 x + 3 x k) f(w) = 3 3w

57 A Derivada 53 l) f(t) = (t 6 t 6 ) 6 m) f(x) = x m/n m, n 0 Z n) h(s) = ln(5s +) 3 o) f(x) = x ln x ( ) p) g(x) = x e w q) f(u) = ue u r) h(s) = s e s s) f(x) = e x ln x + t) g(w) = ln ln x e w u) f(x) = e cos x v) g(x) = x sen x w) h(x) = ln tg x x) f(w) = ln cos 3w y) f(x) = arc tg x x + z) f(x) = e x arc sen 5x 3) Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de y = x 3 + 4x 5x 3 no ponto P (, 4). 4) Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de y = 3x + 4x 6 e tal que: (a) Essa tangente seja paralela à reta 5x y = 0 ; (b) Seja tangente ao gráfico no ponto P (, ). 5) Obtenha a equação da reta que passa por P (3, ) e é tangente ao gráfico de y = 4 x 6) Obtenha a equação da reta normal ao gráfico de f(x) = (x ) 4 no ponto P (, ). 7) Determine as equações da tangente e da normal ao gráfico de y = 8 sen 3 x no ponto P (π/6, ).

58 54 CAPÍTULO Coletânea de provas anteriores (): Questão : (30 pts) Sem utilizar derivadas, obtenha os seguintes limites, JUSTIFI- CANDO: (a) lim x / x 5 (/ ) 5 x (/ ) (b) lim x (x )(x + ) x + 4x + 4 (c) lim x 3 x 9 x 3 (d) lim y 0 e 7y sen y (e) lim x 0 ( sec x). ctg x. cos x x Questão : (0 pts) Seja f : IR IR dada por f(x) = { x 5 + x 3 + x + 3 se x < 0 x + se x 0 (a) Discuta a CONTINUIDADE de f. (b) A equação f(x) = 0 tem uma raiz entre e. JUSTIFIQUE. (c) Responda se f é derivável em x = 0. Se for, obtenha a derivada f (0). Se não for, justifique. Questão 3: (0 pts) Faça UM dos ítens abaixo: (a) Se f(x) = cos x x IR, mostre (via definição) que f (x) = sen x x IR. (b) Se g(x) = 5 x x IR, mostre (via definição) que g (x) = 5 x. ln 5 x IR. Questão 4: (40 pts) Para cada função dada abaixo (por questões de economia de espaço, estamos cometendo um abuso ao omitir os domínios e contra-domínios), calcule sua derivada (onde existir a derivada), indique onde existe e forneça ainda, quando solicitado, a derivada nos pontos solicitados: (a) f(x) = (3x ).(x + ) 5. (b) g(w) = 3 3w = (3w ) /3. Obtenha ainda, em particular, g (3). (c) h(s) = π. sec s = π cos s. Obtenha ainda, em particular, h (0). (d) f(t) = e (3t t). Obtenha ainda, em particular, f (/3). (e) f(x) = ln( sen 4 x). Questão 5: (0 pts) Obtenha a equação da reta tangente ao gráfico de f : IR ( π, π) dada por f(x) = 4. arc tg x no ponto A(, π).

59 A Derivada 55 Coletânea de provas anteriores (): Questão : (30 pts) Sem utilizar derivadas, obtenha os seguintes limites, JUSTIFI- CANDO: (a) lim x 3 x 6x + 9 (x + )(x 3) (d) lim x 0 sen 3 x 5x( cos x) π 3 πx (b) lim x 3 x e y (e) lim y 0 y Questão : (0 pts) Seja f : IR IR dada por f(x) = { (c) lim x π/ x π/ cos x x 3 x 3 se x < 5 x se x (a) Onde f é contínua? (JUSTIFIQUE). (Considere os casos: a <, a = e a > ) (b) Em quais dos intervalos [, 0], [0, ], [, 3], [3, 6] podemos GARANTIR que existe x tal que f(x) = 0? JUSTIFIQUE. (c) Responda se f é derivável em a =. Se for, obtenha a derivada f (). Se não for, justifique. Questão 3: (8 pts) Faça UM dos ítens abaixo: (a) Seja f(x) = sen x x IR. Obtenha (via definição) f (π/3). (b) Se g(x) = arc tg x x IR, prove que g (x) = + x x IR. Questão 4: ( pts) Considere f : IR IR dada por f(x) = e x. (a) Qual a equação da reta tangente ao gráfico de f e que passa pelo ponto A(0, )? (b) Qual a equação da reta tangente ao gráfico de f e que tem coeficiente angular /? Questão 5: (40 pts) Para cada função dada abaixo (estamos cometendo um abuso ao omitir os domínios e contra-domínios), calcule sua derivada, indique onde existe e forneça ainda, quando solicitado, a derivada nos pontos solicitados: (a) f(x) = (b) h(s) = ctg s = x (x 4). Obtenha ainda, em particular, f (). cos s sen s. Obtenha ainda, em particular, h (π/4). (c) g(t) = (t ) 3 e (t +t). Obtenha ainda, em particular, g (0). (d) f(w) = ln (5w + + cos w). Obtenha ainda, em particular, f (0). (e) g(y) = arc tg ( y ).

60 56 CAPÍTULO Coletânea de provas anteriores (3): Questão : (30 pts) Sem usar derivadas, obtenha os limites abaixo (JUSTIFIQUE): (a) lim x 3x 3 x 6 8 (b) lim y 0 sen πy y (c) lim x x ( x) 3 (d) lim x π + cos x x + π (e) lim x 0 e x + sen x x Questão : (0 pts) Seja f : IR IR dada por f(x) = (a) Responda se f é contínua em a = 3. (JUSTIFIQUE). { x + se x 3 x + 8x 8 se x > 3 (b) f é derivável em a = 3? Se for, PROVE e obtenha f (). Se não for, justifique. (c) Sabendo que f é crescente em (, 7/] e descrescente em [0, + ), podemos afirmar que existe x M [7/, 0] tal que f(x M ) f(x) para todo x IR? (JUSTIFIQUE) Questão 3: (8 pts) Faça UM dos ítens abaixo: (a) Seja f(x) = x 0. Obtenha, via definição, f (). x 3 (b) Se g(x) = arc cos x x [, ], prove que g (x) = x x (, ). Questão 4: ( pts) Considere f : IR IR dada por f(x) = arc tg x π (a) Qual a equação da reta tangente ao gráfico de f e que passa pelo ponto A(0, 0)? (b) Qual a equação da reta normal ao gráfico de f no ponto B( 3, /3)? Questão 5: (40 pts) Para cada função dada abaixo (estamos cometendo um abuso ao omitir os domínios e contra-domínios), calcule sua derivada, indique onde existe e forneça ainda, quando solicitado, o que se pede: (a) f(x) = x3 e x. Responda: Para quais valores de x temos f (x) = 0? (b) h(s) = sen (3s s) + (s +3s). Obtenha ainda, em particular, h (0). (c) g(w) = tg w ln(3 w ). Obtenha ainda, em particular, g (0).. (d) v(t) = s(t) 3t (existe s (t) t IR). Se s() = e s () =, obtenha v (). (e) u(y) = 4 y cos y = (y cos y) /4.

61 A Derivada 57 Coletânea de provas anteriores (4): Questão : (30 pts) Sem usar derivadas, obtenha os limites abaixo (JUSTIFIQUE): 3 x 3 x 3 + x + x e sen x (a) lim (b) lim (c) lim x 3 7 x 3 x x + x 0 x (d) lim y 0 sen 7y + cos πy y (e) lim x 0 cos x 5 x sen x Questão : (0 pts) Seja f : IR IR dada por f(x) = (a) Responda se f é contínua em a =. (JUSTIFIQUE). { x + se x < + sen (x + ) se x (b) f é derivável em a =? Se for, PROVE e obtenha f ( ). Se não, justifique. (c) Responda: Se [a, b] IR, é possível afirmar que dado d entre f(a) e f(b), existe c entre a e b com f(c) = d? JUSTIFIQUE a resposta. Questão 3: (8 pts) Seja f : IR IR dada por f(x) = 5 x x IR. Mostre, via definição, que (não existe) f (0). Prove (podendo usar que existe f (x) para todo x 0 ) que f (x) = 5 5 x 4 x 0. Questão 4: ( pts) Seja f : IR IR dada por f(x) = e (x ) x IR. Obtenha, se existir, a equação da reta tangente ao gráfico de f e que passa pelo ponto A(, 0) Questão 5: (40 pts) Para cada função dada abaixo (estamos cometendo um abuso ao omitir os domínios e contra-domínios), calcule sua derivada, indique onde existe e forneça ainda, quando solicitado, o que se pede: (a) h(s) = 3 s + s. Obtenha ainda, em particular, h (). (b) v(t) = ln log (3t + ). v () é positivo, negativo ou zero? Obtenha v () para justificar. (c) f(x) = x ln x x. Responda: Para quais valores de x temos f (x) = x? (d) g(w) = csc w = sen w. Obtenha ainda, em particular, g (π/4). [ ( )] (e) u(y) = tg arc tg. Obtenha ainda, em particular, u ( 3 ). y

62 58 CAPÍTULO Coletânea de provas anteriores (5): Questão : (4 pts) Sem usar derivadas, obtenha os limites abaixo (JUSTIFIQUE): (a) lim x 3 x x 4 3 Questão : ( pts) (b) lim y 0 e y sen (3y) (c) lim x x 3 + x x x 3 x (d) lim x π/ sen x x (π/) sen [π(x )] (a) Seja f : IR IR uma função tal que f(x) = x. f pode ser x contínua em x =? Se puder, qual o valor de f() para que isso ocorra (JUSTIFIQUE). Se não, JUSTIFIQUE. x (b) Seja g : IR IR uma função tal que g(x) = x. g pode ser contínua x em x =? Se puder, qual o valor de g() para que isso ocorra (JUSTIFIQUE). Se não, JUSTIFIQUE. Questão 3: ( pts) Seja f : IR IR dada por f(x) = 3 3 x x IR Mostre, VIA DEFINIÇÃO, que (não existe) f (0) e que f (a) = 3 a a 0. Questão 4: ( pts) (a) A reta 3y+8x+ = 0 é NORMAL ao gráfico de uma certa função f : IR IR no ponto A(, 3) (pertencente ao gráfico de f). Obtenha (JUSTIFICANDO) f (). (b) Qual o valor de b para que a reta y = bx + e seja TANGENTE ao gráfico de g(x) = e (x +6x+) no ponto B(0, e) (pertencente ao gráfico de g)? (JUSTIFIQUE) Questão 5: (40 pts) Para cada função dada abaixo (estamos cometendo um abuso ao omitir os domínios e contra-domínios), calcule sua derivada, indique onde existe e forneça ainda o que se pede: (a) f(x) = x (ln 5 + ln x). Obtenha ainda, em particular, f (). (b) h(θ) = ( tg θ + ). Obtenha ainda, em particular, h (π/3). (c) g(w) = ln(w w) + 3(3w w 3 ) (d) v(t) = sen [s(t)] t ln 3. Obtenha ainda, em particular, g (). (existe s (t) t IR). Se s() = π/ e s () = e, obtenha v (). (e) u(y) = 3 3 arc tg y. Obtenha ainda u () e responda se u () é maior ou menor que (mostre as contas).

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