A TERRA ESFÉRICA. Parte I Conceitos Gerais. GA116 Sistemas de Referência e Tempo

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1 A TERRA ESFÉRICA Parte I Conceitos Gerais GA116 Sistemas de Referência e Tempo Profª. Érica S. Matos Departamento de Geomática Setor de Ciências da Terra Universidade Federal do Paraná -UFPR

2 O modelo de Terra esférica Observações dos astros Sombra da Terra em um eclipse lunar ~ uma esfera TERRA SOL LUA

3 ECLIPSE LUNAR

4 A primeira imagem registrada de nosso planeta do espaço foi esta fotografia em branco e preto e granulada. Tirada em 24 de outubro de 1946, foi produzida por uma câmera de cinema acoplada a um míssil V2 lançado da base de White Sands no Novo México, Estados Unidos. Várias fotografias foram capturadas a 65 milhas de altitude, ou cerca de 104 km. A câmera registrava uma foto a cada 1,5 segundo

5 A sonda Lunar Orbiter 1 tira a primeira foto da Terra a partir da Lua: 23 de agosto de 1966, às 16h35min GMT

6 Imagem reconstruída Sonda Lunar Orbiter 1 AGO-OUT,1966

7 NASCER DA TERRA VISTO DA LUA (FONTE: NASA)

8 The Blue Marble (1972) Fotografia da Terra, tirada em 7 de dezembro de 1972 pela tripulação da missão Apollo 17, a uma distância de aproximadamente km da Terra, a caminho da Lua.

9 The Blue Marble FONTE: NASA

10 A impressão inicial é de uma bola azul Modelo de uma esfera para Terra

11 1ª determinação ERATÓSTENES (200 A.C.) Observações feitas no mesmo horário, no solstício de verão Siena ~ Sol no zênite α=7,2 l 5000 estádias 800 km R = 360. l 2π. 7,2 2πR 360 l 7,2 R = , 198 km bem próximo do real!

12 Esfera Lugar geométrico dos pontos do espaço igualmente distanciados de um ponto denominado de centro. A = 4πR 2 V = 4πR3 3 Superfície esférica: é a superfície que envolve uma esfera.

13 Círculo A = πr 2 Área interna delimitada por uma circunferência. O R c = 2πR Circunferência é o lugar geométrico dos pontos de um plano igualmente distanciados de um ponto denominado centro.

14 Círculo máximo (ou circunferência máxima): Toda a circunferência da superfície esférica que contém o centro da esfera. Círculo menor: Não contém o centro da esfera

15 Na Terra esférica: Eixo de rotação PN POLO: Ponto da superfície da terra esférica onde o eixo de rotação coincide com a superfície. PN: Polo norte PS: Polo sul EQUADOR: círculo máximo perpendicular ao eixo de rotação PS MERIDIANO: círculo máximo que contém o eixo de rotação, e por isso, também os polos. PARALELO: círculo menor paralelo ao Equador e perpendicular ao eixo de rotação.

16 PS POLO SUL

17 PN POLO NORTE

18 COORDENADAS GEOGRÁFICAS Meridiano do Ponto A G A Latitude Geográfica(φ) φ λ O Equador Longitude Geográfica(λ) Meridiano de Greenwich (G)

19 Latitude geográfica (φ) É o arco de meridiano contado desde o Equador até o ponto considerado. Convenções: Positiva no Hemisfério Norte (N) varia de 0 a +90 Negativa no Hemisfério Sul (S) varia de 0 a -90

20 Longitude geográfica (λ) É o arco de Equador contado desde o Meridiano de Greenwich até o meridiano do ponto considerado. Convenções: Positiva a leste do Meridiano de Greenwich (E) varia de 0 a +180 Negativa a oeste do Meridiano de Greenwich (W) varia de 0 a -180

21 Estimativas lineares de arcos Seja o raio aproximado da Terra R = 6372 km. Então o comprimento do Equador será 2πR = km 360 Logo, na Terra suposta esférica, temos que (para o Equador): km 1 = 111 km m = 1852 m (1 milha náutica) 60 1" 30 m Nesse raciocínio: 0,1 equivale a 3 m 0,01 equivale a 30 cm 0,001 equivale a 3 cm 0,0001 equivale a 3 mm Demais paralelos, o comprimento é diferente A quantidade de casas decimais tem relação com o refinamento dos cálculos

22 Raio de um paralelo (R P ) É uma redução do Raio (R) da Terra esférica em função da latitude (φ) do paralelo. Paralelo PN R P R P = R. cos φ φ R O φ R Equador PS Eixo de rotação

23 Velocidade de rotação de um ponto na Terra esférica É função da latitude (φ) do ponto. O comprimento do paralelo diminui, a medida que a latitude aumenta. Equador PN No Equador (Eq): R = km c Eq = 2πR = km v Eq = 1 volta(= c Eq) 24 h v Eq = km/h R O No Ponto P, com φ = S : R P = R. cos φ = km. cos( ) R P = km φ P R P PS c P = 2πR P = km v P = 1 volta(= c P) 24 h v P = 638 km/h

24 R P = R. cos φ v P = 2πR p /24

25 Distância entre dois meridianos, medida sobre um paralelo Δλ: diferença de longitude (em radianos) R p = R. cos φ S = R P. λ PN O A Δλ R P S B Paralelo R P B O Δλ S R P PS A

26 Distância entre dois meridianos, medida sobre um paralelo Δλ: diferença de longitude (em radianos) R p = R. cos φ S = R P. λ Exemplo Calcule a menor distância entre os meridianos de λ 1 = 13 W e λ 2 = 5 E, sobre o paralelo φ = 45 N. Considere o raio da Terra esférica igual a 6372 km. λ 12 = λ 2 λ 1 = 5 13 Δλ 12 = 18 R p = 6372 km. cos(45 ) R P = 4506 km Então S = R P. Δλ = S = 1416 km conversão para radianos π 180

27 Apartamento (ap): é a distância percorrida em uma direção Leste Oeste (E W), expressa em milhas náuticas (m.n.), ao longo de uma linha de rumo/azimute constante. loxodrômica PN valor em minutos ap = Δλ ( ). cos (φ m ) latitude média A φ m = φ A + φ B 2 ap φ m B Δλ PS Em geral, o uso da Latitude média ( φ m ) é aceitável até distâncias da ordem de 600 milhas náuticas (600 m.n.), ou quando a latitude média não exceder 55º e a diferença de latitudes for inferior a 15º.

28 Apartamento (ap) valor em minutos ap = Δλ ( ). cos (φ m ) valor em milhas náuticas latitude média 60 PN 30 m.n. φ m = φ A + φ B 2 Calcule o apartamento entre os meridianos (10 E e 11 E) sobre os seguintes paralelos: Δλ = = 1 Δλ = m.n. a) φ = 0 ap a = 60. cos 0 = 60 m.n m.n. b) φ = 30 ap b = 60. cos 30 = 52 m.n. Equador 10 E 11 E Δλ = 60 c) φ = 60 ap c = 60. cos 60 = 30 m.n. 1 milha náutica = 1 m. n. = 1852 m

29 Posicionamento de um ponto P (φ P, λ P ) Latitude e longitude geográfica (ou esférica) Meridiano de Greenwich λ = 0 G PN P Paralelo de latitude φ P O R φ P λ P Equador φ = 0 PS Meridiano de longitude λ P

30 Posicionamento de um ponto P (X P, Y P, Z P ) Coordenadas cartesianas tridimensionais na Terra suposta esférica G PN Z Sistema de referência Origem geocêntrica (Centro de massa da Terra) Eixo Z na direção do eixo de rotação, positivo para o PN X R O Y Eixo X na direção da intersecção do meridiano de Greenwich e o plano do Equador Eixo Y completando o terno dextrogiro PS

31 Posicionamento de um ponto P (X P, Y P, Z P ) Coordenadas cartesianas tridimensionais na Terra suposta esférica PN Z G P X P O R Z P φ P λ X P P Y P P Y PS

32 Posicionamento de um ponto P na Terra esférica Dadas coordenadas cartesianas tridimensionais, determinar latitude e longitude geográficas. P φ P, λ P P X P, Y P, Z P X P = R. cos φ P. cos λ P Y P = R. cos φ P. sen λ P Z P = R. sen φ P Z P R Os valores dos módulos de X P, Y P, Z P serão sempre menores ou iguais ao R da Terra Esférica O λ P φ P Z P X P Y X P Y P P

33 Posicionamento de um ponto P na Terra esférica Dadas latitude e longitude geográficas, determinar coordenadas cartesianas tridimensionais. P X P, Y P, Z P P φ P, λ P λ P = arctan Y P X P Z φ P = arcsen Z P X P 2 + Y P 2 + Z P 2 R = X P 2 + Y P 2 + Z P 2 R P O φ P Z P Y λ P X P X P Y P P

34 EXERCÍCIOS 1) Seja o ponto A com as seguintes coordenadas geográficas: φ A = " N; λ A = " W Determinar as respectivas coordenadas cartesianas tridimensionais considerando a Terra esférica (R = 6372,000 km). 2) Seja o ponto B com as seguintes coordenadas cartesianas tridimensionais considerando a Terra esférica (R = 6372,000 km): X B = 3444,172 km Y B = 4507,969 km Z B = 2901,427 km Determinar as respectivas coordenadas geográficas.

35 EXERCÍCIOS SOLUÇÃO 1) Seja o ponto A com as seguintes coordenadas geográficas: φ A = " N; λ A = " W Determinar as respectivas coordenadas cartesianas tridimensionais considerando a Terra esférica (R = 6372,000 km). X A = R. cos φ A. cos λ A X A = cos( ").cos ( ") X A = 4498, 437 km Y A = R. cos φ A. sen λ A Y A = cos( ").sen( ") Y A = 4189, 971 km Z A = R. sen φ A Z A = sen( ") Z A = 1676, 482 km

36 EXERCÍCIOS SOLUÇÃO 2) Seja o ponto B com as seguintes coordenadas cartesianas tridimensionais considerando a Terra esférica (R = 6372,000 km): X B = 3444,172 km Y B = 4507,969 km Z B = 2901,427 km Determinar as respectivas coordenadas geográficas. λ B = arctan Y B = arctan 4507,969 X B 3444,172 λ B = , 2"= ,2" W φ B = arcsen Z B = arcsen Z B 2901,427 = arcsen X 2 B + Y 2 2 B + Z R 6372,000 B φ B = , 54" = , 54"S

37 λ (W) λ (E) A Componente: É POSITIVA para: É NEGATIVA para: X Longitudes (λ) de: 0 a 90 W 0 a 90 E Longitudes (λ) de: 90 W a 180 W 90 E a 180 E Y Longitudes (λ) a leste (E) Longitudes (λ) a oeste (W) Z Latitudes (φ) ao norte (N) Latitudes (φ) ao sul (s) φ (N) φ (S)