Parte V ANÁLISE DIMENSIONAL

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1 78 PARTE V ANÁISE DIMENSIONA Parte V ANÁISE DIMENSIONA [R] [p] [V] [n] [τ] l 3 θ [R] θ Resposta: [R] θ Uma as principais equações a Mecânica quântica permite calcular a energia E associaa a um fóton e luz em função a frequência f a respectiva ona eletromagnética: E hf Nessa equação, h é a constante e Planck. Aotano como funamentais as granezas M (massa), (comprimento) e T (tempo), etermine a expressão imensional e h. [E] M T ; [f] T h E f [h] [E] [f] M T T [h] M T Resposta: M T Conforme as teorias e Newton, ois astros e massas respectivamente iguais a M e m, com centros e massa separaos por uma istância, atraem-se gravitacionalmente trocano forças e intensiae, aas por: G Mm em que G é a constante a Gravitação. Em relação às imensões mecânicas funamentais comprimento (), massa (M) e tempo (T), etermine a equação imensional, bem como a uniae SI e G. [] M T G M m G M m [G] [] [ ] [M] [m] M T M [G] M 3 T Uniae SI e G: kg m 3 s Resposta: [G] M 3 T ; kg m 3 s 3 A pressão p e um número e mols n e gás perfeito que ocupa um volume V a uma temperatura absoluta poe ser calculaa pela equação e Clapeyron: p V n R em que R é uma constante, enominaa constante universal os gases perfeitos. Aotano como funamentais as granezas (força), (comprimento), T (tempo) e (temperatura), etermine a expressão imensional e R. [p] ; [n] 0 0 T 0 (aimensional) p V n R τ R p V n τ (Unirio-RJ) Para o movimento e um corpo sólio em contato com o ar foi verif icao experimentalmente que a intensiae a força e resistência r é eterminaa pela expressão r k v, na qual v é o móulo a velociae o corpo em relação ao ar e k, uma constante. A uniae e k, no Sistema Internacional (SI), é aa por: a) kg m ) kg m s b) kg m e) kg m s c) kg m s [ r ] M T ; [v] T r k v k v [k] [ ] r M T [k] M T [k] M [v] (T ) T Uniae SI e k: kg m Resposta: a 5 (Unicamp-SP mo.) Quano um recipiente aberto conteno um líquio é sujeito a vibrações, observa-se um movimento onulatório na superfície o líquio. Para pequenos comprimentos e ona λ, a velociae e propagação v e uma ona na superfície livre o líquio está relacionaa à tensão superf icial σ, conforme a equação π σ v ρ λ em que ρ é a ensiae o líquio. Esta equação poe ser utilizaa para eterminar a tensão superf icial inuzino-se na superfície o líquio um movimento onulatório com uma frequência f conhecia e meino-se o comprimento e ona λ. Determine: a) a equação imensional a tensão superf icial σ em relação à massa M, comprimento e tempo T. b) as uniaes a tensão superf icial σ no Sistema Internacional e Uniaes. a) [V] T ; [ρ] M 3 ; [λ] V π σ ρ λ σ ρ λ V π [σ] M 3 ( T ) Done [σ] M 0 T b) Uniae SI e σ: kg s kg s Respostas: a) [σ] M 0 T ; b) kg s

2 PARTE V ANÁISE DIMENSIONA 79 6 (Uf la-mg) No estuo e luioinâmica, a intensiae a força viscosa poe ser aa pela equação v, seno o coef iciente e viscosiae, a istância percorria pelo f luio e v o móulo a sua velociae e eslocamento. Consierano-se o Sistema Internacional, SI, o coef iciente e viscosiae é ao pelas uniaes: a) kg m s b) kg m s c) kg m s ) kg m s e) (kg) m s v v [] M T ; [] e [v] T ogo: [] M T T Done: [] M T Uniae o SI e : kg m s 7 No Sistema Internacional (SI), as sete uniaes e base são o metro (m), o quilograma (kg), o seguno (s), o kelvin (K), o ampère (A), a canela (c) e o mol (mol). A ei e Coulomb a Eletrostática permite calcular a intensiae () a força e interação (atração ou repulsão) trocaa entre uas cargas puntiformes Q e Q, separaas por uma istância, por meio e uma expressão o tipo: π ε 0 Q Q r em que ε 0 é uma constante funamental a ísica. Em relação a ε 0, é correto af irmar que: a) é uma graneza aimensional. b) no SI, é meia em m s A. c) no SI, é meia em m 3 kg A. ) no SI, é meia em m 3 kg s A. e) no SI, é meia em m 3 s A. [] M T ; [Q] I T; π é uma constante aimensional π ε 0 Q Q r ε 0 [ε 0 ] [Q ] [Q ] [] [r ] [ε 0 ] Q Q π r (IT) M T () I T M 3 T [ε 0 ] M 3 T I Uniae SI e ε 0 : kg m 3 s A Resposta: 8 Aotano como funamentais as granezas M (massa), (comprimento), T (tempo) e I (intensiae e corrente elétrica), etermine as expressões imensionais e as respectivas uniaes SI as seguintes granezas físicas: a) carga elétrica; b) capacitância eletrostática. a) i ΔQ ΔQ i [Q] I T Uniae SI e Q: A s coulomb (C) b) U E Q [U] M T IT [U] M T 3 I C Q U [Q] [C] [U] IT M T 3 I [C] M T I Uniae SI e C: kg m s A fara () Respostas: a) I T; A s coulomb (C); b) M T I ; kg m s A fara () 9 (Mack-SP) Na equação imensionalmente homogênea x at bt 3, em que x tem imensão e comprimento () e t tem imensão e tempo (T), as imensões e a e b são, respectivamente: a) T e T ) T e T 3 b) T 3 e T 3 e) T 3 e T 3 c) T e T 3 [a t ] ; [b t 3 ] [a] T [a] T [b] T 3 [b] T 3 Resposta: c 0 (ITA-SP) Os valores e x, y e z para que a equação: (força) x (massa) y (volume) (energia) z seja imensionalmente correta são, respectivamente: a) ( 3, 0, 3). ) (,, ). b) ( 3, 0, 3). e) (, 0, ). c) (3,, 3). (M T ) x M y 3 (M T ) z M x + y x T x M z x + 3 T z x + y z z + 3 x z x z x ogo: x + 3 x x 3 e z 3 x + y x y 0 (Mack-SP) Consierano as granezas físicas A e B e imensões respectivamente iguais a M T e, one M é imensão e massa, é imensão e comprimento e T é imensão e tempo, a graneza ef inia por A B tem imensão e: a) potência. ) quantiae e movimento. b) energia. e) pressão. c) força.

3 80 PARTE V ANÁISE DIMENSIONA [A] M T ; [B] [G] [A] [B] [G] M T [G] M T A graneza G A B tem a imensão e pressão. Resposta: e (uvest-sp) Um estuante está prestano vestibular e não se lembra a fórmula correta que relaciona o móulo V a velociae e propagação o som com a pressão P e a massa específ ica ρ (kg/m 3 ), em um gás. No entanto, ele se recora e que a fórmula é o tipo v α C Pβ, em que C é uma constante aimensional. Analisano as ρ imensões (uniaes) as iferentes granezas físicas, ele conclui que os valores corretos os expoentes α e β são: a) α, β. ) α, β. b) α, β. e) α 3, β. c) α, β. v α C Pβ ρ [v] T ; [P] M T ; [p] M 3 ( T ) α (M T ) β M 3 M 0 α T α M β 3 β T β β 0 β α 3 β α 3 α Resposta: c 3 (ITA-SP) Durante a apresentação o projeto e um sistema acústico, um jovem aluno o ITA esqueceu-se a expressão a intensiae e uma ona sonora. Porém, usano a intuição, ele concluiu que a intensiae méia (I) é uma função a amplitue o movimento o ar (A), a frequência (f), a ensiae o ar (ρ) e a velociae o som (c), chegano à expressão I A x f y ρ z c. Consierano-se as granezas funamentais massa, comprimento e tempo, assinale a opção correta que representa os respectivos valores os expoentes x, y e z. a),, c),, e),, b),, ),, I ΔE S [ΔE] [I] [S] [] [I] M T T Done: [I] M 0 T 3 I A x f y ρ z c Observano que: [A] ; [f] T ; [ρ] M 3 e [c] T, vem: M 0 T 3 x (T ) y (M 3 ) z T Done: M 0 T 3 M z x 3z + y T z y 3 y x x Resposta: (IME-RJ) Suponha que o móulo a velociae e propagação V e uma ona sonora epena somente a pressão p e a massa específ ica o meio µ, e acoro com a expressão: V p x µ y Use a análise imensional para eterminar a expressão o móulo a velociae o som, sabeno-se que a constante aimensional vale. [V] [p] x [µ] y [V] M 0 T ; [p] M T ; [µ] M 3 M 0 T (M T ) x (M 3 ) y M 0 T M x + y x 3y T x x + y 0 x 3y x x ogo: V p µ Done: V Resposta: V p µ p µ e y 5 (ITA-SP) O móulo a velociae e uma ona transversal, em uma cora tensa, epene a intensiae a força tensora a que está sujeita a cora, e sua massa m e e seu comprimento. azeno uma análise imensional, concluímos que o móulo a velociae é proporcional a: a) b) c) m m m ) e) m m v k x m y (k é uma constante aimensional) [v] M 0 T ; [] M T M 0 T (M T ) x M y z M 0 T M x + y x + z T x x + y 0 x + z x x

4 PARTE V ANÁISE DIMENSIONA 8 ogo: y Assim: v k m e z Ientif icano-se os expoentes as potências e mesma base, vem: z x + z x + x y z 0 y 0 y Done: v k m ogo: φ k C A Δθ e Por outros métoos, conclui-se que k. Resposta: 6 No meio rural, toas as fontes energéticas são importantes. Uma as fontes é o vento, o qual se poe obter potência por meio e um cata-vento. A potência o cata-vento epene, por meio e uma relação monômia, a ensiae o ar µ, a área projetaa o rotor A e o móulo a velociae o ar V. Seno k uma constante aimensional, etermine a expressão a potência o vento P. P k µ x A y V (k é uma constante aimensional) [P] M T 3 ; [µ] M 3 ; [A] e [V] T M T 3 (M 3 ) x ( ) y ( T ) M T 3 M x 3x + y + z T z Ientif icano-se os expoentes as potências e mesma base, vem: x 3x + y + z z 3 z 3 ogo: 3 + y + 3 y Assim: P k µ A V 3 Resposta: P k µ A V 3 7 Verif ica-se experimentalmente que o f luxo e calor (φ) energia por uniae e tempo através e uma paree que separa ois ambientes mantios em temperaturas constantes e iferentes epene a área (A) a paree, a iferença entre as temperaturas (Δθ) nos ois ambientes e o coef iciente e conutibiliae térmica (C) o material pelo qual o calor é conuzio, seno, aina, inversamente proporcional à espessura (e) a paree. Aotano uma constante aimensional (k), etermine, por análise imensional, a expressão e φ em função e C, A, Δθ e e. É aa a expressão imensional o coef iciente e conutibiliae térmica: [C] M T 3 θ, em que M é massa, é comprimento, T é tempo e θ é temperatura. φ k A x (Δθ) y C z e φ ΔE [φ] M T [φ] M T T 3 [A] ; [Δθ] θ; [C] M T 3 θ e [e] M T 3 θ 0 ( ) x θ y (M T 3 θ ) z M T 3 θ 0 M z x + z T 3x θ y z Trata-se a ei e ourier e, por outros métoos, obtém-se k. Resposta: φ k C A Δθ e 8 (ITA-SP) A f igura abaixo representa um sistema experimental utilizao para eterminar o volume e um líquio por uniae e tempo que escoa através e um tubo capilar e comprimento e seção transversal e área A. Os resultaos mostram que a quantiae esse f luxo epene a variação a pressão ao longo o comprimento o tubo por uniae e comprimento (/), o raio o tubo (a) e a viscosiae o f luio () na temperatura o experimento. Sabe-se que o coef iciente e viscosiae () e um f luio tem a mesma imensão o prouto e uma tensão (força por uniae e área) por um comprimento iviio por uma velociae. Recorreno à análise imensional, poemos concluir que o volume e f luio coletao por uniae e tempo é proporcional a: a) A b) c) luio. Capila r ) a. e) a. Z k x a y z [] M T ; [] [a] A v [] M T ; [A] ; [] e [v] T [] M T [] M T T Z ΔV (Z representa a vazão) [Z] 3 T [Z] 3 T ogo: M 0 3 T M T x y (M T ) z M 0 3 T M x + z x + y z T x z A. a.

5 8 PARTE V ANÁISE DIMENSIONA Ientif icano os expoentes as potências e mesma base, temos: x + z 0 z x (I) x + y z 3 x z x + z (II) (I) em (II): x x x e z () + y ( ) 3 y ogo: Z k a Done: Z k a 9 (Unicamp-SP) Além e suas contribuições funamentais à ísica, Galileu é consierao também o pai a Resistência os Materiais, ciência muito usaa em engenharia, que estua o comportamento e materiais sob esforço. Galileu propôs empiricamente que uma viga cilínrica e iâmetro e comprimento (vão livre), apoiaa nas extremiaes, como na f igura abaixo, rompe-se ao ser submetia a uma força vertical, aplicaa em seu centro, aa por σ 3, em que σ é a tensão e ruptura característica o material o qual a viga é feita. Seja γ o peso específ ico (peso por uniae e volume) o material a viga. a) Quais são as uniaes e σ no Sistema Internacional e Uniaes? b) Encontre a expressão para o peso total a viga em termos e γ, e. c) Suponha que uma viga e iâmetro se rompa sob a ação o próprio peso para um comprimento maior que. Qual eve ser o iâmetro mínimo e uma viga feita o mesmo material com comprimento para que ela não se rompa pela ação e seu próprio peso? a) σ 3 σ 3 No SI, as uniaes e, e são, respectivamente, N, m e m. ogo: Uniae (σ) N m m 3 N m embrano que a uniae e força newton (N) poe ser expressa por: N kg m s, Temos: Uniae (σ) kg m s m kg m s Ou uniae (σ) kg m s b) Conforme o enunciao: γ P V P γ V Seno V π, segue que: P γ π c) O peso será a força vertical aplicaa no centro a viga responsável pela sua f lexão e consequente ruptura. ogo: P σ 3 γ π Done: σ γ π o caso: σ γ π (I) o caso: σ γ π ( ) (II) Comparano-se (I) e (II), vem: Respostas: a) kg m s ; b) γ π ; c)

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