LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF UFPB 10 de Junho de 2013, às 17:23. Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de física teórica,

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1 Exercícios Resolvios e Física Básica Jason Alfreo Carlson Gallas, professor titular e física teórica, Doutor em Física pela Universiae Luwig Maximilian e Munique, Alemanha Universiae Feeral a Paraíba (João Pessoa, Brasil) Departamento e Física Baseaos na SEXTA eição o Funamentos e Física, Halliay, Resnick e Walker. Esta e outras listas encontram-se em: jgallas Contents 37 Difração Problemas e Exercícios Difração por uma fena: posições os mínimos Determinação a intensiae a luz ifrataa por uma fena métoo quantitativo Difração por uma abertura circular Difração por uas fenas Rees e ifração Rees e ifração: ispersão e resolução Difração e raios-x Comentários/Sugestões e Erros: favor enviar para yahoo.com (sem br no final...) (listaq3.tex) jgallas Página 1 e 7

2 37 Difração Por outro lao, sabemos que a sen θ 1 m 1 e a sen θ 2 m 2, 37.1 Problemas e Exercícios 37.2 Difração por uma fena: posições os mínimos E 37-1 (41-3/4 a eição) Um feixe e luz e comprimento e ona e 633 nm incie em uma fena estreita. O ângulo entre o primeiro mínimo e ifração e um lao o máximo central e o primeiro mínimo o outro lao é 1.2 o. Qual é a largura a fena? Basta usar a fórmula a sen θ m, com m 1 e θ 1.2 o /2 0.6 o. Portanto a µm. sen θ sen 0.6 E 37-4 (41-5/4 a eição) A istância entre o primeiro e o quinto mínimo e uma figura e ifração e uma fena é 0.35 mm, com a tela a 40 cm e istância a fena, quano é usaa uma luz com um comprimento e ona e 550 nm. (a) etermine a largura a fena. (b) Calcule o ângulo θ o primeiro mínimo e ifração. (a) Chamano e y a posição o primeiro mínimo (m 1 1) na tela, e e y + y a posição o quinto mínimo (m 2 5), temos que tan θ 1 y D, que nos fornecem tan θ 2 y + y D. tan θ 2 tan θ 1 y D. Como y < y, poemos aproximar tan θ 2 y + y D y D Este número pequeno nos informa que vale a aproximação tan θ 2 θ 2 e, como θ 1 θ 2, que tan θ 1 θ 1. Nestas aproximações poemos escrever tan θ 2 tan θ 1 θ 2 θ 1 θ y D. one tiramos facilmente sen θ 2 sen θ 1 θ 2 θ 1 θ (m 2 m 1 ) a Comparano as uas expressões para θ vemos que Portanto a D(m 2 m 1 ) y (b) Para m 1 y D (m 2 m 1 ) ( m). a a (400)( )(5 1) mm. sen θ m a (1)( ) , 2.5 e, portanto, o ângulo peio é θ sen 1 ( ) ra. P 37-6 (41-9/4 a eição) Onas sonoras com uma freqüência e 3000 Hz e uma velociae e 343 m/s passam pela abertura retangular e uma caixa e som e se espalham por um grane auitório. A abertura, que tem uma largura horizontal e 30 cm, está voltaa para uma paree que fica a 100 m e istância (Fig ). Em que ponto esta paree um ouvinte estará no primeiro mínimo e ifração e, portanto, terá ificulae para ouvir o som? (Ignore as reflexões.) Suponha que o primeiro mínimo esteja a uma istância y a partir o eixo central, perpenicular ao alto-falante. Neste caso, para m 1 temos sen θ y D2 + y 2 m a a. Resolveno esta equação para y obtemos y D (a/)2 1 D (af/vs ) [(0.3)(3000)/343] m.. jgallas Página 2 e 7

3 37.3 Determinação a intensiae a luz ifrataa por uma fena métoo quantitativo E 37-9 (41-13/4 a eição) Quano a largura e uma fena é multiplicaa por 2, a intensiae o máximo central a figura e ifração é multiplicaa por 4, embora a energia que passa pela fena seja multiplicaa por apenas 2. Explique quantitativamente o que se passa. E (41-12/4 a eição) Uma luz monocromática com um comprimento e ona e 538 nm incie em uma fena com uma largura e mm. A istância entre a fena e a tela é 3.5 m. Consiere um ponto na tela a 1.1 cm o máximo central. (a) Calcule o valor e θ neste ponto. (b) Calcule o valor e. (c) Calcule a razão entre a intesiae neste ponto e a intensiae no máximo central. (a) θ sen 1( 1.1 ) 0.18 o. 3.5 (b) Da Eq temos que ( πa ) sen θ π(0.025) sen 0.18 o 538 (c) Da Eq tiramos que I(θ) I m ( sen ra. ) 2 ( sen ) Difração por uma abertura circular E (41-18/4 a eição) Os ois faróis e um automóvel que se aproxima e um observaor estão separaos por uma istância e 1.4 m. Qual é (a) a separação angular mínima e (b) a istância máxima para que o olho o observaor seja capaz e resolvê-los? Suponha que o iâmetro a pupila o observaor seja 5 mm e que use um comprimento e ona e luz e 550 nm para a luz os faróis. Suponha também que a resolução seja limitaa apenas pelos efeitos a ifração e portanto que o critério e Rayleigh possa ser aplicao. (a) Use o critério e Rayleigh, Eq Para resolver uas fontes puntiformes o máximo central a figura e ifração e um ponto eve cair sobre ou além o primeiro mínimo a figura e ifração o outro ponto. Isto significa que a separação angular as fontes eve ser pelo menos θ R 1.22/, one é o comprimento e ona e é o iâmetro a abertura. Portanto θ R 1.22( ) ra. (b) Seno L a istância os faróis ao olho quano os faróis puerem ser pela primeira vez resolvios, e D a separação os faróis, então D L tan θ R Lθ R, one foi feita a aproximação e ângulos pequenos tan θ R θ R, vália se θ R for meio em raianos. Portanto L D km. θ R E (41-23/4 a eição) Estime a separação linear e ois objetos no planeta Marte que mal poem ser resolvios em conições iniciais por um observaor na Terra. (a) a olho nu e (b) usano o telescópio e 200 polegaas (5.1 m) o Monte Palomar. Use os seguintes aos: istância entre Marte e Terra km; iâmetro a pupila 5 mm; comprimento e ona a luz 550 nm. (a) Use o critério e Rayleigh, Eq : ois objetos poem ser resolvios se sua separação angular na posição o observaor for maior que θ R 1.22/, one é o comprimento e ona a luz e é o iâmetro a abertura (o olho ou espelho). Se L for a istância o observaor aos objetos, então a menor separação y que eles poem ter e aina ser resolvios é y L tan θ R Lθ R, one θ R é meio em raianos. Portanto, y 1.22L 1.22( )( ) m km. Esta istância é maior o que o iâmetro e Marte. Portanto, não é possível resolver-se totalmente a olho nu ois objetos iametralmente opostos sobre Marte. (b) Agora 5.1 m e y 1.22L 1.22( )( ) jgallas Página 3 e 7

4 m 11 km. Esta é a separação mínima entre objetos para que possam ser perfeitamente resolvios com o telescópio. E (41-25/4 a eição) O sistema e raar e um cruzaor emite microonas com um comprimento e ona e 1.6 cm, usano uma antena circular com 2.3 m e iâmetro. À istância e 6.2 km, qual é a menor separação entre uas lanchas para que sejam etectaas como objetos istintos pelo raar? ( 1.22 ) y min Lθ R L ( ) 1.22( ) 2.3 P (41-29/4 a eição) 53 m. Em junho e 1985, a luz e um laser foi emitia a Estação Óptica a Força Aérea, em Maui, Havaí, e refletia pelo ônibus espacial Discovery, que estava em órbita a uma altitue e 354 km. De acoro com as notícias, o máximo central o feixe luminoso tinha um iâmetro e 9.1 m na posição o ônibus espacial e o comrpimento e ona a luz usaa foi 500 nm. Qual o iâmetro efetivo a abertura o laser na estação e Maui? (Sugestão: O feixe e um laser só se espalha por causa a ifração; suponha que a saía o laser tem uma abertura circular.) A equação que o primeiro mínimo e ifração para aberturas circulares é sen θ 1.22 one é o comprimento e ona a luz e é o iâmetro a abertura. A largura y o máximo central é efinia como a istância entre os ois primeiros mínimos. Portanto, temos tan θ y/2 D, one D é a istância entre o laser e o ônibus espacial. Como θ << 1, poemos aproximar tan θ sen θ θ o que nos fornece y/2 D 1.22, one tiramos 1.22 D y/ ( )( ) 9.1/ Difração por uas fenas E (41-35/4 a eição) 4.7 cm. A envoltória central e ifração e uma figura e ifração por uas fenas contém 11 franjas claras e os primeiros mínimos e ifração eliminam (coinciem com) franjas claras. Quantas franjas e interferência existem entre o primeiro e o seguno mínimos a envoltória? Franjas claras e interferência ocorrem para ângulos θ aos por a sen θ m, one é a separação as fenas, é o comprimento e ona, e m é um inteiro. Para as fenas este problema 11a/2, e moo que a sen θ 2m/11. O primeiro mínimo o parão e ifração ocorre num ângulo θ 1 ao por a sen θ 1 e o seguno ocorre para um ângulo θ 2 ao por a sen θ 2 2, one a é a largura a fena. Desejamos contar os valores e m para os quais θ 1 < θ < θ 2 ou, o que é a mesma coisa, os valores e m para os quais sen θ 1 < sen θ < sen θ 2. Isto implica termos que é satisfeita para 1 < 2m 11 < 2, m 6, 7, 8, 9, 10, forneceno-nos um total e cinco franjas claras. P (41-40/4 a eição) (a) Quantas franjas claras aparecem entre os primeiros mínimos a envoltória e ifração à ireita e à esquera o máximo central em uma figura e ifração e uas fenas se 550 nm, 0.15 mm e a 30 µm? (b) Qual é a razão entre as intensiaes a terceira franja clara e a franja central? (a) A posição angular θ as franjas claras e interferência é aa por sen θ m, one é a separação as fenas, é o comprimento e ona, e m é um inteiro. jgallas Página 4 e 7

5 O primeiro mínimo e ifração ocorre para um ângulo θ 1 ao por a sen θ 1, one a é a largura a fena. O pico e ifração extene-se e θ 1 até +θ 1, e moo que precisamos eterminar o número e valores e m para os quais θ 1 < θ < +θ 1 ou, o que é a mesma coisa, o número e valores e m para os quais sen θ 1 < sen θ < +sen θ 1. Esta última relação significa termos 1/a < m/ < 1/a, ou seja, one a < m < a, a Portanto, os valores possíveis e m são m 4, 3, 2, 1, 0, +1, +2, +3, +4, perfazeno um total e nove franjas. (b) A intensiae na tela é aa por one ( I I m cos 2 β ) ( sen ) 2, πa sen θ, β π sen θ, e I m é a intensiae no centro o parão. Para a terceira franja clara e interferência temos sen θ 3, e moo que β 3π ra e cos 2 β 1. Analogamente, 3πa/ 3π/5 0.6π ra, e moo que I I m ( sen ) 2 ( sen 0.6π ) π (b) Da figura vemos também que a quarta franja clara está ausente e, portanto, 4a 4(5.05 µm) 20.2 µm. (c) Para a franja clara com m 1 temos θ 1.25 o (veja a figura), e a Eq nos iz que πa β π sen θ π(5.05) 0.44 sen 1.25o ra, sen θ π(20.2) 0.44 sen 1.25o ra. NOTE: para máximos sempre teremos (cos β) 2 1 pois então sen θ m, e moo que β mπ, isto é, cos β ( 1) m e, portanto, (cos β) 2 1 qualquer que seja o valor e m. Na verae, poeríamos usar o fato que (cos β) 2 1 para eterminar com precisão no gráfico o valor e θ one ocorrem os máximos e intensiae. Perceba que acima obtivemos β em vez e β π por havermos usao θ 1.25 o em vez o valor exato a posição o máximo no gráfico. Da figura vemos que a intensiae I m o máximo central vale I m 7 mw/cm 2, e moo que a intensiae I a franja com m 1 é aa por ( sen ) 2 ( sen I I m (cos 2 β) (7)(1) mw/cm 2, que concora com o que a Fig mostra. Analogamente, para m 2 a figura nos iz que θ 2.5 o, e moo que 1.573, [β , cos β 1] e I 2.83 mw/cm 2, também e acoro com a Fig ) 2 P (41-41/4 a eição) Uma luz e comprimento e ona e 440 nm passa por uas fenas, prouzino uma figura e ifração cujo gráfico e intensiae I em função a posição angular θ aparece na Fig Calcule (a) a largura as fenas e (b) a istância entre as fenas. (c) Calcule as intensiaes as franjas e interferência com m 1 e m 2 e compare os resultaos com os que aparecem na figura. (a) Da figura vemos que o primeiro mínimo o paraão e ifração ocorre para 5 o, e moo que a µm sen θ sen 5 o 5.05 µm Rees e ifração E (41-43/4 a eição) Uma ree e ifração com 20 mm e largura possui 6000 ranhuras. (a) Calcule a istância entre ranhuras vizinhas. (b) Para que ângulos θ ocorrerão máximos e intensiae em uma tela e observação se a raiação inciente na ree e ifração tiver um comprimento e ona e 589 nm? (a) mm 3 µm jgallas Página 5 e 7

6 (b) Para eterminar as posições os máximos e intensiae usamos a fórmula sen θ m, eterminano toos os valores e m que prouzem valores e m / < 1. Explicitamente, encontramos para m 0 : θ 0 o 1 ± para m 1 : θ sen 1 ±0.589 sen ±10.2 o para m 2 : 1 ±2(0.589) θ sen ±20.7 o para m 3 : 1 ±3(0.589) θ sen ±32.2 o para m 4 : 1 ±4(0.589) θ sen ±45 o para m 5 : 1 ±5(0.589) θ sen ±62.2 o Para m 6 obtemos m / > 1, inicano que os máximos acima são toos os possíveis. E (41-49/4 a eição) Uma luz e comprimento e ona e 600 nm incie normalmente (perpenicularmente!!) em uma ree e ifração. Dois máximos e ifração são observaos em ângulos aos por sen θ 0.2 e sen θ 0.3. Os máximos e quarta orem estão ausentes. (a) Qual é a istância entre ranhuras vizinhas? (b) Qual é a menor largura possível esta ree e ifração? (c) Que orens e máximos e intensiae são prouzias pela ree, supono que os parâmetros a ree sejam os calculaos nos itens (a) e (b)? (a) Os máximos e um parão e interferência e uas fenas ocorrem para ângulos θ aos por sen θ m, one é a separação as fenas, o comprimento e ona, e m em inteiro. As uas linhas são ajacentes, e moo que suas orens iferem e uma uniae. Seja m a orem a linha com sen θ 0.2 e m + 1 a orem a linha com sen θ 0.3. Então 0.2 m e 0.3 (m + 1). Subtraino ambas equações encontramos 0.1, ou µm (b) Mínimos e um parão e ifração por fena única ocorrem para ângulos aos por a sen θ m, one a é a largura a fena. Como o máximo e interferência e quarta orem encontra-se ausente, ele eve cair num estes ângulos.se a é a menor largura a fena para a qual esta orem esta ausente, o ângulo eve ser ao por a sen θ, seno também aa por sen θ 4, e moo que a µm. 4 (c) Primeiro, coloque θ 90 o para encontrar o maior valor e m para o qual m < sen θ. Esta é a maior orem ifrataa na tela. A conição equivale a m < / e como / ( )/( ) 10, a orem mais alta que se poe ver é m 9. A quarta e a oitava orem estão ausentes, e moo que as orens observáveis são os orens m 0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, Rees e ifração: ispersão e resolução E (41-62/4 a eição) Uma fonte conteno uma mistura e átomos e hirogênio e eutério emite luz vermelha com ois comprimentos e ona cuja méia é nm e cuja separação é 0.18 nm. Determine o número mínimo e ranhuras necessárias para que uma ree e ifração possa resolver estas linhas em primeira orem. Se a grae apenas consegue resolver ois comprimentos e ona cuja méia é e cuja separação é, então seu poer e resolução é efinio (veja Eq ) como seno R /. Sabemos (Eq ) que R N m, one N é a quantiae e ranhuras e m é a orem as linhas. Portanto / N m, one tiramos N m ranhuras. (1)(0.18) E (41-61/4 a eição) Uma ree e ifração tem 600 ranhuras/mm e 5 mm e largura. (a) Qual é o menor intervalo e comprimentos e ona que a ree é capaz e resolver em terceira orem para 500 nm? (b) Quantas orens acima a terceira poem ser observaas? (a) Usano o fato que / Nm, obtemos Nm (3)(600)(5) m. (b) A posição os máximos numa ree e ifração é efinia pela fórmula sen θ m, jgallas Página 6 e 7

7 e one obtemos que sen θ m. Não observarmos ifração e orem m equivale a izer que para tal m obtemos θ 90 o, ou seja, que temos sen m max. Isolano-se m max, e substituino os aos o problema em questão encontramos que m max 10 3 / Tal resultao nos iz que a maior orem observável com tal grae é a terceira, pois esta é a última orem que prouz um valor fisicamente significativo e θ. Portanto, não se poe observar nenhuma orem superior à terceira com tal grae Difração e raios-x E (41-70/4 a eição) Raios X e comprimento e ona e 0.12 nm sofrem reflexão e seguna orem em um cristal e fluoreto e lítio para um ângulo e Bragg e 28 o. Qual é a istância interplanar os planos cristalinos responsáveis pela reflexão? A lei e Bragg fornece a conição e máximo, Eq , como seno 2 sen θ m, one é o espaçamento os planos o cristal e é o comprimento e ona. O ângulo é meio a partir a normal aos planos. Para reflexão e seguna orem usamos m 2, encontrano m 2 sen θ (2)( ) 2 sen 28 o 0.26 nm. P (41-80/4 a eição) Na Fig , um feixe e raios X e comprimento e ona nm incie em um cristal e NaCl a 45 o com a face superior o cristal e com uma família e planos refletores. O espaçamento entre os planos refletores é e nm. De que ângulo o cristal eve ser girao em torno e um eixo perpenicularmente ao eixo o papel para que estes planos refletores prouzam máximos e intensiae em suas reflexões? Os ângulos e inciência que corresponem à intesiae máxima o feixe e luz refletia satisfazem 2 sen θ m, ou sen θ m 2 m(0.125) 2(0.252) m Como é preciso ter sen θ < 1, vemos que os valores permitios e m são m 1, 2, 3, 4, aos quais corresponem os ângulos θ 14.4 o, 29.7 o, 48.1 o, 82.8 o. Portanto o cristal eve ser girao no sentio anti-horário e : 48.1 o 45 o 3.1 o, 82.8 o 45 o 37.8 o, sentio horário e : 45 o 14.4 o 30.6 o, 45 o 29.7 o 15.3 o. jgallas Página 7 e 7

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