CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA Funções e Modelos. Danielly Guabiraba- Engenharia Civil Vitor Bruno- Engenharia Civil

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1 CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA Funções e Modelos Danielly Guabiraba- Engenharia Civil Vitor Bruno- Engenharia Civil

2 Quatro maneiras de representar uma função Verbalmente (Descrevendo-a com palavras); Numericamente (Por meio de uma tabela de valores); Visualmente (Através de um gráfico); Algebricamente (Utilizando-se uma fórmula explícita). 2/44

3 Visualmente Numericamente Algebricamente 3/67

4 Exemplo 01 Se f(x)= 2x²-5x+1 e h diferente de zero, calcule: f(a+h)-f(a) h 4/67

5 Teste da Reta Vertical Def.: Uma curva no plano xy é o gráfico de uma função de x, se e somente se, nenhuma reta vertical cortar a curva mais de uma vez. 5/67

6 Funções Definidas por Partes Def.: São funções que possuem fórmulas distintas em diferentes partes de seus domínios. Ex 2.: Seja f a função definida por: Calcule f(0), f(1) e f(2). Esboce o gráfico. 6/67

7 Exemplo 03 Esboce o gráfico da função valor absoluto f(x)= x 7/67

8 Exemplo 04 Considerando o custo c(w) do envio pelo correio de uma carta com peso w trata-se de uma função definida por partes pois à partir da tabela de valores, temos: 8/67

9 Simetrias Def.: Função Par: Se uma função f satisfizer f(-x)=f(x) para todo x em seu domínio, então f é chamada função par. Por exemplo, na função f(x)=x² é par. Função Ímpar: Se f satisfizer f(-x)=-f(x), para todo número x em seu domínio, dizemos que f é uma função ímpar. Por exemplo, a função f(x)=x³ é ímpar. 9/67

10 Exemplo 05 Determine se a função é par ou ímpar, ou nenhum dos dois. 10/67

11 Modelos Matemáticos: Uma lista de funções essenciais Função Potência: Uma função da forma f(x)=x a, onde a é uma constante, é chamada função potência. Alguns casos: i) a=n, onde n é um inteiro positivo Gráficos de f(x)=x n para a= 1, 2, 3, 4, e 5 11/67

12 Função Potência ii) a=1/n, onde n é um inteiro positivo Gráficos das funções raízes 12/67

13 Função Potência iii) a=-1 O gráfico da função recíproca f(x)=x 1 =1/x está na figura abaixo. Seu gráfico tem a equação y=1/x, ou xy=1, e é uma hipérbole com eixos coordenados como suas assíntotas. Função Recíproca 13/67

14 Funções Racionais Uma função racional f é a razão de dois polinômios: f x = P(x) Q(x) Em que P e Q são polinômios. O domínio consiste em todos os valores de x tais que Q(x) seja diferente de zero. f x = 2x4 x x /67

15 Funções Algébricas Uma função f é chamada função algébrica se puder ser construída por meio de operações algébricas (como adição, subtração, multiplicação, divisão e extração de raízes) a partir de polinômios. Toda função racional é automaticamente uma função algébrica. Ex.: 15/67

16 Funções Algébricas 16/67

17 Funções Trigonométricas Com relação aos ângulos das funções trigonométricas, em cálculo, convenciona-se dar a medida em radianos. Por exemplo, se f(x)=senx, entende-se que senx seja o seno de um ângulo cuja medida de radianos é x. 17/67

18 Funções Trigonométricas Além disso, os zeros da função seno ocorrem nos múltiplos inteiros de π, isto é, Senx=0 quando x=nπ, n é um número inteiro Uma propriedade importante das funções seno e cosseno é que elas são periódicas, com um período de 2π, logo, para todos os valores de x, 18/67

19 Funções Trigonométricas A natureza periódicas dessas funções torna-as adequadas à modelagem de fenômenos repetitivos como maré, cordas vibrantes e ondas sonoras. Função Tangente A função tangente relaciona-se com as funções seno e cosseno pela equação tgx = senx, não está definida cosx quando cosx=0, sua imagem é (-, ) 19/67

20 Funções Exponenciais As funções exponenciais são da forma f(x)=a x, em que a base a é uma constante positiva. 20/67

21 Funções Logarítmicas As funções logarítmicas f x = log a x, onde a base a é uma constante positiva e são inversas das funções exponenciais. A figura abaixo mostra os gráficos de quatro funções logarítmicas com várias bases. Em cada caso o domínio é (0, ), a imagem é (-, ) e as funções crescem vagarosamente quando x>1. 21/67

22 Exemplo Classifique as funções a seguir como um dos tipos discutidos. a) f(x)=5 x b) g(x)=x 5 c) h(x)= 1+x 1 x d) u(t)= 1 t + 5t 4 22/67

23 Combinações de Funções Duas funções f e g, podem ser combinadas para formar novas funções f + g, f g, fg, f/g. Se o domínio de f é A e o domínio de g é B, então o domínio de f + g será a intersecção desses domínios. 23/67

24 Combinações de funções Exemplo: Se e encontre as funções: f + g f g fg f/g 24/67

25 Composição de funções Uma outra maneira de combinar funções é pela composição. Considere: Analisando as funções percebemos que y é uma função de x. Assim: 25/67

26 Composição de funções Definição: Dadas duas funções f e g, a função composta f g é também chamada de composição de f e g. É definida por: f(g(x)) 26/67

27 Exemplo Sabendo que: Encontre a função composta f(g(x)); g(f(x)); f(f(x)); g(g(x)) 27/67

28 Obrigada pela atenção! /44