4. FREQUÊNCIAS NATURAIS E CARGAS CRÍTICAS

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1 4. FREQUÊNCIAS NATURAIS E CARGAS CRÍTICAS O presente capítulo apresenta a análise linear e vigas e seção aberta e parees elgaas simplesmente apoiaas, mostrano o processo e iscretização por Galerkin e as equações e movimento linearizaas. Com base nestas equações faz-se o cálculo as frequências naturais, as cargas críticas axiais e a relação entre carga axial e frequência para iversos perfis encontraos em aplicações práticas com o intuito e mostrar o efeito a assimetria nas vibrações e estabiliae a estrutura Aplicação o métoo e Galerkin Através o métoo e Galerkin, as equações iferenciais parciais e movimento (Equações (3.68) a (3.7)) poem ser reuzias a um sistema e equações iferencias orinárias no omínio o tempo. Para uma viga simplesmente apoiaa, o primeiro moo e vibração em flexão nas uas ireções ortogonais e o moo e torção são aos por: x v( x, t) vo ( t)sin L x w( x, t) wo ( t)sin L x ( x, t) o( t)sin L (4.1) (4.) (4.3) one v o (t), w o (t), e θ o (t) são as amplitues moais epenentes o tempo, associaos aos três graus e liberae. Cabe ressaltar que para uma barra simplesmente apoiaa a solução analítica para os moos e flambagem em flexão e torção coinciem com os moos e vibração.

2 56 Substituino as Equações (4.1) a (4.3) em (3.68) a (3.7), e aplicano o métoo e Galerkin, obtém-se o seguinte sistema e equações iferencias orinárias e movimento: ml 3 4yc v zc Pz v v P v zc P t t 8L Pz Py w v M 3 y 3 4 ml 3 4zc w yc Py w w P w yc P t t 8L Pz Py v w M 3 z 3 4 ml 3 EI t t t 8 L 8zcw 8ycv P I ycw zcv P P Pz Py vw v w t 3 I z c v yc w IP 3 8 M z e 3 y e z (4.4) (4.5) (4.6) Nas equações (4.4) - (4.6), P y, P z e P θ, são as cargas e flambagem em flexão e torção para o problema esacoplao, P é a carga axial compressiva, M z, e M y são os máximos momentos e flexão resultante as cargas laterais uniformes q z e q y respectivamente, para uma viga simplesmente apoiaa. Estes parâmetros são aos por: EI L z z (4.7) P P EI y y (4.8) L P 1 EI I L GJ (4.9) L L M z qz e M y q (4.1) y 8 8

3 57 As Equações (4.4) a (4.6) formam um sistema e três equações não lineares acoplaas que eve ser resolvio através e métoos numéricos. 4.. Linearização as equações e movimento. Para calcular as frequências naturais e a carga crítica, é preciso linearizar as equações (4.4) - (4.6), obteno-se: ml t t v z c Pz v P v zc ml t t w y c Py w P w yc ml I zc v yc w IP t t t P I y w z v c c (4.11) (4.1) (4.13) Verifica-se que o acoplamento no sistema linearizao é função os parâmetros geométricos y c e z c. Isto significa que em seções monosimétricas ou assimétricas, one o centro e cisalhamento não coincie com o centro e graviae a seção, há moos e vibração e flambagem com acoplamento entre flexão e torção Frequências naturais e cargas críticas axiais a viga. Para avaliar a possibiliae e ocorrência e ressonância, faz-se necessário conhecer as frequências naturais a estrutura. Estas frequências naturais são obtias a partir o problema e vibração livre e não amortecia escrito pelas equações iferenciais e movimento, (4.11) a (4.13), que é um sistema e equações iferenciais lineares com coeficientes constantes e que poe ser expresso matricialmente como: U K PK U [ M ] (4.14) e G

4 one {U} é o vetor os eslocamentos, M é a matriz e massa, K rigiez, [K G ] é matriz geométrica e F é o vetor as forcas externas. e 58 matriz e Para o cálculo as frequências naturais a estrutura escarregaa, tem-se o problema e autovalor: M U K U (4.15) e one: e M K e ml 1 zc 1 y c z c yc I Pz Py IP (4.16) (4.17) a solução a Equação (4.15) é a forma: v t ve i ot (4.18) w t we t i ot (4.19) i ot e (4.) one ω o é a frequência natural e v, w e são as amplitues moais. Da substituição as Equações (4.18) a (4.) na Equação (4.15), chega-se à seguinte equação característica o problema e autovalor: K M e one: (4.1) o (4.)

5 59 ou seja, os autovalores representam o quarao as frequências naturais e os autovetores os moos e vibração. Em um problema e instabiliae linearizao, o cálculo a carga crítica e os moos e flambagem também resultam e um problema e autovalor linear generalizao na forma abaixo: K P K e (4.3) G one: P Pzc KG P Py c Pzc Pyc PI K e Pz Py IP (4.4) As frequências a estrutura carregaa e a relação entre carga axial e frequência e vibração poem ser obtias através a solução o problema e autovalor, Equação (4.14) Análise numérica e vários tipos e perfis Com o propósito e ilustrar melhor os efeitos consieraos obtêm-se as frequências naturais, cargas críticas axiais e relação frequência-carga axial para alguns perfis frequentemente utilizaos em aplicações práticas como I, T, C e L, incluino assim seções uplamente simétricas, seções monosimétricas e seções assimétricas. Os resultaos numéricos são obtios para uma viga simplesmente apoiaa com móulo e Young E = 1 GPa, móulo e Cisalhamento G = 8.77 GPa, ensiae o material ρ = 78 kg/m 3 e comprimento L = 4 m. As proprieaes geométricas os perfis foram obtias com a ajua o programa ShapeDesigner (13).

6 Seção uplamente simétrica - perfil I. A Figura 4.1 apresenta os eixos principais e inércia (eixos e simetria), campo e eslocamentos e características geométricas e um perfil I com upla simetria. Na Tabela 4.1, encomtram-se as imensões o perfil utilizao na presente análise e as principais proprieaes geométricas este perfil. Figura 4.1: Perfil simétrico I e suas imensões características. Tabela 4.1: Proprieaes geométricas a seção I. Proprieaes Geométricas b = 15, cm A = 51,881 cm h = 3, cm J = 15,898 cm 4 t f = 1,7 cm I w = 1,58E+5 cm 6 t w =,71 cm I y = 7999, cm 4 y c =, cm I z = 6,71 cm 4 z c =, cm I r = 1,83E-6 m 6 As equações lineares e movimento para este perfil são: 5 v v 65, 69 7,874 1 (4.5) t 5 65,69 w 1,63 1 w t (4.6) 1, ,765 t (4.7)

7 61 Note-se que as Equações (4.5) a (4.7) são esacoplaas em função o centro e cisalhamento coinciir com o centro e graviae. Tem-se assim o problema e autovalor: K e 5 7, , 6 M 9136,77-1,9 7 1,4 1 65, 6 (4.8) cujo polinômio característico é ao por: , 8 9, 1 3, 1 1,36 1 (4.9) Resolveno a Equação (4.9), têm-se as três frequências naturais e os respectivos moos e vibração que são apresentaos na Tabela 4.. Estes valores foram corroboraos pelos valores obtios por F. Mohri, L. Azrar e M. Potier- Ferry (1). I. Tabela 4.: Frequências naturais (ra/s) e moos e vibração a seção Moo ω o (ra/s) Componentes Direção (v o ) Direção (w o ) Direção (θ o ) F 19,9 1,,, F 397,46, 1,, T 163,671,, 1, As cargas e bifurcação são obtias a partir o eterminante: K e 5 7,81 1 P 7 P KG 1,4 1 P (4.3) 9136, 77 -,P que leva ao seguinte polinômio característico: , P,14 1 P 4, 59 1 P,36 1 (4.31)

8 6 Resolveno a Equação (4.31) têm-se as três raízes e os respectivos autovetores apresentaos na Tabela 4.3. A carga crítica (P cr =78,7kN), correspone a um moo e flambagem e flexão em torno o eixo e menor inércia. Note-se também que, neste caso, a carga crítica coincie com a carga crítica e Euler. Tabela 4.3: Cargas e moos e bifurcação a seção I. Moo Pcr. (kn) Componentes Direção (v o ) Direção (w o ) Direção (θ o ) F 78,7 1,,, F 136,, 1,, T 1757,,, 1, Para estuar a variação as frequências naturais em função a carga axial aplicaa utilizasse o seguinte eterminante: ( K P K ) M (4.3) e G A Figura 4. mostra a variação as três frequências com a carga axial compressiva P. À meia que o valor a carga e compressão aumenta, os valores as frequências iminuem até chegar à carga crítica em caa moo. Nota-se que há uma grane influência o carregamento nas frequências e vibração. Para efeito prático, quano se atinge a primeira carga crítica, um os autovalores se torna negativo e ocorre a flambagem, passano a estrutura a vibrar em torno e uma configuração e equilíbrio pós-crítica. Precisa-se, portanto, e uma formulação não linear para a análise este problema.

9 63 Figura 4.: Relação carga frequência e vibração a Seção I. A carga crítica e a frequência natural variam e forma não linear com o comprimento a coluna. A Figura 4.3 mostra a variação as cargas e bifurcação o perfil e as três frequências naturais com o comprimento a viga L. O moo crítico epene a imensão as secções e também o comprimento a viga. Como esperao, tanto as frequências quanto as cargas e bifurcação ecrescem à meia que L cresce. a) Carga - Comprimento b) Frequência - Comprimento Figura 4.3: Relação carga comprimento (a) e Relação frequência natural comprimento (b) a viga e Seção I.

10 Seção monosimétrica - perfil T. A Figura 4.4 apresenta uma seção monosimétrica em T. Na Tabela 4.4, apresentam-se as imensões e as principais proprieaes geométricas o perfil aqui analisao. Figura 4.4: Perfil monosimétrico T e suas imensões características. Tabela 4.4: Proprieaes geométricas a Seção T. Proprieaes Geométricas b = 1, cm A = 18,776 cm h = 19, cm J = 3,136 cm 4 t f =,85 cm I w = 36,4 cm 6 t w =,56 cm I y = 717,59 cm 4 y c =, cm I z = 71,1 cm 4 z c = 5,1 cm I r =,59E-7 m 6 As equações e movimento obtias para este perfil são: 3, 74 v 1, ,55v (4.33) t t 5 w w 3,74 9,96 1 (4.34) t 1, 36 v, , 36 (4.35) t t Note-se que a Equação (4.34) é esacoplaa e as emais tem um acoplamento geométrico que epene o parâmetro z c.

11 65 As frequências naturais são obtias a partir o eterminante: 914,513, 74 1, 4 9,9 1 3,74 1,4 537,4-1,16 5 K M e (4.36) Resolveno a Equação (4.36) têm-se as três raízes que são as frequências naturais e os moos e vibração mostraas na Tabela 4.5. Verifica-se que há um moo e flexão relativo ao eixo e maior inércia (Equação esacoplaa (4.34)) e ois moos e flexo-torção. Tabela 4.5: Moos e vibração a seção T. Moo ω o (ra/s) Componentes Direção (v o ) Direção (w o ) Direção (θ o ) FT 59,1,,91,415 F 197,869-1,,, FT 168,349, -,998,6 As cargas críticas são obtias a partir e: 914,51 P,5P G 9,3 P (4.37), 5P 537,4 -,1P 5 K P K 1 e Resolveno a Equação (4.37) têm-se as três raízes que são as cargas e bifurcação os moos e flambagem apresentaos na Tabela 4.6. Neste caso observa-se que tanto a frequência natural funamental quanto a carga crítica corresponem a um moo acoplao e flexo-torção envolveno os eslocamentos v o e θ o. Note-se também que a carga crítica é aproximaamente 9% a carga crítica e Euler para flambagem por flexão em torno o eixo e menor inércia. Este ecréscimo se eve à interação entre flexão e torção que iminui a capaciae e carga o perfil.

12 66 Tabela 4.6: Moos e Flambagem a seção T. Moo Pcr. (KN) Componentes Direção (v o ) Direção (w o ) Direção (θ o ) FT 8,68,,91,415 F 99,556-1,,, FT 67,879, -,998,6 A Figura 4.5, apresenta a variação a frequência natural com a carga aplicaa para as três ireções o sistema. Figura 4.5: Relação carga frequência e vibração a Seção T. A influência o comprimento a barra nas frequências e vibração e cargas e bifurcação é ilustraa na Figura 4.6. Verifica-se que para L = 4,78 m há uas frequências coincientes, gerano uma ressonância interna 1:1. Poe-se também observar que há outras proporções inteiras entra as frequências naturais, o que poe gerar iversos problemas e ressonância interna. Por exemplo, para L = m tem-se que ω =ω 1 e ω 3 =ω. Para este comprimento também há coinciência e uas cargas e bifurcação. Nesta faixa e valores e L a flambagem sempre ocorre no moo flexo-torsional. O moo e flambagem epene a imensão a seção e também o comprimento a viga.

13 67 a) Carga - Comprimento b) Frequência - Comprimento Figura 4.6: Relação carga comprimento (a) e Relação frequência natural comprimento (b) a viga e Seção T Seção monosimétrica - perfil C. A Figura 4.7 apresenta uma viga simplesmente apoiaa e seção monosimétrica C. Figura 4.7: Perfil monosimétrico C e suas imensões características. este perfil. Na tabela Tabela 4.7, apresentam-se as principais proprieaes geométricas

14 68 Tabela 4.7: Proprieaes geométricas a Seção C. Proprieaes Geométricas b = 1, cm A = 19,5 cm h =, cm J = 1,69 cm 4 t f =,5 cm I w = 1,89E+4 cm 6 t w =,5 cm I y = 136,6 cm 4 y c = -6,8 cm I z = 193,45 cm 4 z c =, cm I r = 3,51E-7 m 6 As equações e movimento para este perfil são: 5 v v 4, 658,56 1 (4.38) t 5 4, 658 w 1,5 1, 6 1 w t t (4.39) 1,5 w, 7 335,879 t t (4.4) Note-se que a Equação (4.38) tem um esacoplamento linear para a ireção v o, e as emais equações têm um acoplamento geométrico que epene o parâmetro y c. As frequências naturais e moos e vibração são apresentaos na Tabela 4.8. Nota-se neste caso que há ois moos e vibração com a praticamente a mesma frequência natural, o que gera uma ressonância interna 1:1. Tabela 4.8: Frequências naturais e moos e vibração a seção C. Moo ω o (ra/s) Componentes Direção (v o ) Direção (w o ) Direção (θ o ) F 1,811 1,,, FT 3,546,,16 -,987 FT 1,39, -,1 -,999 As cargas críticas e os respectivos moos e flambagem são mostraos na Tabela 4.9 Novamente têm-se uas cargas e bifurcação próximas, o que poe levar a um acoplamento moal com pera e rigiez e, consequentemente, uma iminuição a capaciae e carga na presença e imperfeições geométricas iniciais.

15 69 A Figura 4.8 mostra a variação as frequências naturais com a carga compressiva axial. Nota-se que a ressonância interna ocorre inepenente o valor a carga, manteno-se a relação ω =ω 1. Tabela 4.9: Cargas e moos e bifurcação a seção C. Moo Pcr. (kn) Componentes Direção (v o ) Direção (w o ) Direção (θ o ) F 5,59 1,,, FT 565,76,,16 -,987 FT 58,51, -,1 -,999 Figura 4.8: Relação carga frequência e vibração a Seção C. a) Carga - Comprimento b) Frequência - Comprimento Figura 4.9: Relação carga comprimento (a) e Relação frequência natural comprimento (b) a viga e Seção C.

16 7 A Figura 4.9 mostra a variação as cargas criticas e flambagem o perfil e seção C, e as frequências naturais com o comprimento a viga L. Verificase que em toa a faixa e L analisaa a interação moal poe ocorrer em virtue a proximiae e cargas e frequências tanto em problemas estáticos quanto inâmicos Seção monosimétrica - perfil L. A Figura 4.1 apresenta uma viga simplesmente apoiaa e seção monosimétrica L. Figura 4.1: Perfil monosimétrico L e suas imensões características. Na Tabela 4.1, apresenta as proprieaes geométricas este perfil. Tabela 4.1: Proprieaes geométricas a Seção monosimétrica L. Proprieaes Geométricas b = 15, cm A = 14,75 cm h = 15, cm J = 1,6 cm 4 t f =,5 cm I w =,4 cm 6 t w =,5 cm I y = 334,54 cm 4 y = -3,68 cm I z = 334,9 cm 4 z = -3,68 cm I r = 1,39E-7 m 6 I yz = -,45 cm 4 Para analisar este exemplo, precisamos que as proprieaes geométricas sejam referenciaas a seus eixos principais e inércia. Para isto eve-se utilizar as seguintes formulações:

17 71 Tan I y I I yz z / I y I z I y I z Imax I min x x cos y sin p y y cos x sin p yx (4.41) (4.4) (4.43) Substituino os valores a Tabela 4.1 nas Equações (4.41)-(4.43), obtêmse as seguintes proprieaes listaas na Tabela Tabela 4.11: Proprieaes geométricas principais a Seção monosimétrica L. Proprieaes Geométricas nos Eixos Principais y c = -5,1 cm I max = 534,99 cm 4 z c =, cm I min = 134,9 cm 4 γ = 45, As equações e movimento fornecias para este perfil são: 5 v v 18, 651 1, (4.44) t 5 18, 651 w,971 6,93 1 w t t (4.45),971 w,135 1, 79 t t (4.46) Note-se que a Equações (4.44) - (4.46) tem um acoplamento linear geométrico que epene o parâmetro y c. Resolveno o problema e autovalor têm-se as três raízes que são as frequências naturais com as quais se poem calcular os moos e vibração mostraos na Tabela 4.1.

18 7 Tabela 4.1: monosimétrica L. Frequências naturais e moos e vibração a seção Moo ω o (ra/s) Componentes Direção (v o ) Direção (w o ) Direção (θ o ) F 96,54 1,,, FT 53,95,,1 -,993 FT 83,445, -,1 -,999 As cargas críticas e os moos e flambagem este perfil são apresentaos na Tabela A relação frequência natural versus carga axial é apresentaa na Figura L. Tabela 4.13: Cargas e moos e bifurcação a seção monosimétrica Direção Pcr. (kn) Moos e Flambagem Direção (v o ) Direção (w o ) Direção (θ o ) F 173,698 1,,, FT 1,591,,1 -,993 FT 19,87, -,1 -,999 Figura 4.11: Relação carga frequência e vibração a Seção monosimetrica L.

19 73 a) Carga - Comprimento b) Frequência - Comprimento Figura 4.1: Relação carga comprimento (a) e Relação frequência natural comprimento (b) a viga e Seção monosimetrica L. A Figura 4.1 mostra a variação as cargas criticas e bifurcação o perfil L em função o comprimento a viga. Poe-se observar que até um comprimento L = 4.51m a flambagem ocorre para um moo e flexão puro, mais para valores maiores o comportamento é flexo-torsional. Muança semelhante ocorre no moo associao à frequência e vibração mínima. Assim como o perfil e seção C, para certos comprimentos há a possibiliae e ressonância interna e interação moal Seção assimétrica - perfil L. Finalmente neste último exemplo analisa-se o problema referente a uma seção assimétrica. A Figura 4.13 apresenta uma viga com seção transversal assimétrica L. Figura 4.13: Perfil assimétrico L e suas imensões características.

20 74 A Tabela 4.14 apresenta as proprieaes geometricas este perfil. Tabela 4.14: Proprieaes geométricas a Seção assimétrica L. Proprieaes Geométricas b = 7,5 cm A = 11, cm h = 15, cm J =,93 cm 4 t f =,5 cm I w = 1,391 cm 6 t w =,5 cm I y = 66,13 cm 4 y = -1, cm I z = 48,6 cm 4 z = -4,9 cm I r = 7,1E-8 m 6 I yz = -64,879 cm 4 Utilizano as Equações (4.41) a (4.43) o exemplo anterior, obtêm-se as proprieaes geométricas com relação a seus eixos principais e inércia tal como mostra a Tabela L. Tabela 4.15: Proprieaes geométricas principais a seção assimétrica Proprieaes Geométricas nos Eixos Principais y c = -,45 cm I max = 83,97 cm 4 z c = -4,41 cm I min = 3,167 cm 4 γ = 15,374 As equações e movimento fornecias para este perfil são: 13,99 v, , 897v t t (4.47) 5 13,99 w,341 3, w t t (4.48), 613 v,341 w, , 65 t t t (4.49) Note-se que as Equações (4.47) a (4.49) tem um acoplamento linear geométrico em nas toas as ireções e que epenem o parâmetro y c e z c. As frequências naturais e moos e vibração são obtios a partir o problema e autovalor:

21 ,89 13,91,61 3, ,91,34, 61,34 753,6 -,7 5 K M e (4.5) Seno os resultaos apresentaos na Tabela 4.16 one se observa que, em função a assimetria a seção, toos os moos são e flexo-torção. Tabela 4.16: Moos e vibração a seção assimétrica L. Moo ω o (ra/s) Componentes Direção (v o ) Direção (w o ) Direção (θ o ) FT 1,58 -,54 -,998 -,3 FT 196,654,47,996 -,77 FT 5,73,344 -,939 -, As cargas críticas são obtias e: 3977,89 P,4P Ke P KG P, P (4.51), 4P, P 753,6 -,1P 5 3, 691 Os resultaos são apresentaos na Tabela 4.17, one, novamente, toos os moos são e flexo-torção. Tabela 4.17: Moos e Flambagem a seção assimétrica L. Moo Pcr. (kn) Componentes Direção (v o ) Direção (w o ) Direção (θ o ) FT,6 -,54 -,998 -,3 FT 537,915,47,996 -,77 FT 34,875,344 -,939 -, Os resultaos os iversos exemplos mostram que, em virtue as características geométricas os perfis esbeltos e seção aberta e assimétricas, a interação entre flexão e torção sempre ocorre, seno em muitos casos a carga crítica e a frequência funamental associaa a um moo e flexo-torção. Também, em virtue as características geométricas estas estruturas, perfis com moos e

22 76 flexão e flexão-torção com a mesma carga crítica poe ocorrer gerano o fenômeno e interação moal. Frequências iguais também poem ocorrer gerano uma ressonância interna 1:1. Finalmente varias relações o tipo ω i /ω j =n com n inteiro poem ser observaas na presente análise paramétrica, mostrano a possibiliae e iversas ressonâncias internas. Estes problemas e interação moal se tornam aina mais importantes quano se consieram nas barras esbeltas os acoplamentos evios as não lineariaes geométricas e excentriciaes a carga com relação ao centro e cisalhamento, assunto aborao no próximo capítulo a issertação.