A TERRA ESFÉRICA. Parte II Trigonometria Esférica, Ortodrômica e Loxodrômica. GA116 Sistemas de Referência e Tempo

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1 A TERRA ESFÉRICA Parte II Trigonometria Esférica, Ortodrômica e Loxodrômica GA116 Sistemas de Referência e Tempo Profª. Érica S. Matos Departamento de Geomática Setor de Ciências da Terra Universidade Federal do Paraná -UFPR

2 TRIGONOMETRIA ESFÉRICA Triângulos esféricos compostos por 3 arcos de circunferência máxima. ângulos (diedros) መA, B, መC e lados a, b, c medidas angulares Características መC b መA B c Todos os lados são menores que 180 (triângulo euleriano) A soma dos ângulos internos 180 < መA + B + መC < 540 a Excesso esférico ε = መA + B + መC 180 O que sobra do 180 do Δ plano Área do triângulo esférico A Δ = ε rad. R 2

3 TRIGONOMETRIA ESFÉRICA Resolução de um triângulo esférico Principais formulas b መA c መC B a LEI DOS SENOS 2 lados e 2 ângulos opostos sen a sen መA = sen b sen B = sen c sen መC

4 TRIGONOMETRIA ESFÉRICA Resolução de um triângulo esférico Principais formulas b መA c መC B a LEI DOS COSSENOS Aplicada aos lados do triângulo esférico 3 lados e 1 ângulo cos a = cos b. cos c + sen b. sen c. cos መA cos b = cos a. cos c + sen a. sen c. cos B cos c = cos a. cos b + sen a. sen b. cos መC

5 TRIGONOMETRIA ESFÉRICA Calcule o lado c do seguinte triângulo esférico a = " b = " መC = " cos c = cos a. cos b + sen a. sen b. cos መC መC b a መA B c SOLUÇÃO c = arcos (cos a. cos b + sen a. sen b. cos መC) c = arcos (0, ) c = "

6 TRIGONOMETRIA ESFÉRICA Resolução de um triângulo esférico Principais formulas b መA c መC B a FÓRMULA DAS COTANGENTES 2 lados e 2 ângulos não opostos sen a. cotg c = sen B. cotg መC + cos a. cos B sen a. cotg b = sen መC. cotg B + cos a. cos መC sen b. cotg a = sen መC. cotg መA + cos b. cos መC sen b. cotg c = sen መA. cotg መC + cos b. cos መA sen c. cotg a = sen B. cotg መA + cos c. cos B sen c. cotg b = sen መA. cotg B + cos c. cos መA

7 TRIGONOMETRIA ESFÉRICA COMPLEMENTOS β = 90 α cos 90 α = sen α sen 90 α = cos α tg 90 α = cotg(α) cotg 90 α = tg(α) sec 90 α = cossec α cossec 90 α = sec α መC b a መA B c

8 Tráfego aéreo 24 horas Tráfego marítimo 30 dias

9 LOXODRÔMICA É a linha na superfície da Terra, faz um ângulo constante (rumo/azimute) com todos os meridianos. Tem o formato de espiral

10 ORTODRÔMICA É a menor distância entre dois pontos na esfera. Possui rumo/azimute variável. É um arco de círculo máximo. Fonte: R.E. DEAKIN and M.N. HUNTER,2010

11 Londres (LHR) Los Angeles (LAX) Rota Distância (km) Ortodrômica (Great Circle) 8755,7 Loxodrômica (Rhumb Line) 9727,5

12 PROJEÇÃO DE MERCATOR Representação Ortodrômica (Great Circle Route) curva Loxôdromica (Rhumb Line) reta

13 PROJEÇÃO GNOMÔMICA Representação Ortodrômica (Great Circle Route) reta

14 Exemplo: Radioamadorismo

15 MOSCOU φ = N λ = E ~ km CURITIBA φ = S λ = W

16 ~ km PEQUIM φ = N λ = E CURITIBA φ = S λ = W A

17 ~ km TÓQUIO φ = N λ = E MIAMI φ = N λ = W

18 Distância esférica (d AB ) Distância esférica é a distância entre dois pontos A e B, na superfície da esfera, considerando a medida sobre um arco de circunferência máxima. ORTODRÔMICA 2 soluções possíveis é a menor distância entre dois pontos na superfície esférica Ou seja d AB 180

19 PN G A Q φ A O Δλ G Q λ A d AB λ B φ B B PS Distância esférica (d AB )

20 PN lei dos cossenos 90 φ A Δλ G A 90 φ B Q φ A O Δλ G Q λ A d AB λ B φ B B PS Distância esférica (d AB )

21 Distância esférica (d AB ) lei dos cossenos cos d AB = cos(90 φ A ). cos(90 φ B ) + sen(90 φ A ). sen(90 φ B ). cos Δλ Então: cos d AB = sen(φ A ). sen(φ B ) + cos(φ A ). cos(φ B ). cos Δλ Onde d é um comprimento expresso em arco de circunferência d AB 180 Δλ = λ B λ A E para expressar na forma linear: D AB = R d AB Com R = 6372,000 km d AB expressa em radianos

22 Azimute esférico (Az AB ) de uma ortodrômica Ângulo diedro formado entre o meridiano e a ortodrômica no ponto considerado. É contado a partir do ponto cardeal norte, no sentido horário e varia de 0 a 360. ORTODRÔMICA É a menor distância, mas de azimute variável (não constante) Azimute constante LOXODRÔMICA

23 PN G A Az AB Q φ A O Δλ G Q λ A d AB λ B φ B B PS Azimute esférico (Az AB ) de uma ortodrômica

24 PN cotangentes 90 φ A Δλ G A Az AB 90 φ B Q φ A O Δλ G Q λ A d AB λ B φ B B PS Azimute esférico (Az AB ) de uma ortodrômica

25 Azimute esférico (Az AB ) de uma ortodrômica cotangentes Az AB = arctg sen Δλ cos φ A. tg φ B sen φ A. cos Δλ Onde Δλ = λ B λ A Análise de sinal do numeradores e denominador (definição de quadrantes) Az AB

26 EXERCÍCIO Supondo a Terra esférica com raio igual a 6372,0 km, calcule o comprimento da ortodrômica e o azimute inicial para navegar do ponto A (São Paulo) até o ponto B (Cidade do Cabo). As coordenadas de ambos os pontos são fornecidas. São Paulo (A) φ = " S λ = "W Az AB d AB Cidade do Cabo (B) φ = " S λ = " E cos d AB = sen(φ A ). sen(φ B ) + cos(φ A ). cos(φ B ). cos Δλ Az AB = arctg sen Δλ cos φ A. tg φ B sen φ A. cos Δλ

27 DICA ARMAZENANDO VALORES NA MEMÓRIA DA CALCULADORA 1. Digite o valor a ser armazenado 2. SHIFT STO A variável em rosa 3. Para usar o valor armazenado em A numa fórmula, basta digitar ALPHA A O valor da tela é o seno de

28 DICA LIMPANDO OS VALORES NA MEMÓRIA DA CALCULADORA 1ª opção: Armazenar um novo valor para a variável 2ª opção: limpar a memória SHIFT CLR ALL(3) A função CLR, em muitas calculadoras, está posicionada junto ao botão MODE (1ª linha embaixo da tela) Atenção: Variações entre modelos de calculadoras podem ocorrer! É bom verificar como funciona a sua...

29 EXERCÍCIO Supondo a Terra esférica com raio igual a 6372,0 km, calcule o comprimento da ortodrômica e o azimute inicial para navegar do ponto A (São Paulo) até o ponto B (Cidade do Cabo). As coordenadas de ambos os pontos são fornecidas. São Paulo (A) φ = " S λ = "W Az AB d AB Cidade do Cabo (B) φ = " S λ = " E cos d AB = sen(φ A ). sen(φ B ) + cos(φ A ). cos(φ B ). cos Δλ AB Az AB = arctg sen Δλ AB cos φ A. tg φ B sen φ A. cos Δλ AB

30 R = 6372,0 km Δλ AB = λ B λ A = " ( ") Δλ AB = Sejam os valores parciais sen φ A = 0, sen φ B = 0, cos(φ A ) = 0, cos φ B = 0, cos Δλ AB = 0, SOLUÇÃO São Paulo (A) φ = " S λ = "W Cidade do Cabo (B) φ = " S λ = " E Que podem ser inseridos na fórmula: cos d AB = sen(φ A ). sen(φ B ) + cos(φ A ). cos(φ B ). cos Δλ AB cos d AB = 0, d AB = arccos(0, ) d AB = ,93" Convertendo para medida linear: π D AB = R. d AB. 180 = 57 π 02 41,93" D AB = 6344, 1 km comprimento da ortodrômica

31 R = 6372,0 km Δλ AB = λ B λ A = " ( ") Δλ AB = Sejam os valores parciais sen φ A = 0, cos φ A = 0, tg φ B = 0, sen Δλ AB = 0, cos Δλ AB = 0, SOLUÇÃO São Paulo (A) φ = " S λ = "W Cidade do Cabo (B) φ = " S λ = " E Que podem ser inseridos na fórmula: Az AB = arctg sen Δλ AB cos φ A. tg φ B sen φ A. cos Δλ AB + - Az AB = arctg 2, analisando sinais 2º Q Az AB = " Az AB = " Azimute inicial A B

32 EXERCÍCIO E o azimute inicial da ortodrômica, para sair do ponto B e navegar em direção ao ponto A? São Paulo (A) φ = " S λ = "W d AB Cidade do Cabo (B) φ = " S λ = " E cos d AB = sen(φ A ). sen(φ B ) + cos(φ A ). cos(φ B ). cos Δλ Az BA Az AB = arctg sen Δλ cos φ A. tg φ B sen φ A. cos Δλ inverter A B e B A

33 R = 6372,0 km Δλ BA = λ A λ B = " Δλ BA = Sejam os valores parciais sen φ B = 0, cos φ B = 0, tg φ A = 0, sen Δλ BA = 0, cos Δλ BA = 0, SOLUÇÃO São Paulo (A) φ = " S λ = "W Cidade do Cabo (B) φ = " S λ = " E Que podem ser inseridos na fórmula: Az BA = arctg sen Δλ BA cos φ B. tg φ A sen φ B. cos Δλ BA - - Az BA = arctg +7, analisando sinais 3º Q Az BA = " Az BA = " Azimute inicial B A

34 NAVEGAÇÃO ENTRE PONTOS DERROTA MISTA: aproximar a rota à ortodrômica (menor caminho), por um conjunto de loxodrômicas (azimute constante).

35 Cálculo das coordenadas do ponto de rota (waypoint) Para calcular as coordenadas do ponto W (1 ponto de rota) saindo de A, a uma distância d (arco de circunferência): sen φ W = sen φ A. cos d + cos(φ A ). sen d. cos(a AB ) tg Δλ = A Az AB W sen(a AB ) cos φ A. cotg d sen φ A. cos(a AB ) λ W = λ A + Δλ 1 m.n. = 1 = 0 01 B A Az AB W