Trigonometria esférica Adaptado de Prof. Boczko

Transcrição

1 Trigonometria esférica daptado de Prof. oczko IG-USP

2 írculo máximo írculo máximo Pequeno círculo Grandes e pequenos centro da seção circular não coincide com o centro da esfera círculos Pequeno írculo r < R Pequeno círculo írculo máximo R centro da seção circular coincide com o centro da esfera

3 Polo e plano fundamentais Polo fundamental P Eixo fundamental Plano fundamental π Esfera Indica que a figura deve ser vista como tri-dimensional

4 Ângulo diedro i Q β a a α β a i i α Ângulo diedro entre α e β é o ângulo entre a e

5 Ângulo diedro na esfera β γ Ângulo entre ( β,γ )

6 Ângulo diedro dado por tangentes s // r // Tangente, por, ao arco. Será paralela ao raio. Tangente, por, ao arco. Será paralela ao raio. ( β,γ )

7 Ângulo central r 1 Ô

8 Triângulo Esférico a c Triângulo esférico é a região da esfera delimitada pela intersecção, dois a dois, de 3 planos passantes pelo centro da esfera,, = vértices a,,c = lados

9 Lados do triângulo esférico r c c a r r a a,, c : lados do triângulo esférico = medidas dos ângulos centrais

10 Ângulos do Triângulo Esférico,, = ângulos diedros = ângulos entre cada um dos pares de círculos

11 Elementos de um Triângulo Esférico c,, = vértices,, = ângulos diedros a,,c = lados do triângulo a

12 Fórmula do co-seno num triângulo plano

13 Relacionar 3 lados e 1 ângulo de um triângulo plano Fórmula do co-seno num triângulo qualquer a α c a 2 = 2 + c c. cos α

14 Fórmula do co-seno num triângulo esférico Demonstração em primitiva!

15 Fórmula do -SEN c a K K Plano a 2 = 2 + c c. cos α L L No ΔKL: KL 2 = K 2 + L 2-2.K. L. cos a K L No ΔKL: KL 2 = K 2 + L 2-2.K. L. cos a

16 Fórmula do -SEN No ΔKL: KL 2 = K 2 + L 2-2.K. L. cos 1 No ΔKL: KL 2 = K 2 + L 2-2.K. L. cos a 2 1 = 2 K 2 + L 2-2.K. L. cos a = K 2 + L 2-2.K. L. cos - 2.K. L. cos a = K 2 - K 2 + L 2 - L 2-2.K. L. cos 2.K. L. cos a = - K 2 + K 2 - L 2 + L K. L. cos

17 K c Fórmula do L c a K -SEN L 2.K. L. cos a = - K 2 + K 2 - L 2 + L K. L. cos 2.K. L. cos a = K. L. cos 2.K. L. cos a = K. L. cos K. L. cos a = 2 + K. L. cos K. L. cos a =. + K. L. cos cos a =. + K. L. cos L. K L. K

18 c K a L Fórmula do o-seno K L c cos c sen c cos a =. + L. K. cos L. K L. K cos sen cos a = cos. cos c + sen. sen c. cos

19 Fórmulas c do o-seno a cos a = cos. cos c + sen. sen c. cos cos = cos a. cos c + sen a. sen c. cos cos c = cos. cos a + sen. sen a. cos

20 Fórmula do seno num triângulo esférico

21 Fórmula do SEN c cos a = cos. cos c + sen. sen c. cos - sen. sen c. cos = cos. cos c - cos a (- sen. sen c. cos ) 2 = (cos. cos c - cos a) 2 1 a cos = cos a. cos c + sen a. sen c. cos - sen a. sen c. cos = cos a. cos c - cos (- sen a. sen c. cos ) 2 = (cos a. cos c - cos ) Sustituir: cos 2 x = 1- sen 2 x S sen a / sen = sen / sen = sen c / sen

22 Fórmula do seno & co-seno num triângulo esférico

23 Fórmula do c SEN & -SEN a cos a = ( cos. cos c + sen. sen c. cos ) cos = ( cos a ). cos c + sen a. sen c. cos Sustituir: cos 2 c = 1- sen 2 c S & sen a. cos = cos. sen c - sen. cos c. cos

24 Resumo das Fórmulas de Trigonometria Esférica o-seno cos a = cos. cos c + sen. sen c. cos c a S Seno sen a / sen = sen / sen = sen c / sen S & Seno & o-seno sen a. cos = cos. sen c - sen. cos c. cos

25 Exercício 4 Lista 5 Z PN E

26 PN E Z cos a = cos. cos c + sen. sen c. cos sen a / sen = sen / sen = sen c / sen Exercício 4 Lista 5 cos (90-δ) = cos (90-h). cos (90-φ) + sen (90-h). sen (90-φ). cos (180-) sen δ = sen h. sen φ - cos h. cos φ. cos h = 26º 12, = 78º 51, φ = 46º 18 δ = ΞΞΞ cos (90-h) = cos (90-δ). cos (90-φ) + sen (90-δ). sen (90- φ). cos (H) sen h = sen δ. sen φ + cos δ. cos H = XX ou H = YY φ. cos H sen (90-h) / sen H = sen (90-δ) / sen H = XX ou YY (180-) TS = H + α α = ΞΞΞΞΞ

27 Exercício 1 Lista 5 Z PN E

28 PN E Z cos a = cos. cos c + sen. sen c. cos sen a / sen = sen / sen = sen c / sen H do nascer e ocaso h = 0 cos (90-h) = cos (90-δ). cos (90-φ) + sen (90-δ). sen (90- sen h = sen δ. sen φ + φ) cos. cos δ. cos (H) φ. cos H cos H = - tg δ. tg φ Exercício 1 Lista 5 São Paulo è φ < 0, Inverno è δ sol > 0 cos H > 0 0 h < H ocaso < 6 h 0 h < duração do dia < 12 h

29 Exercício 2 Lista 5 Z PN E

30 PN E Z cos a = cos. cos c + sen. sen c. cos sen a / sen = sen / sen = sen c / sen H do nascer e ocaso h = 0 cos (90-h) = cos (90-δ). cos (90-φ) + sen (90-δ). sen (90- sen h = sen δ. sen φ + φ) cos. cos δ. cos (H) cos H = - tg δ. tg φ. cos H φ írculo polar ártico è φ = 66 33, Solstício è δ sol = ± Exercício 2 Lista 5 cos H = - 1 H ocaso = 12 h duração do dia = 24 h cos H = +1 H ocaso = 0 h duração do dia = 0 h