DERIVADAS., é igual ao valor da tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva representativa de y = f (x)

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1 Proessor Mauricio Lutz DERIVADAS A erivaa e uma unção y () num, é igual ao valor a tangente trigonométrica o ângulo ormao pela tangente geométrica à curva representativa e y (), no ponto, ou seja, a erivaa é o coeiciente angular a reta tangente ao gráico a unção no ponto A erivaa e uma unção y (), poe ser representaa também pelos símbolos: y ', y ou '( ) A erivaa e uma unção () no ponto é ao por: '( ( ) ( ) ( + h) ( ) h ( ) ) ) Derivaas unamentais Nas ormulas abaio, u e v são unções a variável e c uma constante a)derivaa a unção constante Instituto Feeral arroupilha RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: () -9 wwwaliarroupilhaeubr ( c) Eemplo: b) Derivaa a unção potência Eemplo: ( 7 n ) n 7 n, portanto ( ) c) Derivaa e um prouto e uma constante por uma unção Eemplo: u ( c u) c ) Derivaa a unção ( ) sen ( sen) cos e) Derivaa a unção ( ) cos (cos ) sen

2 Proessor Mauricio Lutz Eercícios Calcule a erivaa '( ) as seguintes unções: a) ( ) 8 b) e) ( ) ) ( ) c) ( ) g) ( ) ) ( ) ( ) h) ( ) i) ( ) sen j) ( ) cos k) ( ) cos l) ( ) cos m) ( ) n) ( ) 8 o) ( ) a) b) g) h) 9 c) ) e) ) i) cos j) sen k) sen 9 l) sen m) n) o) ) Proprieaes operatórias Consiere u e v unções a variável a)derivaa e uma soma e unções y u + v y' u' + v' y u v y' u' v' Eemplo: Daa a unção ( ) + +, calcular '( ) ( + + ) b) Derivaa e um prouto e unções y u v y' u' v + v' u Eemplo: Calcular a erivaa e ( ) ( + )(7 ) y ( + )(7 ) y u v y' u' v + v' u u + u' y' u' v + v' u (7 ) + ( )( + ) v 7 v' y ' + Instituto Feeral arroupilha RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: () -9 wwwaliarroupilhaeubr

3 Proessor Mauricio Lutz c) Derivaa e um quociente e unções u u' v v' u y y' v v Eemplo: Seno + ( ), calcular '( ) + ( ) u u' v v' u y y' v v u + u' v v' u' v v' u ( ) ( y v ( ) ' y ' ) + 9 Eercícios Determine a erivaa '( ) as seguintes unções: a) ( ) 7 + b) ( ) c) ( ) + ) ( ) + + e) ( ) + ) ( ) cos g) ( ) sen h) ( ) sen cos i) ( ) cos j) ( ) ( ) k) ( ) ( + ) l) ( ) ( + )( ) m) ( ) ( )( ) n) ( ) ( )( + ) o) ( ) ( ) + p) ( ) q) ( ) r) ( ) s) ( ) t) ( ) + a) 7 b) c) ) + e) + ) + sen g) ( sen + cos ) h) cos sen i) ( cos sen) j) k) 9 + l) + m) n) p) ( + ) q) r) ( ) s) ( + ) ( ) o) t) Instituto Feeral arroupilha RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: () -9 wwwaliarroupilhaeubr

4 Proessor Mauricio Lutz ) Derivaa a potência e uma unção Consieremos g uma unção a variável e n uma constante y g n y' n Eemplo: Daa a unção n ( g ) g' ( ) ( + ) g ( ) + g'( ) y g, calcular '( ) ( g ) g' ( + ) 8( ) y' + ) Derivaa e uma unção eponencial Consieremos g uma unção a variável y a y' a ln a y a g g y' a g'ln a Eemplos: a) Calcular a erivaa e ( ) ( ) y' ln b) Calcular a erivaa e ( ) ( ) y' ln ) Derivaa a unção logarítmica Consieremos g uma unção a variável y ln y' y log a y' loga e Eemplos: a) Daa a unção ( ) (ln ) A unção aa é a orma: g h ' g' h + h' g g ln g', eterminar '( ) h h' ' g' h + h' g + ln + ln ( + ln ) Instituto Feeral arroupilha RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: () -9 wwwaliarroupilhaeubr

5 Proessor Mauricio Lutz b) Daa a unção ( ) (log ), eterminar '( ) A unção aa é a orma: y' n n ( g ) g' g log g' log e y' n n ( g ) g' (log ) (log ) log e Eercícios Determine as erivaas as seguintes unções: a) ( ) ( ) b) ( ) ( + ) ) ( ) + e) log e c) ( ) ( + ) ( ) + ) ( ) + g) ( ) h) j) ( ) e k) m) ( ) log n) ( ) + i) ( ) (ln ) ( ) l) ( ) ln ( ) (log ) o) ( ) ln a) b) 8 + c) ) ( + ) e) + ) k) ln l) + m) log e g) ln log log e n) h) + ln i) ln j) e ( ln ) o) (ln ) ) Derivaa a unção composta (regra a caeia) Sejam e g são unções a variável y ( g( )) e u g() então y (u) e '( ) u'( v) v'( ) Eemplos: a) Seja ( ) sen, etermine '( ) ( ) u( v( )) '( ) u'( v) v'( ) v ( ) v'( ) u( v) senv '( ) cosv cos Então: ( ) sen '( ) (cos) cos Instituto Feeral arroupilha RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: () -9 wwwaliarroupilhaeubr

6 Proessor Mauricio Lutz b) Seja ( ) ln( + ),etermine '( ) A unção é a orma ( ) u( v( )) '( ) u'( v) v'( ) v ( ) + v'( ) u ( v) ln v '( ) v Então: + ( ) ln( + ) '( ) ( ) + + Eercícios Calcule as erivaas as unções: a) ( ) cos b) ( ) sen( + ) c) ( ) ln( sen) ) ( ) log( ) e) ( ) log( + ) ) ( ) ( ) g) ( ) h) ( ) ( + 8) i) ( ) (8 7) j) ( ) k) ( ) + l) ( ) () + () m) ( ) sen n) ( ) ( + ) o) ( ) ( 8 + ) a) sen b) cos( + ) c) cot g ) ) g) ( ) j) + k) n) ( + ) ( )loge loge e) ( ) ( + ) h) ( + 8) ( ) i) (8 7) + ( + ) o) ( 8 + ) ( ) l) + 8 m) sen + cos Instituto Feeral arroupilha RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: () -9 wwwaliarroupilhaeubr

7 Proessor Mauricio Lutz 7 7) Regra e L Hôspital Esta regra permite calcular certos tipos e ites, cujas ineterminações são o tipo ou, aplicano as regras e erivação Sejam e g unções eriváveis num certo intervalo aberto I, eceto ( ) possivelmente, num ponto a I Se tem a orma ineterminaa ou em g( ) a e se g '( ) para a então ( ) '( ) ese que a g( ) a g'( ) '( ) '( ) eista, ou a g '( ) a g '( ) 9 Eemplos: a) Calcule o Pelo cálculo o ite temos 9 () 9, o que é uma ineterminação, pela regra e L Hôspital tem-se: ( 9) e ( ) Logo tem-se: e b) Calcule o Pelo cálculo o ite temos e e, o que é uma ineterminação, pela regra e L Hôspital ( e ) e e ( ) e Logo e + '( ) Obs: Poe ocorrer que ao aplicarmos a regra e L Hôspital a epressão g '( ) aina seja ineterminaa neste caso ese que as conições a regra estejam veriicaas aplicamos a regra novamente Instituto Feeral arroupilha RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: () -9 wwwaliarroupilhaeubr

8 Proessor Mauricio Lutz 8 + c) Calcule o Pelo cálculo o ite temos L Hôspital tem-se:, o que é uma ineterminação, pela regra e temos: '( ) + g' ( ) aplicano a regra novamente ''( ) g'' ( ) + 8 '''( ) g'''( ) 8 + Logo Eercícios Ache o ite se eistir: aplicano a regra novamente temos: a) sen b) c) + 7 ) e e) sen ) g) sen + h) π cos ln i) e e sen sen cos + e j) k) l) ln + ln m) e ln n) e + ln o) a) b) l) m) c) n) o) ) e) ) g) h) i) j) k) Instituto Feeral arroupilha RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: () -9 wwwaliarroupilhaeubr

9 Proessor Mauricio Lutz 9 8) Aplicações as erivaas Regra a primeira erivaa Consieremos uma unção real, einia num omínio D, tal que é erivável em D Os sinais a unção erivaa crescimento ou ecrescimento e Valem as seguintes proprieaes Se '( a) >, então () é crescente em a Se '( a) <, então () é ecrescente em a ' estão relacionaos ao Os pontos em que '( ) poem ser e máimo ou e mínimo ou e inleão Estes pontos são chamaos pontos críticos e Eemplos: a) Determine os pontos críticos e estuar a variação a unção ( ), R ( ) '( ) '( ) ± Vamos pegar pontos antes e epois os pontos críticos '( ) '() '( ) ( ) '() () > < ± (ponto crítico) Gráico e Instituto Feeral arroupilha RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: () -9 wwwaliarroupilhaeubr

10 Proessor Mauricio Lutz b) Determinar os pontos críticos e estuar a variação a unção ( ) +, R ( ) + '( ) '( ) ( ) (ponto crítico) (ponto crítico) Vamos pegar pontos antes e epois os pontos críticos '( ) '(/ ) '() '( ) ( ) '() '(/ ) () (/ ) ( ) () (/ ) < 8 > / < Eercícios Para caa unção ( ), R, eterminar os pontos críticos e estue a variação a) ( ) + b) ( ) + c) ( ) ) ( ) + + e) ( ) + ) ( ) 7 g) ( ) + + h) ( ) 8 + i) ( ) ( ) j) ( ) 9 + a) Pontos críticos e ; é ponto e máimo e é ponto e mínimo b) Pontos críticos e ; é ponto e inleão e é ponto e mínimo c) Pontos críticos e ; é ponto e máimo e é ponto e mínimo ) Ponto crítico ; é ponto e inleão e) Pontos críticos, e ; é ponto e mínimo, é ponto e máimo e é ponto e mínimo ) Ponto crítico -7/8; -7/8 é ponto e máimo g) Pontos críticos e /; é ponto e máimo e / é ponto e mínimo h) Pontos críticos, e ; é ponto e mínimo, é ponto e máimo e é ponto e mínimo i) Pontos críticos, / e ; é ponto e inleão,/ é ponto e máimo e é ponto e mínimo j) Ponto crítico / ; ¾ é ponto e mínimo Instituto Feeral arroupilha RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: () -9 wwwaliarroupilhaeubr

11 Proessor Mauricio Lutz Regra a seguna erivaa Consieremos uma unção real, einia num omínio D, tal que é erivável até seguna orem em D, isto é, eistem '( ) e ''( ) em D Os sinais a unção erivaa '' estão relacionaas à concaviae o gráico Valem as seguintes proprieaes Se ''( a) >, então () tem concaviae para cima em a Se ''( a) <, então () tem concaviae para baio em a Um ponto em que ''( ) e '' mua e sinal (antes e epois e ) é um ponto e inleão e Se também '( ), izemos que é um ponto e inleão horizontal pois a reta tangente é paralela ao eio Se ''( ) mas '' não mua e sinal (antes e epois e ), então não mua e concaviae em, portanto, neste caso, não é ponto e inleão Eemplos: a) Determine os pontos e inleão e estuar a concaviae a unção ( ), R ( ) '( ) ''( ) ''( ) Vamos pegar pontos antes e epois e ''( ) ''( ) ( ) < ''() ''() () > Instituto Feeral arroupilha RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: () -9 wwwaliarroupilhaeubr

12 Proessor Mauricio Lutz ( ), R 8 b) Determine os pontos e inleão e estuar a concaviae a unção 8 8 ( ) '( ) ''( ) ''( ) Vamos pegar pontos antes e epois e ''( ) ''() ''( ) ( ) ''() () > > Não há ponto e inleão Eercícios Determine os pontos e inleão e estue a concaviae a unção, aa a) ( ) b) e) ( ) + ) ( ) c) ( ) 8 g) ( ) ) ( ) ( ) h) ( ) R, a) Concaviae p/baio em ]-, ]e concaviae p/cima em [, + [; Ponto e inleão b) Concaviae p/cima; Não há ponto e inleão c) Concaviae p/cima; Não há ponto e inleão ) Concaviae p/baio em ]-, ]e concaviae p/cima em [, + [; Ponto e inleão e) Concaviae p/cima em ]-, ]e concaviae p/baio em [, + [; Ponto e inleão ) Concaviae p/cima em ]-, ]; concaviae p/baio em [, ] e concaviae p/ cima [, + [; Ponto e inleão g) Concaviae p/cima em ]-, -]; concaviae p/baio em [-, ] e concaviae p/ cima [, + [; Ponto e inleão h) Concaviae p/cima; Não há ponto e inleão Instituto Feeral arroupilha RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: () -9 wwwaliarroupilhaeubr

13 Proessor Mauricio Lutz Máimos e mínimos Lembremos que os pontos e máimos ou e mínimos e uma unção poem ser eterminaos analisano os sinais a erivaa primeira e Outro recurso que poe ser empregao na ientiicação e pontos e máimos ou e mínimos é analisar o sinal a erivaa seguna nos pontos que anulam a erivaa primeira Valem as seguintes proprieaes '( ) e ''( ) >, se, e somente se é ponto e mínimo e '( ) e ''( ) <, se, e somente se é ponto e máimo e Eemplos: a) Ientiicar os pontos críticos a unção ( ) +, R críticos: ( ) + '( ) ''( ) '( ) ± ( ) Vamos aplicar o critério os sinais a erivaa seguna nos pontos Para ''( ) ''() () < Então, é ponto e máimo local e Para + ' ''( ) ''( + ) ( + ) 8 > Então, + é ponto e mínimo local e Para ''( ) ''( ) ( ) 8 > Então, é ponto e mínimo local e b) Ientiicar os pontos críticos a unção ( ), R ( ) '( ) ''( ) '( ) Para ''( ) ''() () (naa poemos concluir) Instituto Feeral arroupilha RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: () -9 wwwaliarroupilhaeubr

14 Proessor Mauricio Lutz Sinais e '( ) Vamos pegar pontos antes e epois os pontos críticos '( ) '( ) ( ) > '() '() () > Portanto é ponto e mínimo local e Eercícios Ientiicar os pontos críticos e se é ponto e máimo ou mínimo as seguintes unções a) ( ) b) ( ) c) ( ) + ) ( ) + e) ( ) + + ) ( ) + g) ( ) h) ( ) ( ) a)ponto critico ; Ponto e máimo b) Ponto critico ; Ponto e máimo c) Pontos críticos e ; Ponto e mínimo em e ponto e máimo em ) Pontos críticos e ; Ponto e mínimo em e ponto e máimo em e) Pontos críticos e /; Ponto e mínimo em e ponto e máimo em / ) Ponto critico ; Ponto e mínimo g) Pontos críticos, e ; Ponto e mínimo em e e ponto e máimo em h) Pontos críticos, e ; Ponto e mínimo em e e ponto e máimo em Instituto Feeral arroupilha RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: () -9 wwwaliarroupilhaeubr