2 Modelos de Sistemas Rotativos com Impacto

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1 Moelos e Sistemas Rotativos com Impacto Para estuar eviamente um sistema mecânico é necessário recorrer a um bom moelo matemático que represente e forma consistente o comportamento possível o mesmo. A análise inâmica o sistema mecânico particular, compreenio e um eixo elástico sobre mancais, rotor e estator, parte as equações e movimento que governam a inâmica o sistema. Muitas vezes usam-se as leis e Newton-Euler para escrever a inâmica e uma partícula ou um sistema e partículas, empregano-se um sistema e coorenaas e forças físicas que poem ser representaas vetorialmente. Por este motivo, as equações e movimento encontraas, usano as leis e Newton-Euler, são referias como equações vetoriais (mecânica vetorial). Uma as principais esvantagens e usar estas leis é a necessiae e consierar separaamente os componentes iniviuais o sistema e e calcular as forças que interagem entre eles. Muitas vezes, o cálculo estas forças é complicao quano o sistema em estuo é complexo, e em muitos casos, algumas estas forças não são e interesse. Muitas vezes, visano obter somente as equações e movimento os sistemas mecânicos sem calcular as reações inâmicas, faz-se uso o principio a potência virtual, ou principio e Jourain. O resultao final as equações e Newton-Euler-Jourain são apenas as equações e movimento, já que as forças e momentos e reação não realizam trabalho nem geram energia, Santos [8]. Outro métoo iferente para escrever o movimento e uma partícula ou e um sistema e partículas, parte o princípio variacional. Neste métoo consiera-se o sistema como um too, sem a necessiae e analisar caa componente separaamente, o que elimina o cálculo as forças e interação. Este métoo é atribuío a Leibnitz e Lagrange, comumente conhecio como o métoo e Lagrange, e a formulação o problema é função e uas granezas escalares: energia e trabalho. Este métoo formula o problema através e coorenaas e forças generalizaas que não necessariamente representam as coorenaas ou forças físicas, mas em certos casos poem ser os mesmos.

2 Moelos e Sistemas Rotativos com Impacto 1 Neste trabalho, as equações e movimento o rotor são obtias utilizano o métoo e Lagrange, formulaa a partir as granezas escalares Energia Cinética T, Energia Potencial U, Trabalho W e as forças não conservativas..1. Moelos e Impacto Muitos moelos na teoria e impacto já se encontram esenvolvios e apresentaos na literatura: os moelos mais simples consieram unicamente coeficientes e restituição. Neste moelo, o coeficiente e restituição representa a pera e energia no processo e impacto. Um moelo clássico e impacto utilizao em sistemas rotativos é o moelo e Brach [9]: este moelo está baseao no uso e coeficientes generalizaos e impacto e equações em termos e impulso e quantiae e movimento linear para corpos rígios. Outros moelos mais completos levam em consieração a magnitue a força e impacto e a energia issipaa no impacto, Liebich [10]. A energia poe ser issipaa por atrito, calor, som, vibração, eformação os corpos, etc. Uma aboragem aina mais complicaa para o estuo e impacto é realizaa por Cohen & Sithigh [11], one os corpos em colisão são consieraos como pseuo rígios. Quano se consieram corpos pseuo rígios em colisão, as tensões são assumias uniformes, ou seja, é função o tempo, mas não a posição, Chatterjee & Ruina [1] Moelo e Impacto a Partir e um Sistema com um Grau e Liberae Em inâmica, o conceito e força e elevaa magnitue atuano urante um curto intervalo e tempo é usao para caracterizar o estuo o movimento impulsivo e ois corpos em colisão. Se a uração o impacto é conhecia, a magnitue méia a força e impacto poe ser estimaa a partir a muança e quantiae e movimento as massas em colisão. Quano uma colisão é perfeitamente elástica, iz-se que não existe pera e energia. Este tipo e colisão poe ser representao perfeitamente através e

3 Moelos e Sistemas Rotativos com Impacto 13 uma mola atuano entre os corpos em colisão no instante o impacto. Entretanto, ese que exista uma quantiae e energia issipaa, a colisão será inelástica. Para representar uma colisão inelástica é mais aequao o uso e um moelo visco-elástico. Por exemplo, a configuração e Kelvin-Vôigt poe ser conveniente no estuo o impacto com pera e energia. Figura 10 Moelo e impacto visco-elástico (Kelvin-Vôigt) Na Fig. 10 mostra-se o moelo aotao para o estuo o impacto inelástico entre uas massas m A e m B, estas massas estão sobre uma superfície sem atrito ( µ = 0 ). Este moelo representa um moelo visco-elástico linear, one a mola têm rigiez amortecimento viscoso K C (rigiez e contato) e o amorteceor têm coeficiente e C C (amortecimento e contato). Figura 11 Diagrama e corpo livre os corpos em colisão Assumino que a velociae e m A é maior que a velociae e m B, as forças que agem sobre caa uma as massas são a elástica e a e amortecimento, como inica a Fig. 11. Para este sistema simples e uas massas, aplicano a seguna lei e Newton, a equação inâmica para caa um elas é: Para a massa m A :

4 Moelos e Sistemas Rotativos com Impacto 14 K ( x x ) C ( x x ) = m x (.1) C A B C A B A A Para a massa m B : + K ( x x ) + C ( x x ) = m x (.) C A B C A B B B Somano as Eqs. (.1) e (.), obtém-se a equação que vincula o movimento os corpos que se chocam: m x + m x = 0 A A B B Fazeno a seguinte muança e variável: z = xa x z = x A x z = xa x B B B one z, z e z são o eslocamento, a velociae e a aceleração relativa entre e (.3) m B, respectivamente. Combinam-se as Eqs. (.1), (.) e (.3) para chegar à equação o movimento relativo entre as uas massas urante o impacto: mamb ma + m B z + CC z + KC z = 0 (.4a) Introuzino nesta equação iferencial os parâmetros e freqüência natural e fator e amortecimento o sistema, têm-se: 0 0 z + ζ w z + w z = 0 (.4b) One: mam m = B m + m w 0 A K C B m A é a massa equivalente o sistema no movimento relativo, = é a freqüência natural e m viscoso. Para as conições iniciais: C C ζ = é o fator e amortecimento mw z(0) = 0 e z (0) = v0, e, consierano fator e amortecimento ζ < 1 a solução a equação iferencial, Eq. (.4b) é: 0 z ( t) 0 ζ w0t 0 ζ w0 1 ζ v e sen( w 1 t) = (.5a)

5 Moelos e Sistemas Rotativos com Impacto 15 Derivano a Eq. (.5a) em relação ao tempo, as expressões para a velociae z ( t) e a aceleração z ( t) são: ( ζ w0t ) ζ sen( wat) z ( t) = v0e + cos( wat) 1 ζ (.5b) ( ζ w0t ) ζ w0e sen( wat) ( ζ w0t ) ( ζ w0t ) z( t) = v 0 ζ w0e cos( wat ) wae s en( wat) 1 ζ One: (.5c) a 0 1 w = w ζ é a freqüência natural amortecia. No processo e impacto é possível istinguir uas etapas: a etapa e compressão e a etapa e separação. A etapa e compressão têm uma uração t c, a etapa e separação têm uma uração e t s e o tempo total o impacto é ti = tc + ts. O tempo e compressão é obtio resolveno a Eq. (.5b) até z ( t = t c ) = 0, quano a tenência o movimento relativo se inverte. t c = w ζ atan 1 ζ ζ e o tempo total o impacto é obtio resolveno a Eq. (.5c), quano a força e contato entre as massas esaparece, ou seja: z ( t = t i ) = 0. t i = w ζ atan 1 ζ ζ Dos resultaos anteriores mostra-se que o tempo e compressão é igual ao tempo e separação. Outra graneza importante no estuo e colisões é a magnitue a força e impacto. Seguno o moelo e Kelvin-Vôigt, esta força é aa por:

6 Moelos e Sistemas Rotativos com Impacto 16 ( ) ( ) F = C x x + K x x ou F( t) = CC z + KC z ( t) C A B C A B substituino os respectivos valores e z = z( t) e z = z ( t), a variação a força ao longo o impacto é: ζ w 0 t mw0e v 0 ζ sen ( wat ) ζ 1 ζ cos( wat ) sen ( wat + + ) F( t) = 1 ζ (.6) A partir variação a força e impacto é possível encontrar o coeficiente e restituição. O coeficiente e restituição e efine-se como a relação o impulso na etapa e separação e o impulso na etapa e compressão: e Da efinição e coeficiente e restituição euz-se que para caa valor o fator e amortecimento ζ o valor o coeficiente e restituição é iferente. = ti tc tc 0 F ( t) F ( t) t t Exemplo 1.1: Sejam os seguintes aos numéricos a serem substituíos na Eq. (.4a): 6 K = 1x10 N/m, C C C 1 = 1x10 N-s/m e as massas m =.46 kg e m = 0.38 kg. Se a velociae relativa inicial é v 0 = 0.1m/s, a variação a força B e impacto, Eq. (.6), resulta como se mostra na Fig. 1, com uma magnitue máxima e 58N. A Zona e compressão Zona e separação Figura 1 Variação a força e impacto com o tempo

7 Moelos e Sistemas Rotativos com Impacto 17 Tempo Aimensional Muança a Escala o Tempo Muitas vezes é vantajoso trabalhar com um tempo aimensional para saber qual é o comportamento e um sistema quano se muam alguns parâmetros e interesse. Outro objetivo e trabalhar com tempo aimensional é para uniformizar os coeficientes a equação iferencial em estuo, ou pelo menos que os coeficientes tenham orem e graneza e mesma magnitue. Para aimensionalizar o tempo na Eq. (.4b), faz-se a seguinte muança na variável tempo: τ = w0t, one τ é o tempo aimensional. Aplicano convenientemente a regra a caeia para a primeira e a seguna erivaa tem-se: z z = = w0 z ; t z z = = w 0 z t one: z z = e τ z z =. Substituino estas novas expressões na Eq. (.4), a equação iferencial o movimento relativo as uas massas urante o impacto fica a seguinte forma: z + ζ z + z = 0 (.7) τ A solução a Eq. (.7) tem a mesma forma que a Eq. (.5a), exceto que neste caso o variável tempo é aimensional: z ( τ ) ζτ v0e sen( 1 ζ τ ) = 1 ζ e os tempos aimensionais e compressão e impacto total estão aos por: τ c = 1 1 ζ atan 1 ζ ζ e τ i = 1 1 ζ atan, respectivamente. 1 ζ ζ No exemplo 1., grafica-se a variação o tempo e impacto aimensional τ com o fator e amortecimento ζ. Exemplo 1.: Em continuação o exemplo 1.1, na Fig. 13, mostra-se a variação o tempo o impacto.

8 Moelos e Sistemas Rotativos com Impacto 18 Figura 13 Tempo e impacto aimensional com o fator e amortecimento ζ Um estuo mais etalhao sobre o processo e impacto encontra-se no trabalho e Rajalingham & Rakheja [13]. Eles mostram que as forças e impacto variam consieravelmente com o coeficiente e restituição, Fig. 14. Também chegam à conclusão que coeficientes e restituição menores a 0.3 são perigosos nas aplicações e engenharia quano se quer reuzir a magnitue a força e impacto. Figura 14 Variação a força e impacto (resultaos e Rajalingham & Rakheja [13]) A solução encontraa para a força e impacto, Eq. (.6), sempre vai ar um resultao o tipo parabólico (Fig. 1), e os moelos com e 1 ( ζ < 1), são bem representaos por este moelo.

9 Moelos e Sistemas Rotativos com Impacto Resultaos Experimentais e Forças e Impacto Para verificar a variação parabólica e a uração a força e impacto, em continuação mostram-se resultaos experimentais para iferentes materiais impactantes. Eles foram obtios utilizano o martelo e impacto e o sistema e aquisição e aos (freqüência e aquisição: 1.8kHz). Os experimentos 1 e foram obtios bateno o martelo sobre funações sólias. Os experimentos 3 e 4 foram obtios bateno o martelo sobre a própria bancaa experimental. Figura 15 Variação a força e impacto para iferentes materiais A Fig. 15 mostra que a variação a força e impacto é parabólica para os 4 experimentos, mas, o tempo total o impacto epene os materiais em colisão. 3 Os tempos são: 0.4x10 s, 1.x10 3 s, 0.35x10 3 s, e 0.35x10 3 s para os experimentos 1,, 3 e 4, respectivamente. Cabe assinalar que o tempo e uração o impacto é função a rigiez no contato, Zapomel [14]. Observe-se que nos experimentos 3 e 4, apenas a primeira variação tem a ver com a força e impacto, enquanto as seguintes corresponem à meição feita no sensor o martelo a ona que se propaga ao longo a cabeça e é muito pouco amortecia. Celeron: Prouto fabricao a partir e tecio e algoão impregnao com resina fenólica. Usa-se para a fabricação e elementos e máquinas nas inústrias.

10 Moelos e Sistemas Rotativos com Impacto Moelo Baseao na Determinação Direta as Forças e Impacto Este moelo é baseao na eterminação ireta a força e impacto, corresponente à força e impacto normal F n, que atua entre os corpos em colisão. A partir este item, introuz-se uma configuração geométrica o tipo rotor-estator para a análise as forças e impacto. Para encontrar a força e impacto normal, é necessário moelar a eformação raial no ponto e contato. No instante e impacto é consieraa a configuração e Kelvin-Vôigt cuja mola tem uma rigiez e contato amorteceor tem coeficiente e amortecimento viscoso e contato mostra as forças que surgem urante o impacto sobre o rotor que se move. K C e o C C. A Fig. 16 δ Ω Figura 16 Forças e impacto sobre o rotor Caa vez que o rotor entra em contato com o estator, além e existir a força normal F n, surge uma outra força tangencial F t. A força tangencial surge pelo fato o rotor estar girano ( Ω ) e pela existência e um coeficiente e atrito ( µ ) entre o rotor e o estator. A força tangencial poe ter o mesmo caráter impulsivo a componente normal, já que ela é somente limitaa pela força e aesão entre as superfícies em contato.

11 Moelos e Sistemas Rotativos com Impacto 1 A força tangencial atua sobre o rotor tangencialmente, na ireção oposta ao sentio e giro o rotor. Para calcular esta força, é assumia a lei e atrito e Coulomb, one a força tangencial é o prouto a força normal com o coeficiente e atrito, Ft µ F = n. Para calcular a magnitue a força e impacto normal n F, é necessário meir o valor o eslocamento relativo o centro o rotor ( R ), ter como aos o valor a folga raial ( δ ) entre o estator e rotor, e, as constantes K C e C C no ponto e contato. Uma vez obtias estes aos, a força e impacto normal, no sistema e referencia inercial ( x, y) Fn = KC R + CC R H R t ( δ ) ( δ ) ( δ ) One H ( ) é a função Heavysie: H ( R δ ) R 0 representa o eslocamento o centro o rotor, centro o estator e, calcula-se como: 1 se R δ > 0 =, 0 se R δ < 0 (.8) R C é o eslocamento o R P representa as coorenaas o ponto e impacto. O eslocamento relativo o centro o rotor é: R = R0 R C, ver Fig Freqüências Naturais o Sistema Livre Uma forma e caracterizar o comportamento inâmico e uma estrutura é através e suas freqüências naturais e seus moos e vibração. Os sistemas rotativos também experimentam uma situação e risco quano operam em certas velociaes e rotação chamaas e Velociae Críticas. Uma velociae é crítica quano a velociae e rotação coincie com alguma as freqüências naturais o sistema (que por sua vez epenem a velociae e rotação). O moelo em estuo, que se mostra na Fig. 17, também experimenta vibração quano opera em velociaes consieraas como críticas. Este moelo é constituío e um eixo elástico e iâmetro e um isco e massa m, momento e inércia polar e massa J, momento e inércia iametral e massa J e raio R, seno que o isco está unio soliariamente ao eixo na parte inferior. Para encontrar as freqüências naturais este sistema, usam-se, por exemplo, as equações e movimento esenvolvias por Dimarogonas [15].

12 Moelos e Sistemas Rotativos com Impacto η ϕ η Ω ϕ Figura 17 Moos e vibração e efinição o sistema e coorenaas Consierano um movimento giratório em torno o eixo z com velociae angular constante Ω, as equações e movimento, para um sistema perfeitamente balanceao e não amortecio, se escrevem como: m x + kxxx + kxηη = 0 m y + k yy y + kyϕϕ = 0 J η + JΩ ϕ + kηηη + kη xx = 0 J ϕ JΩ η + kϕϕϕ + kϕ y = 0 y (.9) One x e y são os eslocamentos o centro o rotor, e, os ângulos ϕ e η o rotor são efinios por rotações em torno os eixos x e y respectivamente, como se inica na Fig. 17. As constantes k ij ( i, j = x, y, η, ϕ ) são os coeficientes e influencia e rigiez, cujos valores são: 1EI kxx = kyy = 3 L 4EI kηη = kϕϕ = L k = k = kϕη = kηϕ = 0 xy yx 6EI kxη = kη x = kϕ y = kyϕ = L

13 Moelos e Sistemas Rotativos com Impacto 3 EI Escreveno a Eq. (.9) em termos a constante β = 3 L m x + 6β x + 3β Lη = 0 m y + 6β y + 3β Lϕ = 0 J η + JΩ ϕ + β L η + 3β Lx = 0 J ϕ JΩ η + β L ϕ + 3β Ly = 0, resulta: As soluções a equação homogênea, Eq. (.10), são a forma: (.10) ωnt ω 0 ; nt ω 0 ; nt ω 0 ; nt η η ϕ ϕ0 x = x e y = y e = e = e e a equação característica é: n m ω + 6β 0 3β L 0 n 0 m ω + 6β 0 3β L n + Ω n Ω n n + 3β L 0 J ω β L J ω 0 3β L J ω J ω β L = 0 (.11) A Eq. (.11) leva à eterminação e uas granezas físicas importantes e um sistema mecânico: os autovalores e os autovetores. Os autovalores são em geral números complexos, one a parte imaginaria inica a freqüência o movimento e vibração e a parte real relaciona-se com o fator e amortecimento ou ecaimento este movimento. Já os autovetores contêm as informações sobre os moos próprios e vibrar. Em sistemas mecânicos que apresentam efeitos giroscópicos, tanto os autovalores quanto os autovetores epenem a velociae e rotação Ω. A epenência as freqüências naturais em relação à velociae e rotação Ω é representaa nos Diagramas e Campbell. Já a variação os moos naturais e vibração em função a velociae e rotação Ω é representaa funamentalmente no espaço triimensional. Soluções analíticas para eterminar os autovalores e autovetores e um rotor em balanço encontram-se no trabalho e Atalla [16]. As soluções a Eq. (.11), raízes a equação característica para ω n, são as freqüências naturais o sistema para uma velociae e rotação o rotor Ω conhecia.

14 Moelos e Sistemas Rotativos com Impacto 4 Como sistemas rotativos sempre carregam um esbalanceamento resiual, sempre haverá uma perturbação síncrona (na velociae e rotação), assim se a velociae e rotação o rotor Ω coincie com alguma as freqüências naturais o sistema, ela é uma Velociae Crítica. Para encontrar as velociaes críticas, traçam-se as freqüências naturais obtias a Eq. (.11) com a velociae e rotação o isco Ω, e, neste mesmo gráfico, traça-se a linha ω n = Ω ; os pontos one esta linha intersecta a curva e freqüências são as velociaes críticas. Este iagrama é conhecio como Diagrama e Campbell, que se mostra na Figs. 18 e 19 para os aos a tabela 1. Os aos a tabela foram tomaos a bancaa experimental o laboratório e vibrações. Disco Massa m.46 kg Raio R 0.05 m Espessura h 0.04 m Momento e inércia iametral e massa J x10 kg-m Momento e inércia polar e massa J x10 kg-m Eixo Diâmetro x10 m Comprimento L 0.6 m Momento e Inércia e área I -9 0.x10 4 m Moulo e Young Densiae E 11 ρ.1x Tabela 1 Parâmetros físicos e geométricos o sistema eixo-rotor N/m 3 kg/m Para um sistema não rotativo ( Ω = 0 ) os ois primeiros moos e vibração são uma e flexão e outra e rotação (Fig. 17). Quano o sistema gira, estes ois moos continuam a existir, mas caa um eles é iviio em outros ois: um ireto e o outro retrograo. Isto não inica a criação e novos moos, já que o movimento e precessão ireta e retrograa o primeiro moo são geometricamente semelhantes, e, no seguno moo ocorre o mesmo. Na Fig. 18 mostra-se a variação as 4 freqüências naturais ω n1, ω n, ω n3 e ω n4 com a velociae e rotação o sistema rotativo, assim como os pontos as

15 Moelos e Sistemas Rotativos com Impacto 5 velociaes críticas. As velociaes críticas ω c1, ω c corresponem ao movimento e precessão retrograa e ireta, respectivamente, no primeiro moo e vibração, e, as velociaes críticas ω c3 e ω c4 corresponem ao movimento e precessão retrograa e ireta, respectivamente, no seguno moo e vibração, ver tabela. Símbolo Velociae crítica, Hz. Tipo e movimento Moo e vibração ω c1.7 Precessão retrograa Primeiro moo ω c.9 Precessão ireta Primeiro moo ω c Precessão retrograa Seguno moo ω c4 Precessão ireta Seguno moo Tabela Velociaes críticas e moos e vibração No iagrama e Campbell observa-se que ω c4 não existe, além isso: ω c1 e ω c3 na realiae são falsas velociaes críticas, isto poe ser emostrao analiticamente resolveno a solução particular para um sistema e equações iferenciais não homogêneas, Atalla [16]. Portanto, somente existirá a velociae crítica ω c =.9 Hz o primeiro moo ireto, que será chamaa simplesmente velociae crítica ω c =.9 Hz. As Figs. 18 e 19 mostram que as freqüências naturais ω n1 e ω n estão sobre retas quase horizontais, ou seja, elas variam muito pouco com a velociae e rotação. Isto significa que o efeito giroscópico concentra-se principalmente no seguno moo e vibração, enquanto que o primeiro moo poe ser praticamente analisao por um moelo simplificao que não inclui as eflexões o isco. Destes gráficos, também é possível encontrar o valor a freqüência natural estática o sistema rotativo para o primeiro moo ( ω 0 ), isto é com rotação zero ( Ω = 0 ), cujo valor é ω 0 =.8Hz. Já para o seguno moo, a freqüência natural estática é 60Hz, ver Fig. 18.

16 Moelos e Sistemas Rotativos com Impacto 6 Figura 18 Diagrama e Campbell - Velociae crítica ωc3 36.7Hz Figura 19 Diagrama e Campbell - Velociaes Críticas ωc1.7hz e ωc.9hz

17 Moelos e Sistemas Rotativos com Impacto 7.3. Descrição o Moelo e Suposições O moelo consiste o conjunto: eixo elástico, rotor e estator, montao em forma vertical, como se mostra na Fig. 0. O eixo é acionao através e um torque ( T m) gerao num motor elétrico. O eixo leva penurao um isco rígio na parte inferior e o movimento lateral o isco está limitao por um anel. Uma estrutura e base suporta o anel, esta estrutura é consieraa elástica, e, é representaa através e uma mola e um amorteceor, ambas e comportamento linear, e ispostos simétrica e iametralmente na periferia o anel. As hipóteses para esenvolver as equações e movimento são as seguintes: ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ Consiera-se que o eixo está engastao na parte superior e toa a massa o isco está concentraa no extremo inferior livre. O isco gira em torno ao eixo vertical z e realiza um movimento plano. Consiera-se que o sistema rotativo vibra só no primeiro moo, como se mostra na Fig. 17. Não se consiera o efeito giroscópico, já que este efeito concentra-se principalmente no seguno moo e vibração. No ponto e contato assume-se um comportamento visco-elástico linear a força e impacto normal. A força tangencial, no impacto, obeece à lei e atrito e Coulomb. Consiera-se um eixo elástico esbelto que possui rigiez a flexão e a torção. O estator está suportao numa base visco-elástica linear e é isotrópico nos eixos x e y..4. Equações o Movimento Plano No item. mostrou-se um sistema e equações para a análise inâmica e um rotor em balanço sem esbalanceamento e livre e forças externas. Aquelas equações foram euzias para um sistema rotativo com velociae e rotação constante e sem amortecimento, e, para um eixo com uma rigiez a torção infinita.

18 Moelos e Sistemas Rotativos com Impacto 8 Figura 0 Sistema inâmico eixo-rotor-estator Para o sistema em estuo (Fig. 0) consiera-se que o eixo elástico possui uma rigiez a torção e que poem ocorrer forças externas evio ao impacto. Para a análise este sistema é necessário euzir novas equações e movimento para caa um os subsistemas: eixo-rotor e estator, que escreva a inâmica e caa um eles. No caso o subsistema eixo-rotor, consiera-se que ele possa ter uma aceleração angular ou possa operar a velociae e rotação constante. Estas novas equações evem levar em consieração as forças externas evio ao impacto o rotor com um elemento estático (estator), o amortecimento e também a rigiez a torção o eixo elástico. Manteno as hipóteses anteriores, na continuação esenvolve-se as equações e movimento o conjunto eixo-rotor-estator. Para o subsistema eixorotor, são esenvolvios ois sistemas e equações: uma quano ele acelera em forma contínua e outra quano gira a uma velociae e rotação constante.

19 Moelos e Sistemas Rotativos com Impacto Subsistema Eixo-Rotor com Aceleração Para o estuo aqui esenvolvio parte-se e um moelo matemático mais completo, consierano 4 graus e liberae: o giro o rotor ( θ ), o eslocamento angular e torção o eixo ( φ ) e ois eslocamentos laterais ortogonais o centro o isco no plano horizontal o rotor ( x, y ). A Fig. 1 mostra um esquema os sistemas e coorenaas empregao. O sistema e referência ( x, y ) é inercial; ( x, y ) e ( x, y ) são sistemas e referência móveis que giram soliários à posição o eixo o motor e com o isco, respectivamente. A massa m ε representa o esbalanceamento o isco, que poe ser prouzio por uma má centragem na montagem ou por uma esuniformiae m m geométrica o rotor. Esta massa m ε está localizaa na posição T = ε x ε y 0 em relação ao sistema e coorenaas ( x, y ). m ε Rε 0 φ θ ( θ + φ ) Figura 1 Graus e liberae o moelo no estao eformao

20 Moelos e Sistemas Rotativos com Impacto 30 As posições o centro o rotor e estator estão efinias pelos vetores e T posição R = [ x y] e R = [ ] T 0 c X Y, respectivamente. Para encontrar as equações e movimento usam-se as Equações e Lagrange. A equação e Lagrange para um sistema não conservativo, consierano a função e issipação e Rayleigh, Meirovitch [17], escreve-se como: T T U R + + = Qi i = 1,,! n t q i qi qi q i n cisq s q i s= 1 R = (.1) Na equação e Lagrange, T e U são a energia cinética e potencial o sistema, respectivamente, R é a função e issipação e energia e Rayleigh as forças não conservativas (forças e amortecimento viscoso) e as quantiaes Q i são as forças externas generalizaas associaas com as coorenaas generalizaas q i. No moelo em estuo, as variáveis q [ x y θ φ] i = e q i = x y θ φ representam os eslocamentos e velociaes generalizaas, respectivamente. A expressão a Energia Cinética T para o subsistema eixo-rotor é: T ( ) ( θ φ ) m ( θ ) ( ) T = m x + y + J + + J + m ε R ε R ε (.13) O primeiro termo vem a ser a energia cinética evio à translação o centro o isco nos eixos x e y, o seguno termo é a energia cinética evio à rotação o rotor, o terceiro é a energia cinética o rotor o motor e o último termo correspone à energia cinética a massa excêntrica. A localização a excentriciae m ε, no sistema e coorenaas ( x, y ), é aa pelo vetor e posição: Rε = R0 + A 0 ( θ + φ) one 0 T = ε x ε y A matriz cos( θ + φ) sen( θ + φ) A ( θ + φ) = sen( θ + φ) cos( θ + φ) é responsável pela transformação θ φ e coorenaas ( x, y) ( x, y ) ( x, y ). m m

21 Moelos e Sistemas Rotativos com Impacto 31 Finalmente, o vetor R ε efine-se como: cos( θ + φ) sen( θ + φ) Rε = R0 + sen( θ + φ) cos( θ + φ) 0 A erivaa em relação ao tempo e R ε é: sen( θ + φ) cos( θ + φ) R ε = R 0 + ( θ + φ ) 0 cos( θ + φ) sen( θ + φ) Logo, substituino na Eq. (.13), a equação a energia cinética resulta: ( ) ( θ φ ) m ( θ ) T = m x + y + J + + J + 1 m ε ( θ + φ )( εx sen( θ + φ) ε y cos( θ + φ) ) + x + 1 m ε ( θ φ )( ε y sen( θ φ) εx cos( θ φ) ) y (.14) A expressão a Energia Potencial U o subsistema eixo-rotor é: U = kbx + kb y + ktφ (.15) O primeiro e seguno termo são a energia potencial evio à flexão o eixo, e o terceiro termo é evio à torção. Nesta equação, k b e k t são a rigiez e flexão e torção o eixo, respectivamente (para o primeiro moo), calculaos via coeficiente e influencia. A expressão a Função e Dissipação Energia e Rayleigh R o subsistema eixo-rotor para caa um as variáveis generalizaas é: R = c x + c x y + c θ + c R = c x c y y c θ c xx xy xθ xφ yx yy yθ yφ R = c x + c θ y + c θ + c R = c x c φ y c θ c φ θ x θ y θθ θφ φ x φ y φθ φφ φ φ φ

22 Moelos e Sistemas Rotativos com Impacto 3 Consierano um amortecimento viscoso o tipo proporcional e esacoplaos entre si, a expressão anterior reuz-se a: R = cxxx, R = cyy y, R = 0 e R = cφφ x y θ φ φ (.16) One cxx = cyy = cb e cφφ = ct são os coeficientes e amortecimento à flexão e à torção respectivamente. Representano as forças externas generalizaas nos graus e liberae ( x, y, θ, φ ) pelo vetor = x y θ φ T Q Q Q Q Q e aplicano a Eq. (.1) para caa uma as variáveis generalizaas, resultam as seguintes equações: Para a variável x: ( m + mε ) x + m ( ε θ + φ )[ ε sen( θ + φ) ε cos( θ + φ)] + x y + x + + y + + b + b = x mε ( θ φ) [ ε cos( θ φ) ε sen( θ φ)] c x k x Q (.17) Para a variável y: ( m + mε ) y + m ( ε θ + φ )[ ε cos( θ + φ) ε sen( θ + φ)] + x y + x + + y + + b + b = y mε ( θ φ) [ ε sen( θ φ) ε cos( θ φ)] c y k y Q (.18) Para a variável θ : mε [ ε sen( θ + φ) ε cos( θ + φ)] x + mε [ + ε cos( θ + φ) x y x ε sen( θ + φ)] y + [ J + J + m ε ] θ + [ J + m ε ] φ = Q y m ε ε θ (.19) Para a variável φ : mε [ ε sen( θ + φ) ε cos( θ + φ)] x + mε [ + ε cos( θ + φ) x y x ε θ φ ε θ ε φ φ φ y sen( + )] y + [ J + mε ] + [ J + mε ] + ct + kt = Qφ (.0) Orenano convenientemente as Eqs. (.17), (.18), (.19) e (.0), na forma matricial, tem-se: MZ + =.= 3 4

23 Moelos e Sistemas Rotativos com Impacto 33 One M é a matriz e massa, é a matriz e amortecimento, K é a matriz e rigiez, Z é o vetor as varáveis e eslocamento, P é o vetor as forças não lineares e Q é o vetor as forças generalizaas. Finalmente a equação e movimento o subsistema inâmico eixo-rotor resulta: m1 0 m m x cb x kb x Px Qx 0 m1 m3 m 3 y 0 cb 0 0 y 0 kb 0 0 y P y Q y = m m3 m4 m5 θ θ θ 0 Q θ m m3 m5 m 5 φ ct φ kt φ 0 Qφ One as componentes a matriz e massa são: m = m + mε m m ( ) cos( ) = mε ε x sen θ + φ + ε y θ + φ ( ) sen ( ) = + mε ε x cos θ + φ ε y θ + φ m4 = mε ε + J + J m = mε ε + J m (.1) As componentes as forças não lineares são: P P ( θ φ ) ε cos( θ φ ) ε sen ( θ φ ) = m x ε x y ( θ φ ) ε sen ( θ φ ) ε cos( θ φ ) = m y ε x y As forças, P x e P y, corresponem às forças centrífugas geraas pela massa esbalanceaa m ε quano o subsistema está girano. O eterminante a matriz e massa m ε εε ε M = J ( m + m )( m J + m m + m J ) é iferente e zero, o que assegura que não teremos problemas e singulariae ao resolver o sistema e equações iferenciais a Eq. (.1).

24 Moelos e Sistemas Rotativos com Impacto Subsistema Eixo-Rotor com Velociae e Rotação Constante A Eq. (.1) foi euzia consierano um subsistema com quatro graus e liberae, isto é quano o rotor encontra-se acelerano ou esacelerano em forma contínua. Muitos sistemas rotativos aceleram unicamente no arranque ou esaceleram na paraa e, passaa a etapa e arranque, o sistema opera em velociae constante. Para estuar a inâmica o subsistema quano ele gira com velociae e rotação constante, aapta-se a Eq. (.1). Consierano a velociae e rotação o motor constante θ = Ω, então θ = 0. Para obter a equação e movimento para um subsistema e 3 graus e liberae, elimina-se a linha e coluna corresponente à variável θ na Eq. (.1). m 1 0 m x cb 0 0 x kb 0 0 x Px Q x 0 m1 m y 0 c b y k b y + Py Q + + = y m m m φ 0 0 c φ 0 0 k φ 0 Qφ 3 5 t t (.) As componentes a matriz e massa são: m1 = m + mε ( ) ( ) m = mε ε x sen Ω t + φ + ε y cos Ω t + φ ( ) ( ) m3 = + mε ε x cos Ω t + φ ε y sen Ω t + φ m5 = mε ε + J As componentes as forças não lineares são: ( φ ) ε cos ( φ ) ε sen ( φ ) Px = mε Ω + x Ω t + y Ω t + ( φ ) ε sen ( φ ) ε cos ( φ ) Py = mε Ω + x Ω t + + y Ω t + Novamente, poe-se mostrar que o eterminante a matriz e massa, M ε εε ε = ( m + m )( m J + m m + m J ), resulta iferente e zero.

25 Moelos e Sistemas Rotativos com Impacto Movimento o Rotor Com Impacto Seguno o moelo a Fig. 16, quano o eslocamento raial o centro o rotor é maior que a folga raial δ ocorre impacto. Durante o contato gera-se uma força e impacto normal que é calculaa pela Eq. (.8) em relação ao sistema e referencia inercial ( x, y ). No entanto, se o eslocamento raial o centro o rotor é menor que a folga raial, a força e impacto é zero. F = K R + C R H t ( δ ) ( δ ) ( δ ) n C C R T R R R ; R = [ x y] e = [ ] T One: = 0 C 0 R c X Y são as coorenaas o centro o rotor e estator, respectivamente, em relação ao sistema e referencia inercial ( x, y ) e R = ( x X ) + ( y Y ) é o eslocamento raial o centro o rotor. A força e atrito, aplicano a lei e atrito e Coulomb é: Ft = µ F. Esta força e atrito F t (no ponto e contato) poe ser substituía por uma força paralela e igual magnitue que passa pelo centro o rotor e um conjugao T = F R, one R é o raio o rotor. Na Fig. estão representaas as forças t t que atuam sobre o rotor. As componentes a resultante as forças F t e F n nos eixos x e y são F x e F y, respectivamente, e, a resistência oferecia pelo meio fluio circunante ao rotor é representao através o torque T c. O torque T c obeece a um comportamento quarático por estar, o rotor, imerso num meio fluio, nesta situação, a força e atrito é essencialmente proporcional à velociae para baixas velociaes e rotação e chega a ser proporcional ao quarao a velociae para altas velociaes e rotação, Ogata [18]. As expressões as forças externas que atuam sobre o rotor, seguno a Fig., são: F = + F sen( α) F cos( α) x t n F = F cos( α) F sen( α) y t n one y Y y Y x X x X sen( α) = =, cos( α) = = R ( x X ) ( y Y ) R ( x X ) ( y Y ) n

26 Moelos e Sistemas Rotativos com Impacto 36 Orenano em forma matricial: Fx Fn + ( y Y ) ( x X ) µ F = y R ( x X ) ( y Y ) 1 (.3) Os torques gerao pela força e atrito no impacto e pelo meio fluio, que atuam sobre o rotor, são T t e T c respectivamente, que se expressam como: T T = F R t t c = cθ (.4) α ( θ + φ ) Figura Forças que agem sobre o rotor e o estator elástico Para o subsistema eixo-rotor, as forças generalizaas Q corresponem às forças externas aas pelas Eqs. (.3) e (.4). Escreveno estas forças na forma vetorial, obtém-se o seguinte carregamento que age sobre o rotor: T x y θ φ x y m c t Q = Q Q Q Q = F F T + T T T

27 Moelos e Sistemas Rotativos com Impacto Equação e Movimento o Estator O moelo eixo-rotor-estator em estuo consiera que o estator é suportao numa base visco-elástica linear, com coeficiente e rigiez K e coeficiente e amortecimento viscoso C. Sob esta hipótese, o estator tem sua própria inâmica. As únicas forças que atuam sobre o estator são a força e impacto normal e a força e atrito tangencial, cujas resultantes são as forças ( Fx, Fy ) nos eixos x e y respectivamente, no sistema e referencia inercial ( x, y ), estas forças são mostraas na Fig.. Por ser um subsistema simples e graus e liberae, translação no plano ( x, y ), é possível aplicar a seguna lei e Newton para encontrar as equações e movimento: me X + CX + KX = F m Y + CY + KY = F e y x Logo, estas equações poem ser escritas na forma matricial como: me 0 X C 0 X K 0 X Fx 0 m + + = e Y 0 C Y 0 K Y F y (.5) One m e representa a massa o estator, ( X, Y ) é o eslocamento o centro o estator e as forças euzias na Eq. (.3). F x e F y são as resultantes as forças e impacto A Eq. (.5) representa a inâmica o estator, esta equação é utilizaa, somente, quano o rotor bate com o estator; em caso contrario, o eslocamento o estator é nulo.

28 Moelos e Sistemas Rotativos com Impacto Contato Permanente o Rotor com o Estator No caso e um rotor esbalanceao, quano ele entra em contato permanente com a paree o estator, a força centrífuga evio à massa excêntrica m ε, poe ser maior ou menor que a força restauraora o eixo. Se a força centrífuga for maior que a restauraora, a força e atrito tangencial tene a acelerar o rotor na ireção oposta à sua ireção e rotação. Supono que o motor elétrico gera energia em forma ilimitaa, a aceleração poe não parar até que a velociae relativa entre rotor e estator seja nula. Quano a velociae relativa é nula, o rotor rola sob a superfície interna o estator (Rolling). Um rotor sem esbalanceamento também poe entrar em contato permanente com a paree o estator e realizar precessão, uma as maneiras e conseguir isto, é introuzino uma perturbação ao sistema (por exemplo, uma pancaa). Seguno a característica a perturbação o rotor poe rolar ou escorregar sobre a paree o estator Precessão Direta e Retrógraa Para reconhecer em que momento o rotor realiza movimento e precessão ireta ou retrógraa (Forwar or Backwar Whirl), necessita-se uma expressão matemática que possa representar este fenômeno. Definino como ψ o ângulo formao pelo eixo x e a linha e contato que passa pelos centros O e C, como se mostra na Fig. 3, poe-se escrever a seguinte relação trigonométrica: y y tan( ψ ) = ψ = atan( ) x x Logo, erivano ψ em relação ao tempo, a velociae e precessão ψ resulta: xy xy ψ = (.6) x + y Na Fig. 3, ψ e Ω, tem o mesmo sentio e giro, então: se ψ resulta positivo, o isco realiza precessão ireta em caso contrario realiza precessão retrógraa.

29 Moelos e Sistemas Rotativos com Impacto Rolamento e Escorregamento Quano o rotor entra em contato permanente com a paree o estator (Full Annular Rubbing), este poe rolar ou escorregar (Rolling or Sliing). Rolamento: Sejam A e D ois corpos rígios (Anel e Disco) que se movem e tal moo que, a caa instante, há um ponto P a a superfície o anel A em contato com um ponto P a superfície o isco D. Diz-se que há rolamento entre A e D se, para alguma referencia S, se cumpre: a SVP = SV P ou, o que é equivalente, S V P / P = 0, ou seja, quano a velociae relativa os pontos em contato é nula. a Da Fig. 3, consierano um sistema e referencia S fixo no anel ( x, y ), a velociae o ponto P em relação ao sistema S escreve-se como: SVP = SVO + U OP ˆ ˆ SVP = ψ k rco + Ω k rop Também: SVP = 0 a SVP = 0 rco = δ cosψ i + δ sen ψ j; rop = R cosψ i + R cosψ j Finalmente: V = ( δψ senψ R Ωsen ψ ) i ( δψ cosψ + R Ω cos ψ ) j = 0 S P Na conição e rolamento o rotor, aotamos a seguinte notação para a velociae e precessão: Ω wh = ψ. Portanto, a conição cinemática para o rolamento é: R Ω wh = Ω (.7) δ Se a conição a Eq. (.7) não é satisfeita, o rotor encontra-se escorregano.

30 Moelos e Sistemas Rotativos com Impacto 40 δ ψ Ω Figura 3 Contato permanente o rotor com a paree o estator Quano o rotor rola, o ponto e contato entre o rotor e o estator tem velociae nula, assim este ponto representa o Centro Instantâneo e Velociae Nula para o rotor, ponto IC, Hibbeler [19]. Como a folga raial δ é pequena em relação ao raio velociae e precessão resulta Ω wh situação e risco nos sistema rotativos. R o rotor, a >> Ω, estabeleceno-se potencialmente uma