5 Medição de distâncias e áreas na planta topográfica

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Sílvia Marroquim Palhares
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1 António Pestana Elementos e Topografia v1.0 Junho e Meição e istâncias e áreas na planta topográfica 5.1 Meição e istâncias na planta topográfica Como as plantas topográficas são projecções horizontais, então as istâncias que sobre eles são meias são istâncias em projecção horizontal afectaas pelo valor a escala o mapa. Se pretenermos eterminar istâncias inclinaas, então everá ser tio em consieração o eclive os segmentos. As consierações que e seguia irão ser feitas, referem-se apenas à eterminação e comprimentos em projecção horizontal Comprimento e um segmento rectilíneo Se a meição, sobre a planta, for efectuaa com recurso a uma régua, então para obtermos as corresponentes istâncias no terreno teremos e multiplicar o valor as meições efectuaas no mapa pelo móulo a escala. Se ispusermos e uma régua e escalas, e nela constar a escala o mapa, então obteremos o valor as istâncias no terreno irectamente por leitura a régua. Caso a planta isponha e uma escala gráfica, poeremos avaliar as istâncias no terreno utilizano um compasso para transportar o comprimento os segmentos o mapa para a escala gráfica Comprimento e linhas curvas Poeremos sempre substituir a linha curva por uma linha poligonal que a aproxime e moo satisfatório. O comprimento máximo, e o comprimento mínimo, e caa segmento e consequentemente o seu número total everão ser escolhios em função a precisão que se pretene para a meição. O comprimento a linha curva será portanto aproximaamente igual ao somatório os comprimentos os vários segmentos rectos a linha poligonal. No entanto, a solução mais cómoa para a meição o comprimento e linhas curvas consiste na utilização e um curvímetro. 5. Meição e áreas em planta Na esmagaora maioria os casos, quano falamos a meição e áreas, estamos implicitamente a referirmo-nos a áreas em projecção horizontal. São estas as que mais frequentemente interessam para as intervenções humanas no terreno. Esta superfície é sempre igual ou menor à corresponente área sobre a superfície o terreno. Não se eve esquecer que para converter áreas meias no mapa para áreas no plano horizontal e referência, o valor obtio no mapa everá ser multiplicao pelo quarao o móulo a escala. 4

valor a escala o mapa. Se pretenermos eterminar istâncias inclinaas, então everá ser tio em consieração o eclive os segmentos.

2 y António Pestana Elementos e Topografia v1.0 Junho e Métoos analíticos Métoo e Gauss Apenas é aplicável a polígonos convexos???? e obriga ao conhecimento as coorenaas os seus vértices. A sua aplicação obriga à execução, na orem inicaa, os seguintes passos: 1 Numerar sequencialmente e no sentio horário???? os vértices o polígono; Determinar as coorenaas os vértices Aplicar a fórmula a área é igual a metae o somatório os proutos a orenaa e caa vértice pela iferença entre as abcissas os vértices seguinte e anterior x x4 y1 y y y4 y1 1 x parcelas a subtrair parcelas a somar 4 Figura 4: Métoo e Gauss mnemónica para a efinição o sinal as parcelas. Eq. (11) 1 A = [ y1 ( x x4 ) + y( ) + y( x4 x ) + y4( )] = 1 ( y ) 1x + y + yx4 + y4 y1 x4 y yx y Decomposição em triângulos Se ecompusermos um polígono em elementos triangulares, então a sua área será igual ao somatório as áreas esses triângulos. A fórmula apresentaa na figura permite eterminar a área e um qualquer triângulo a partir o conhecimento o comprimento os seus laos ver Figura 44. A ecomposição em triângulos everá ser feita e moo a que se obtenham triângulos tão bem conformaos quanto possível. 1 Por vezes também enominaos métoos exactos. Na realiae, apenas serão exactos se as figuras cuja área se pretene eterminar forem polígonos e os aos necessários aos cálculos forem conhecios com exactião. 44

??? os vértices o polígono; Determinar as coorenaas os vértices Aplicar a fórmula a área é igual a metae o somatório os proutos a orenaa e caa vértice pela iferença entre as abcissas os vértices

3 António Pestana Elementos e Topografia v1.0 Junho e 006 a A c a + b + c p = b Figura 44: Semiperímetro e um triângulo. Eq. (1) A = p ( p a)( p b)( p c ) 5.. Métoos geométricos Os métoos geométricos são especialmente inicaos para a eterminação e áreas limitaas por contornos curvos. Os métoos que irão ser apresentaos corresponem a ois os mais simples métoos e integração numérica Métoo os trapézios A área a meir é aproximaa por um conjunto e trapézios, toos e igual base. O contorno a área é portanto aproximao por uma linha poligonal. f(x) Linha poligonal f(x)x A1+ A y1 A1 y A y y1+ y y + y A1+ A = + = (y1+ y + y) x Figura 45: Área e ois trapézios ajacentes que compartilham uma altura. Recora-se que os métoos e integração numérica estinam-se, tal como o nome inica, ao cálculo numérico (e portanto aproximao) e integrais. 45

Os métoos que irão ser apresentaos corresponem a ois os mais simples métoos e integração numérica. 5...1 Métoo os trapézios A área a meir é aproximaa por um conjunto e trapézios, toos e igual base.

4 António Pestana Elementos e Topografia v1.0 Junho e 006 Na Figura 45 está aplicao o métoo ao cálculo a área limitaa por uma função f(x) e o eixo as abcissas, utilizano apenas ois trapézios. Generalizano para n trapézios (n intervalos e imensão ) obtemos a fórmula geral (conhecia por fórmula e Bezout): x n + 1 Eq. (1) A = f ( x) x y1 + yn+ 1 + ( y + y + + yn ) Atenção: as alturas y everão ser perpeniculares às istâncias! 5... Métoo e Simpson O contorno a área a meir é aproximao por uma linha escontínua composta por arcos e parábola. Como a parábola é um polinómio o seguno grau, serão necessários sempre três pontos para efinir caa arco. Estes pontos são obtios a partir a subivisão o eixo as abcissas num número par e intervalos iguais e amplitue. A Figura 46 exemplifica o métoo para um único arco e parábola. f(x) arco e parábola f(x)x A1 y y A1 = (y1+ 4 y + y) y1 A1 x Figura 46: Métoo e Simpson área e ois elementos ajacentes. Generalizano para um número par 4 n e intervalos ajacentes, obtemos a fórmula geral: x n + 1 Eq. (14) A = f ( x) x y1 + yn+ 1 + ( y + y5 + + yn 1 ) + 4( y + y4 + + yn ) Atenção: as alturas y everão ser perpeniculares às istâncias! (Xerez, 1959) Recore-se que para efinirmos k intervalos evemos eterminar k+1 alturas y. 4 Se n é par, então n 1 e n+1 são ímpares. 46

(1) A = f ( x) x y1 + yn+ 1 + ( y + y + + yn ) Atenção: as alturas y everão ser perpeniculares às istâncias! 5.

5 António Pestana Elementos e Topografia v1.0 Junho e Métoo mecânico Baseia-se na utilização o planímetro, também conhecio por integraor mecânico. 47

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