Considere uma placa retangular simplesmente apoiada nas bordas e submetida a um carregamento axial excêntrico na direção do eixo y.

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André Azenha de Sequeira
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1 4 Controle Passivo com Carregamento Excêntrico 4.. Conceitos Básicos Neste capítulo é seguia a metoologia apresentaa anteriormente para controle e vibrações em placas por meio a aplicação e cargas e compressão. Porém, agora serão levaas em consieração as cargas aplicaas fora o centro geométrico a sessão transversal. Hui & Leissa (98) estuaram o efeito e imperfeições geométricas na vibração e placas retangulares sujeitas a carregamentos uni e biaxiais. Para tanto, os autores simularam uma imperfeição geométrica e forma senoial, semelhante aos moos e vibração a placa simplesmente apoiaa. Será utilizaa a formulação proposta por estes autores para resolução o problema proposto neste trabalho. 4.. eterminação a equação a eformaa a placa Consiere uma placa retangular simplesmente apoiaa nas boras e submetia a um carregamento axial excêntrico na ireção o eixo. Este carregamento poe ser substituío por uma carga compressiva mais um momento M uniformemente istribuío ao longo os eixos =± b. As eflexões causaas por este momento evem satisfazer a equação iferencial homogênea (4.). 4 w= (4.) Utilizano a formulação proposta por Timoshenko & Woinowski-Krieger (959), as seguintes conições e contorno evem ser impostas w= w, xx = em x=, a (4.) w= em =± b (4.) ( w, ) = M = Ne (, ) = b w = M = N e (4.4) = b one e é a excentriciae a carga em relação ao eixo transversal a placa. Assume-se a solução a eq. (4.) como

2 Controle Passivo com Carregamento Excêntrico 7 mπ x w= Y( )sen m= a (4.5) Esta solução satisfaz as conições e contorno (4.). A função Y( ) será tomaa a seguinte forma mπ mπ mπ mπ Y( ) = Csenh + Ccosh + C senh a a a a mπ mπ + C4 cosh a a (4.6) Neste caso, a função Y( ) eve ser uma função par e, para isso é necessário que C = C 4 = na eq. (4.6). Substituino a eq. (4.6) na eq. (4.5) obtém-se one mπ mπ mπ mπx w= C + C Para satisfazer as conições e contorno (4.), tem-se C coshα + Cαsenhα = (4.8) Então, cosh senh sen m= a a a a (4.7) Assim a eflexão w para este caso toma a forma mπ b α = (4.9) a C = Cα tanhα (4.) m m m m x w π π π π = C senh α tanhαcosh sen m= a a a a (4.) Para se eterminar o valor a constante C usa-se a conição e contorno (4.4). A representação a istribuição os momentos ao longo as boras =± b é aa pela série trigonométrica abaixo M 4Ne mπ x = sen (4.) π m a m=,,5,... Substituino as eqs. (4.) e (4.) nas conições e contorno (4.4), obtém-se 4Ne π cosh sen π = sen π e,a partir a eq. (4.), tem-se m m x m x C α m= a a π m=,,5,... m a (4.)

3 Controle Passivo com Carregamento Excêntrico 74 este moo, C ane = π m coshα (4.4) Na mπ mπ mπ mπx w = tanh cosh senh α α π m=,,5,... m coshα a a a a (4.5) A partir a eq. (4.5) poe-se eterminar a eflexão w no centro a placa para qualquer relação e ab. Esta é aa por Ne tanhα w = (4.6) π coshα m=,,5,... m ( ) ( m ) Timoshenko & Woinowski-Krieger, (959), calcularam os valores a eflexão w em função os momentos fletores, neste caso expressos por Ne. Estes valores estão mostraos na Tabela. Tabela eflexões no centro e uma placa retangular simplesmente apoiaa e submetia a um carregamento N aplicao com excentriciae e. (Timoshenko & Woinowski-Krieger, 959). ba,,5,75,, 5, w,5neb,964neb,6neb,68neb,8neb,74neb 4.. eterminação as freqüências naturais e os moos e vibração Para eterminação as freqüências naturais para a placa eformaa evio a um carregamento axial excêntrico, evem ser generalizaas as eqs. (.) e (.) a fim e incorporar a possibiliae e uma eformação inicial w escrita em termos o eslocamento w e a função e tensão f como segue ( ) ( ) ( ) (4.7) 4 W + mw = F, YY W + W F, XX, XY W + W + F, XY, XX W + W, YY Eh 4 F = ( W + W) ( W, ) ( ) ( ), XY XY W + W W + W + W, XX, YY, XXW, YY (4.8)

4 Controle Passivo com Carregamento Excêntrico 75 Para facilitar os cálculos algébricos as eqs. (4.7) e (4.8) são normalizaas a seguir. São utilizaas as variáveis aimensionais ( ww, ) = ( WW, ) h f = cf Eh ( ν ) c = ( x, ) = ( b)( X, Y) (4.9) O equilíbrio estático e uma placa comprimia biaxialmente é efinio como one fe x x f x w x w x e (, ) = σ σ + (, ) (, ) = (, ) ( x, ) ( Nx, N) (4.) cb σ σ = (4.) Eh Substituino f = f ( x, ) e w w ( x, ) e = nas eqs. (4.7) e (4.8), as e equações não-lineares e equilíbrio estático e e compatibiliae ficam ( σ x, )( ), x( ) w c f w w f w w 4 = , xx, x ( σ f xx)( w w ) + + +,, = + 4 f c ( w w ) ( w, ), x x ( w w ) ( w w ) w, xx,, xxw, } (4.) (4.) A eformação inicial a ser aplicaa é a calculaa na seção anterior, ou seja, é a equação a eformaa a placa quano submetia a um carregamento axial excêntrico, portanto ( ) μ ( π ) ( π ) w x, = sen J x sen k (4.4) one μ é a amplitue a eformação inicial calculaa na seção anterior, J = jb a e ambos j e k são inteiros positivos. Obviamente a forma o eslocamento estático será iêntico ao eslocamento inicial w consierao. este moo tem-se: (, ) sen( π ) sen( π ) w x cw J x k = (4.5) Substituino as eqs. (4.4) e (4.5) na eq. (4.), tem-se

5 Controle Passivo com Carregamento Excêntrico 76 ( π ) ( μ) μ cos( π ) cos( π ) f cj k cw J x k 4 4 = + + Então a função e tensão f (, ) (4.6) x que satisfaz exatamente a equação e compatibiliae é (, ) = ( + μ) μ cos( π ) + cos( π ) f x cw A J x A k (4.7) one as constantes A e A são ck A = 6J cj A = 6k Substituino w ( x, ), f ( x, ) e w ( ), (4.8) x na equação não-linear e equilíbrio estático (4.) e aplicano o métoo e Galerkin (multiplicano ambos os laos por sen ( J x) sen ( k ) π π e integrano e x = até ab e = até ), obtém-se uma equação cúbica em c w carregamento axial, poe-se encontrar c w + μ. A partir e um ao valor o + μ e, consequentemente, f ( x, ). Para simplificar os cálculos, far-se-á J = k =, este moo esta expressão se torna ( x + ) c c σ σ c μ ( cw + μ) + 4 ( cw + μ) 4μ = π (4.9) e posse os resultaos para a configuração e equilíbrio estática, esta poe ser aicionaa ao estao inâmico perturbao w ( x,, t ) e f (,, ) xt e as equações iferenciais resultantes são linearizaas em relação ao estao inâmico. este moo, as equações e equilíbrio e compatibiliae se tornam, ( 4 ) ( σ ) ( σ ) ( ) ( ) ( ) w + mc b Eh w = c + f w + + f w x,, xx, xx, + f w + w + f w + w f w + w,, xx, xx,, x, x ( ) ( ) ( ) (4.) 4 f = c w, x w w w, x, w w w, xx, xx w w + + +, (4.) O moo e vibração que satisfaz as conições e contorno para placa simplesmente apoiaa está representao na eq. (4.) (,, ) ζ sen( π ) sen( π ) w x t M x n e ω one ζ é a amplitue o moo e vibração, M i t = (4.) = mb a e ambos m e n são inteiros positivos. Substituino as eqs. (4.4), (4.5) e (4.) na eq. (4.),

6 Controle Passivo com Carregamento Excêntrico 77 obtém-se a equação e compatibiliae { 4 4 ( )( w ) f = ζ cπ c + μ ( ) cos ( ) π cos ( ) Jn km J + M x k + n π ( ) cos ( ) π cos ( ) + Jn + km J + M x k n π + ( Jn km ) cos ( J M ) πx cos ( k n) π ( ) cos ( ) π cos ( ) π } i t Jn km J M x k n e ω eve-se encontrar uma solução para a função e tensão f (,, ) (4.) xt que satisfaça exatamente a equação e compatibiliae, portanto: { iωt (,, ) = ζ ( w + μ) cos ( + ) π cos ( + ) f x t c e C J M x k n π ( ) π cos ( ) π ( ) π cos ( ) π ( ) π cos ( ) π } C cos J + M x k n + C cos J M x k+ n + C4 cos J M x k n one, aotano J = k = e M = n=, tem-se C = C = 4 C = C = c 8 esta forma poe ser obtia a função e tensão (,, ) f xt. (4.4) (4.5) A equação e equilíbrio inâmico é satisfeita aproximaamente, utilizanose o métoo e Galerkin (multiplica-se ambos os laos a equação por sen ( J x) sen ( k ) π π e integra-se e x = até ab e = até ). Assim, obtém-se uma função explícita para a freqüência natural e para as forças e compressão no plano. one ( σx + σ ) c c c Ω + = c ( cw + μ) μ + ( cw + μ) + π 6 4 mω c b Eh π (4.6) 4 Ω = (4.7) 4 A Figura mostra a variação a freqüência natural em função o carregamento axial. Poe-se notar que a freqüência cresce significativamente com o aumento a excentriciae. A curva mostra que a variação a freqüência tem uma epenência maior a excentriciae o que o carregamento.

7 Controle Passivo com Carregamento Excêntrico 78 Ω.6. e/h=, e/h=,5 e/h=,.8.4 e/h= σ x /σ cr Figura Freqüência natural em função o carregamento uniaxial para placa sem carregamento e com carregamento excêntrico. Na Figura mostra-se a relação entre a freqüência e a excentriciae o carregamento. Poe-se notar claramente que o aumento a excentriciae aumenta a freqüência a uma taxa praticamente linear...5 σ x /σ xc =, Ω e/h Figura Freqüência natural em função a excentriciae o carregamento.

8 Controle Passivo com Carregamento Excêntrico 79 Os resultaos a análise não-linear consierano carregamento excêntrico mostram que este métoo é também eficaz para o controle e vibrações em placas, pois a aplicação o carregamento altera a freqüência natural a placa tornano possível a alteração as proprieaes inâmicas a estrutura e possibilitano um ecréscimo nas amplitues e velociaes o movimento harmônico.

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