SISTEMAS E SINAIS. Equações Diferenciais e às Diferenças Diagramas de Blocos

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1 SISTEMS E SINIS Equações Diferenciais e às Diferenças Diagramas e Blocos Introução O iagrama e blocos é uma representação o sistema mais etalhaa o que a resposta impulsional ou as equações iferenciais e às iferenças na meia em que escreve a orem pela qual as operações internas são realizaas. s representações em iagrama e blocos consistem na interligação e 3 operações elementares sobre sinais:. Multiplicação por um escalar: = c ou = c em que c é um escalar.. ição: = + w(t) ou = + w(n). 3. Integração para sistemas contínuos: = x(n ). x(τ)τ; ou atraso temporal unitário para sistemas iscretos: = Na Figura apresentam-se os símbolos utilizaos para representar caa uma estas operações. Estes símbolos utilizam-se para exprimir graficamente através e um iagrama e blocos as equações iferenciais e às iferenças que escrevem os sistemas. c (a) = c = c w(t) w(n) = + w(t) + = + w(n) (b) = x(τ)τ = x(n ) Figura : Símbolos para a representação e operações elementares em iagramas e blocos: (a) Multiplicação por escalar; (b) ição; (c) Integração para sistemas contínuos e atraso unitário para sistemas iscretos. (c) Sistemas Discretos Consiere-se o sistema iscreto linear e invariante no tempo representao na Figura. equação que escreve o bloco a x(n ) w(n) + + /4 + y(n ) / y(n ) Figura : Diagrama e blocos e um sistema iscreto e a orem

2 tracejao é w(n) = + x(n ). () De acoro com o iagrama e blocos, a equação que escreve o sinal e saía em função o sinal w(n) é Substituino () em () obtém-se a equação às iferenças e a orem = w(n) 4 y(n ) + y(n ). () + 4 y(n ) y(n ) = + x(n ), (3) que escreve irectamente a saía o sistema em função o sinal e entraa. O iagrama e blocos e um sistema não é único. Repare-se que o iagrama e blocos a Figura poe ser entenio como a série e ois sistemas: um com sinal e entraa e sinal e saía w(n) e que é escrito pela equação (), e outro com sinal e entraa w(n) e sinal e saía, escrito pela equação (). Como qualquer estes sistemas é linear e invariante no tempo, poe-se trocar a sua orem sem alterar a relação entraa/saía a ligação em série, como se mostra na Figura 3. + f(n) + /4 + f(n ) / f(n ) Figura 3: Diagrama e blocos alternativo o sistema iscreto e a orem representao pela equação às iferenças (3) saía o primeiro sistema e a entraa o seguno é agora o sinal f(n). Repare-se que f(n ) intervém simultaneamente na eterminação o sinal f(n) e o sinal e saía pelo que poemos eliminar um os blocos e atraso unitário, obteno-se o iagrama e blocos representao na Figura 4. + /4 + f(n) + f(n ) / f(n ) Figura 4: Diagrama e blocos simplificao o sistema iscreto e a orem representao pela equação às iferenças (3) Os iagramas e blocos as Figuras e 4 representam iferentes implementações e um sistema cuja relação entraa/saía é escrita pela equação às iferenças e a orem (3). Repare-se que a implementação a Figura 4 utiliza a memória e

3 forma mais eficiente na meia em que apenas necessita e ois blocos e atraso unitário, em vez os três blocos presentes na implementação a Figura. s implementações representaas nas Figursa e 4 esignam-se e forma irecta I e forma irecta II, respectivamente. Um moelo alternativo para representar um sistema iscreto linear, invariante no tempo e causal é o moelo e estao. Este moelo é constituío por um conjunto e equações às iferenças e primeira orem acoplaas que escrevem a evolução temporal o estao o sistema e por uma equação que relaciona a saía o sistema com as variáveis e estao e a entraa. Estas equações são escritas na forma matricial. O estao e um sistema eve ser efinio como o conjunto mínimo e sinais necessários para representar toa a memória passaa o sistema. Partino o iagrama e blocos 4, observa-se que para eterminar a saía o sistema precisamos e conhecer, para além o sinal e entraa, os sinais f(n ) e f(n ). Estes sinais, que representam a memória passaa o sistema, efinem as variáveis e estao: Repare-se que s (n) = f(n ) s (n) = f(n ). s (n + ) = f(n) = 4 f(n ) + f(n ) + = 4 s (n) + s (n) + (4) s (n + ) = f(n ) = s (n) (5) O iagrama e blocos também mostra que o sinal e saía é Definino o vector e estao = f(n) + f(n ) = 7 4 f(n ) + f(n ) + = 7 4 s (n) + s (n) + (6) s(n) = s (n) s (n) e escreveno as equações (4) e (5) na forma matricial obtém-se a equação e estao s(n + ) = 4 s(n) De (6) obtém-se a equação e saía = 7 4 s(n) +. 3 Sistemas Contínuos Para representar o iagrama e blocos e um sistema contínuo escrito pela equação iferencial e orem N é preciso começar por transformar esta equação numa equação integral. N k M a k t k = k b k (7) tk Vamos efinir a operação e integração e moo recursivo e moo a simplificar a notação. Seja v (0) (t) = v(t) um sinal arbitrário e efina-se v (n) (t) = v (n ) (τ)τ, n =,, 3, Então v (n) (t) representa o integral e orem n e v(t). Repare-se que se integrarmos n v(t)/t n uma vez, obtém-se n v(t)/t n, se integrarmos uas vezes resulta n v(t)/t n e assim sucessivamente até que se obtém v(t) quano integramos n vezes. Por outro lao, se integrarmos n vezes v(t)/t resulta v (n ) (t), enquanto que se integrar n vezes v(t)/t se obtém v (n ) (t) 3

4 ssim, consierano N M na equação (7), e integrano N vezes obtém-se a equação integral N M a k y (N k) (t) = b k x (N k) (t). () Por exemplo, consiere-se o sistema contínuo e a orem efinio pela equação iferencial Integrano a equação (9) uma vez obtém-se Integrano mais uma vez obtém-se a equação integral t + 3 t + = +. (9) t t y() (t) = + x () (t). (0) + 3y () (t) + y () (t) = x () (t) + x () (t). () cujo iagrama e blocos se representa na Figura 5 w(t) + x () (t) + + y () (t) x () (t) y () (t) Figura 5: Diagrama e blocos o sistema contínuo e a orem escrito pela equação iferencial (9) ou pela equação integral () Tal como no caso iscreto, o iagrama e blocos a Figura 5 poe ser entenio como a série e ois sistemas: um com sinal e entraa e sinal e saía w(t), e outro com sinal e entraa w(t) e sinal e saía. Como qualquer estes sistemas é linear e invariante no tempo, poe-se trocar a sua orem sem alterar a relação entraa/saía a ligação em série, como se mostra na Figura 6. f(t) + + f () (t) + f () (t) Figura 6: Diagrama e blocos alternativo o sistema contínuo e a orem escrito pela equação iferencial (9) ou pela equação integral () 4

5 saía o primeiro sistema e a entraa o seguno é agora o sinal f(t). Repare-se que f () (t) e f () (t) intervêm simultaneamente na eterminação o sinal f(t) e o sinal e saía pelo que poemos eliminar ois os blocos integraores, obteno-se o iagrama e blocos representao na Figura 7, em que se esignaram por, respectivamente, s (t) = f ()(t) e s (t) = f ()(t) os sinais à saía os integraores. + t s(t) s + (t) + Figura 7: Diagrama e blocos simplificao o sistema contínuo e a orem escrito pela equação iferencial (9) Os iagramas e blocos as Figuras 5 e 7 representam iferentes implementações e um sistema cuja relação entraa/saía é escrita pela equação iferencial e a orem (9). Repare-se que a implementação a Figura 7 utiliza a memória e forma mais eficiente na meia em que apenas necessita e ois blocos integraores, em vez os quatro blocos presentes na implementação a Figura 5. s implementações representaas nas Figursa 5 e 7 esignam-se e forma irecta I e forma irecta II, respectivamente. Um moelo alternativo para representar um sistema contínuo linear, invariante no tempo e causal é o moelo e estao. Este moelo é constituío por um conjunto e equações iferenciais e primeira orem acoplaas que escrevem a evolução temporal o estao o sistema e por uma equação que relaciona a saía o sistema com as variáveis e estao e a entraa. Partino o iagrama e blocos a Figura 7, e efinino como variáveis e estao os sinais à saía os integraores, verifica-se que: O iagrama e blocos também mostra que o sinal e saía é Definino o vector e estao s (t) t s (t) = s (t) s (t) + () t s (t) = s (t) (3) = s (t) + s (t) (4) s(t) = s (t) s (t) e escreveno as equações () e (3) na forma matricial obtém-se a equação e estao t s(t) = s(t) De (4) obtém-se a equação e saía = s(t). Bibliografia Simon Haykin, Barry Van Veen, Signals an Systems,