Astronomia de Posição: Aula 06

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1 Engenharia Cartográfica e de Agrimensura Astronomia de Posição: Aula 06 Capítulos 05 e 06 Daniele Barroca Marra Alves

2 SUMÁRIO Sistemas de Coordenadas Celestes o Sistema de Coordenadas Sistema de Coordenadas Horizontais Sistema de Coordenadas Horárias Sistema de Coordenadas Equatoriais ou Uranográficas Sistema de Coordenadas Eclípticas o Efemérides Transformação de Coordenadas o Triângulo de Posição o Transformação de Coordenadas Horizontais em Horárias e VS o Transformação de Coordenadas Horárias em Equatoriais e VS o Transformação de Coordenadas Equatoriais em Eclípticas e VS o Exercícios Propostos

3 Vertical do Observador Vertical do Astro Pn Eixo do Mundo Meridiano Celeste do Observador Zênite Semimeridiano Inferior Visível Plano Vertical Astro Meridiana Hn Invisível Norte Semimeridiano Superior Observador Q Terra Q Norte Sul Horizonte Astronômico Linha Leste-Oeste Sul Equador Celeste Visível Invisível Hs Meridiano Celeste Nadir Almicantarado Paralelo Celeste Ps

4 Pn Eixo do Mundo Terra Eixo do Mundo: é a reta imaginária PnPs, prolongamento do eixo de rotação da Terra, em torno do qual se processa o movimento aparente da esfera celeste, de leste para oeste (sentido retrógrado). Ps

5 Terra Pn Eixo do Mundo Pólos Celestes: são dois pontos da superfície esférica, diametralmente opostos, resultantes da interseção do prolongamento do eixo do mundo com a esfera celeste, chamados de Pólo Sul (ou Pólo Austral ou Antártico) e Pólo Norte (ou Pólo Boreal ou Ártico). Ps

6 Equador Celeste: é o círculo máximo QQ, cujo plano corta perpendicularmente o eixo do mundo. O Equador celeste divide a esfera celeste em dois hemisférios: o Norte, que contem o Pólo Norte, e o Sul, que contem o Pólo Sul. Pn Eixo do Mundo Norte Q Terra Q Norte Sul Sul Equador Celeste Ps

7 Paralelos Celestes: são círculos menores cujos planos cortam perpendicularmente o eixo do mundo (são paralelos ao Equador celeste). Pn Eixo do Mundo Norte Q Terra Q Norte Sul Sul Equador Celeste Paralelo Celeste Ps

8 Meridianos Celestes: são círculos máximos cujos planos contem o eixo do mundo. Pn Eixo do Mundo Norte Q Terra Q Norte Sul Sul Equador Celeste Meridiano Celeste Paralelo Celeste Ps

9 Vertical do Observador Pn Eixo do Mundo Observador Norte Q Terra Q Norte Sul Sul Equador Celeste Meridiano Celeste Paralelo Celeste Ps Vertical do Observador: vetor gravidade passante pelo observador, sendo materializado pelo fio de prumo.

10 Vertical do Observador Pn Eixo do Mundo Zênite Observador Norte Q Terra Q Norte Sul Sul Equador Celeste Meridiano Celeste Nadir Paralelo Celeste Ps Zênite e Nadir: são formados pela interseção do prolongamento da vertical do observador com a esfera celeste, onde o zênite está acima do horizonte do observador (também denominado de horizonte astronômico ou geocêntrico) e o nadir abaixo do mesmo.

11 Horizonte do Observador ou Astronômico ou Geocêntrico: é o circulo máximo polar do zênite e do nadir, ou em outras palavras, é o círculo máximo passante pelo centro da esfera celeste e perpendicular à vertical do lugar. Divide a esfera em dois hemisférios: o visível, que contem o zênite, e o invisível, que contem o nadir. Vertical do Observador Pn Eixo do Mundo Zênite Visível Invisível Observador Norte Q Terra Q Norte Sul Horizonte Astronômico Sul Equador Celeste Visível Meridiano Celeste Invisível Nadir Paralelo Celeste Ps

12 Plano Vertical: é todo plano que contem a vertical do observador, sendo assim há uma infinidade de planos verticais para um determinado local. Vertical do Observador Pn Eixo do Mundo Zênite Visível Plano Vertical Invisível Observador Norte Q Terra Q Norte Sul Horizonte Astronômico Sul Equador Celeste Visível Meridiano Celeste Invisível Nadir Paralelo Celeste Ps

13 Vertical de um Astro: é o plano vertical que contem um determinado astro. Vertical do Observador Vertical do Astro Pn Eixo do Mundo Zênite Visível Plano Vertical Astro Invisível Observador Norte Q Terra Q Norte Sul Horizonte Astronômico Sul Equador Celeste Visível Meridiano Celeste Invisível Nadir Paralelo Celeste Ps

14 Almicantarado ou Círculo de Igual Altura: são círculos menores da esfera celeste, paralelos ao horizonte astronômico. Vertical do Observador Vertical do Astro Pn Eixo do Mundo Zênite Visível Plano Vertical Astro Invisível Observador Norte Q Terra Q Norte Sul Horizonte Astronômico Sul Equador Celeste Visível Invisível Meridiano Celeste Nadir Almicantarado Paralelo Celeste Ps

15 Meridiano Celeste do Observador: são circunferências máximas da esfera celeste cujo plano é definido pelo eixo de rotação e pela vertical do observador, ou seja, meridiano celeste que contem o zênite do observador. Vertical do Astro Vertical do Observador Pn Eixo do Mundo Meridiano Celeste do Observador Zênite Semimeridiano Inferior Visível Plano Vertical Astro Invisível Semimeridiano Superior Observador Norte Q Terra Q Norte Sul Horizonte Astronômico Sul Equador Celeste Visível Invisível Meridiano Celeste Nadir Almicantarado Paralelo Celeste Ps O eixo do mundo divide o meridiano do lugar em dois semimeridianos, o superior e o inferior. Semimeridiano superior é a parte do meridiano do lugar que contem o zênite, e o semimeridiano inferior é o que contem o nadir.

16 Meridiana ou Linha Norte-Sul: é formada pela interseção do meridiano do observador com o horizonte astronômico. Esta reta determina a direção Norte-Sul, e nas suas extremidades encontram-se os pontos Norte e Sul. Ponto Sul (Hs) é a projeção do Pólo Sul, segundo o meridiano do observador, sobre a meridiana. Ponto Norte (Hn) é a projeção do Pólo Norte, segundo o meridiano do observador, sobre a meridiana; Vertical do Observador Vertical do Astro Pn Eixo do Mundo Meridiano Celeste do Observador Zênite Semimeridiano Inferior Visível Plano Vertical Astro Meridiana Hn Invisível Semimeridiano Superior Observador Norte Q Terra Q Norte Sul Horizonte Astronômico Sul Equador Celeste Visível Invisível Hs Meridiano Celeste Nadir Almicantarado Paralelo Celeste Ps

17 Linha Leste-Oeste: formada pela interseção do plano do Equador celeste com o plano do horizonte astronômico, ou linha que forma 90. Vertical do Observador Vertical do Astro Pn Eixo do Mundo Meridiano Celeste do Observador Zênite Semimeridiano Inferior Visível Plano Vertical Astro Meridiana Hn Invisível Semimeridiano Superior Observador Norte Q Terra Q Norte Sul Horizonte Astronômico Linha Leste-Oeste Sul Equador Celeste Visível Invisível Hs Meridiano Celeste Nadir Almicantarado Paralelo Celeste Ps

18 SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES Sistema de Coordenadas

19 SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES Sistema de Coordenadas: um ponto no espaço é definido por terno cartesiano ortogonal: Orientação do sistema de coordenadas: o Dextrógiro ou Direto a ; o Levógiro ou Retrógrado - b.

20 SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES Tabela Sistema de Coordenadas Horizontais Horárias Equatoriais / Uranográficas Eclípticas Origem Orientação Plano Fundamental Coordenadas Eixos Caráter

21 SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES 5 Perguntas p/ definir qualquer coordenada: Contado sobre qual plano? A partir de onde? Até onde? Qual sentido da contagem? Qual a variação?

22 SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES Sistema de Coordenadas Horizontais Características: Origem: sistema geocêntrico (origem no centro da Terra); Orientação: levógiro (retrógrado); Plano Fundamental: horizonte astronômico (do observador); Coordenadas: A azimute (abscissa esférica); e h altura ou z distância zenital (ordenada esférica). Eixos: X formado pela interseção do meridiano celeste do observador com o horizonte astronômico (+ p/ Hs); Y coincide com a linha leste-oeste; e Z coincide com a vertical do observador (+ p/ zênite).

23 SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES Sistema de Coordenadas Horizontais

24 SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES Sistema de Coordenadas Horizontais A Azimute: abscissa esférica, definido como o ângulo contado sobre o horizonte astronômico, desde o Ponto Sul (Hs), por oeste (sentido retrógrado), até a vertical do astro, variando de 0 a 360. Quando o astro cruza o meridiano celeste do observador, seu azimute será 0 ou 180 ; h Altura: ordenada esférica, definido como o ângulo contado sobre a vertical do astro, desde o horizonte astronômico até o astro, variando de 0 (astro no horizonte nascendo ou ocultando) a ±90 (astro no zênite ou nadir), sendo as alturas negativas correspondentes a astros situados abaixo do horizonte e, portanto, invisíveis ao observador. Em muitos casos é conveniente utilizar, ao invés da altura, a distância zenital z, que é o ângulo contado sobre a vertical do astro, desde o zênite até o astro, variando de 0 (astro no zênite) a 180 (astro no nadir), sendo que astros com distâncias zenitais superiores a 90 são invisíveis ao observador.

25 SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES Sistema de Coordenadas Horizontais Neste sistema as coordenadas podem ser obtidas com o uso de um teodolito; ao visar o astro com um teodolito nivelado obtém-se z no limbo vertical e, se o observador conhecer o meridiano, pode-se obter também o A do astro. Observa-se que este sistema é tipicamente local, pois as coordenadas A e z dependem da posição do observador, bem como a época em que a observação foi realizada. Assim este sistema varia no tempo e no espaço.

26 SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES Sistema de Coordenadas Horizontais Coordenadas retilíneas??? X cos h cos A Y cos h sen A Z sen h PROVAR! X sen z cos A Y sen z sen A Z cos z

27 SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES Sistema de Coordenadas Horárias Características: Origem: sistema geocêntrico (origem no centro da Terra); Orientação: levógiro (retrógrado); Plano Fundamental: Equador celeste; Coordenadas: H ângulo horário (abscissa esférica); δ declinação (ordenada esférica). Eixos: X formado pela interseção do meridiano celeste do observador com o Equador celeste (+ p/ SMS); Y coincide com a linha leste-oeste; Z coincide com o eixo do mundo (+ p/ Pn).

28 SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES Sistema de Coordenadas Horárias

29 SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES Sistema de Coordenadas Horárias H Ângulo Horário: abscissa esférica, definido como o arco contado sobre o Equador Celeste, desde o semimeridiano superior, por oeste (sentido retrógrado), até o meridiano celeste do astro, variando de 0 a 360. Devido a sua vinculação com problemas horários, usualmente é expresso em hora, assim, varia de 0h a 24h; δ Declinação: ordenada esférica, definido como o arco contado sobre o meridiano celeste do astro, desde o Equador celeste até o astro, variando de 0 (astro no Equador) a ±90 (astro no Pólo Norte ou Pólo Sul), sendo as declinações positivas convencionalmente para o Norte.

30 SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES Sistema de Coordenadas Horárias O sistema de coordenadas horárias é dito misto, pois a declinação δ do astro não depende da posição do observador, isto é, para qualquer observador um determinado astro terá a mesma declinação, se observado no mesmo instante físico. Entretanto, o ângulo horário H depende do meridiano celeste do observador (definição de X), assim, a abscissa H depende da posição do observador.

31 SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES Sistema de Coordenadas Horárias Coordenadas retilíneas??? X cos δ cos H Y cos δ sen H Z sen δ

32 SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES Sistema de Coordenadas Equatoriais ou Uranográficas Na Astronomia de Posição considera-se a Terra imóvel e os astros apresentando, em relação a Terra, um movimento aparente (de leste para oeste). O Sol, no decurso de um ano, descreve uma circunferência máxima na esfera celeste denominada de eclíptica. O plano da órbita anual do Sol (eclíptica) forma um ângulo com o plano do Equador celeste denominado de obliquidade da eclíptica (w), que mede aproximadamente

33 SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES Sistema de Coordenadas Equatoriais ou Uranográficas A interseção do plano da eclíptica com o plano do Equador celeste é denominada de linha dos equinócios ou linha equinocial, cujas extremidades possuem os pontos equinociais: Ponto Vernal ou de Aires (γ) Ponto Libra (Ω)

34 SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES Sistema de Coordenadas Equatoriais ou Uranográficas Características: Origem: sistema geocêntrico (origem no centro da Terra); Orientação: dextrógiro (direto); Plano Fundamental: Equador celeste; Coordenadas: α ascensão reta (abscissa esférica); δ declinação (ordenada esférica). Eixos: X formado pela interseção do plano do Equador celeste com o plano da eclíptica (linha equinocial) (+ p/ γ); Y torna o sistema dextrógiro; Z coincide com o eixo do mundo (+ p/ Pn).

35 SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES Sistema de Coordenadas Equatoriais ou Uranográficas

36 SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES Sistema de Coordenadas Equatoriais ou Uranográficas

37 SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES Sistema de Coordenadas Equatoriais ou Uranográficas α Ascensão Reta: abscissa esférica, definido como o arco contado sobre o Equador Celeste, desde o ponto vernal (γ), por leste (sentido dextrógiro), até o meridiano celeste do astro, variando de 0h a 24h; δ Declinação: ordenada esférica, idêntica a ordenada horária.

38 SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES Sistema de Coordenadas Equatoriais ou Uranográficas Este sistema é de caráter geral, pois nenhuma coordenada depende da posição do observador, onde a declinação tem como origem o Equador celeste e a ascensão reta o ponto vernal.

39 SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES Sistema de Coordenadas Equatoriais ou Uranográficas Coordenadas retilíneas??? X cos δ cos α Y cos δ sen α Z sen δ

40 SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES Sistema de Coordenadas Eclípticas Características: Origem: sistema geocêntrico (origem no centro da Terra); Orientação: dextrógiro (direto); Plano Fundamental: Eclíptica; Coordenadas: λ longitude celeste (abscissa esférica); β latitude celeste (ordenada esférica). Eixos: X formado pela interseção do plano do Equador celeste com o plano da eclíptica (linha equinocial) (+ p/ γ); Y torna o sistema dextrógiro; Z coincide com o eixo da eclíptica (+ p/ Pólo Norte Eclíptico).

41 SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES Sistema de Coordenadas Eclípticas

42 SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES Sistema de Coordenadas Eclípticas λ Longitude Celeste: abscissa esférica, definido como o arco contado sobre a eclíptica, desde o ponto vernal (γ), por leste (sentido dextrógiro), até o círculo de longitude do astro, variando de 0 a 360 ; β Latitude Celeste: ordenada esférica, definido como o arco contado sobre o círculo de longitude do astro, desde a eclíptica até o astro, variando de 0 (astro na eclíptica) a ±90 (astro no Pólo Norte Eclíptico ou Pólo Sul Eclíptico), sendo as latitudes celestes positivas convencionalmente para o Norte Eclíptico.

43 SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES Sistema de Coordenadas Eclípticas Este sistema é de caráter geral, pois nenhuma coordenada depende da posição do observador, onde a latitude celeste tem como origem a eclíptica e a longitude celeste o ponto vernal.

44 SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES Sistema de Coordenadas Eclípticas Coordenadas retilíneas??? X cos β cos λ Y cos β sen λ Z sen β

45 SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES Efemérides As coordenadas uranográficas dos astros (α, δ) são conhecidas. Essas coordenadas variam no tempo em consequência do movimento precessional e de várias outras causas (aberração da luz, paralaxe, movimento próprio, etc.). Tais variações são relativamente pequenas, da ordem de dezenas de segundo por ano. Uma tabela que contenha a posição dos astros em função do tempo recebe a denominação de efemérides.

46 SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES Efemérides

47 SISTEMAS DE COORDENADAS CELESTES Tabela Sistema de Coordenadas Horizontais Horárias Equatoriais / Uranográficas Eclípticas Origem Orientação Plano Fundamental Coordenadas Eixos Carácter

48 Recapitulando Sistemas de Coordenadas Celestes o Sistema de Coordenadas Sistema de Coordenadas Horizontais Sistema de Coordenadas Horárias Sistema de Coordenadas Equatoriais ou Uranográficas Sistema de Coordenadas Eclípticas o Efemérides Transformação de Coordenadas o Triângulo de Posição o Transformação de Coordenadas Horizontais em Horárias e VS o Transformação de Coordenadas Horárias em Equatoriais e VS o Transformação de Coordenadas Equatoriais em Eclípticas e VS o Exercícios Propostos

49 TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS Transformação de Coordenadas Horizontais em Horárias e VS Sistema de Coordenadas Horizontais Sistema de Coordenadas Horárias

50 TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS Transformação de Coordenadas Horizontais em Horárias e VS Astro (E) referido simultaneamente aos sistemas de coordenadas horizontais e horárias

51 TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS Transformação de Coordenadas Horizontais em Horárias e VS A interseção do meridiano celeste do observador, do meridiano celeste do astro e da vertical do astro, dois a dois, forma o triângulo esférico Pn-Zênite-E, cujos vértices são o Pólo Norte, o zênite e o astro.

52 TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS Transformação de Coordenadas Horizontais em Horárias e VS Triângulo de Posição

53 TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS Transformação de Coordenadas Horizontais em Horárias e VS Triângulo de Posição Observa-se que o triângulo de posição envolve as grandezas que constituem um dos objetivos da Astronomia de Posição, a posição geográfica: latitude (lado Pn-Zênite) e a longitude (obtida indiretamente através do ângulo horário do astro). Normalmente conhecem-se apenas dois elementos do triângulo de posição: o lado Pn-E (declinação do astro por meio das efemérides) e o lado Zênite-E (distância zenital do astro, que pode ser medido em campo utilizando um teodolito). É de conhecimento que com dois elementos é impossível resolver um triângulo esférico, assim, deve-se utilizar aproximações sucessivas.

54 TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS Transformação de Coordenadas Horizontais em Horárias e VS A, h ou z H, δ Requisito: deve-se conhecer φ Fórmula dos 4 Elementos (lados) Fórmula dos 4 Elementos (lados) sen δ sen cos z cos sen z cos A cos z sen sen δ cos cos δ cos H sen δ sen sen h cos cos h cos A sen h sen sen δ cos cos δ cos H PROVAR! Fórmula dos 5 Elementos + Analogia dos Senos Fórmula dos 5 Elementos + Analogia dos Senos tg H sen A cotg z cos sen cos A tg A sen H sen cos H tg δ cos

55 TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS Transformação de Coordenadas Horárias em Equatoriais e VS Sistema de Coordenadas Horárias Sistema de Coordenadas Equatoriais

56 TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS Transformação de Coordenadas Horárias em Equatoriais e VS Mesma ordenada, o problema é a relação entre as abcissas: H e α H, δ α, δ Requisito: deve-se conhecer S Noção de tempo sideral: o dia sideral é a unidade básica do tempo sideral correspondente ao intervalo de tempo decorrido entre duas passagens consecutivas do ponto vernal (γ) pelo mesmo semimeridiano. O início do dia sideral se dá quando o ponto vernal atinge o semimeridiano superior do observador; dai por diante, a todo instante, o ângulo horário do ponto vernal mede a hora sideral (S) local: S = H γ.

57 TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS Transformação de Coordenadas Horárias em Equatoriais e VS Fórmula Fundamental da Astronomia de Posição, S H α α S H H S α

58 TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS Transformação de Coordenadas Equatoriais em Eclípticas e VS Sistema de Coordenadas Equatoriais Sistema de Coordenadas Eclípticas

59 TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS Transformação de Coordenadas Equatoriais em Eclípticas e VS Sistema de Coordenadas Equatoriais Sistema de Coordenadas Eclípticas

60 TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS Transformação de Coordenadas Equatoriais em Eclípticas e VS α, δ λ, β Requisito: deve-se conhecer w O lado Pn-pn mede o ângulo formado pelo eixo do mundo e o eixo da eclíptica, o que corresponde à obliquidade da eclíptica (w); O lado Pn-E representa a distância polar do astro; O lado pn-e a colatitude celeste do astro.

61 TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS Transformação de Coordenadas Equatoriais em Eclípticas e VS α, δ λ, β Requisito: deve-se conhecer w Fórmula dos 4 Elementos (lados) Fórmula dos 4 Elementos (lados) sen β sen δ cos w cos δ sen w sen α sen δ sen β cos w cos β sen w sen λ Fórmula dos 5 Elementos + Analogia dos Senos Fórmula dos 5 Elementos + Analogia dos Senos tg λ tg δ sen w cos w sen α cos α tg α cos w sen λ tg β sen w cos λ

62 EXERCÍCIOS PROPOSTOS 1. Calcular as coordenadas horárias da estrela α-cru (462) em Presidente Prudente (φ = S e λ = 3h 25min W), no dia 24 de março de 1999 às 21 horas siderais, sabendo-se que as coordenadas uranográficas da estrela são: α = 12h 26min 36,149s e δ = ,23 S. 2. Calcular as coordenadas horizontais da estrela α-cru (462) em Presidente Prudente (φ = S e λ = 3h 25min W) às 21 horas siderais. 3. Um observador em Presidente Prudente (φ = S e λ = 3h 25min W) deseja observar Saturno às 21 horas siderais do dia 21 de março de Calcular as coordenadas horárias e horizontais do planeta, sabendo-se que as coordenadas uranográficas de Saturno são: α = 2h 02min 54,63s e δ = ,7 N. 4. Um observador em Presidente Prudente (φ = S e λ = 3h 25min W) deseja observar Júpiter às 21 horas siderais do dia 21 de março de Calcular as coordenadas horárias e horizontais do planeta, sabendo-se que as coordenadas uranográficas de Júpiter são: α = 0h 32min 24,41s e δ = ,8 N. 5. Um observador em Presidente Prudente (φ = S e λ = 3h 25min W) deseja observar a estrela γ- Cru (468) no dia 31 de março de 2009 às 4 horas siderais. Assim, calcule os elementos de calagem da estrela. 6. Calcule os elementos de calagem de 5 estrelas em Presidente Prudente (φ = S e λ = 3h 25min W), no dia 13 de setembro de 2009 (mês IX, dia 13) às 21 horas siderais.

63 TRABALHO PRÁTICO - Figuras de Astronomia de Posição Fazendo uso dos fundamentos de desenho geométrico reproduzir as figuras listadas a seguir, disponíveis na Apostila de Astronomia de Posição Figura 04 pág Figura 10 pág Figura 14 pág Figura 15 pág Figura 16 pág Figura 17 pág Figura 18 pág Figura 20 pág Figura 21 pág. 44 Cada figura deve ser feita em uma folha A 4 com o número de ordem, número, título e página, conforme a apostila; Raio mínimo de 5 cm preferencialmente em torno de 7 cm; Preferencialmente fazer os desenhos a lápis. Entrega: 22/04/2019

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