Tópicos de Física Clássica I Aula 4 A identidade de Beltrami; a notação δ e alguns exemplos

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1 Tópicos e Física Clássica I Aula 4 A ientiae e Beltrami; a notação δ e alguns eemplos a c tort A seguna forma a equação e Euler-Lagrange Consiere F F [y), y ); ]. Então: F Agora consiere Da primeira equação vemos que y + y + y y ) y + y logo, a seguna equação poe ser rescrita como y ) + y +. 1) ). 2) y F y, 3) F y + y F + y ) ). 4) Fazeno uso a equação e Euler-Lagrange vemos que o último termo o lao ireito zero, logo y ) F. 5) Segue que F y ) 0. 6) Esta é a seguna forma a equação e Euler-Lagrange. Se F não epener eplicitamente e, 1

2 Notas e aula ac tort F y ) constante, 7) que é conhecia como a ientiae e Beltrami. Vejamos alguns eemplos. Eemplo 1 Geoésicas na esfera O comprimento infinitesimal s sobre uma esfera e raio R se escreve s R [ θ 2 + sin 2 θ ϕ 2) ) ] 2 1/2 1/2 θ R + sin 2 θ ϕ. 8) ϕ A istância entre ois pontos fios sobre a esfera é aa por S R ϕb ϕ a [ ) ] 2 1/2 θ + sin 2 θ ϕ. 9) ϕ Portanto, F [y), y ); ] F [θϕ), θ ϕ); ϕ], one F [θϕ), θ ϕ); ϕ] [ ) ] 2 1/2 θ + sin 2 θ [ θ + sin 2 θ ] 1/2. 10) ϕ Como F não epene eplicitamente e ϕ, a seguna forma a equação e Euler-Lagrange se escreve: [ θ + sin 2 θ ] 1/2 θ θ [ θ + sin 2 θ ] 1/2 C. 11) Efetuano a erivaa [ θ + sin 2 θ ] 1/2 θ [ θ + sin 2 θ ] C. 12) 1/2 Multiplicano ambos os laos por [ θ + sin 2 θ ] 1/2 sin 2 θ C [ θ + sin 2 θ ] 1/2. 13) Com um pouco e algebrismo poemos escrever esta equação na forma C ϕ θ C sin 4 θ C 2 sin 2 θ ) 1/2 C sin 2 θ 1 C 2 / sin 2 θ ) 1/2 C csc 2 θ 1 C 2 csc 2 θ ) 1/2. 14)

3 Notas e aula ac tort Para efetuar a integração escrevemos C ϕ C 2 csc 2 θ θ 1 C 2 csc 2 θ ) 1/2 C csc 2 θ θ [ 1 C cot 2 θ )] 1/2, 15) ou aina ϕ one β 2 1 C 2) /C 2. Agora, sabemos que csc 2 θ θ β2 cot 2 θ ) 1/2, 16) logo, cot θ) csc 2 θ θ, 17) cot θ) ϕ β2 cot 2 θ ). 1/2 18) Fazeno cot θ, escrevemos Integrano obtemos ϕ arcsin ϕ β 2 2 ) 2. 19) ) + γ arcsin β one γ é uma constante e integração. Inverteno cot θ β ) + γ, 20) cot θ β sin ϕ γ). 21) Esta última equação representa em coorenaas polares r, θ, ϕ um plano que contém a origem, que é também o centro geométrico a esfera e raio R. Para verificar isto basta rescrever o resultao acima em coorenaas cartesianas. Multiplique a equação acima por R sen θ e epana sin ϕ γ). Ientifique a relação entre as coorenaas cartesianas e esféricas e o resultao será: z A By, 22) que é a equação o plano que contém a origem, veja a Figura 1. O caminho mais curto entre ois pontos fios sobre a esfera, a geoésica, é o menor os ois arcos o grane círculo eterminao pela intersecção o plano e com a superfície a esfera. O arco maior não representa sequer o caminho mais longo.

4 Notas e aula ac tort Figura 1: Sobre uma esfera, a geoésica que une ois pontos fios é o menor os ois arcos que formam um grane círculo. A notação δ Uma relação útil δy y; α) y), 23) δy mas y, α) y) + α η), logo, [y; α) y)], 24) Por outro lao, δy α η ), 25) δy y ; α) y ) α η ), 26) Portanto y δy δ δy. 27)

5 Notas e aula ac tort A iferença entre os símbolos δ e Consiere Se fiarmos y e variarmos o ponto teremos: Mas, se fiarmos e variarmos y teremos: F F [y), y ); ]. 28) F y + y +. 29) A notação δ e as equações e Euler-Lagrange Consiere δf δy + δy. 30) F F [y + ɛη, y + ɛη ; ] F [y, y ; ]. 31) interpretano F como uma função as variáveis y e y é fio) poemos fazer uso a epansão em serie e Taylor e escrever: Figura 2: A iferença entre y e δy.

6 Notas e aula ac tort Segue que F [y + ɛη, y + ɛη ; ] F [y, y ; ] + ɛη + ɛη + Oɛ 2 ). 32) Por efinição, a variação e F é aa por F ɛη + ɛη + Oɛ 2 ). 33) Suponha que F y, então Agora suponha que F y, Portanto, δf ɛη + ɛη. 34) δy ɛη. 35) δy ɛη. 36) Lembrano que poemos reobter a equação e Euler-Lagrange: δj δ b δf δy + δy. 37) δ ) y δy), 38) F [y, y ; ] b δf [y, y ; ], 39) pois e b são fios. Segue que: b ) δj δy + δy, 40) ou aina veja a equação 38): δj b a b b δy + δy + a b δ Integrano o seguno termo o lao ireito por partes: b δj ) [ ] δy + δy ) y δy). 41) b [ δy ]. 42)

7 Notas e aula ac tort Se δy ) δy b ) 0, poemos aplicar o lema funamental o cálculo variacional veja a Aula 3) e obter a equação e Euler-Lagrange para etremos fios. Funcionais e uas ou mais funções Comecemos com um problema simples: a forma paramétrica e uma curva no plano cartesiano se escreve: u), y yu), 43) one u é um paraâmetro conveniente, o comprimento a curva ou o tempo. Um comprimento elementar s se escreve s 2 + y 2 u) + y u) u, 44) one : /u e y : y/u. O comprimento a curva é L ub u a u) + y u) u. 45) O problema é eterminar as funções e y para as quais L é um etremo. O problema geral é o seguinte: aa a integral J J[, y] ub u a F [u), yu), u), y u); u] u, 46) Seja u) e yu) as funções que etremizam J. Consiere as funções próimas: Xu, α) u) + α χu) Y u, β) yu) + β ηu). 47) A eigência e que J tenha um valor etremo para as funções corretas se escreve δj 0. Fazeno uso os resultaos a seção preceente para um funcional que epene e uas funções e uma variável inepenente obtemos: e,, y, y ; u),, y, y ; u),, y, y ; u) u 0, 48),, y, y ; u) u 0. 49) Eercício 1 Obtenha as equações e E-L para F [u), yu), u), y u); u].

8 Notas e aula ac tort Estener este resultao para várias funções y i ) e uma variável inepenente, isto é, para F [y i ), y i ; ] é imeiato e o resultao é: Eemplo 2 [y i ), y i ; ] i [y i ), y i ; ] i ) 0, i 1, 2,..., n. 50) O caminho mais curto entre ois pontos no plano II Como vimos no começo esta seção, a istância infinitesimal entre ois pontos no plano se escreve logo, l ub u a u) + y u) u, 51) F [u), u), yu), y u); u] u) + y u) u. 52) Como F não epene e u) e e yu), segue que e u) + y u) C 1, 53) Diviino uma equação pela outra obtemos: y u) + y u) C 2. 54) ou que é a equação a reta. y C 2 C 1, 55) y) a + b, 56) Referências [1] J. B. Marion & S. T. Thornton Classical Dynamics of Particles an Systems 5th eition. Thomson Brooks/Cole; Belmont) [2] I. M. Gelfan & S. V. Fomin Calculus of Variations Dover; Mineola) [3] H. Sagan Bounary an Eigenvalue Problems in Mathematical Physics Dover; New York) [4] R. Weinstock Calculus of Variations Dover; New York) 1974.