3 Técnicas Utilizadas

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1 3 Técnicas Utilizaas Neste capítulo são apresentaas as técnicas existentes utilizaas no esenvolvimento o trabalho. Aboramos alguns métoos para etecção e singulariaes e a forma como aplicá-los no campo iscreto. Apresentamos também como gerar o espaço e escala, as linha e fluxo e iscutimos como gerar a visualização o campo vetorial com as imagens auto-animaas. 3.1 Detecção e Singulariaes Nós utilizamos uas aboragens clássicas para a etecção e singulariaes em graes regulares biimensionais. A primeira consiste em etectar one a interpolação bilinear o campo se anula. A seguna consiste em computar o wining numbers a mesma interpolação bilinear. Propomos também um métoo para a etecção e regiões fracas o campo vetorial, que são as regiões one a interpolação bilinear está próxima e zero. Para controlar essa proximiae, nós permitimos ao usuário impor a margem e precisão esejaa Singulariaes a Interpolação Bilinear Para encontrarmos as singulariaes no caso a interpolação bilinear, precisamos eterminar se o vetor zero é atingio entro as células quano é feita a interpolação (ver Figura 3.1). (-,+) (+,+) (0,0) (-,-) (+,-) Figura 3.1: Interpolação bilinear.

2 Topologia 25 Ou seja, queremos resolver o sistema e equações quarático b i,j = (0, 0), one b i,j é efinio como na equação (2-3). Isso poe ser resolvio explicitamente encontrano as raízes o polinômio em y: ( v01 x v y 00 + v01 x v y 10 + v11 x v y 00 v11 x v10+ y +v00 x v y 01 v00 x v y 11 v10 x v y 01 + v10 x v y 11 ) y 2 + ( 2 v01 x v y 00 2 v00 x v y 01 v11 x v00 y v01 x v y 10 + v10 x v y 01 + v00 x v y 11 ) y + v00 x v y 01 v01 x v y 00 ; Buscano simplificar a notação, estamos particularizano para uma célula com vértices (i, j) = (0, 0), (i+1, j) = (1, 0), (i, j+1) = (0, 1) e (i+1, j+1) = (1, 1). Para obter o valor a coorenaa x o ponto singular, poemos usar a seguinte expressão: x = (v y 00 v y 01) y v y 00 (v y 00 v y 10 v y 01 + v y 11) y v y 00 + v y 10. Eventualmente, esse sistema poe se egenerar em um polinômio e grau mais baixo, ou seja, o sistema poe ter uas, uma ou nenhuma solução. As soluções precisam ser testaas para garantir que elas estejam entro o quarilátero Wining Numbers O wining number ou ínice e uma curva plana fechaa e parametrizaa Γ em torno e um ponto fora a curva é um número inteiro que representa o número e voltas aas pela curva em torno o ponto p (ver Figura 3.2). p -2 Figura 3.2: Curva com ínice -2 em volta o ponto p.

3 Topologia 26 O número e voltas epene a orientação a curva. As curvas em sentio anti-horário têm valor positivo (ver Figura 3.3) e as curvas em sentio horário têm valor negativo (ver Figura 3.4). Assim, se a curva em torno e p é percorria escreveno uma volta em sentio horário e uma volta em sentio anti-horário, o ínice será 0. p p p Figura 3.3: Curva no sentio anti-horário. p p p Figura 3.4: Curva no sentio horário. O ínice e um campo vetorial v numa região elimitaa pela curva fechaa Γ = {γ(t), t [a, b]} é o ínice a curva Γ v = {γ(t) + εv(γ(t)), t [a, b]}, para ɛ pequeno, em volta e um ponto p no interior a região. Ele poe também ser calculao a partir a componente angular θ(p) o campo vetorial ( ) v y (p) θ(p) = arctan, por: v x (p) w Γ (v) = 1 θγ v (3-1) 2π Γ v Esse ínice é zero se a região entro e Γ não contém nenhum ponto crítico. Se em Γ existe um ponto e sela, então w Γ (v) = 1 e se contém um poço ou uma fonte, então w Γ (v) = +1. Na grae regular, calculamos o ínice para caa célula usano a curva Γ como o quarao que contorna a célula. Utilizano uma interpolação linear nas arestas, poemos calcular explicitamente a contribuição a aresta (x 0, y 0 ) (x 1, y 0 ) na integral (3-1) a seguinte forma:

4 Topologia 27 ( ) v00 x 2 v00 x v10 x v y 00 v y 10 + v y 2 00 w = arctan v y 10 v00 x v y 00 v10 x ( ) (3-2) v00 x v10 x v10 x 2 + v y 00 v y 10 v y 2 10 arctan v y 10 v00 x v y. 00 v10 x Repetimos esta conta para as outras arestas e forma a obter w = w w Regiões Fracas Agora proporemos um métoo para etectar regiões fracas. Por regiões fracas enominamos as regiões one a interpolação bilinear está próxima e zero. Assim, ao invés e procurarmos os pontos one o campo vetorial se anula, iremos procurar pontos entro e um intervalo, controlao por um parâmetro ε, para encontrarmos pontos que poem ser singulariaes com uma pequena pertubação (ver Figura 3.5). Procuraremos então: (i, j) tal que min b i,j ε, one ε é uma margem e tolerância especificaa pelo usuário. Esse problema se resume a encontrar as raízes e um sistema polinomial e terceiro grau em uas variáveis, reuzino a um sistema e quinto grau em uma variável. Nesta issertação, utilizamos métoos numéricos para obter a solução. Figura 3.5: Detecção e singulariaes. Esquera: bilinear. Direita: regiões fracas.

5 Topologia Classificação as Singulariaes Como ito na seção 2.1.1, poemos classificar as singulariaes através a matriz Jacobiana aplicaa àquele ponto. Explicitamente, a matriz Jacobiana a interpolação bilinear e b 0,0 é aa por: [ ] v11 x y v00 x ȳ + v10 x ȳ v01 x y ; v11 x x v00 x x v10 x x + v01 x x v y 11 y v y 00 ȳ + v y 10 ȳ v y 01 y ; v y 11 x v y 00 x v y 10 x + v y 01 x, one x = 1 x e ȳ = 1 y. Os autovalores são iretamente calculaos utilizano o traço e o eterminante a matriz. Lembrano que, e forma geral, Se a parte real e ambos autovalores é estritamente negativa, então o ponto singular é um poço. Se a parte real e ambos autovalores é estritamente positiva, então o ponto singular é uma fonte. Se os autovalores têm partes reais não nula e têm sinais opostos, então o ponto singular é uma sela. Se a parte real e um os autovalores é nula, então a singulariae é e orem superior. 3.2 Espaço e Escala Espaço e escala é um conjunto formao por varias versões e um mesmo objeto em escalas iferentes esenvolvio pelas comuniaes e Visão Computacional, Processamento e Imagem e Processamento e Sinais. Em imagens, o espaço e escala é uma família e imagens suavizaas, com a mesma imensão a imagem original e parametrizaas pela quantiae e suavização aplicaa (ver Figura 3.6). A representação e campos vetoriais por um espaço e escala naa mais é que uma coleção e versões filtraas progressivamente o campo (ver Figura 3.7). Caa versão está associaa a um parâmetro e escala s crescente. Denotamos por v(s, x, y) o vetor e valores o campo na escala s e no ponto (x, y). O exemplo mais comum e espaço e escala num campo vetorial contínuo é o espaço e escala Gaussiano. Ele é obtio por uma convolução o campo com um núcleo Gaussiano e variância crescente:

6 Visualizac a o por Imagens Auto-animaas e Campos Vetoriais Baseaa na sua Topologia 29 PUC-Rio - Certificação Digital Nº /CA Figura 3.6: Espac o e escala em imagens. Figura 3.7: Espac o e escala em campos vetoriais. v (s, x, y) = v(x, y) Gs (x, y), com Gσ (x, y) = exp x2 +y 2 2σ. Em aos iscretizaos, a aboragem a convoluc a o se encaixa em te cnicas como o ranom walks (26), que asseguram boas proprieaes para ma scaras e convoluc a o local. O nu mero e convoluc o es aplicaas, sera enta o o para metro e escala que usaremos. 3.3 Gerac a o as Linhas e Fluxo Para a gerac a o as linhas e fluxo, utilizamos o algoritmo proposto por Jobar e Lefer (10) para a criac a o e linhas e fluxo igualmente espac aas com ensiae arbitra ria com uma pequena moificac a o na escolha a primeira semente. O algoritmo poe ser escrito a seguinte forma: primeiramente escolhemos uma semente, e forma aleato ria, no campo vetorial e entraa e construı mos a primeira linha e fluxo. Queremos que as linhas e fluxo estejam igualmente espac aas, para isso, impomos uma ista ncia sep que e a ista ncia mı nima entre uas linhas e fluxo vizinhas. Durante a construc a o a linha e fluxo, ispomos pontos com ista ncia

7 Topologia 30 sep e ambos os laos a linha e fluxo e esses pontos são colocaos em uma pilha como caniatos à nova semente. As próximas linhas e fluxo são construías a seguinte forma: tomamos o primeiro ponto a pilha. Se ele for um ponto válio, ou seja, se a istância e separação é maior que sep, então ele é a nova semente. A nova linha e fluxo é então integraa para trás e para frente e forma inepenente. Durante a construção, o novo ponto é consierao válio, se e somente se, a istância para as outras linhas e fluxo é menor que sep e se estiver entro o omínio. Se não for, a integração pára nesse sentio. O algoritmo continua até que haja a saturação o omínio, ou seja, até que a pilha esteja vazia e não possa ser aicionaa nenhuma nova semente. A Figura 3.8, mostra toas as linhas e fluxo que erivaram a primeira linha e fluxo o campo vetorial. Figura 3.8: Linhas e fluxo erivaas a primeira linha e fluxo criaa no campo (mais escura) (Figura extraía o artigo original (10)). Para a integração a linha e fluxo, poemos usar vários tipos e integraores. Neste trabalho, utilizamos o métoo e Runge-Kutta e seguna orem. A escolha as primeiras sementes, porém, não é aa e forma aleatória. Escolhemos as sementes e forma que as primeiras linhas e fluxo a serem construías partam as singulariaes o campo vetorial. Como a singulariae é um ponto fixo, geramos sementes próximas a singulariae nas ireções os autovetores e J. Apenas quano esgotaa a possibiliae e construção partino e singulariaes é que faremos a construção as emais linhas e fluxo. Vale observar que, neste ponto, aina não estamos consierano as singulariaes e boro. Na Figura 3.9 poem ser observaas as linhas e fluxo geraas com essa metoologia.

8 Topologia 31 Figura 3.9: Linhas e fluxo. 3.4 Imagens Auto-Animaas e Otimização Nessa seção escreveremos parte o trabalho proposto por Chi et al. (6), que foi o principal motivaor para o esenvolvimento o nosso trabalho. Este trabalho é baseao na classificação a otimização a ilusão e Fraser-Wilcox proposta por Kitaoka (13) como mostrao na Figura TIPO I TIPO IIa TIPO IIb TIPO III Figura 3.10: Tipos a otimização a ilusão e Fraser-Wilcox. As setas inicam a ireção o movimento percebio (Figura extraía o artigo original (6)). Será focao apenas o Tipo IIa. A combinação as quatro intensiaes esse tipo está na orem: P-CE-B-CC (preto, cinza escuro, branco, cinza claro). Caa parão e quatro intensiaes é também chamao e parão assimétrico repetio (PAR) (Backus et al. (2)). O parão e cor usao será: preto-azulbranco-amarelo. Em seu trabalho, Chi et al. (6) propõem uma nova aboragem computacional para gerar a ilusão e Fraser-Wilcox usano o posicionamento e PAR. Dao um campo vetorial, os PARs são posicionaos ao longo o fluxo

9 Topologia 32 para gerar linhas e fluxo com movimento consistente com o campo vetorial. Além isso, é feita uma otimização o posicionamento os PARs e forma a aumentar o efeito a ilusão Posicionamento as Linhas e Fluxo Uma iéia simples para a construção as linhas e fluxo consiste em escolher uma semente aleatória no campo, e a partir esta, integrar a linha e fluxo na qual os PARs serão ispostos. Porém, nem sempre esse processo é favorável à geração a ilusão pois poem ser criaas linhas curtas e irregulares. Em Chi et al. (6), foi aotao o métoo proposto por Mebarki et al. (17) para gerar linhas e fluxo longas e igualmente espaçaas o que resulta em uma melhor qualiae e ilusão e movimento, após a isposição os PARs. Feito isso, caa linha é então parametrizaa e forma a aplicar a textura e PAR. As linhas e fluxo são iviias em segmentos e mesmo tamanho, chamao SegLen. O tamanho e caa cor no PAR segue a sequência 1:2:1:2, e forma a satisfazer os requerimentos o TipoII a otimização a ilusão e Fraser-Wilcox (13). Previamente, é criao um vetor corpar = {preto, azul, azul, branco, amarelo, amarelo}. Caa linha e fluxo é coloria a seguinte forma: Cor = corpar[(i mo SegLen) (6/SegLen)] one i é a istância para o ponto inicial a linha e fluxo Otimização o Posicionamento os Fragmentos O parão em volta o segmento PAR também afeta o efeito a ilusão. A Figura 3.11 mostra a importância o posicionamento o fragmento, pois, se feito e forma arbitrária em linhas e fluxo ajacentes (ver Figura 3.11(a)), poem ser geraos blocos que prejuicam a ilusão o movimento, contrastano com a Figura 3.11(), one o posicionamento os fragmentos foi feito e forma mais aequaa. Para melhorar o posicionamento os PARs, Chi et al. (6) esenvolveram o seguinte problema e otimização que tentamos melhorar neste trabalho. Um segmento e PAR poe ser iviio em fragmentos claro e escuro, usano tons e cinza, por exemplo. Seja X o conjunto os fragmentos e toos os PARs, N(x) o conjunto os fragmentos vizinhos e x em X. L(z) é a intensiae o fragmento z.

10 Topologia 33 E fragmento = x X (L(x) L(y)) 2. (3-3) y N(x) O objetivo a otimização é maximizar E fragmento, isto é, a iferença e intensiae entre fragmentos e PARs vizinhos entre linhas e fluxo vizinhas. Em Chi et al. (6) é proposto um métoo força bruta baseao em imagem para meir a iferença e posicionamento entre uas linhas e fluxo vizinhas e forma a maximizar a equação (3-3). Para isso, uma imagem guia é primeiramente renerizaa. A linha superior a Figura 3.11 mostra como a imagem guia eriva o parão inicial. Como simplificação, tomaremos uas linhas e fluxo e sua imagem guia como exemplo, Figuras 3.11(b) e 3.11(c), respectivamente. Primeiro, toos os segmentos começam com o mesmo tamanho. Em seguia, a parte clara o segmento e PAR é coloria e vermelho-méio e a parte escura é coloria e vere-méio. Assim, caa segmento e PAR contém um par e fragmento vermelho-méio e vere-méio. A largura a linha e fluxo poe ser eterminao e forma que os PARs e linhas vizinhas toquem ou sobreponham uns aos outros. As linhas vermelha-vere são então esenhaas uma a uma seno as regiões e interseção misturaas. Elas são misturaas e forma que as regiões e mesma cor que se sobrepõem obtenham uma cor mais intensa. Assim, regiões com vermelho ou vere claro, inicam posicionamento e baixa qualiae já que a intensiae nas linhas e fluxo vizinhas eram parecias, enquanto as regiões na cor amarela, inicam grane iferença e intensiae, e portanto, melhor posicionamento. Então, quanto mais pixels amarelos forem obtios, mais otimizao está o posicionamento. Com a imagem guia, resolver o problema e otimização a equação (3-3) se resume a maximizar o número e pixels amarelos. Os fragmentos são posicionaos nas linhas e fluxo, seguino alternaamente a orem escuro para claro. Durante a otimização, o posicionamento é ajustao em ois parâmetros: a cor inicial o fragmento - escuro ou claro e o tamanho e caa fragmento. Para evitar que os fragmentos sejam muito pequenos ou muito granes, eles são restringios ao intervalo [0.4(SegLen), 0.65(SegLen)]. O tamanho o fragmento é inicializao em 0.5(SegLen). Ranomicamente, uma linha e fluxo e sua vizinha são selecionaas e o objetivo é iferenciar as cores entre ois fragmentos vizinhos essas linhas e fluxo. Como mostrao na Figura 3.11(e), o fragmento que inicia a linha e fluxo selecionaa é ajustao para ser um fragmento claro (branco e amarelo, por exemplo), e acoro com a linha vizinha referenciaa, que tem fragmento inicial escuro (preto e azul). O tamanho esse fragmento também é atualizao e forma a iferenciar a cor com seu vizinho.

11 Topologia 34 Esses ajustes são aplicaos a toas as outras linhas e fluxo e forma a aumentar a quantiae e regiões amarelas na imagem guia 3.11(f). As Figuras 3.11() e 3.11(e) mostram os resultaos epois a otimização. Figura 3.11: Otimização o fragmento. Linha superior: antes a otimização. Linha inferior: epois a otimização (Figura extraía o artigo original (6)). Por fim, as linhas são separaas por uma bora cinza, pois sem essa bora, PARs vizinhos poem acientalmente se misturar muano o parão.