1. Prove que (a+b) c = a c+b c para todo a, b, c em ZZ /mzz. (Explique cada passo).

Transcrição

1 1 a Lista de Exercícios de Álgebra II - MAT Prove que (a+b) c = a c+b c para todo a, b, c em ZZ /mzz. (Explique cada passo). 2. Seja A um anel associativo. Dado a A, como você definiria a m, m IN? Quais das propriedades seguintes são validas para todo anel A. i) a m a n = a m+n para todo a A, m, n IN ii) (a m ) n = a mn para todo a A, m, n IN iii) a m b m = (a b) m para todo a, b A e m IN. 3. Dado um anel arbitrário R e um conjunto S não vazio então o conjunto, R S, das funções de S em R com operações dadas por (f + g)(x) = f(x) + g(x) para cada x S (f g)(x) = f(x) g(x) para cada x S é um anel. Verifique! 4. Prove que se R é um anel então cada uma das seguintes afirmações vale para todo a, b, c em R. a 0 = 0 (a b) = ( a) b (a + b) = ( a) + ( b) 5. Mostre que se A é um anel e a, b A, então (a + b) 3 = a 3 + aba + ba 2 + b 2 a + a 2 b + bab + b 3 (Quais axiomas de aneis você precisou?) Assumindo que A é comutativo, mostre que vale a fórmula do binômio para a expansão (a + b) n. 1

2 6. Mostre que o conjunto ZZ [ 2 ] = {a + b 2 com a e b em ZZ } é um subanel de IC. Explique porque Q[ 2] é um domínio de integridade. 7. Ache os divisores de zero em ZZ /16ZZ. 8. Seja R = ZZ /mzz prove que as seguintes condições são são equivalentes R é um domínio de integridade R é um corpo m é primo 9. Seja R = C[0, 1] o anel das funções reais contínuas definidas no intervalo [0, 1]. Prove que, se I é um ideal maximal de R então existe a [0, 1] tal que I = {f R f(a) = 0}. 10. No conjunto dos inteiros ZZ defina as operações e dadas por: x y = x + y 1 e x y = x + y xy. Mostre que o conjunto dos inteiros com essas operações é um anel comutativo com unidade. 11. (ZZ,, ) é um anel de integridade? 12. Quais elementos de ZZ ZZ são divisores do zero? 13. Descreva o menor subanel de IR contendo 1/ Prove que se P rimo(r) é a intersecção de todos os subanéis de um anel R, então P rimo(r) é um anel. 15. Em cada um dos ítens deste exercício dê um exemplo de um anel satisfazendo às condições dadas. Se tal exemplo não existir, diga que não existe, com alguma justificativa. (a) Um domínio de integridade que não é corpo. (b) Um domínio de integridade finito que não é corpo. (c) Um anel comutativo que não é domínio de integridade. (d) Um domínio de integridade finito. (e) Um corpo finito (f) Um anel comutativo com um divisor do zero. 2

3 (g) um corpo que não é domínio de integridade. (h) um corpo que contém um divisor do zero. (i) Um anel comutativo sem divisores do zero que não é domínio de integridade. 16. Prove que um domínio de integridade D é um corpo se e só se cada equação ax = b (a, b D e a 0) tem uma única solução. 17. Prove que se P rimo(f ) é a intersecção de todos os subcorpos de um corpo F, então P rimo(f ) é um corpo. 18. Prove que se R é um anel finito então a característica é um divisor de R onde R indica o número de elementos de R. 19. Seja K = {0, e, a, b} um conjunto que tem uma estrutura de corpo onde 0 é o elemento neutro para a soma e e o elemento neutro para a multiplicação. Pergunta-se. Qual a característica de K? escreva o valor de b em função dos outros elementos. Dê uma tabela de multiplicação e soma usando os dados obtidos nos ítens anteriores. 20. Seja A um anel comutativo e I e J ideais de A. Mostre que I J e I + J so ideais de A. Ser que I J ideal? 21. Descreve todos os homomorfismos de ZZ ZZ em ZZ. 22. Ache um exemplo que mostra que o anel quociente de um domínio pode ter divisores de zero. Ache um exemplo de anel com divisores de zero cujo anel quociente é um domínio. 23. Em cada um dos anéis abaixo descreva o conjunto dos elementos invertíveis. Um corpo. ZZ ZZ 12 3

4 ZZ n Conjunto das matrizes n por n com coeficientes num corpo. 24. Seja θ : R S um isomorphismo de anéis. Prove que valem as seguintes propriedades: R é comutativo se e só se S é comutativo. R é um domínio de integridade se e só se S é um domínio de integridade. R é um corpo se e só se S é um corpo. θ(a 1 ) = (θ(a)) 1 sempre que a for invertível. 25. Ache a característica dos anéis ZZ /2ZZ ZZ /2ZZ e ZZ /4ZZ. 26. Os anéis ZZ /2ZZ ZZ /2ZZ e Z/4ZZ são isomorfos? 27. Dê um exemplo de uma anel de característica 3 que não é um corpo. 28. Dê um exemplo de uma anel A e elementos a, b em A tal 3a = 0 mas 3b Seja R = Mat 2 (R) e seja I o conjunto das matrices 2 2 com a primeira coluna de zeros. I é ideal ou não? 30. Mostre que o corpo R = {a + b 2 : a, b Q} não é isomorfo ao corpo S = {a + b 3 : a, b Q}. 31. Ache um polinomio de grau dois em ZZ /7ZZ [x], e um de grau 7 que não tenha nenhuma raiz em ZZ /7ZZ. 32. Para cada um dos polinômios f(x) e g(x) determine o resto e o quociente da divisão de f(x) por g(x), no anel de polinômios sobre o corpo R indicado. (a) f(x) = x 3 + x + 1, g(x) = x 1, R = IQ (b) f(x) = x 4 1, g(x) = x 2 + 2, R = IQ (c) f(x) = x 3, g(x) = x 1, R = ZZ /3ZZ (d) f(x) = 3x 4 + 2x 2 1, g(x) = 2x 2 + 4x, R = ZZ /5ZZ 4

5 33. Encontre o mdc(f(x), g(x)) onde f(x) e g(x) são os seguintes polinômios em IQ[x]. f(x) = x 4 + 3x e g(x) = x 5 x 34. Construa um exemplo mostrando que a afirmação do algoritmo da divisão não é verdadeira em ZZ [X]. Mostre que se o algoritmo da divisão é verdadeiro em D[x], então D é um corpo. 35. Seja R = ZZ /12ZZ e escolha como representantes das classes de equivalencias, os inteiros entre 0 e 11. (a) Qual a característica de R? (b) R é um corpo? (c) Mostre que R é o produto de dois aneis nao nulos. (d) Quais dos elementos representam elementos invertíveis? (e) Para cada invertível ache qual dos elementos representa a classe de seu inverso. (f) Para cada representante a qual é o representante de a. (g) ache algum n natural positivo e algum polinômio p(x) de grau n com coeficientes em Z/12ZZ, tal que p(x) tenha mais que n raizes. 36. Sejam F um subcorpo de E, c E e θ : F [x] E uma função, definida por θ(f(x)) = f(c). Mostre que θ é um homomorfismo, cuja imagem é F [c]. 37. Seja α Q[x]/ (x 2 +7) uma raiz do polinomio x Expresse cada um dos seguintes elementos na forma a + bα com a e b em Q. a) α 3 b) (1 α)(2 + α) c) (1 + α) Assuma que a 0, a 1,..., a n são elementos distintos de um corpo F. Sejam f(x) e g(x), em K[x], polinômios de grau menor ou igual a n tais que f(a j ) = g(a j ) para 0 j n. Prove que f(x) = g(x). 5

6 39. Seja K um corpo, f(x) K[x] e K E uma extensão de corpos. Prove que um elemento c é uma raiz múltipla de f(x) 0 = f(c) = f (c). A definição de f (x) para um polinômio f(x) é formal e faz parte do problema descobrir qual deve ser. 40. Mostre que qualquer função f : F F sobre um corpo finito F de p elementos pode ser representada unicamente pelo um polinômio de grau < p. 41. Prove que para todo corpo finito K, existe um polinômio de grau 2 com coeficientes em K que irredutível sobre K. 42. Mostre que dados um natural n, e um primo natural p existe um corpo com p n elementos. 43. Mostre que dois corpos finitos com o mesmo número de elementos são isomorfos. 44. Prove que Q( 2, i) = Q( 2 + 2i). 45. Seja K Luma extenção finita e seja f(x) K[x] um polinômio irredutível sobre K. Mostre que se [L : K] e deg f são primos entre si, então f(x) não tem raízes em L. 46. Prove que o conjunto dos automorfismos de um corpo E é um grupo com respeito à composição. (Denotado por Aut E). 47. Seja F E e defina G F o subgrupo de todos os automorfismos τ : E E tais que τ(a) = a para todo a F. Mostre que G F é um subgrupo de Aut E. (Chamado grupo de Galois de E sobre F). 6