Aula 5 Equação Diferencial de Segunda Ordem Linear e Coeficientes constantes:

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "Aula 5 Equação Diferencial de Segunda Ordem Linear e Coeficientes constantes:"

Transcrição

1 Aula 5 Equação Diferencial de Segunda Ordem Linear e Coeficientes constantes: caso não Homogêneo Vamos estudar as equações da forma: ay + by + cy = G(x), onde G(x) é uma função polinomial, exponencial, de senos e cossenos ou um produto ou soma dos anteriores. A solução geral desta equação é da forma: y = y h + y p onde y h representa a solução geral da equação homogênea correspondente e y p é uma solução particular. De fato, y = y h + y p é solução da equação: ay + by + cy = a(y h + y p ) + b(y h + y p ) + c(y h + y p ) = ay h + by h + cy h + ay p + by p + cy p = G(x) }{{}}{{} 0 G(x) Por outro lado, se y é solução da equação e y p é uma solução particular, temos que a(y y p ) + b(y y p ) + c(y y p ) = G(x) G(x) = 0 Isto é, y y p é solução da equação homogênea. Vamos ver que, para as funções G(x) que consideraremos, podemos escolher y p com a mesma cara de G(x). Exemplo 1 (Polinômio). Considere a equação diferencial Equação característica 9y 6y + y = x y 6y + y = 0 9r 2 6r + 1 = 0 r = 1 3 y h = c 1 e x 3 + c 2 xe x 3 Note que quando derivamos e somamos polinômios, o resultado obtido é também um polinômio. Deste modo é natural tomar uma solução particular da forma y p = Ax 2 + Bx + C 1

2 2 Substituímos y p na equação para encontrar os valores de A, B e C. 9y p 6y p + y p = x (2A) 6(2Ax + B) + Ax 2 + Bx + C = x Ax 2 + (B 12A)x + 18A 6B + C = x A = 1 A = 1 B 12A = 0 B = 12 18A 6B + C = 1 C = = 55 y p = x x + 55 y = y h + y p = c 1 e x 3 + c2 xe x 3 + x x + 55 Exemplo 2 (Exponencial). Considere a equação diferencial 2y y y = 2e 3x. Vimos na aula anterior que a solução da equação homogênea correspondente é dada por y h = c 1 e x + c 2 e x 2 Note que quando derivamos e somamos uma exponencial (com argumento linear), o resultado obtido é também uma exponencial (com o mesmo argumento). Deste modo é natural tomar uma solução particular da forma y p = Ae 3x Substituímos y p na equação: 2(9Ae 3x ) 3Ae 3x Ae 3x = 2e 3x 18A 3A A = 2 A = 1/7 y p = 1 7 e3x y = c 1 e x + c 2 e x e3x Exemplo 3. Considere a equação diferencial Igual à do exemplo anterior: 2y y y = 2e x 2. y h = c 1 e x + c 2 e x 2

3 3 Assim como argumentado no exemplo anterior, a priori seria natural tomar uma solução particular da forma y p = Ae x 2 No entanto, substituindo y p na equação obtemos: 2( A 4 e x 2 ) + A 2 e x 2 Ae x 2 = 2e x 2 A/2 + A/2 A = 2 0 = 2 ( ) Logo, Ae x 2 não é uma solução particular da equação diferencial, qualquer que seja A R. Este problema ocorreu porque quando aplicamos o lado esquerdo da equação diferencial a y p deu zero, ou seja, porque y p é solução da equação diferencial homogênea correspondente. Na verdade, não precisávamos de ter feito esta conta se tivessemos observado este fato. Vamos ter este cuidado a partir de agora. Então qual vai ser o 2 o candidato a solução particular? O candidato anterior multiplicado por x: y p = Axe x 2 Note que quando derivamos e somamos um polinômio vezes uma exponencial, como acima, o resultado ainda é um polinômio vezes uma exponencial. Além disso, este y p não é solução da equação diferencial homogênea correspondente. Substituindo na equação: 2( A 2 e x A 2 2 e x A xe x 2 ) (Ae x A 2 2 xe x 2 ) Axe x 2 = 2e x 2 Depois de cortar as exponenciais obtemos uma igualdade entre dois polinômios: ( A 2 + A 2 A)x 3A = 0x + 2 Note que o termo em x zerou (caso contrario poderia nao haver solução porque apenas temos uma constante A e temos de acertar 2 termos, o coeficiente em x e o coeficiente constante dos polinômios). Isto não foi por acaso, mas porque anteriormente houve uma repetição com a solução homogênea. Logo A = 2 3 e y p = 2 3 xe x 2. y = y h + y p = c 1 e x + c 2 e x xe x 2 Exemplo 4. Vamos modificar o exemplo anterior de modo a que haja uma dupla repetição, isto é, depois de multiplicar o 1 o candidato por x, o 2 o candidato y p = xe x 2 ainda continue sendo solução da equação diferencial homogênea! Isto é possível quando estamos no Caso 2 homogêneo: quando a equação característica correspondente tem raízes iguais a 1/2. Ou seja, quando a equação característica é dada por (r )(r ) = 0 r 2 + r = 0 ou 4r 2 + 4r + 1 = 0

4 4 Vamos resolver a equação diferencial 4y + 4y + y = 2e x 2 Pelo raciocínio anterior, y h = c 1 e x 2 + c2 xe x 2. 1 o candidato: y p = Ae x 2 Faz parte da solução da equação diferencial homogênea? Sim. Então certamente não é solução da equação diferencial não-homogênea. Multiplicamos esta função por x. 2 o candidato: y p = Axe x 2 Faz parte da solução da equação diferencial homogênea? Sim. Então também não é solução da equação diferencial não-homogênea. Multiplicamos novamente esta função por x. 3 o candidato: y p = Ax 2 e x 2 Não faz parte da solução da equação diferencial homogênea. Portanto vamos tomar esta função como solução particular. Substituido y p na equação diferencial obtemos: 4(2Ae x 2 Axe x 2 Axe x 2 + A 4 x2 e x 2 ) + 4(2Axe x 2 A 2 x2 e x 2 )+ 0x 2 + 0x + 8A = 2 + Ax 2 e x 2 = 2e x 2 Note que ambos os termos em x e x 2 zeraram. Isto não foi por acaso, e sim porque ocorreram no processo duas repetições. Logo A = 1/4 e y p = 1 4 x2 e x 2. y = y h + y p = c 1 e x 2 + c2 xe x x2 e x 2. Exemplo 5 (Senos e Cossenos). Considere o problema da mola, com (pouco) amortecimento, e com força externa, modelado por: x + 4x + 6x = 15 sen(3t), x(0) = 1, x (0) = 2. Vimos na aula passada que a solução da equação homogênea é dada por x h = e 2x (c 1 cos( 2t) + c 2 sen( 2t)). Note que quando derivamos e somamos uma combinação linear de senos e cossenos (com mesmo argumento linear), o resultado obtido é também uma combinação linear de senos e cossenos (com mesmo argumento). Deste modo é natural tomar uma solução particular da forma x p = A sen(3t) + B cos(3t)

5 5 (Note que quando derivamos uma vez um seno aparece um cosseno, e quando derivamos duas vezes um seno aparece um seno. Por isso é importante já começar com uma parcela com cosseno como acima, para garantir solução em geral. Como veremos a seguir, neste exemplo, a única solução particular com a forma acima satisfaz B 0.) Substituindo na equação: 9A sen(3t) 9B cos(3t) + 4 (3A cos(3t) 3B sen(3t)) + 6A sen(3t) + 6B cos(3t) = 15 sen(3t) ( 9A 12B + 6A) sen(3t) + ( 9B + 12A + 6B) cos(3t) = 15 sen(3t) + 0 cos(3t) Logo { 3A 12B = 15 3A 48A = 15 A = 15 3B + 12A = 0 B = 4A B = 60 x p = sen (3t) cos(3t) x = x h + x p = e 2x (c 1 cos( 2t) + c 2 sen( 2t)) 15 4) Condições iniciais Temos que sen(3t) 60 cos(3t) x = 2e 2x (c 1 cos( 2t) + c 2 sen( 2t)) + e 2x ( c 1 2 sen( 2t) + c2 2 cos( 2t)) cos(3t) + sen(3t) Considerando as condições iniciais, temos: x(0) = 1 1 = c 1 60 c 1 = 111 x 45 (0) = 2 2 = 2c 1 + c 2 2 c 2 = Logo, a solução do problema é: ( 111 x = e 2x cos( 2t) ) 2 sen( 2t) sen(3t) cos(3t) Observação: Se tivessemos G(t) = 15 sen(3t) + 4 cos(3t), resolveríamos o problema de maneira semelhante. Produto. Veremos agora o caso em que G(x) é um produto das funções vistas anteriormente. Alguns exemplos de 1 o candidato à solução particular são dados a seguir. G(x) = x 3 e 4x y p = (Ax 3 + Bx 2 + Cx + D)e 4x G(x) = e 2x cos(4x) y p = Ae 2x sen(4x) + Be 2x cos(4x) G(x) = xsen (3x) y p = (Ax + B) sen(3x) + (Cx + D) cos(3x) G(x) = (x 2 + x)e 3x sen (2x) y p = (Ax 2 + Bx + C)e 3x sen(3x) + (Dx 2 + Ex + F )e 3x cos(3x) Importante: Se alguma das parcelas de y p aparece em y h, então multiplicamos y p por x (e assim sucessivamente). Veja o exemplo a seguir.

6 6 Exemplo 6 (Produto). Considere a equação diferencial y 2y 3y = xe x. y h = c 1 e 3x + c 2 e x. Como G(x) é o produto de um polinômio de grau 1 por uma exponencial, o 1 o candidato a solução particular é y p = (Ax + B)e x = Axe x + Be x Note que a parcela Be x aparece na solução da equação homogênea y h. (Note que quando aplicamos o lado esquerdo da equação diferencial a esta parcela, dá zero, e portanto a constante B desaparece). Para obter o 2 o candidato a solução particular, multiplicamos o 1 o candidato por x: y p = (Ax + B)xe x = Ax 2 e x + Bxe x Note que agora nenhuma parcela de y p aparece em y h. Então é este o candidato certo. Substituindo na equação: Ax 2 e x + (B 4A)xe x + (2A 2B)e x 2( Ax 2 e x + +(2A B)xe x + Be x ) 3(Ax 2 e x + Bxe x ) = xe x 0x 2 8Ax + 2A 4B = x + 0 { 8A = 1 A = 1 8 2A 4B = 0 B = 1 16 Logo y p = 1 16 xe x 1 8 x2 e x. y = y h + y p = c 1 e 3x + c 2 e x 1 16 xe x 1 8 x2 e x. Soma. Quando G(x) é uma soma de funções vistas anteriormente, separamos a equação diferencial em duas equações diferenciais, uma para cada parcela de G(x). Encontramos soluções particulares para cada uma destas equações diferenciais, y p1 e y p2, de forma independente. Pela linearidade da equação diferencial, a solução geral é então dada por: y = y h + y p1 + y p2. Exemplo 7 (Soma). Considere a equação diferencial Vimos no exemplo anterior que y 2y 3y = xe x + cos(2x). y h = c 1 e 3x + c 2 e x.

7 7 1: y 2y 3y = xe x Vimos no exemplo anterior que uma solução particular desta equação é dada por y p1 = 1 16 xe x 1 8 x2 e x. 3) Solução particular 2: y 2y 3y = cos(2x) Esta, tem solução particular da forma y p2 = A cos(2x) + B sen(2x) (Note que nenhuma parcela de y p2 aparece em y h.) Substituindo na equação, temos 4A cos(2x) 4B sen(2x) 2( 2A sen(2x) + 2Bcos (2x)) A equação diferencial tem solução geral: 3(A cos(2x) + B sen(2x)) = cos(2x) ( 7A 4B) cos(2x) + ( 7B + 4A) sen(2x) = cos(2x) + 0 sen(2x) { 7A 4B = 1 A = A 7B = 0 B = 4 65 y p2 = 7 4 cos (2x) sen(2x) y 2y 3y = xe x + cos(2x) y = y h + y p1 + y p2 = c 1 e 3x + c 2 e x 1 16 xe x 1 8 x2 e x 7 65 cos(2x) 4 65 sen(2x). Exercício 1) Resolva: (1) y 2y 3y = 2 cos 2 (x) [Dica: Utilize cos 2 (x) = 1 + cos(2x) ] 2 (2) y + 1 x y = log(x) [Dica: Faça a mudança de variável z = y. Transformando, primeiramente, numa equação diferencial em z.]

Equações Diferenciais de Segunda Ordem. Copyright Cengage Learning. Todos os direitos reservados.

Equações Diferenciais de Segunda Ordem. Copyright Cengage Learning. Todos os direitos reservados. 17 Equações Diferenciais de Segunda Ordem Copyright Cengage Learning. Todos os direitos reservados. 17.2 Equações Lineares Não Homogêneas Copyright Cengage Learning. Todos os direitos reservados. Equações

Leia mais

Curso: Engenharia Ambiental. Disciplina: Equações Diferenciais Ordinárias. Professora: Dr a. Camila N. Boeri Di Domenico NOTAS DE AULA 2

Curso: Engenharia Ambiental. Disciplina: Equações Diferenciais Ordinárias. Professora: Dr a. Camila N. Boeri Di Domenico NOTAS DE AULA 2 Curso: Engenharia Ambiental Disciplina: Equações Diferenciais Ordinárias Professora: Dr a. Camila N. Boeri Di Domenico NOTAS DE AULA 2 11. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS DE 2º ORDEM y (x) = f (x,y,y

Leia mais

8.1-Equação Linear e Homogênea de Coeficientes Constantes

8.1-Equação Linear e Homogênea de Coeficientes Constantes 8- Equações Diferenciais Lineares de 2 a Ordem e Ordem Superior As equações diferenciais lineares de ordem n são aquelas da forma: y (n) + a 1 (x) y (n 1) + a 2 (x) y (n 2) + + a n 1 (x) y + a n (x) y

Leia mais

ANÁLISE COMPLEXA E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS AULA TEÓRICA DE ABRIL DE 2011

ANÁLISE COMPLEXA E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS AULA TEÓRICA DE ABRIL DE 2011 ANÁLISE COMPLEXA E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS AULA TEÓRICA 27 18 DE ABRIL DE 2011 y 2y + y 2y = 0 O polinómio característico é r 3 2r 2 + r 2, que tem r = 2 como raiz. Obtemos então r 3 2r 2 + r 2 = (r 2) (r

Leia mais

EDO III. por Abílio Lemos. 07, 09 e 14 de novembro de Universidade Federal de Viçosa. Departamento de Matemática UFV. Aulas de MAT

EDO III. por Abílio Lemos. 07, 09 e 14 de novembro de Universidade Federal de Viçosa. Departamento de Matemática UFV. Aulas de MAT EDO III por Universidade Federal de Viçosa Departamento de Matemática-CCE Aulas de MAT 147-2018 07, 09 e 14 de novembro de 2018 Teorema (D Alembert): Sejam y 1 (x) uma solução, não nula, da EDO y + p(x)y

Leia mais

ANÁLISE COMPLEXA E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS AULA TEÓRICA DE NOVEMBRO DE dt + a 0(t)y = 0

ANÁLISE COMPLEXA E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS AULA TEÓRICA DE NOVEMBRO DE dt + a 0(t)y = 0 ANÁLISE COMPLEXA E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS AULA TEÓRICA 24 16 DE NOVEMBRO DE 2016 EQUAÇÕES LINEARES HOMOGÉNEAS DE ORDEM SUPERIOR A DOIS São da forma a n (t) dn y dt n + a n 1(t) dn 1 y dt n 1 + + a 1(t)

Leia mais

ANÁLISE COMPLEXA E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS AULA TEÓRICA DE ABRIL DE Se y representa a posição de um corpo, o seu movimento é dado por

ANÁLISE COMPLEXA E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS AULA TEÓRICA DE ABRIL DE Se y representa a posição de um corpo, o seu movimento é dado por ANÁLISE COMPLEXA E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS AULA TEÓRICA 24 27 DE ABRIL DE 2018 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES DE SEGUNDA ORDEM São da forma d 2 y dt 2 + p(t)dy + q(t)y = g(t) dt Um exemplo destas equações

Leia mais

Seno e Cosseno de arco trigonométrico

Seno e Cosseno de arco trigonométrico Caderno Unidade II Série Segmento: Pré-vestibular Resoluções Coleção: Alfa, Beta e Gama Disciplina: Matemática Volume: Unidade II: Série Seno e Cosseno de arco trigonométrico. sen90 cos80 sen70 ( ) ( )

Leia mais

ORDINÁRIAS. Víctor Arturo Martínez León

ORDINÁRIAS. Víctor Arturo Martínez León INTRODUÇÃO ÀS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS Víctor Arturo Martínez León September 3, 2017 Súmario 1 Equações diferenciais lineares de primeira ordem 2 2 Equações diferenciais lineares de segundo ordem

Leia mais

Introdução às Equações Diferenciais e Ordinárias

Introdução às Equações Diferenciais e Ordinárias Introdução às Equações Diferenciais e Ordinárias - 017. Lista - EDOs lineares de ordem superior e sistemas de EDOs de primeira ordem 1 São dadas trincas de funções que são, em cada caso, soluções de alguma

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO. Resumo. Nesta aula, apresentaremos a noção de integral indefinidada. Também discutiremos

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO. Resumo. Nesta aula, apresentaremos a noção de integral indefinidada. Também discutiremos CÁLCULO L NOTAS DA DÉCIMA OITAVA AULA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Resumo. Nesta aula, apresentaremos a noção de integral indefinidada. Também discutiremos a primeira técnica de integração: mudança

Leia mais

EDO I. por Abílio Lemos. 16 e 18 de outubro de Universidade Federal de Viçosa. Departamento de Matemática UFV. Aulas de MAT

EDO I. por Abílio Lemos. 16 e 18 de outubro de Universidade Federal de Viçosa. Departamento de Matemática UFV. Aulas de MAT EDO I por Universidade Federal de Viçosa Departamento de Matemática-CCE Aulas de MAT 147-2017 16 e 18 de outubro de 2017 Definição 1 Uma equação diferencial é qualquer relação entre uma função e suas derivadas.

Leia mais

Equações Ordinarias 1ªOrdem - Lineares

Equações Ordinarias 1ªOrdem - Lineares Nome: Nº Curso: Licenciatura em Matemática Disciplina: Equações Diferenciais Ordinárias 7ºPeríodo Prof. Leonardo Data: / /2018 Equações Ordinarias 1ªOrdem - Lineares 1. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS

Leia mais

Equações Diferenciais Ordinárias

Equações Diferenciais Ordinárias Equações Diferenciais Ordinárias 1 INTRODUÇÃO Fala galera, estamos aqui para ajuda-los com essa matéria muito importante para nós da UFRJ, esses conceitos serão muito utilizados nas próximas matérias do

Leia mais

DIVISÃO DE POLINÔMIOS

DIVISÃO DE POLINÔMIOS DIVISÃO DE POLINÔMIOS Prof. Patricia Caldana A divisão de polinômios estrutura-se em um algoritmo, podemos enuncia-lo como sendo: A divisão de um polinômio D(x) por um polinômio não nulo E(x), de modo

Leia mais

Análise Complexa e Equações Diferenciais 1 ō Semestre 2016/2017

Análise Complexa e Equações Diferenciais 1 ō Semestre 2016/2017 Análise Complexa e Equações Diferenciais 1 ō Semestre 016/017 ō Teste Versão A (Cursos: MEBiol, MEQ 17 de Dezembro de 016, 10h [,0 val 1 Considere a equação diferencial e t + y e t + ( 1 + ye t dy dt 0

Leia mais

d [xy] = x cos x. dx y = sin x + cos x + C, x

d [xy] = x cos x. dx y = sin x + cos x + C, x Instituto de Matemática e Estatística da USP MAT2455 - Cálculo Diferencial e Integral IV para Engenharia 3a. Prova - 2o. Semestre 2011-21/11/2011 Turma A Questão 1. a) (1,0 ponto) Determine a solução geral

Leia mais

7 Equações Diferenciais. 7.1 Classificação As equações são classificadas de acordo como tipo, a ordem e a linearidade.

7 Equações Diferenciais. 7.1 Classificação As equações são classificadas de acordo como tipo, a ordem e a linearidade. 7 Equações Diferenciais Definição: Uma equação diferencial é uma equação em que as incógnitas são funções e a equação envolve derivadas dessas funções. : = 5x + 3 4 d3 3 + (sen x) d2 2 + 5x = 0 2 t 2 4

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO CÁLCULO L NOTAS DA NONA AULA UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO Resumo. Nesta aula, apresentaremos as funções logaritmo e exponencial e calcularemos as suas derivadas. Também estabeleceremos algumas propriedades

Leia mais

de Coeficientes Constantes

de Coeficientes Constantes Seção 12: Equações Diferenciais Lineares não Homogêneas de Coeficientes Constantes O objetivo desta seção é estudar as equações lineares não homogêneas de coeficientes constantes No entanto, a versão do

Leia mais

Respostas sem justificativas não serão aceitas. Além disso, não é permitido o uso de aparelhos eletrônicos. x x = lim.

Respostas sem justificativas não serão aceitas. Além disso, não é permitido o uso de aparelhos eletrônicos. x x = lim. UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO UNIDADE ACADÊMICA DO CABO DE SANTO AGOSTINHO CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 1-2017.2 1A VERIFICAÇÃO DE APRENDIZAGEM - TURMA GEA Nome Legível RG CPF Respostas sem

Leia mais

Elaborado por: João Batista F. Sousa Filho (Graduando Engenharia Civil UFRJ )

Elaborado por: João Batista F. Sousa Filho (Graduando Engenharia Civil UFRJ ) www.engenhariafacil.weebly.com Elaborado por: João Batista F. Sousa Filho (Graduando Engenharia Civil UFRJ- 014.1) Bizu: (I) Resumo com exercícios resolvidos do assunto: Métodos de Integração. (I) Métodos

Leia mais

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES SEGUNDA ORDEM

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES SEGUNDA ORDEM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS LINEARES SEGUNDA ORDEM 02/04/2014 Prof. Geraldine Revisão de Álgebra Linear Definição de conjunto Linearmente Independente Dizemos que as funções f ( x), f ( x) são LI, em um 1 2

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Construção de Grácos. Objetivo da Aula. Aula n o 20: Grácos. Utilizar o Cálculo Diferencial para esboçar o gráco de uma função.

CÁLCULO I. 1 Construção de Grácos. Objetivo da Aula. Aula n o 20: Grácos. Utilizar o Cálculo Diferencial para esboçar o gráco de uma função. CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Prof. Emerson Veiga Prof. Tiago Coelho Aula n o 0: Grácos. Objetivo da Aula Utilizar o Cálculo Diferencial para esboçar o gráco

Leia mais

PRÉ-PRÉ-PROVA UFRGS Prof. Marcelo Cóser MATEMÁTICA. Pré-prova disponível para download em

PRÉ-PRÉ-PROVA UFRGS Prof. Marcelo Cóser MATEMÁTICA. Pré-prova disponível para download em PRÉ-PRÉ-PROVA UFRGS 2011 Prof. Marcelo Cóser MATEMÁTICA Pré-prova disponível para download em www.marcelocoser.com.br 01) Qual o domínio da função? 9 x 2 A melhor maneira de resolver a inequação 9 x²

Leia mais

1 [30] A figura ao lado mostra o zoom da discretização de uma função

1 [30] A figura ao lado mostra o zoom da discretização de uma função TT9 Matemática Aplicada I Curso de Engenharia Ambiental Departamento de Engenharia Ambiental, UFPR P, 3 mar 22 Prof. Nelson Luís Dias NOME: GABARITO Assinatura: 3] A figura ao lado mostra o zoom da discretização

Leia mais

Equações Diferenciais Noções Básicas

Equações Diferenciais Noções Básicas Equações Diferenciais Noções Básicas Definição: Chama-se equação diferencial a uma equação em que a incógnita é uma função (variável dependente) de uma ou mais variáveis (variáveis independentes), envolvendo

Leia mais

0.1 Tutorial sobre Polinômio de Taylor

0.1 Tutorial sobre Polinômio de Taylor Métodos numéricos e equações diferenciais ordinárias Solução da lista 02 Tutorial sobre Pol de Taylor tarcisio@member.ams.org T. Praciano-Pereira Dep. de Matemática Univ. Estadual Vale do Acaraú 4 de fevereiro

Leia mais

Circuitos de Primeira Ordem

Circuitos de Primeira Ordem Circuitos de Primeira Ordem Magno T. M. Silva e Flávio R. M. Pavan, 5 Introdução Em geral, um circuito de primeira ordem tem um único elemento armazenador de energia (um capacitor ou um indutor) e é descrito

Leia mais

MAT146 - Cálculo I - Derivada de funções polinomiais, regras de derivação e derivada de funções trigonométricas

MAT146 - Cálculo I - Derivada de funções polinomiais, regras de derivação e derivada de funções trigonométricas MAT146 - Cálculo I - Derivada de funções polinomiais, regras de derivação e derivada de funções trigonométricas Alexandre Miranda Alves Anderson Tiago da Silva Edson José Teixeira Vimos que uma função

Leia mais

UNIFEI - UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ PROVA DE CÁLCULO 1

UNIFEI - UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ PROVA DE CÁLCULO 1 UNIFEI - UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ PROVA DE CÁLCULO 1 PROVA DE TRANSFERÊNCIA INTERNA, EXTERNA E PARA PORTADOR DE DIPLOMA DE CURSO SUPERIOR - 16/10/2016 CANDIDATO: CURSO PRETENDIDO: OBSERVAÇÕES: 1.

Leia mais

Funções Polinomiais com Coeficientes Complexos. Quantidade de Raízes e Consequências. 3 ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda

Funções Polinomiais com Coeficientes Complexos. Quantidade de Raízes e Consequências. 3 ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Funções Polinomiais com Coeficientes Complexos Quantidade de Raízes e Consequências 3 ano E.M. Professores Cleber Assis e Tiago Miranda Funções Polinomiais com Coeficientes Complexos Quantidade de Raízes

Leia mais

Aula 34. Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil

Aula 34. Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil Técnicas de Integração - Continuação Aula 34 Alexandre Nolasco de Carvalho Universidade de São Paulo São Carlos SP, Brazil 03 de Junho de 2014 Primeiro Semestre de 2014 Turma 2014106 - Engenharia Mecânica

Leia mais

Seção 15: Sistema de Equações Diferenciais Lineares Homogêneas com Coeficientes Constantes

Seção 15: Sistema de Equações Diferenciais Lineares Homogêneas com Coeficientes Constantes Seção 15: Sistema de Equações Diferenciais Lineares Homogêneas com Coeficientes Constantes Muitos problemas de física envolvem diversas equações diferenciais. Na seção 14, por exemplo, vimos que o sistema

Leia mais

MAT146 - Cálculo I - Integração de Funções Trigonométricas

MAT146 - Cálculo I - Integração de Funções Trigonométricas MAT146 - Cálculo I - Integração de Funções Trigonométricas Alexandre Miranda Alves Anderson Tiago da Silva Edson José Teixeira Até o momento, somos capazes de resolver algumas integrais trigonométricas

Leia mais

4 de outubro de MAT140 - Cálculo I - Método de integração: Frações Parciais

4 de outubro de MAT140 - Cálculo I - Método de integração: Frações Parciais MAT140 - Cálculo I - Método de integração: Frações Parciais 4 de outubro de 2015 Iremos agora desenvolver técnicas para resolver integrais de funções racionais, conhecido como método de integração por

Leia mais

Integral na reta com Álgebra Linear: caso particular

Integral na reta com Álgebra Linear: caso particular Universidade Estadual de Maringá - Departamento de Matemática Cálculo Diferencial e Integral: um KIT de Sobrevivência 20 anos c Publicação Eletrônica do KIT http://www.dma.uem.br/kit Integral na reta com

Leia mais

Exercícios. setor Aula 39 DETERMINANTES (DE ORDENS 1, 2 E 3) = Resposta: 6. = sen 2 x + cos 2 x Resposta: 1

Exercícios. setor Aula 39 DETERMINANTES (DE ORDENS 1, 2 E 3) = Resposta: 6. = sen 2 x + cos 2 x Resposta: 1 setor 0 00508 Aula 39 ETERMINANTES (E ORENS, E 3) A toda matriz quadrada A de ordem n é associado um único número, chamado de determinante de A e denotado, indiferentemente, por det(a) ou por A. ETERMINANTES

Leia mais

Lista de exercícios sobre integrais

Lista de exercícios sobre integrais Universidade Federal de Ouro Preto Instituto de Ciências Exatas e Biológicas ICEB Departamento de Matemática DEMAT Cálculo Diferencial e Integral A Lista de exercícios sobre integrais Questão : Em nossa

Leia mais

ANÁLISE COMPLEXA E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS AULA TEÓRICA DE ABRIL DE 2016

ANÁLISE COMPLEXA E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS AULA TEÓRICA DE ABRIL DE 2016 ANÁLISE COMPLEXA E EQUAÇÕES DIFERENCIAIS AULA TEÓRICA 25 27 DE ABRIL DE 2016 Aniquiladores A tabela seguinte mostra aniquiladores para diversas funções elementares. e αt D α (α R) t e αt (D α) 2 (α R)

Leia mais

Álgebra Linear. Curso: Engenharia Electrotécnica e de Computadores 1 ō ano/1 ō S 2006/07

Álgebra Linear. Curso: Engenharia Electrotécnica e de Computadores 1 ō ano/1 ō S 2006/07 Álgebra Linear Curso: Engenharia Electrotécnica e de Computadores ō ano/ ō S 6/7 a Lista: SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES E ÁLGEBRA DE MATRIZES Sistemas de equações lineares. Quais das seguintes equações

Leia mais

[a11 a12 a1n 7. SISTEMAS LINEARES 7.1. CONCEITO. Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações do tipo

[a11 a12 a1n 7. SISTEMAS LINEARES 7.1. CONCEITO. Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações do tipo 7. SISTEMAS LINEARES 7.1. CONCEITO Um sistema de equações lineares é um conjunto de equações do tipo a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 2... a n1 x 1 + a

Leia mais

3 Equacões de Bernoulli e Riccati Equação de Bernoulli Equação de Riccati Exercícios... 24

3 Equacões de Bernoulli e Riccati Equação de Bernoulli Equação de Riccati Exercícios... 24 Conteúdo 3 Equacões de Bernoulli e Riccati 18 3.1 - Equação de Bernoulli.................... 18 3.2 - Equação de Riccati..................... 20 3.3 - Exercícios.......................... 24 1 Equações

Leia mais

Resolução das Questões Discursivas

Resolução das Questões Discursivas COMISSÃO PERMANENTE DE SELEÇÃO COPESE PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO PROGRAD CONCURSO PISM III - TRIÊNIO 008-010 Prova de Matemática Resolução das Questões Discursivas São apresentadas abaixo possíveis soluções

Leia mais

Seção 11: EDOLH com coeficientes constantes

Seção 11: EDOLH com coeficientes constantes Seção 11: EDOLH com coeficientes constantes Observação fundamental: Se L(y) = y + py + qy, com p, q constantes então L(e λt ) = ( λ + pλ + q ) e λt. Portanto a EDO L(y) = 0 pode ter solução da forma y

Leia mais

Integrais indefinidas

Integrais indefinidas Integrais indefinidas que: Sendo f(x) e F(x) definidas em um intervalo I R, para todo x I, dizemos F é uma antiderivada ou uma primitiva de f, em I, se F (x) = f(x) Exemplos: F(x) = x é uma antiderivada

Leia mais

DERIVADAS. Duane Damaceno 1 de julho de Taxa de variação 2

DERIVADAS. Duane Damaceno 1 de julho de Taxa de variação 2 DERIVADAS Duane Damaceno 1 de julho de 2015 Sumário 1 Taxa de variação 2 2 O que são derivadas? 2 2.1 Limite: a definição de derivada..................................... 3 2.2 Exemplos.................................................

Leia mais

Índice. AULA 6 Integrais trigonométricas 3. AULA 7 Substituição trigonométrica 6. AULA 8 Frações parciais 8. AULA 9 Área entre curvas 11

Índice. AULA 6 Integrais trigonométricas 3. AULA 7 Substituição trigonométrica 6. AULA 8 Frações parciais 8. AULA 9 Área entre curvas 11 www.matematicaemexercicios.com Integrais (volume ) Índice AULA 6 Integrais trigonométricas 3 AULA 7 Substituição trigonométrica 6 AULA 8 Frações parciais 8 AULA 9 Área entre curvas AULA Volumes 3 www.matematicaemexercicios.com

Leia mais

MATERIAL DE APOIO Integrais

MATERIAL DE APOIO Integrais MATERIAL DE APOIO Integrais Éliton Fontana Fábio César Menslin Júnior 1 Definições 1.1 Integral indefinida Uma integral é dita indefinida quando não se conhece os limites de integração, ou seja, o intervalo

Leia mais

Matemática E Extensivo V. 8

Matemática E Extensivo V. 8 Matemática E Extensivo V. 8 Resolva Aula 9 9.) D x + x 7x 6 = x = é raiz. Aula.) x + px + = Se + i é raiz, então i também é. 5 7 6 Soma = b a = p p = + i + i p = p = Q(x) = x + 5x + Resolvendo Q(x) =,

Leia mais

Aula 25 Técnicas de integração Aula de exercícios

Aula 25 Técnicas de integração Aula de exercícios MÓDULO - AULA 5 Aula 5 Técnicas de integração Aula de exercícios Objetivo Conhecer uma nova série de exemplos nos quais diferentes técnicas de integração são utilizadas. Nesta aula, você verá uma série

Leia mais

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I (CDI-I) PROVA I 20/03/2013. O desenvolvimento de todos os cálculos deve estar presente na prova.

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I (CDI-I) PROVA I 20/03/2013. O desenvolvimento de todos os cálculos deve estar presente na prova. Universidade do Estado de Santa Catarina Centro de Ciências Tecnológicas - CCT Departamento de Matemática Antônio João Fidélis CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I (CDI-I) PROVA I 0/03/013 É proibido o uso

Leia mais

Projeto Jovem Nota 10 Polinômios Lista A Professor Marco Costa

Projeto Jovem Nota 10 Polinômios Lista A Professor Marco Costa 1 Projeto Jovem Nota 10 1. (Ufv 2000) Sabendo-se que o número complexo z=1+i é raiz do polinômio p(x)=2x +2x +x+a,calcule o valor de a. 2. (Ita 2003) Sejam a, b, c e d constantes reais. Sabendo que a divisão

Leia mais

Alexandre Miranda Alves Anderson Tiago da Silva Edson José Teixeira. MAT146 - Cálculo I - Integração por Frações Parciais

Alexandre Miranda Alves Anderson Tiago da Silva Edson José Teixeira. MAT146 - Cálculo I - Integração por Frações Parciais MAT146 - Cálculo I - Integração por Frações Parciais Alexandre Miranda Alves Anderson Tiago da Silva Edson José Teixeira Iremos agora desenvolver um método para resolver integrais de funções racionais,

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Funções Crescentes e Decrescentes

CÁLCULO I. 1 Funções Crescentes e Decrescentes CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. André Almeida Prof. Edilson Neri Júnior Aula n o 17: Crescimento e Decrescimento de funções. Teste da Primeira Derivada. Objetivos da Aula Denir funções crescentes e

Leia mais

Derivada - Parte 2 - Regras de derivação

Derivada - Parte 2 - Regras de derivação Derivada - Parte 2 - Wellington D. Previero previero@utfpr.edu.br http://paginapessoal.utfpr.edu.br/previero Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR Câmpus Londrina Wellington D. Previero Derivada

Leia mais

AmigoPai. Matemática. Exercícios de Equação de 2 Grau

AmigoPai. Matemática. Exercícios de Equação de 2 Grau AmigoPai Matemática Exercícios de Equação de Grau 1-Mai-017 1 Equações de Grau 1. (Resolvido) Identifique os coeficientes da seguinte equação do segundo grau: 3x (x ) + 17 = 0 O primeiro passo é transformar

Leia mais

RESOLUÇÕES LISTA 02. b) FALSA, pois para termos a equação de uma reta em um certo ponto a função deve ser derivável naquele ponto.

RESOLUÇÕES LISTA 02. b) FALSA, pois para termos a equação de uma reta em um certo ponto a função deve ser derivável naquele ponto. UNIVERSIDADE ESTADUAL VALE DO ACARAÚ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CAMPUS DA CIDAO CURSO DE MATEMÁTICA CÁLCULO NUMÉRICO JOSÉ CLAUDIMAR DE SOUSA RESOLUÇÕES LISTA 02 QUESTÃO 1 a) Pela equação

Leia mais

Relações de Girard - Parte II

Relações de Girard - Parte II Polos Olímpicos de Treinamento Curso de Álgebra - Nível 2 Prof. Marcelo Mendes Aula 19 Relações de Girard - Parte II Vamos continuar vendo mais exemplos das Relações de Girard. Veremos também um resultado

Leia mais

Equações Diferenciais Noções Básicas

Equações Diferenciais Noções Básicas Equações Diferenciais Noções Básicas Definição: Chama-se equação diferencial a uma equação em que a incógnita é uma função (variável dependente) de uma ou mais variáveis (independentes), envolvendo derivadas

Leia mais

= 2 sen(x) (cos(x) (b) (7 pontos) Pelo item anterior, temos as k desigualdades. sen 2 (2x) sen(4x) ( 3/2) 3

= 2 sen(x) (cos(x) (b) (7 pontos) Pelo item anterior, temos as k desigualdades. sen 2 (2x) sen(4x) ( 3/2) 3 Problema (a) (3 pontos) Sendo f(x) = sen 2 (x) sen(2x), uma função π-periódica, temos que f (x) = 2 sen(x) cos(x) sen(2x) + sen 2 (x) 2 cos(2x) = 2 sen(x) (cos(x) sen(2x) + sen(x) cos(2x) ) = 2 sen(x)

Leia mais

INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBAL ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA. MATEMÁTICA APLICADA 1 o SEMESTRE 2016/2017

INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBAL ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA. MATEMÁTICA APLICADA 1 o SEMESTRE 2016/2017 3 de janeiro de 7 Instruções: INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBAL ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA MATEMÁTICA APLICADA o SEMESTRE 6/7 Resolução do o Teste Duração: hm É obrigatória

Leia mais

EXERCÍCIOS DE ELEMENTOS DE MATEMÁTICA II (BQ, CTA, EFQ, Q) 2002/2003. Funções reais de várias variáveis

EXERCÍCIOS DE ELEMENTOS DE MATEMÁTICA II (BQ, CTA, EFQ, Q) 2002/2003. Funções reais de várias variáveis EXERCÍCIOS DE ELEMENTOS DE MATEMÁTICA II (BQ, CTA, EFQ, Q) 2002/2003 Funções reais de várias variáveis 1. Faça um esboço de alguns conjuntos de nível das seguintes funções: (a) f (x,y) = 1 + x + 3y, (x,y)

Leia mais

MAT 2110 : Cálculo para Química

MAT 2110 : Cálculo para Química MAT 2110 : Cálculo para Química Aula 3/ Sexta 28/02/2014 Sylvain Bonnot (IME-USP) 2014 1 Resumo Aula 2 1 Informaçãoes gerais: Site: ver o link para MAT 2110 na pagina http://www.ime.usp.br/~sylvain/courses.html

Leia mais

Álgebra Linear. Cursos: Química, Engenharia Química, Engenharia de Materiais,Engenharia Biológica, Engenharia do Ambiente 1 ō ano/1 ō Semestre 2006/07

Álgebra Linear. Cursos: Química, Engenharia Química, Engenharia de Materiais,Engenharia Biológica, Engenharia do Ambiente 1 ō ano/1 ō Semestre 2006/07 Álgebra Linear Cursos: Química, Engenharia Química, Engenharia de Materiais,Engenharia Biológica, Engenharia do Ambiente ō ano/ ō Semestre 2006/07 a Lista: SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES E ÁLGEBRA DE MATRIZES

Leia mais

Análise Complexa e Equações Diferenciais 2 ō Semestre 2013/2014

Análise Complexa e Equações Diferenciais 2 ō Semestre 2013/2014 Análise Complexa e Equações Diferenciais 2 ō Semestre 213/21 Cursos: 2 ō Teste, versão A LEIC, MEEC, LEMat, MEAer, MEBiol, MEQ, MEAmbi 31 de Maio de 21, 11h3 [1,5 val. 1. Considere a equação diferencial

Leia mais

1. Converta os seguintes números decimais para sua forma binária: (a) 22 (b) 255 (c) 256 (d) 0.11 (e) (f)

1. Converta os seguintes números decimais para sua forma binária: (a) 22 (b) 255 (c) 256 (d) 0.11 (e) (f) 1 a Lista de Exercícios de Cálculo Numérico Prof a. Vanessa Rolnik 1. Converta os seguintes números decimais para sua forma binária: (a) 22 (b) 255 (c) 256 (d).11 (e).8125 (f) 4.69375 2. Converta os seguintes

Leia mais

ANÁLISE MATEMÁTICA IV

ANÁLISE MATEMÁTICA IV Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise ANÁLISE MATEMÁTICA IV o Teste do 1 o semestre de 04/05 cursos: LEAm, LEBl, LEQ, LQ, LEIC, LEM, LEMat, LEGM, LEAN e LEC

Leia mais

Material Teórico - Módulo Equações do Segundo Grau. Equações de Segundo Grau: outros resultados importantes. Nono Ano do Ensino Funcamental

Material Teórico - Módulo Equações do Segundo Grau. Equações de Segundo Grau: outros resultados importantes. Nono Ano do Ensino Funcamental Material Teórico - Módulo Equações do Segundo Grau Equações de Segundo Grau: outros resultados importantes Nono Ano do Ensino Funcamental Autor: Prof. Fabrício Siqueira Benevides Revisor: Prof. Antonio

Leia mais

MATEMÁTICA I LIMITE. Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari

MATEMÁTICA I LIMITE. Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari MATEMÁTICA I LIMITE Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari amanda@fcav.unesp.br Parte 1 Limites Definição de vizinhança e ite Limites laterais Limite de função real com uma variável real Teorema da existência

Leia mais

Seção 9: EDO s lineares de 2 a ordem

Seção 9: EDO s lineares de 2 a ordem Seção 9: EDO s lineares de a ordem Equações Homogêneas Definição. Uma equação diferencial linear de segunda ordem é uma equação da forma onde fx, gx e rx são funções definidas em um intervalo. y + fx y

Leia mais

Análise Complexa e Equações Diferenciais 2 o Semestre 2013/14 Cursos: LEAN, MeMec

Análise Complexa e Equações Diferenciais 2 o Semestre 2013/14 Cursos: LEAN, MeMec Análise Complexa e Equações Diferenciais 2 o Semestre 2013/14 Cursos: LEAN, MeMec M Paluch Aulas 28 33 7 23 de Abril de 2014 Exemplo de uma equação diferencial A Lei de Newton para a propagação de calor,

Leia mais

parciais primeira parte

parciais primeira parte MÓDULO - AULA 3 Aula 3 Técnicas de integração frações parciais primeira parte Objetivo Aprender a técnica de integração conhecida como frações parciais. Introdução A técnica que você aprenderá agora lhe

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO UNIDADE ACADÊMICA DO CABO DE SANTO AGOSTINHO CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL

UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO UNIDADE ACADÊMICA DO CABO DE SANTO AGOSTINHO CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL UNIVERSIDADE FEDERAL RURAL DE PERNAMBUCO UNIDADE ACADÊMICA DO CABO DE SANTO AGOSTINHO CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL -. EXAME FINAL Nome Legível RG CPF Respostas sem justificativas não serão aceitas. Além

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral I Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores 2 o Teste (V1) - 15 de Janeiro de h00m

Cálculo Diferencial e Integral I Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores 2 o Teste (V1) - 15 de Janeiro de h00m Cálculo Diferencial e Integral I Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores 2 o Teste (V) - 5 de Janeiro de 2 - hm Resolução Problema (2,5 val.) Determine uma primitiva de cada uma

Leia mais

Seção 15: Sistema de Equações Diferenciais Lineares Homogêneas com Coeficientes Constantes

Seção 15: Sistema de Equações Diferenciais Lineares Homogêneas com Coeficientes Constantes Seção 15: Sistema de Equações Diferenciais Lineares Homogêneas com Coeficientes Constantes Muitos problemas de física envolvem diversas equações diferenciais. Na seção 14, por exemplo, vimos que o sistema

Leia mais

MAT CÁLCULO 2 PARA ECONOMIA. Geometria Analítica

MAT CÁLCULO 2 PARA ECONOMIA. Geometria Analítica MT0146 - CÁLCULO PR ECONOMI SEMESTRE DE 016 LIST DE PROBLEMS Geometria nalítica 1) Sejam π 1 e π os planos de equações, respectivamente, x + y + z = e x y + z = 1. Seja r a reta formada pela interseção

Leia mais

Curso Satélite de. Matemática. Sessão n.º 1. Universidade Portucalense

Curso Satélite de. Matemática. Sessão n.º 1. Universidade Portucalense Curso Satélite de Matemática Sessão n.º 1 Universidade Portucalense Conceitos Algébricos Propriedades das operações de números reais Considerem-se três números reais quaisquer, a, b e c. 1. A adição de

Leia mais

y y(y + 3x) em frações parciais: 1 u + 1 A(u + 1) + Bu = 1 A = 1, B = 1 du u(u + 1) u + 1 u 2 u + 1

y y(y + 3x) em frações parciais: 1 u + 1 A(u + 1) + Bu = 1 A = 1, B = 1 du u(u + 1) u + 1 u 2 u + 1 Turma A Questão : (3,5 pontos) Instituto de Matemática e Estatística da USP MAT455 - Cálculo Diferencial e Integral IV para Engenharia 3a. Prova - o. Semestre 03-0//03 (a) Determine a solução y da equação

Leia mais

Instituto de Matemática - IM/UFRJ Cálculo I - MAC118 1 a Prova - Gabarito - 13/10/2016

Instituto de Matemática - IM/UFRJ Cálculo I - MAC118 1 a Prova - Gabarito - 13/10/2016 Instituto de Matemática - IM/UFRJ Cálculo I - MAC118 1 a Prova - Gabarito - 13/10/2016 Questão 1: (2 pontos) x (a) (0.4 ponto) Calcule o ite: 2 + 3 2. x 1 x 1 ( πx + 5 ) (b) (0.4 ponto) Calcule o ite:

Leia mais

Esmeralda Sousa Dias. (a) (b) (c) Figura 1: Ajuste de curvas a um conjunto de pontos

Esmeralda Sousa Dias. (a) (b) (c) Figura 1: Ajuste de curvas a um conjunto de pontos Mínimos quadrados Esmeralda Sousa Dias É frequente ser necessário determinar uma curva bem ajustada a um conjunto de dados obtidos experimentalmente. Por exemplo, suponha que como resultado de uma certa

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Derivada de Funções Elementares

CÁLCULO I. 1 Derivada de Funções Elementares CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida Aula n o : Derivada das Funções Elementares. Regras de Derivação. Objetivos da Aula Apresentar a derivada das funções elementares; Apresentar

Leia mais

Conteúdo. 3 Transformada de Laplace Aplicações em equações diferenciais de primeira ordem... 34

Conteúdo. 3 Transformada de Laplace Aplicações em equações diferenciais de primeira ordem... 34 Conteúdo 1 Introdução/Revisão a integral 3 1.1 Integral de funções primitivas......................... 3 1.1.1 Integral de uma constante:...................... 3 1.1.2 Integral de um função:.........................

Leia mais

1 A Equação Fundamental Áreas Primeiras definições Uma questão importante... 7

1 A Equação Fundamental Áreas Primeiras definições Uma questão importante... 7 Conteúdo 1 4 1.1- Áreas............................. 4 1.2 Primeiras definições...................... 6 1.3 - Uma questão importante.................. 7 1 EDA Aula 1 Objetivos Apresentar as equações diferenciais

Leia mais

Função Afim. Definição. Gráfico

Função Afim. Definição. Gráfico Função Afim Definição Chama-se função polinomial do 1º grau, ou função afim, a qualquer função f de IR em IR dada por uma lei da forma f(x) = ax + b, onde a e b são números reais dados e a 0. Na função

Leia mais

o tempo gasto por A para percorrê-la. Tomaremos t A como nossa unidade de tempo, como mostra o quadro a seguir: Atleta Tempo Distância percorrida

o tempo gasto por A para percorrê-la. Tomaremos t A como nossa unidade de tempo, como mostra o quadro a seguir: Atleta Tempo Distância percorrida GABARITO QUESTÕES DISSERTATIVAS MATEMÁTICA Questão dissertativa 1 Observamos que para cada uma das questões dissertativas há mais de uma resolução. Na questão dissertativa 1, a resposta à tarefa de listar

Leia mais

Capítulo 9. Circuitos de Segunda Ordem

Capítulo 9. Circuitos de Segunda Ordem EA-53 Circuitos Elétricos I Capítulo 9 Circuitos de Segunda Ordem EA-53 Circuitos Elétricos I 9. Circuitos com Dois Elementos Armazenadores Circuito com dois indutores, onde deseja-se obter a corrente

Leia mais

LIMITES E CONTINIDADE

LIMITES E CONTINIDADE MATEMÁTICA I LIMITES E CONTINIDADE Prof. Dr. Nelson J. Peruzzi Profa. Dra. Amanda L. P. M. Perticarrari Parte 1 Parte 2 Limites Infinitos Definição de vizinhança e ite Limites laterais Limite de função

Leia mais

Aula: Equações diferenciais lineares de ordem superior

Aula: Equações diferenciais lineares de ordem superior Aula: Equações diferenciais lineares de ordem superior Profa. Ariane Piovezan Entringer DMA - UFV Problema de Valor Inicial - EDO de ordem n Problema de Valor Inicial - EDO de ordem n a n (x) d n y dx

Leia mais

CÁLCULO I. 1 A Função Logarítmica Natural. Objetivos da Aula. Aula n o 22: A Função Logaritmo Natural. Denir a função f(x) = ln x;

CÁLCULO I. 1 A Função Logarítmica Natural. Objetivos da Aula. Aula n o 22: A Função Logaritmo Natural. Denir a função f(x) = ln x; CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 22: A Função Logaritmo Natural Objetivos da Aula Denir a função f(x) = ln x; Calcular limites, derivadas e integral envolvendo a função

Leia mais

w 1 = v 1 + v 2 + v 3 w 2 = 2v 2 + v 3 (1) w 3 = v 1 + 3v 2 + 3v 3 também são linearmente independentes. T =

w 1 = v 1 + v 2 + v 3 w 2 = 2v 2 + v 3 (1) w 3 = v 1 + 3v 2 + 3v 3 também são linearmente independentes. T = Independência e dependência linear ) a) Sejam v, v e v vectores linearmente independentes de um espaço linear S. Prove que os vectores também são linearmente independentes. Resolução Seja V a expansão

Leia mais

Índice. AULA 5 Derivação implícita 3. AULA 6 Aplicações de derivadas 4. AULA 7 Aplicações de derivadas 6. AULA 8 Esboço de gráficos 9

Índice. AULA 5 Derivação implícita 3. AULA 6 Aplicações de derivadas 4. AULA 7 Aplicações de derivadas 6. AULA 8 Esboço de gráficos 9 www.matematicaemexercicios.com Derivadas Vol. 2 1 Índice AULA 5 Derivação implícita 3 AULA 6 Aplicações de derivadas 4 AULA 7 Aplicações de derivadas 6 AULA 8 Esboço de gráficos 9 www.matematicaemexercicios.com

Leia mais

Informática no Ensino de Matemática Prof. José Carlos de Souza Junior

Informática no Ensino de Matemática Prof. José Carlos de Souza Junior Informática no Ensino de Matemática Prof. José Carlos de Souza Junior http://www.unifal-mg.edu.br/matematica/?q=disc jc Aula 04 ATIVIDADE 01 Outro grande recurso do GeoGebra é o de resolver simbolicamente

Leia mais

Seno e cosseno de arcos em todos os. quadrantes

Seno e cosseno de arcos em todos os. quadrantes Trigonometria Seno e cosseno de arcos em todos os quadrantes Seno e cosseno de arcos em todos os quadrantes Exemplo: Vamos determinar X, com 0 x < 2π tal que sen x = - 1 2. Seno e cosseno de arcos em todos

Leia mais

por Partes Objetivo Dividir para conquistar! Aprender a técnica de integração por partes.

por Partes Objetivo Dividir para conquistar! Aprender a técnica de integração por partes. MÓDULO 2 - AULA 9 Aula 9 Técnicas de Integração Integração por Partes Objetivo Aprender a técnica de integração por partes. Dividir para conquistar! Júlio César Nas duas últimas aulas, você aprendeu a

Leia mais

Exercícios Operações com frações 1. Determine o valor das seguintes expressões, simplificando sempre que possível:

Exercícios Operações com frações 1. Determine o valor das seguintes expressões, simplificando sempre que possível: Exercícios Operações com frações. Determine o valor das seguintes expressões, simplificando sempre que possível: 7 c 6 8 6 d b a 8 : 8 7 0 f 8 7 h g e : 6 8 : 6 7 l k j i n m Equações de º Grau Resolva

Leia mais

Nesta seção começamos o estudo das equações diferenciais a derivadas parciais, abreviadamente. da onda da onda ocorre é no problema da corda vibrante.

Nesta seção começamos o estudo das equações diferenciais a derivadas parciais, abreviadamente. da onda da onda ocorre é no problema da corda vibrante. Seção 18: Equação da Onda Nesta seção começamos o estudo das equações diferenciais a derivadas parciais, abreviadamente EDP s. Começamos pela equação da onda. Um exemplo de situação em que a equação da

Leia mais