UTILIZAÇÃO DE ANAGLIFOS NA VISUALUIZAÇÃO DE GRÁFICOS TRIDIMENSIONAIS

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1 UTILIZAÇÃO DE ANAGLIFOS NA VISUALUIZAÇÃO DE GRÁFICOS TRIDIMENSIONAIS Bruno Euaro Maeira INSTITUTO MILITAR DE ENGENHARIA Resumo O presente trabalho exibe um sistema capa e traçar anaglifos e gráficos e funções e uas variáveis. Dois problemas básicos tiveram que ser solucionaos. O primeiro problema consiste em analisar a entraa o usuário e forma que a função que ele eseja visualiar seja convertia em uma estrutura e aos aequaa para o traçao o gráfico. O seguno problema consiste em traçar o par e imagens estereográficas aplicano uma seqüência e transformações aequaas sobre o gráfico a função. 1) Introução O estuo e Cálculo Vetorial é uma as áreas e grane importância para a matemática pura e aplicaa. Tal assunto, nos cursos e engenharia, é estuao urante o Ciclo Básico, nas isciplinas e Cálculo II ou Cálculo III. Uma as granes ificulaes apresentaa pelos alunos esses cursos consiste em esboçar gráficos e funções e uas variáveis, pois para tal se exige normalmente uma análise as curvas e nível o gráfico e um alto poer e abstração por parte o aluno para empilhá-las. Esse processo torna-se muito complicao na maioria os casos, seno utiliao apenas para traçar gráficos simples como parabolóies, cones, elipsóies e etc. Para visualiar gráficos mais complicaos utilia-se geralmente um software matemático como o Maple ou o Mathematica. O objetivo o trabalho consiste na criação e um software que faça a utiliação e anaglifos ( antiga técnica e estereografia esenvolvia no século XIX ) para traçar esses gráficos e forma que o cérebro acreite que eles constituem objetos o muno real, bastano observa-los através e um óculos com lentes colorias (vermelho/aul). A vantagem e se utiliar anaglifos em relação a outros moelos mais sofisticaos e realiae virtual está no fato os primeiros possuírem um baixo custo e proução, que permite uma maior isseminação o sistema. Um protótipo foi gerao e os resultaos obtios foram bastante satisfatórios. Tal protótipo permite ao usuário efinir um omínio retangular o R 2 e entrar com a função que ele eseja visualiar. Após isso, o sistema esenha no monitor o anaglifo que poe ser rotacionao e forma interativa utiliano as teclas e cursor. Espera-se no futuro que esse trabalho venha servir e referência para outros trabalhos semelhantes formano assim um conjunto e ferramentas poerosas a isposição os professores. 2830

2 2) Descrição o Sistema O sistema é composto por ois móulos principais, o traçaor e gráficos e o analisaor e expressões. O traçaor e gráficos é o móulo responsável pelo cálculo e esenho o anaglifo, para cumprir seu objetivo ele necessita interagir com o analisaor e expressões. O analisaor e expressões é um móulo que foi criao para permitir que a função que efine o gráfico puesse ser alteraa em tempo e execução. Sem esse móulo, para se alterar a função seria necessário reefini-la no cóigo fonte e posteriormente recompilar o programa. O analisaor e expressões elimina esse incoveniente realiano o mesmo processo que o compilaor aplica a uma expressão para extrair seu valor. Caa um esses móulos será tratao isolaamente. 3) O analisaor e expressões Para entener melhor o problema a análise e uma expressão eve-se lembrar que a entraa a expressão é feita sob a forma e uma seqüência e caracteres( string ). Tal representação é útil em operações e escrita ou leitura, entretanto ela não se aapta bem aos objetivos o sistema que é o e permitir uma amostragem pontual na função, ou seja, ao a seqüência e caracteres x*x + y, ao ser solicitao o valor a função no ponto (2,2), o avaliaor e expressões everá retornar 6. Para cumprir tal objetivo seguiu-se uma metoologia orientaa a objetos. Definiu-se uma classe para representar caa operaor matemático, uma classe para representar as variáveis x e y e uma classe para representar os números. A primeira etapa correspone a análise léxica. Essa etapa transforma a seqüência e caracteres em uma lista encaeaa os objetos que representam os símbolos matemáticos: Se existir alguma seqüência e caracteres na expressão e entraa, que não possua nenhum objeto corresponente efinio no sistema, será então retornao uma mensagem e erro. Ou seja, uma expressão a forma x*x + elefante retornará um erro pois a palavra elefante não está efinia no sistema. A seguna etapa correspone a análise sintática. Nessa etapa a lista transforma-se numa árvore com as seguintes características: 1. Caa sub-árvore representa uma sub-expressão 2. Toa raí e uma sub-árvore ou é uma folha ou é a operação e menor prioriae a sub-expressão. 3. As folhas são sempre números ou variáveis x, y. 2831

3 A terceira etapa é a avaliação a expressão. Caa nó a árvore possui um métoo chamao opera(); essa função realia os seguintes algoritmos: Nos operaores binários: 1) aux1 filho_a_esquea.opera() 2) aux2 filho_a_ireita.opera() 3) retorna operação(aux1,aux2) Nos operaores unários: 1) aux filho.opera() 2) retorna operação(aux); Nas variáveis x e y e nas constantes numéricas: 1) retorna valor. Assim ao se invocar a função opera() a rai, caa nó vai invocar as funções os filhos faeno um percurso em pós-orem; no final o retorno a função opera() a rai correspone ao valor a expressão. 4) A moelagem matemática o anaglifo Para entener o funcionamento o traçaor e gráficos, é preciso anteriormente entener o processo utiliao na conversão e um ponto pertencente ao R 3 nas suas respectivas projeções estereográficas. A estereografia toma por base que o cérebro utilia as uas imagens iferentes que são projetaas nas retinas para construir uma única imagem com profuniae. Então, para se ter a iéia e profuniae é necessário enganar o cérebro enviano para caa um os 2832

4 olhos uma imagem igual a que ele receberia se estivesse observano um objeto em três imensões. Um os principais problemas a estereografia consiste em enviar para o olho esquero uma imagem iferente a que é enviaa para o olho ireito, os anaglifos utiliam um óculos e lentes colorias(vermelho/aul) para separar as imagens. O processo consiste em esenhar em um mesmo plano e projeção as uas imagens superpostas, uma vermelha e outra aul. A separação as imagens ocorre quano os raios luminosos que provêem a imagem são filtraos pelas lentes os óculos. A imagem que foi esenhaa em vermelho só atravessará a lente vermelha enquanto a imagem que foi esenhaa em aul só atravessará a lente aul. No cálculo o par e imagens estereográficas utiliou-se um moelo que consiera caa olho como um centro e projeção e a tela o monitor como o plano e projeção. Os centros e projeção estão afastaos e uma istância igual a separação os olhos e uma pessoa normal. O plano e projeção eve estar localiao a uma istância igual a istância o observaor à tela. Para simplificar os cálculos, vamos consierar inicialmente um centro e projeção auxiliar localiao na origem e um plano e projeção afastao e uma istância o observaor. A figura abaixo representa uma visão esquemática a projeção a coorenaa y e um ponto o espaço em um plano e projeção afastao a uma istância o observaor. Observano a figura poemos relacionar facilmente a coorenaa y o ponto com a coorenaa y e sua projeção utiliano semelhança e triângulos, assim temos que 2833

5 y ' = y. Analogamente temos que x ' = x. Com isso poemos obter efinir uma transformação Ψ e projeção relativa a origem a seguinte forma: Ψ O : R 3 y, ) R O 2 y) Consiere agora ois novos centros e projeção no eixo-x, um ponto A posicionao nas coorenaas (n,0,0) e um ponto B posicionao nas coorenaas (-n,0,0) e um ponto P e coorenaas (x,y,). Vamos chamar por A a B as projeções e P no plano e projeção relativas a A e a B respectivamente. Os três centros e projeção estão toos no eixo-x, então a coorenaa y as projeções o P relativa aos três centros evem ser a mesma.ou seja: A ' = B ' = O y y y ' Aplicano expressão anterior conclui-se que: Ψ O sobre o ponto P nós temos que O y ' = y, substituino na Ay ' = By ' = y Para obter A x vamos utiliar a semelhança os triângulos OPA e O PA. n( ) Dessa maneira chegamos a expressão Ax ' = Ox ' + Consierano o fato que O x ' = x e substituino na expressão anterior, conclui-se n( ) que A x ' = x +. Poemos usar um raciocínio análogo para calcular B x. Dessa forma poemos construir uma transformação ψ A e uma transformação ψ B que aplicam o ponto (x,y,) sobre suas projeções relativas à A e a B respectivamente. Temos assim: 2834

6 Ψ A : R 3 y, ) R 2 n( ) x +, y Ψ B : R 3 y, ) R 2 n( ) x, y One é a istância o observaor ao plano e projeção e 2n a istância entre os olhos o observaor. 5) O traçaor e gráficos O gráfico e uma função e uas variáveis efinia explicitamente permite uma fácil resolução para o problema e amostragem pontual, teno em vista a existência e uma parametriação trivial e sua superfície, tal parametriação para uma função f é efinia por: ϕ : R 2 R y) ( x, y, f y)) 3 O traçaor e gráficos solicita ao analisaor e expressões que ele avalie o valor a função em pontos que estão contios numa malha retangular uniformemente espaçaa que cobre o omínio efinio pelo usuário. Com isso ele é capa e obter a coorenaa vetorial e toos os pontos que ele precisa traçar. Após obter um ponto na superfície a função, o sistema realia uma muança o sistemas e coorenaas o referencial a função para o referencial o observaor. A transformação aplicaa foi a sugeria por Allan Watt no livro 3D Computer Graphics (Watt 93). (x, y,, 1) = ( x, y, f(x,y), 1) T one T é efinio por: sen θ cosθ T = 0 0 cosθcosφ sen θcosφ sen θ 0 cosθsen φ sen θsen φ cosφ µ

7 Os parâmetros θ, φ e µ eterminam a posição o observaor em coorenaas esféricas. Nesse sistema o eixo-z representa a ireção e visaa o observaor, esse eixo sempre intercepta a origem o referencial a função. Depois e realiar a muança e referencial, o sistema aplica as transformações e ΨB e esenha os pontos vermelho e aul na tela. ΨA θ Esse processo é repetio para toas os pontos amostraos na malha retangular. Toa ve que o usuário pressiona as teclas e cursor o sistema altera os parâmetros, φ e µ e atualia a transformação T. 7) Conclusão O protótipo gerao permitiu testar a aplicação e anaglifos em um sistema interativo. Os resultaos obtios foram satisfatórios o suficiente para motivar estuos a aplicação e anaglifos na visualisação e outros tipos e moelos. Esses moelos poem servir para representar objetos abstratos, auxiliano a área e Matemática ou objetos concretos auxiliano áreas como a Física. Seu baixo custo e proução possibilita uma aplicação em massa o sistema na ree e ensino. 2836

8 8) Bibliografia McALLISTER, Davi F.:Stereo Computer Graphics an Other true 3 Technologies,Princeton Series in Computer Science(1993) WATT, Allan:3D Computer Graphics,Aison Wesley (1993) Wolfgram, Douglas E.: Aventuras em 3D Segreos e Aplicações em 3D, Berkeley (1993) Watkins, Christopher D. Sharp,Larry: Programano em 3 Dimensões Animação Gráficos em 3D Ray Tracing, Berkeley (1993) 2837

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