TRIGONOMETRIA NOTAS DE AULAS

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1 TRIGONOMETRIA ESFÉRICA NOTAS DE AULAS

2 DEFINIÇÕ ÇÕES A interseção de um plano que contém o centro da esfera chama-se círculo máximo. Se este plano não contém o centro da esfera, tem-se o círculo menor.

3 DEFINIÇÕ ÇÕES Quando dois círculos máximos se interceptam em um ponto, formam entre si um ângulo esférico. A medida de um ângulo esférico é igual á medida do ângulo plano entre as tangentes dos dois arcos que o formam.

4 DEFINIÇÕ ÇÕES Chamamos de triângulo esférico à parte da superfície da esfera limitada por 3 círculos máximos que se cortam dois a dois. Denotamos os ângulos de um triângulo esférico por letras maiúsculas (A,B,C), e os seus lados por letras minúsculas (a,b,c). Um triângulo esférico não é qualquer figura de três vértices desenhada sobre uma esfera. Para ser um triângulo esférico esta figura tem que ter lados que sejam arcos de círculos máximos.

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6 DEFINIÇÕ ÇÕES Tanto os seus ângulos quanto os seus lados são medidos em unidades angulares. Os lados de um triângulo esférico são arcos de círculo máximos que, divididos pelo raio da esfera nos dão o ângulo entre os pontos que ligam. Já os ângulos em cada vértice do triângulo esférico representam a separação angular entre os pontos dos círculos máximos que se interceptam naquele vértice.

7 DEFINIÇÕ ÇÕES Os lados do triângulo são medidos pelo ângulo central de cada face do triedro. Os ângulos do triângulo são medidos pelos diedros correspondentes

8 DEFINIÇÕ ÇÕES As interseções da superfície esférica com a perpendicular a um círculo máximo que passe pelo centro da esfera (diâmetro) são denominados polos desse círculo máximo. Os polos distam 90 de cada ponto da circunferência do círculo máximo correspondente. Triângulo polar é o triângulo construído com vértices que são os polos dos lados do triângulo dado e no mesmo hemisfério em que se encontram esses lados. A + a = 180 B + b = 180 C + c = 180 A + a = 180 B + b = 180 C + c = 180

9 DEFINIÇÕ ÇÕES TRIÂNGULO ESFÉRICO RETÂNGULO é aquele que tem um ângulo igual a 90º. TRIÂNGULO ESFÉRICO RETILÁTERO é aquele que tem um lado igual a 90º.

10 PROPRIEDADES Cada lado de um triângulo esférico é menor que a soma dos outros dois e maior que a diferença. b - c < a < b + c A soma dos lados de um triângulo esférico é menor que 360. a + b + c < 360 A soma dos ângulos de um triângulo esférico está compreendida entre 180 e < A + B + C < 540 Cada ângulo de um triângulo esférico aumentado de 180 é maior que a soma dos outros dois. A > B + C Em um triângulo esférico, ângulos iguais opõe-se lados iguais, sendo que o maior ângulo se opõe o maior lado.

11 DEFINIÇÕ ÇÕES A soma dos ângulos internos de um triângulo esférico é maior que 180. Esta diferença é chamada de Excesso Esférico (σ). σ = A+B+C 180 Perímetro é a soma dos seus lados. 2p = a+ b+ c

12 DEFINIÇÕ ÇÕES Denomina-se triângulo de posição o triângulo situado na esfera celeste cujos vértices são o pólo elevado, o astro e o zênite. O triângulo de posição é usado para derivar as coordenadas do astro quando conhecida a posição geográfica do lugar, ou determinar as coordenadas geográficas do lugar quando conhecidas as coordenadas do astro, Também permite fazer as transformações de um sistemas de coordenada para outro.

13 DEFINIÇÕ ÇÕES Os lados e ângulos do triângulo de posição são: Arco entre o zênite e o pólo = 90 - φ Arco entre o zênite e astro = z Arco entre o pólo e o astro = 90 - δ Ângulo com vértice no zênite = A (no hemisfério norte) ou A (no hemisfério sul) Ângulo com vértice no pólo = H Ângulo com vértice na estrela

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15 SOLUÇÕ ÇÕES EM TRIÂNGULO ESFÉRICO Ao contrário da trigonometria plana, não é suficiente conhecer dois ângulos para resolver o triângulo. É sempre necessário conhecer no mínimo três elementos: ou três ângulos, ou três lados, ou dois lados e um ângulo, ou um ângulo e dois lados.

16 FÓRMULAS AP é a perpendicular ao plano OBC e que passa pelo vértice A. PN e PM são as perpendiculares aos segmentos OB e OC. Triângulos planos: ANP AMP ONP OMP OAP OAN OAM

17 FÓRMULAS OAN: cos b = ON/OA sen b = AN/OA OAM: cos c = OM/OA sen c = AM/OA Hipotenusa em OAN e OAM é OA. α+β = a ONP: OMP: cos α = cos β = OM/OP ON/OP sen α = sen β = NP/OP Hipotenusa MP/OP em ONP e OMP é OP. ANP: cos N = NP/AN

18 FÓRMULAS DOS 4 ELEMENTOS Lei dos cossenos na trigonometria esférica 3 lados do triângulo são associados a um de seus ângulos: cos a = cos b cos c + sen b sen c cos A cos b = cos a cos c + sen a sen c cos B cos c = cos a cos b + sen a sen b cos C 3 ângulos do triângulo são associados a um de seus lados: cos A = - cos B cos C + sen B sen C cos a cos B = - cos A cos C + sen A sen C cos b cos C = - cos A cos B + sen A sen B cos c

19 FÓRMULAS DOS 4 ELEMENTOS Lei dos senos na trigonometria esférica Relacionando dos 2 lados com 2 ângulos : sena sena = senb senb = senc senc

20 FÓRMULAS DOS 5 ELEMENTOS sen c. cosb = cosb. sen a - cosa. senb. cosc sen c. cos A = cosa. sen b - cosb. sena. cosc sen b. cos A = cosa. sen c - cosc. sena. cosb sen b. cosc = cosc. sen a - cosa. senc. cosb senc. a. ctgb cosb = sena. = cosb. ctgb + sen cosc. c cos - cosc. A senc. senb. ctga cos = A senb. ctga + cosc. cosb senb. a. ctga cosc = senc. = cosc. ctga sen + cosb. b -cosc cosb. senb senc. ctgc cos = AsenA. ctgc + cosb. cos A sena. ctgb = senc. ctgb + cosa. cosc sena. ctgc = senb. ctgc + cos a. cosb 3 lados e 2 ângulos 2 lados, 1 ângulo e 1 ângulo compreendido

21 FÓRMULAS DE BORDA Calcular os ângulos do triângulo esférico em função somente dos 3 lados do triângulo. tan A 2 = cos( b c) cos a cos a cos( b + c) tan B 2 = cos( a c) cosb cosb cos( a + c) tan C 2 = cos( a b) cos c cos c cos( a + b)

22 Relaçõ ções entre distância zenital (z),( azimute (A),( ângulo horário rio (H),( e declinaçã ção o (δ)(

23 Pela fórmula dos cossenos: 1. cos z = cos(90 -φ) cos (90 -δ)+sen(90 -φ) sen(90 -δ)cos H Temos cos z = senφsenδ+cosφ cosδcos H cos H = cosz secφsecδ- tanφ tanδ 2. cos (90 -δ) = cos(90 -φ) cos z + sen(90 -φ) sen z cos A Temos sen δ = senφcosz+cosφ senz cos A cos A = senδ csc z secφ - tanφ cotg z

24 DETERMINAÇÃ ÇÃO O DO ÂNGULO ENTRE DOIS ASTROS Determinar o ângulo CA entre dois astros

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