LIMITES. Para iniciarmos o estudo de limites, analisemos os seguintes exemplos de sucessões numéricas:

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1 LIMITES O esenvolvimento o cálculo foi estimulao por ois problemas geométricos: achar as áreas e regiões planas e as retas tangentes à curva. Esses problemas requerem um processo e limite para sua solução. Entretanto, o processo e limites ocorre em muitas outras aplicações, seno o alicerce sobre o qual toos os outros conceitos o cálculo estão baseaos (Anton, 000). Para iniciarmos o estuo e limites, analisemos os seguintes eemplos e sucessões numéricas: (),, 3, 4, 5, 6, (),,,,, (3), 0, -, -, -3, (4),, 3,, 5,, (5),,,, Na sucessão (), os termos tornam se caa vez maiores sem atingir um limite. Dao um número real, por maior que seja, poemos sempre encontrar na sucessão um termo maior. Dizemos então que os termos esta sucessão tenem para o infinito ou que o limite a sucessão é infinito. Denota se +. Na sucessão () os termos crescem, mas não ilimitaamente. Os números se aproimam caa vez mais e, sem nunca atingirem este valor. Dizemos que. De maneira análoga na sucessão (3), -. Em (4) os termos a sucessão oscilam sem tener para um limite e em (5), os termos iminuem e izemos que 0. Limite e uma função O uso básico e limites é para escrever como uma função se comporta quano a variável inepenente tene a um ao valor. Por eemplo, eaminemos o comportamento a função f() + 4 próimo ao ponto : y aproimação pelo lao ireito e (ou + ) 6 f() aproimação pelo lao esquero e (ou )

2 f() Isto nos leva a seguinte iéia geral: Seja L o valor a função f() no ponto a. Se os valores e f() puerem ser tomaos tão próimos quanto quisermos e L, fazeno suficientemente próimo e a, mas não necessariamente igual a a, então poemos escrever lim a f() L ou f() L quano a No nosso eemplo temos: lim ou quano Eercícios: Determine o limite as seguintes funções e esboce os gráficos: - f() 4, quano - g() +, quano ± 3 - h(), quano ±

3 Derivaas - Introução Muitos fenômenos físicos envolvem granezas que variam (a velociae, a inflação a moea, o número e bactérias em uma cultura, a intensiae e terremotos, a voltagem e um sistema elétrico, e assim por iante). A erivaa é uma ferramenta matemática usaa para estuar taas nas quais variam as granezas físicas. Veremos agora, a estreita relação que eiste entre taas e variação e retas tangentes a gráficos. - A Reta Tangente Muitos os problemas importantes o Cálculo envolvem a eterminação a reta tangente a uma curva aa, em um eterminao ponto ela. O problema e encontrar a reta tangente em um ponto P(,y ) a curva consiste, basicamente, na eterminação a inclinação a reta procuraa. Seja y f() uma curva efinia no intervalo (a,b). Sejam P(, y ) e Q(, y ) ois pontos istintos esta curva e s a reta secante que passa por estes pontos. Consierano o triângulo retângulo formao por PMQ mostrao na figura abaio, temos que a inclinação a reta s (ou o coeficiente angular a reta s) é aa por: m sec tg α y y y () Obs.: A velociae méia urante um intervalo e tempo, enotaa por v m, é v m 0 f ( t) f ( t0 ) que é eatamente a inclinação a reta secante. t t t t 0 0 y Q(, y ) P(, y ) M y

4 Suponhamos que manteno P fio, Q se mova sobre a curva em ireção a P. À meia que Q se aproima e P, a inclinação a reta secante s varia caa vez menos, teneno para um valor limite constante. Este valor limite os á a inclinação a reta tangente à curva no ponto P, que é aa por: m tg y lim Q P lim Q P f ( ) ( ) f () quano o limite eistir. Fazeno + poemos reescrever () na forma: m( ) lim 0 f + ) f ( ) ( (3) Assim, teno o coeficiente angular e um ponto P e tangencia poe se encontrar a equação a reta tangente neste ponto P. O enominaor é a variação e enquanto o numeraor y é a variação e y. o quociente y por nos á a taa e variação. Obs.: A velociae instantânea, no instante t 0, enotaa por v i, é v i f ( t ) f ( t0 ) lim vm lim t t t 0 t0 t t0 que poe ser interpretaa como a inclinação a reta tangente à curva e posição no ponto (t 0, f(t 0 )) quano t t 0. Poe-se obter aproimações caa vez mais precisas a inclinação ou coeficiente angular a reta tangente, escolheno-se uma seqüência e pontos caa vez mais próimos o ponto e tangência. Esta iscussão leva-nos à seguinte efinição: Seja f uma função efinia em um intervalo aberto conteno. Caso o limite lim m 0 sec y lim 0 lim 0 f ( + ) f ( ) m eista, chamaremos e reta tangente ao gráfico e f no ponto (, f( )), a reta que passa por este ponto, tem inclinação m e equação aa por: y f( ) m ( )

5 3 - A Derivaa e uma Função O limite que usamos para efinir a inclinação a reta tangente também é usao para efinir uma as uas operações funamentais o Cálculo a iferenciação. A erivaa e f em é aa por f lim 0 f ( + ) f ese que o limite eista. O processo e encontrar a erivaa e uma função é chamao e iferenciação. Uma função é ita iferenciável em, se sua erivaa eiste em, e é iferenciável em um intervalo aberto (a,b) se for iferenciável em toos os pontos o intervalo. y Além e f f, que se lê f linha e, usam-se outras notações para erivaa e. As mais comuns são y, y, ( ) f, [ f ], D [ y] y Lê-se a notação como a erivaa e y em relação a. Usano a notação e limites, tem-se y y lim lim 0 0 f ( + ) f f E.: Encontre a erivaa e f() + E.: Daa a função f() 3, etermine: (a) f () (b) f () em - E.3: Encontre a erivaa e f() -

6 3 - Regras e Diferenciação Como o processo e encontrar a erivaa e uma função pela efinição é um processo usualmente emorao, precisamos e alguns teoremas que nos possibilitem encontrá-la mais facilmente A Derivaa e Uma Constante Teorema: A erivaa e uma constante é zero., c uma constante Eemplos: [ c] 0 (a) Se f() -π, então f y (b) Se y 7, então 3. - A Derivaa e Uma Função Potência Teorema: Se n é qualquer número real, então n n [ ] n Eemplos: 8 (a) Se f(), então f () (b) * Se y, então y (c) Se g(y) y, então g () () Se h (), então h () 3.3 A Derivaa e Uma Constante, vezes Uma Função Teorema: Se f é uma função iferenciável e c é uma constante, então [ cf ] cf * Escrever a função em uma outra é o primeiro passo em muitos problemas e iferenciação.

7 Informalmente, este teorema iz que as constantes poem ser fatoraas para fora o processo e iferenciação. [ cf ] c [ Οf ] cf Essa regra é esquecia muitas vezes, especialmente quano a constante aparece no enominaor. f f c c c c [ Οf ] f É útil saber que os ois últimos teoremas poem ser combinaos. n n D c cn. A regra para a combinação é [ ] Eemplos: (a) Se g() 3 π, então g () (b) Se f() 9 3, então f () 4t (c) Se f(t), então f (t) 5 () Se H(s) s, então H (s) (e) Se y 3 y, então A Derivaa a Soma ou Diferença e Duas Funções Teorema: A erivaa a soma (ou iferença) e uas funções iferenciáveis é a soma (ou iferença) e suas erivaas. [ f g ] f + g + Regra para a soma [ f g ] f g Regra para a subtração As regras para somas e subtrações poem ser estenias para qualquer número finito e funções. Por F f + g h k F f + g h k eemplo, se ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) então, ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

8 Eemplos : (a) Se f(s) 4s s s, então f ( ) 4 3 (b) Se g() + 3, então g A Derivaa o Prouto e Duas Funções Teorema: O prouto e uas funções iferenciáveis f e g é iferenciável. Além isso, a erivaa o prouto é a primeira função vezes a erivaa a seguna mais a seguna, vezes a erivaa a primeira. [ f g ] f g + g f Eemplos: Encontre a erivaa e: (a) f ( 3 )( 5 + 4) (b) y ( + )( ) A Derivaa o Quociente e Duas Funções Teorema: O quociente f g e uas funções iferenciáveis f e g é iferenciável em toos os pontos para os quais g 0. Além isso, a erivaa e g f aa pela erivaa o numeraor vezes o enominaor menos o numeraor vezes a erivaa o enominaor, tuo isso iviio pelo enominaor ao quarao; é g( ) f g [ g ] f f g, g 0 Note que a erivaa e um prouto e uas funções não é (em geral) o prouto as erivaas as uas funções.

9 Eemplos: Encontre a erivaa e: () f 5 + () h( z) z + 3z 6 (3) 9 y 5 (4) f() (5) 3 y + 5 E.6: Uma partícula move se na ireção positiva e um eio e tal forma que, após t minutos, a sua istância é e 6t 4 centímetros e sua origem. (a) Ache a velociae méia a partícula no intervalo [,4]. R: 70 cm/min (b) Ache a velociae instantânea em t. R: 9 cm/min E.7: Durante os 40 segunos iniciais e vôo, um foguete é isparao iretamente para cima, e tal forma que a altura atingia em t segunos é e s 5t 3 pés. (a) Qual é a altura atingia em 40 s? R: pés (b) Qual é a velociae méia o foguete urante os primeiros 40 s? R:8.000 pés/s (c) Qual é a velociae instantânea ao fim os 40 segunos? R: pés/s

10 Aplicações envolveno Derivaas Entre os problemas a seguir, estão alguns que tratam e funções marginais. Os economistas freqüentemente utilizam o ajetivo marginal para enotar uma erivaa. Função Marginal: Daa uma função f(), costuma-se utilizar o conceito e função marginal para avaliar o efeito causao, em f(), por uma pequena variação e. Por eemplo, chamamos e custo marginal a erivaa a função custo, que é aproimaamente igual à variação o custo ecorrente a proução e uma uniae aicional, a partir e uniaes já prouzias. E. : Sejam as funções Receita e Custo aas por R() 3+30 e C () , etermine: a) a função Lucro; b) a função Receita Marginal; c) a função Custo Marginal; ) a função Lucro Marginal. E. : Suponha que o faturamento obtio com a proução (e vena) e uniaes e um prouto seja ao por R() 3-0,0 ólares. a) Se o faturamento é e US$ 5, quantas uniaes foram prouzias? b) Encontre o faturamento marginal quano o nível e proução está em 0 uniaes. {R.:a) 50 u; R (0),6u.m. é o faturamento para a pro. e vena a 0ªuni.} E. 3: Daa a função emana p() 0, obtenha: a) o valor e que maimiza a receita. b) o preço que maimiza a receita. c) a receita máima. {R.: 5; p0u.m.; R50u.m.} E. 4: Suponha que a equação e emana e um monopolista seja p() 00 0,0 e que a função custo seja C() Encontre o valor e que maimiza o lucro, etermine o preço corresponente e o lucro total para este nível e proução. {R.:.500; p75u.m.; L5.500u.m.} E. 5: Suponha que o faturamento obtio com a proução (e vena) e uniaes e um prouto seja ao por R() 6 0,0 ólares. a) Encontre o faturamento marginal quano o nível e proução está em 30 uniaes. {R: U$4,8} b) Encontre em termos e proução quano o faturamento é e US$ 400. {R: 00 e 00 uniaes}

11 PARÁBOLA Por que as antenas que captam sinais o espaço são parabólicas? Por que os espelhos os telescópios astronômicos são parabólicos? Nos ois eemplos acima, os sinais que recebemos (onas e ráio ou luz) são muito fracos. Por isso é necessário captá-los em uma área relativamente grane e concentrá-los em um único ponto para que sejam naturalmente amplificaos. Portanto, a superfície a antena (ou o espelho) eve ser tal que toos os sinais recebios e uma mesma ireção sejam irecionaos para um único ponto após a refleão. A parábola possui eatamente essa proprieae e, por isso, as antenas e os espelhos são parabólicos. Parábolas serão o objeto e estuo essa área. Definição Daos uma reta e um ponto F (F ), e um plano α, chamamos e parábola o conjunto e pontos o plano α eqüiistantes e F e. Assim, seno, por eemplo, F, P, Q e R pontos e um plano α e uma reta esse mesmo plano, e moo que nenhum ponto pertença a, temos: Observações: ª) A parábola é obtia seccionano-se obliquamente um cone circular reto.

12 ª) Os telescópios refletores mais simples têm espelhos com secções planas parabólicas. 3ª) As trajetórias e alguns cometas são parábolas, seno que o Sol ocupa o foco. 4ª) A superfície e um líquio contio em um cilinro que gira em torno e seu eio com velociae constante é parabólica. Elementos Observe a parábola representaa a seguir. Nela, temos os seguintes elementos: foco: o ponto F iretriz: a reta vértice: o ponto V parâmetro: p Então, temos que: o vértice V e o foco F ficam numa mesma reta, o eio e simetria e.