Gr aficos de Fun c oes Elementares
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- Otávio Bandeira
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1 Gráficos de Funções Elementares
2 O gráfico de uma f.r.v.r. é uma curva ou uma união de curvas. Para a sua determinação é necessário conhecer o comportamento da função. Entre os vários aspectos da teoria das funções há a destacar:. Domínio; 2. Periodicidade e simetrias; 3. Pontos de descontinuidade; 4. Pontos de intersecção com os eixos; 5. Intervalos de monotonia e extremos; 6. Intervalos de concavidade e pontos de inflexão; 7. Assímptotas.
3 Alguns dos pontos acabados de referir irão ser estudados mais à frente. Para além dos aspectos referidos, é possível obter gráficos de funções reais de variável real, recorrendo aos gráficos, já conhecidos, de outras funções. Podemos assim usar os seguintes resultados. Seja f uma função e c uma constante positiva. Translação Vertical O gráfico de g(x) = f(x) + c é o gráfico de f deslocado verticalmente, no sentido positivo, c unidades. O gráfico de g(x) = f(x) c é o gráfico de f deslocado verticalmente, no sentido negativo, c unidades. 2
4 Translação Horizontal O gráfico de g(x) = f(x + c) é o gráfico de f deslocado horizontalmente, no sentido negativo, c unidades. O gráfico de g(x) = f(x c) é o gráfico de f deslocado horizontalmente, no sentido positivo, c unidades. Reflexões O gráfico de g(x) = f(x) é o gráfico de f, reflectido em relação ao eixo dos xx. O gráfico de g(x) = f( x) é o gráfico de f, reflectido em relação ao eixo dos. 3
5 Gráficos de Funções Inversas Graficamente uma função f tem inversa se e somente se o gráfico for cortado, no máximo, uma vez por qualquer recta horizontal. Se f tiver inversa então os gráficos de = f(x) e = f (x) são reflexões um do outro em relação à recta = x (bissectriz dos quadrantes ímpares). 4
6 Funções Elementares As funções elementares são as funções potências, exponenciais, circulares, hiperbólicas e as suas inversas. Função Potência de Expoente Natural Chama-se Função Potência a qualquer função da forma com n N. f : R R x = x n, Se n é par o gráfico é da forma: - x 5
7 Se n é ímpar o gráfico tem o seguinte aspecto: - x Função Potência de Expoente Negativo Neste caso, tem-se f : R\{0} R x = x n = x n, com n N. Os gráficos da função potência de expoente negativo, para n par e n ímpar, têm os seguintes aspectos. 6
8 - x - x Funções Raízes As Funções Raízes são Funções Potências de Expoente Racional. Além disso, também podem ser Funções Inversas das Funções Potências acabadas de estudar. 7
9 Função Raiz Índice Par Como a função potência de expoente par não é injectiva no seu domínio, não tem inversa. No entanto, se considerarmos a função restrição da função potência para os valores de x 0 esta é injectiva e assim podemos considerar a sua função inversa: com n par. f : CD f R n, Ora, como o domínio e contradomínio da função potência para x 0 é R +, conclui-se que o domínio e contradomínio da função raiz também é R +. 8
10 Para obter o gráfico desta função basta fazer uma reflexão do gráfico da função potência (considerando apenas os valores se x tais que x 0) relativamente à bissectriz dos quadrantes ímpares, como mostra a figura. x Função Raiz Índice Ímpar A função potência de expoente ímpar é injectiva. Assim, a função inversa de f existe e tem-se com n ímpar. f : CD f R n, 9
11 Ora, como o domínio e contradomínio da função potência é R, conclui-se que o domínio e contradomínio da função raiz também é R. - x - Funções Exponenciais Chama-se Função Exponencial de base a qualquer função da forma a onde a > 0 e a. f : R R x = a x, As funções exponenciais têm um de dois aspectos básicos, consoante 0 < a < ou a >, como veremos de seguida. 0
12 Função Exponencial de base a > - x Se a = e = , e x é chamada Exponencial Natural. Função Exponencial de base 0 < a < - x
13 Função Logaritmo de base a > A Função Exponencial de base a > é injectiva. Assim, a função inversa de f existe e tem-se f : CD f R log a. A esta função dá-se o nome de Função Logaritmo de base a. Ora, como o domínio e contradomínio da função exponencial de base a (a > ) é, respectivamente, R e R +, concluise que o domínio e contradomínio da função logaritmo de base a (a > ) é R + e R, respectivamente. x - 2
14 Função Logaritmo de base 0 < a < A Função Exponencial de base 0 < a < é injectiva com domínio R e CD f =]0, + [ pelo que podemos considerar a sua função inversa f, cujo gráfico é o seguinte. x - 3
15 Funções Circulares Directas Devido às definições de cos x, sin x e tan x, apresentadas podemos considerar as seguintes funções: f : R R x cos x, f 2 : R R x sin x, f 3 : R \ {(2k + ) π 2 : k Z} R x tan x, que se chamam Funções Circulares. 4
16 Função Co-seno A função co-seno é periódica de período 2π, o que significa que o seu comportamento se repete em sucessivos intervalos de comprimento 2π. O gráfico da função f tem a forma seguinte. Função Seno Como sin x = cos(x π 2 ) então o seu gráfico obtém-se fazendo uma translação horizontal de π 2, no sentido positivo do eixo dos xx, como mostra a figura. 5
17 Função Tangente A função tangente é periódica de período π. 6
18 Há ainda a considerar as seguintes Funções Circulares: f : R \ {kπ : k Z} R x cot x = tan x ; f : R \ {(2k + ) π 2 : k Z} R x sec x = cos x ; f : R \ {kπ : k Z} R x csc x = sin x. 7
19 Função Arco Co-seno Como a função co-seno é uma função periódica, conclui-se que não é injectiva no seu domínio. Assim, a função f não tem inversa. No entanto, se considerarmos a função restrição da função co-seno ao conjunto A = [0, π], esta é injectiva e assim podemos considerar a sua função inversa: (f A ) : [, ] R x = arccos. A esta função dá-se o nome de Função Arco Co-seno. Devido à definição de função inversa tem-se: x [0, π] [, ] ( = cos x x = arccos ) 8
20 Substituindo o valor de x e de dados numa das igualdades na outra igualdade, obtém-se: cos(arccos ) =, para [, ]; arccos(cos x) = x para x [0, π]. Para obter o gráfico desta função basta fazer uma reflexão do gráfico da função co-seno (considerando apenas os valores se x tais que 0 x π) relativamente à bissectriz dos quadrantes ímpares, como mostra a figura. 9
21 Função Arco Seno À semelhança da função co-seno, a função seno não é injectiva no seu domínio. Se considerarmos a função restrição da função seno ao conjunto A 2 = [ π 2, π 2 ], esta é injectiva e assim podemos considerar a sua função inversa: (f 2 A2 ) : [, ] R x = arcsin. 20
22 A esta função dá-se o nome de Função Arco Seno. Devido à definição de função inversa tem-se: x [ π 2, π ] [, ] 2 ( = sin x x = arcsin ) Para obter o gráfico desta função basta fazer uma reflexão do gráfico da função seno (considerando apenas os valores se x tais que π 2 x π 2 ) relativamente à bissectriz dos quadrantes ímpares, como mostra a figura. Função Arco Tangente Da mesma maneira que as funções seno e coseno, a função tangente não é injectiva no seu domínio. 2
23 Se considerarmos a função restrição da função tangente ao conjunto A 3 =] π 2, π 2 [, esta é injectiva e assim podemos considerar a sua função inversa: (f 3 A3 ) : R R x = arctan. A esta função dá-se o nome de Função Arco Tangente. Para obter o gráfico desta função basta fazer uma reflexão do gráfico da função tangente (considerando apenas os valores se x tais que π 2 < x < π 2 ) relativamente à bissectriz dos quadrantes ímpares, como mostra a figura. 22
24 Funções Hiperbólicas Directas Devido às definições de cosh x, sinh x, tanh x e coth x, apresentadas, podemos introduzir as seguintes funções: f 4 : R R x cosh x = ex + e x, 2 f 5 : R R x sinh x = ex e x, 2 f 6 : R R x tanh x = sinh x cosh x. que se chamam Funções Hiperbólicas Directas. 23
25 Os gráficos das funções hiperbólicas directas são - x - - x - - x - 24
26 Há ainda a considerar as seguintes Funções Hiperbólicas: f : R \ {0} R x coth x = tanh x f : R R x sech x = cosh x f : R \ {0} R x csch x = sinh x 25
27 Funções Hiperbólicas Inversas Função Argumento Co-seno Hiperbólico A função f 5 : R R x cosh x não é injectiva no seu domínio (para o confirmar basta observar o seu gráfico), mas é injectiva em [0, + [. Além disso CD f = [, + [. Assim a sua restrição a [0, + [ tem inversa f : [, + [ R x = arg cosh. A esta função dá-se o nome de Função Argumento Co-seno Hiperbólico. Devido à definição de função inversa tem-se: x [0, + [ [, + [ ( = cosh x x = arg cosh ) 26
28 e portanto x [0, + [ arg cosh(cosh x) = x [, + [ cosh(arg cosh ) =. Para x < 0, cosh x existe e tem-se arg cosh(cosh x) = arg cosh(cosh( x)) = x. Donde x R arg cosh(cosh x) = x. Para obter o gráfico desta função basta fazer uma reflexão do gráfico da função Co-seno Hiperbólico (considerando apenas os valores se x tais que x [0, + [) relativamente à bissectriz dos quadrantes ímpares, como mostra a figura. x 27
29 Função Argumento Seno Hiperbólico A função f 6 : R R x sinh x é injectiva em R e portanto tem inversa (com CD f = R): f : R R x = arg sinh. A esta função dá-se o nome de Função Argumento Seno Hiperbólico. Devido à definição de função inversa tem-se: x R R ( = sinh x x = arg sinh ) e portanto x R arg sinh(sinh x) = x, sinh(arg sinh x) = x. 28
30 - x - Função Argumento Tangente Hiperbólica A função f 7 : R R x tanh x é injectiva em R e o seu contradomínio é ], [. A sua inversa é dada por: f : ], [ R x = arg tanh. A esta função dá-se o nome de Função Argumento Tangente Hiperbólica. Devido à definição de função inversa tem-se: 29
31 x ], [ R ( = tanh x x = arg tanh ). Substituindo x pelo seu valor, arg tanh, na primeira equação vem ], [ tanh(arg tanh ) =. Fazendo o mesmo com obtém-se x R arg tanh(tanh x) = x. - x - 30
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