ATCP do Brasil. Apostila 2 da fase 1 Efeito Piezoelétrico e as Cerâmicas Piezoelétricas. Soluções Piezoelétricas

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1 ATCP o Brasil Soluções Piezoelétricas Apostila a fase 1 Efeito Piezoelétrico e as Cerâmicas Piezoelétricas Do curso: Materiais e Dispositivos Piezoelétricos: Funamentos e Desenvolvimento São Carlos 004

2 ÍNDICE ÍNDICE INTRODUÇÃO EFEITO PIEZOELÉTRICO DIRETO EFEITO PIEZOELÉTRICO INVERSO REDUÇÃO DO NÚMERO DE COEFICIENTES INDEPENDENTES POR SIMETRIA NO CRISTAL CASOS TRIGONAL E HEXAGONAL TÉCNICAS EXPERIMENTAIS DE MEDIÇÕES PIEZOELÉTRICAS MÉTODO DE RESSONÂNCIA MÉTODO ESTÁTICO ALGUMAS APLICAÇÕES DOS MATERIAIS PIEZOELÉTRICOS

3 1. INTRODUÇÃO Em geral, uma força externa aplicaa a um sólio (stress), causa uma eformação proporcional no material (strain), relacionaa pelo moulo elástico σ = Yε. A piezoeletriciae correspone a presença e uma carga elétrica aicional, evio à aplicação esta força. Este fenômeno é chamao e efeito piezoelétrico ireto, one a carga é proporcional à força realizaa sobre o sólio (ver Figura 1). Em termos e polarização elétrica P e stress σ, poemos escrever: P = σ... (1) Alem isso, existe um efeito piezoelétrico inverso, que consiste na aparição e uma eformação no sólio, evio à aplicação e um campo elétrico. Esta eformação poe ser uma expansão ou contração epenente a polariae o campo aplicao (ver Figura 1). Desta forma é valia a seguinte relação entre o campo elétrico E e a eformação ou strain (ε). ε = E...() Figura 1. Representação esquemática o efeito piezoelétrico ireto e inverso A constante e proporcionaliae que aparece em ambos efeitos é a mesma, seno chamaa e coeficiente piezoelétrico. Valores elevaos o coeficiente piezoelétrico são procuraos em materiais estinaos a esenvolver movimentos e vibração, como é o caso e transutores ultra-sônicos limpaores. Outra constante piezoelétrica usaa com freqüência é g, que nos proporciona o valor o campo elétrico prouzio pelo sólio, como resposta a uma força externa ou stress. Esta constante poe ser relacionaa com a seguinte forma: 3

4 g = =...(3) κ κ κ O One k, k o y k, são as permissiviaes elétricas no meio, no vácuo e a relativa, respectivamente. Valores altos o coeficiente g são esejaos em materiais estinaos a gerar corrente em resposta a uma tensão mecânica. Constantes piezoelétricas aicionais, como e, que relaciona o stress σ com o campo elétrico E e h, relacionano o strain ε com o campo E, são usaas só em ocasiões específicas. σ = -ee...(4) E = -hε...(5) As constantes piezoelétricas poem ser efinias como erivaas parciais, estimaas a stress constante (livre), campo constante (corto circuito), eslocamento elétrico constante (circuito aberto) e strain constante (fixo). ε = E σ D = σ E...(6) E g = σ D ε = D σ...(7) σ e = E ε D = ε E...(8) σ h = D ε E = ε D...(9) Existe também outra graneza física que nos proporciona um valor a potencialiae e nosso material como piezoelétrico, chamao e fator e acoplamento eletro-mecânico K. Este fator correspone à fração a energia elétrica total, que é convertia em energia mecânica e vice-versa. energia.. eletrica.. convertia.. a.. energia.. mecânica K =...(10) energia.. eletrica.. total energia.. mecânica.. convertia.. a.. energia.. eletrica K =...(11) energia.. mecânica.. total O fator e acoplamento eletro-mecânico é uma quantiae sempre menor que um. No quaro abaixo poemos observar alguns valores esta graneza para iferentes materiais. 4

5 quartzo Titanato e Bário (cerâmicas) Pb(Ti,Zr)O 3 (cerâmicas) Sal e Rochelle (4 o C) K Para cerâmicas e cristais, as constantes elásticas, ielétricas e piezoelétricas, poem iferir ao longo as iferentes ireções, por este motivo, estas são expressas e estuaas em forma e tensores. Desta forma, o estuo o efeito piezoelétrico neste trabalho foi realizao, levano-se em conta esta consieração.. EFEITO PIEZOELÉTRICO DIRETO. Em geral, um estao e stress poe ser escrito por um tensor e seguna orem (nove componentes), por outra parte, a polarização e um cristal é um vetor ou um tensor e primeira orem, portanto é escrito com 3 componentes. Vejamos agora e forma mais elaboraa o significao e stress. Suponhamos um elemento e volume, situao em um corpo em estao e stress, evio a uma força externa aplicaa sobre ele, figura. Sobre esse elemento e volume haverá forças atuano, que são proporcionais à área o elemento e são exercias pelo material que o roeia. Esta força por uniae e área é chamaa e stress. Figura. Corpo estressao. O stress é chamao e homogêneo se as forças que atuam sobre a superfície o elemento e forma fixa, não são epenentes a posição o elemento no corpo. Levano-se em conta as seguintes situações: 1. Stress homogêneo em too o corpo.. Toas as partes o corpo se encontram em equilíbrio estático. 3. Presença e torques internos no corpo. 5

6 Suponhamos agora um corpo em forma e cubo, Figura 3. Figura 3. Componentes o tensor stress. Analisano as fases o cubo em ireção ao sentio positivo os eixos coorenaos, chamamos por σ1, por exemplo, à força transmitia em ireção X 1, na fase perpenicular a X. Sabeno-se que o stress é homogêneo, então as forças transmitias nas faces opostas o cubo são equivalentes e opostas às mostraas na Figura 3. Os valores positivos e σ11, σ, σ33 (componentes normais), implicam em tensão e os negativos, compressão. Vejamos como se comportam os momentos e força ou torques, tomano como eixo e rotação X 3, Figura 4. Figura 4. Vista superior o corpo em estao e stress representao na Figura 3. 6

7 Como o stress é homogêneo, os três componentes a força em caa face, poem ser representaos no ponto méio a face, então nenhuma as componentes perpeniculares às faces, nem as componentes tangenciais na face perpenicular a X 3, têm torques relacionaos a este eixo. Apenas σ 1 e σ 1 que por conição e equilíbrio, evem apresentar valores iguais. Em geral, σ ij = σ ji no tensor stress. Se nós temos um cristal piezoelétrico em estao e stress, em geral, caa componente a polarização P i, vai estar afetaa linearmente por toas as componentes o tensor stress σ ij. P1 = 111σ σ σ σ σ σ σ σ σ +...(1) De forma similar para as componentes a polarização P e P 3. A equação (1) poe ser escrita e forma resumia como a seguir: P 1 = 1JK σ JK, e igual forma P = JK σ JK e P 3 = 3JK σ JK Em geral P i = i JK σ JK...(13) one i JK, são as 7 componentes o tensor e orem 3, chamao coeficiente piezoelétrico. Significao físico os i JK. A aplicação e uma tensão uniaxial aa por σ 11 em nosso cristal, resultará em uma polarização com as seguintes componentes. P 1 = 111 σ 11, P = 11 σ 11 e P 3 = 311 σ 11 Então, conheceno os valores e P 1, P e P 3, poe-se encontrar 111, 11, e 311. Suponhamos agora, uma torção sobre a face perpenicular a X 3. Seguino a representação a Figura, poemos observar que apenas as componentes σ 1 e σ 1, terão momento e força. Seno assim, P 1 poe ser obtio por: P + 1 = 11σ 1 11σ 1 mas σ 1 = σ 1, então P 1 = ( ) σ 1 Neste caso, poe-se observar que ( ) tem um significao físico bem efinio, mas é impossível esenvolver um experimento para separar ambos coeficientes. A seguir, vamos consierar ijk = ikj, e o esenvolvimento posterior mostrará a valiez este resultao. 7

8 Como mencionao anteriormente, os 7 números representano uma graneza física, constituem em um tensor e terceira orem, mas para fazer esta afirmação, é preciso que o tensor se transforme a seguinte forma ao muar os eixos coorenaos. T ijk = a il a jm a kn T lmn...(14) Como a polarização é um vetor, que poe ser representao por um tensor e primeira orem, então poemos muar os eixos P i = a il P l. De forma similar é possível transformar um tensor e seguna orem como stress σ mn = a jm a kn σ jk, então. P i = a il P l = a il lmn σ mn = a il a jm a kn lmn σ jk = ijk σ jk, Então ijk = a il a jm a kn lmn, que é a relação que estávamos procurano. Um tensor este tipo, em geral tem 7 componentes inepenentes. Se suas componentes estão escritas e forma explícita, a representação será em forma e cubo com 3 camaas, como mostra a figura 5. Figura 5. Representação e um tensor e orem 3. O fato e que ijk seja simétrico em j e k, possibilita reuzir o tensor a 18 componentes inepenentes. Existe uma notação mais resumia para um tensor, conhecia como notação matricial como a escrita abaixo. Notação tensorial i =1 i = i =

9 Notação Matricial i =1 i = i =3 11 ½ 16 ½ 15 1 ½ 6 ½ 5 31 ½ 36 ½ 35 1 ½ 14 ½ 4 3 ½ Nesta transformação o primeiro sufixo é mantio e os ois ultimos muam a seguinte forma: ,3 31,13 1, Seguino a mesma lógica Desta forma P 1 = 11σ σ σ σ 6 + 1σ + 14σ σ σ σ 3 Ou P + 1 = 11σ1 + 1σ + 13σ3 + 14σ4 + 15σ5 16σ6 De maneira geral poe -se escrever Pi = ij σj (i = 1,,3 j = 1,,3,4,5,6) Então a matriz poe ser escrita a seguinte forma Caa linha a matriz representa uma camaa a representação tensorial. 9

10 3. EFEITO PIEZOELÉTRICO INVERSO. Se um campo elétrico é aplicao a um cristal piezoelétrico, a forma este mua. Este fenômeno é conhecio como efeito piezoelétrico inverso. Existe uma relação linear entre as componentes o vetor intensiae o campo elétrico Ei e as componentes o tensor strain, que é a graneza física que escreve esta eformação. Alem isso, os coeficientes que ligam o campo elétrico e o strain no efeito piezoelétrico inverso, são os mesmos que ligam o stress e a polarização no efeito ireito. Efeito ireto Pi = ijk σjk...(15) Efeito inverso εjk = ijk Ei...(16) Tensor strain Suponhamos uma cora flexível que sofreu um pequeno estiramento e chamemos e 11 à eformação por uniae e longitue no eixo X 1, Figura 6. Figura 6. Cora. a) Sem tensão. b) Após realizar uma tensão sobre ela. Analisemos o caso e um elemento e longitue paralelo a X, que realiza uma rotação sobre o eixo X 3 em ireção a X 1, Figura 7. Esta rotação será efinia como e 1. Desta forma teremos uma matriz com 9 componentes e ij, (i,j = 1,,3). O tensor strain [εij] está efinio como a parte simétrica e [eij]. εij = ½ (eij + eji)...(17) Assim, se tem que εjk é um tensor simétrico em j e k; a equação 16, portanto, nos conuz ao fato e que ijk é simétrico em j e k, resultao que já havíamos antecipao na análise o efeito piezoelétrico ireto. 10

11 Figura 7. Rotação e um elemento e longitue paralelo a X, que realiza uma rotação sobre o eixo X 3 em ireção a X 1 (e 1 ). As componentes o tensor strain são aas por: ε 11 = 111 E E E 3...(18) ε 1 = 11 E E + 31 E 3...(19) e forma análoga poe-se obter as emais componentes. Em notação matricial e e forma geral se terá: εj = ij Ei. (i = 1,,3 j = 1,,3,...,6) No seguinte esquema, se resumem as equações piezoelétricas em notação matricial. ε 1 ε ε 3 ε 4 ε 5 ε 6 σ 1 σ σ 3 σ 4 σ 5 σ 6 E 1 P E P E 3 P REDUÇÃO DO NÚMERO DE COEFICIENTES INDEPENDENTES POR SIMETRIA NO CRISTAL. Os coeficientes inepenentes o tensor piezoelétrico poem ser reuzios, levano-se em conta a simetria o cristal. O princípio o métoo é transformar os eixos e referência o tensor por um os elementos e simetria o cristal. Para ilustrar, consieremos um cristal centrossimétrico 11

12 (simetria e inversão). Então as matrizes para transformar os eixos serão aij = -δij. As componentes o tensor piezoelétrico muarão e eixos pela seguinte relação: 'ijk = ail ajm akn lmn = -δil δjm δkn lmn 'ijk = - ijk Mas, pelo fato o cristal apresentar simetria e inversão 'ijk = ijk, então ijk = 0. Como seguno exemplo, consieremos um eixo e simetria e seguna orem ou e Se nós realizamos uma rotação e 180 o, ao reor esse eixo, as proprieaes o cristal permanecerão invariáveis. Vamos supor agora, o eixo e simetria e orem, paralelo a X 3 como mostra a Figura 8: Figura 8. Eixo e simetria e orem, paralelo a X 3. X 1 -X 1 ; X -X e X 3 X 3 Analisano então os coeficientes ijk, por exemplo: 13 = (-1)(-1)(1) 13 ou 13 = 13 ; o coeficiente 13, é iferente e zero. Agora, faremos o mesmo com 133 : 133 = (-1)(1)(1) 133 ou 133 = mas como há simetria e orem e os eixos foram rotaos a 180 o, 133 everá ser igual a = = 133, então 133 = 0 Seguino o mesmo proceimento, poe-se analisar caa um os valores ijk. Em notação tensorial ficará: 111 = 0 11 = = = Em notação matricial 1

13 Vamos ver um exemplo este métoo para um cristal com simetria ˉ4m. O eixo e rotação e orem 4, paralelo a X 3, tem incluio um eixo e seguna orem, também paralelo a X 3, como é mostrao na Figura Figura 9. Simetria ˉ4m. Sabemos que para um eixo e rotação e orem, não se anulam somente os coeficientes 14, 15, 4, 5, 31, 3, 33 e 36, portanto somente eles serão tomaos em consieração a seguir. A notação ˉ4, significa que existe simetria, após uma rotação e 90 0, seguia por uma operação e inversão, portanto os eixos se transforman a seguinte forma: Figura 10. Transformação e eixos ao realizar a operação e simetria ˉ4 1 -; 1 e 3-3 (Figura 10). Então: 113 = = = = = 13 3 = = = Agora consieremos o eixo e rotação paralelo a X 1. Poemos notar, que ao consierarmos um eixo e rotação e orem, paralelo a X 3, toos os coeficientes ijk one i, j, k 3 ou i = 13

14 j = 3 ou i = k = 3 ou k = j = 3, se anulam. De forma análoga, um eixo e rotação e orem, paralelo a X 1, anulará toos os coeficientes que cumpram i, j, k 1 ou i = j = 1 ou i = k = 1 ou k = j = 1. Desta forma, somente ficarão os coeficientes: 13 = 13 ; 31 = 31 ou seja 14 = 5 ; 36. Seno assim, a matriz ficará: 4.1. CASOS TRIGONAL E HEXAGONAL. Ate agora vimos que ao fazer uma operação e simetria, um eixo se transforma em outro ou nele mesmo (poe ser com sinal invertio). No caso e classe 3 e 6, é impossível rotar o sistema com respeito a um eixo 10 0 ou 60 0 e obter os novos eixos acima os antigos, neste caso procee-se e forma iferente. O principio é exatamente o mesmo escrito anteriormente, ou seja, transformar os eixos pela operação o elemento e simetria o cristal e igualar os velhos coeficientes com os novos. Analisemos um exemplo para simetria e orem 3, Figura 11, a matriz a transformação fica: Figura 11. Rotação e 10 0 nos eixos coorenaos. Desta forma caa ijk ficará e maneira geral como combinação linear os 18 elementos a matriz. Vejamos um exemplo para facilitar a compreensão: 111 = X X 1 X 11 + X 1 X 1 + X X X X X 3...(0) 14

15 Para o caso o coeficiente 111, toos os valores e X i, são tomaos a linha X 1, a matriz e transformação. Fazeno-se para o caso o coeficiente 11, o proceimento será o seguinte: - O primeiro valor e Xi, para caa coeficiente ijk, pegaremos a linha X, a matriz e transformação. - Os ois últimos valores e Xi, para caa coeficiente ijk, pegaremos a linha X 1, a matriz e transformação. Desta forma poe-se obter para o coeficiente 11, a seguinte equação: ' 11 + ou = = ' 11 = = 11...(1) Os coeficientes ijk, one algum os sufixos i, j, k =3, não aportam para os ijk one i, j, k 3, evio à relação aa pela matriz e transformação. De forma análoga vai-se obter uma equação similar à equação (19) para caa um os coeficientes 111, 11, 1, 11, 1,, chegano a um sistema e equações e 6 6 que poe ser calculao. Os coeficientes ijk, one alguns os sufixos i, j, k =3, também poem ser calculaos a mesma forma. As soluções ficam a seguinte maneira: = 1 = ; = = 33 = 31 = 313 = 33 = Em notação matricial é: = 1 = ; = 1 13 = 3 = 36 = 35 = 34 = A representação fica: = = = ; 13 = 13 ; 311 = 3 = ; 14 = 5 ; 31 = 3 15

16 Agora vejamos o significao físico real estas matrizes. Para exemplificar consieremos o quartzo. À temperatura ambiente, o quartzo tem estrutura trigonal com simetria classe 3, Figura 1. A matriz será aa por: Figura 1. Simetria 3. σ 1 σ σ 3 σ 4 σ 5 σ 6 P P P Em acoro com a simetria o quartzo, se nós aplicássemos uma tensão e estiramento σ 1, paralelo ao eixo X 1, aparecerá uma componente a polarização no material nessa mesma ireção: P 1 = 11 σ 1; P = 0; P 3 = 0 Por outro lao, se fazemos uma pressão compressiva σ na ireção X ou uma torção σ 4 ao reor o eixo X 1, prouzirá também uma polarização paralela a X 1. P 1 = - 11 σ ; P = 0; P 3 = 0 ou P 1 = 14 σ 4; P = 0; P 3 = 0 Então concluino, poemos obter uma polarização na ireção X 1, e iferentes formas. Tensão ao longo e X 1. Compressão ao longo e X. Uma torção ao reor o eixo X 1. De forma análoga, poe-se euzir que uma polarização paralela ao eixo X, só aparecerá se ocorre: Uma torção σ 5 ao reor o eixo X. P 1 = 0 ; P = - 14 σ 5 ; P 3 = 0 Uma torção σ 6 ao reor o eixo X 3. P 1 = 0 ; P = - 11 σ 6 ; P 3 = 0 O fato e que toas as componentes ij, na última linha a matriz, são iguais a zero, implica que nunca aparecerá uma polarização paralela ao eixo X 3, evio a uma tensão (stress) sobre o cristal. Vejamos como poeria se interpretar o efeito inverso. Suponhamos um campo 16

17 elétrico E 1, ao longo o eixo X 1. A eformação nesta ireção estará aa por ε 1 = 11 E 1, mas este campo elétrico eformará também o cristal ao longo a ireção X (ε = 11 E 1 ) e forma que se ε 1 foi compressiva, então ε é extensiva e vice-versa. Alem isso, o cristal se torcerá ao reor e X 1 (ε 4 = 14 E 1 ). 5. TÉCNICAS EXPERIMENTAIS DE MEDIÇÕES PIEZOELÉTRICAS. Na prática, existem ois métoos funamentais para caracterizar um material piezoelétrico: Métoo a ressonância. Métoo estático MÉTODO DE RESSONÂNCIA. O métoo e ressonância é baseao funamentalmente no seguinte principio. Ao submeter uma barra e material piezoelétrico a uma voltagem alternaa, este começará a oscilar nas três imensões o espaço com uma freqüência característica para caa moo e vibração, Figura 13. Mas a forma e vibração os 3 moos, epenerá as imensões o cristal, e forma que L = λ L /; t = λ t / e = λ /...() Figura 13. Barra piezelétrica submetia a uma voltagem alternaa. É conhecio também, que para um ente oscilante, a velociae se relaciona com a freqüência e oscilação. v=λf, então: V L = Lf L...(3) V t = t f t...(4) V =f...(5) Normalmente é ifícil separar os iferentes moos e oscilação o cristal, só no caso one L>> t >>, e forma que L/ > 40, será possível observar que em freqüências menores 17

18 começará uma vibração transversal L, com o aumento a freqüência, aparece então o moo e espessura. O equivalente elétrico a Figura 13 é um circuito RLC em série, paralelo com um capacitor C 0 que faz o papel os contatos, a rama RLC é o material piezoelétrico, Figura 14. Com o aumento a freqüência a fonte, chegaremos a um ponto one o circuito RLC entrará em ressonância, situação que resulta na quea a impeância total o circuito. Ao aumentar a freqüência poe-se chegar a um ponto one os capacitores C, C 0 e a inutância L entram em ressonância, situação e máxima impeância o circuito. Figura 14. Equivalente elétrico e um material piezoelétrico submetio a um sinal alternao. Na Figura 15, poe-se observar o gráfico e log (Z) em função a freqüência. Veja os valores e freqüência para a impeância mínima (ressonância) e impeância máxima (antiressonância). Figura 15. Comportamento a impeância com a variação a freqüência para um circuito RLC em série, paralelo com um capacitor, submetio a um sinal alternao. O gráfico representao na Figura 15, será obtio para caa moo e vibração em nosso material, e maneira que uma freqüência e ressonância e anti-ressonância, poerá ser extraía para caa um os moos. A partir estas freqüências poerão ser calculaas algumas as granezas físicas que precisamos para realizar nossa caracterização, como por exemplo, o fator e acoplamento eletro-mecânico ou coeficiente piezoelétrico, em ireções e interesse. 18

19 As euções estas relações são complexas, evio a sua epenência com a forma o material e com os moos e vibração. Para o caso que se está tratano (barras), se conhece que: k 31 π FA π FA FR tan FR FR =...(6) π FA π FA FR 1 + tan FR FR one K 31 é o fator e acoplamento eletro-mecânico transversal. Por outra parte se tem que: E σ S 11 ε 33 K =...(7) S E Constante elástica a campo elétrico constante. ε σ Permissiviae livre e stress. 5.. MÉTODO ESTÁTICO. Este métoo consiste simplesmente na aplicação e um campo elétrico estático a um material piezoelétrico, para observar a sua eformação em iferentes ireções. A partir estas eformações poe-se obter os coeficientes piezoelétricos esejaos. As relações freqüentemente utilizaas são: D3 ε 1 σ D3 ε 3 = = 31 e 1 E E 31 σ = 33 =...(8) σ 3 E E 3 σ A forma e caracterizar um material piezoelétrico epene o uso a que será estinao. Se a aplicação será em vibraores, é mais conveniente sua caracterização pelo métoo e ressonância, mas se precisamos um atuaor, então o métoo estático é o mais aequao. 6. ALGUMAS APLICAÇÕES DOS MATERIAIS PIEZOELÉTRICOS. Os materiais piezoelétricos são amplamente utilizaos na inústria. Suas proprieaes os fazem importantes para uma grane quantiae e aplicações, as quais citaremos algumas: Transutores eletromecânicos. A proprieae e manter uma freqüência estável e vibração, ao ser submetio a um campo alternao, possibilita a colocação os materiais 19

20 piezoelétricos em uma infiniae e aparelhos como: estabilizaores e freqüência, relógios, instrumentos e meição e alta precisão, limpaores ultra-sônicos, etc. Transutores eletroacústicos. São usaos para gerar informação em forma e onas sonoras que serão propagaas em meios sólios ou líquios. Filtros e onas. Limitam a freqüência e operação as rees elétricas. Fontes e alta voltagem. Voltagens maiores a 100kV, tem sio geraas aplicano forças sobre materiais piezoelétricos. Hirofones. As cerâmicas piezoelétricas têm a proprieae e recepção e onas sonoras em água ou outros líquios com proprieaes similares. Aplicações méicas. A proprieae e gerar e etectar onas sonoras é usaa em iagnósticos méicos. A reflexão estas onas em interfaces entre iferentes corpos possibilita a etecção e corpos estranhos. Microfones ultra-sônicos. A recepção e onas e ultra-som os fazem importantes na fabricação e iversos aparelhos, por exemplo, controles remotos e equipamentos eletroomésticos. 0