J. Oliver 1, A. E. Huespe 1, M.D.G. Pulido 1 e E. Chaves 1 RESUMO

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1 '(/$ '(),85$((758785$'(&&5(7 (',$7(8$$5;,$ '('(&7,8,'$'( )57( J. Oliver, A. E. Huespe, M.D.G. Pulio e E. Chaves RESUMO Apresenta-se uma breve escrição e moelos e ano contínuo, consierano-se uma cinemática que contempla a formação e escontinuiaes fortes (salto no campo e eslocamentos), expressano-se também as conições e bifurcação necessárias. Deuz-se o moelo constitutivo iscreto (traçãosalto) inuzios pelo moelo contínuo e ano (tensãoeformação), constatano-se uma estreita relação entre a Mecânica o Contínuo e a Mecânica a ratura nos processos e localização. Através e uma série e exemplos expõe-se a aplicabiliae o métoo apresentao ao problema e fratura em materiais frágeis (particularmente em concreto), ressaltano principalmente a capaciae e escrever o avanço e uma fissura arbitrária, no processo e evolução a carga, cuja ireção vem eterminaa pelo estao tensional e caa ponto.,75'8 Uma série e trabalhos e Oliver e colaboraores [-], apresentam um moelo para simular numericamente o fenômeno e concentração e eformações e formação e fissuras em meios sólios. Um os ingreientes básicos consiste na introução e uma cinemática que contempla campos e eslocamentos e eformações escontínuos. Esta cinemática impõe o ponto e vista numérico uma regularização aequaa para parâmetros o material e os GLHUHQWHVDPSRV GHRUPDções, variáveis internas como eformação, etc. TXHGHVUHYHP o problema. O moelo é complementao com a introução e elementos finitos aequaos para escrever a cinemática escontínua (elementos enriquecios). No trabalho [] é euzia uma série e conições que impõe, no instante o surgimento a escontinuiae, restrições ao campo e tensões. Embora tais conições não estejam explícitas no moelo constitutivo, revelam-se importantes, por que a violação as mesmas gera um comportamento anormal na resposta numérica. Tenta-se aqui, mostrar a aplicabiliae este moelo em problemas e fratura e materiais frágeis (particularmente em concreto), utilizano uma reposta constitutiva e ano isótropo. Universitat Politècnica e Catalunya, UPC., E.T.S. e ngenieros e Caminos, Canales y Puertos Campus Nor, UPC, Móulo C, Gran Capitán, s/n, 84 Barcelona, Espanha

2 Por isso, o principal interesse centra-se nos exemplos numéricos que serão apresentaos na seguna parte este trabalho. Na primeira parte se apresenta, resumiamente, as características funamentais o moelo tomano como referência os trabalhos [-4]. '(/&7,787,9'('$ Os moelos e ano têm-se mostraos úteis para simular os processos e egraação macroscópica que sofre o concreto causao pela coalescência e microfissuras. Apresentamse a seguir uas relações constitutivas, no contexto as eformações infinitesimais, e ano contínuo e isótropo. Ambas utilizam como variável um escalar G (ano). O primeiro, representa um comportamento simétrico tanto a esforços e tração como e compressão. No seguno, a variável G só evoluciona com esforços e tração, e será enominao e moelo Vy WUDomR. RGHOR,VyWURSRGHGDQRRQWtQXR Seja a energia e eformação ϕ e a variável e ano G efinias como: T ϕ( U, ε) = ( G) ϕ ; G = U one ε é a eformação, ϕ a energia e eformação o material virgem ϕ = ε : : ε com = λ ( ) µ, o tensor constitutivo elástico λ e µ parâmetros e Lamé e,, RVWHQVRUHVLGHQWLGDGHGHVHJXQGDHTXDUWDRUGHPUHVSHWLYDPHQWH GDQR G [,] com a conição G = para o material virgem, é eterminao através a variável interna U, a qual efinimos sua lei e evolução e conição inicial = λ U = U ; = U W As variáveis conjugaas, a tensão σ e T, resultam eterminaas pelas seguintes equações e estao: T T σ = σ = : ε ; T = U U U one σ é chamaa e tensão efetiva. De (4-b), cumpre a função e um móulo e enurecimento ( > ) ou amolecimento ( < ). O moelo fica completamente efinio com as seguintes equações e complementarieae: λ ; ( σ, T) = σ : : σ T = σ T ; λ = RGHORVy7UDomR Este seguno moelo é erivao o anterior. A evolução e U ativa-se ( U > ) só com tensões principais e tração. σ σ σ = σ Q i Q L i Domínio elástico σ (a) (b) )LJMoelo só tração. D Representação o omínio elástico no espaço as tensões principais ( σ, σ ); E representação D a resposta ( σ, ε ); critério que efine o omínio elástico ε (c) ( σ, T) = σ : : σ T

3 Com isso, tenta-se uma aproximação mais real o comportamento o concreto. As equações (-4) e (5-a,5-c) resultam iguais para este moelo; mas a região elástica (5-b) é efinia com o critério que mostra a igura -c, one σ, Q L L são as tensões principais e os autovetores o tensor e tensões respectivamente. Enquanto que a função é o parêntesis e MacAuley: =.. $È/,( '( %,)85&$ 87,/,=$' $ &,(È7,&$ '( '(&7,8,'$'()57( Uma as ificulaes que surgem na moelagem os materiais com amolecimento, é a presencia marcaa e pontos singulares na curva e equilíbrio e que corresponem a moos e bifurcação escontínua. Este tipo e bifurcações poem ser aproveitaas para obter informação útil na escrição o fenômeno e fissuração, como por exemplo eterminar o instante e início e fissura e a orientação que aota. A essência a análise e bifurcação consiste em eterminar o ponto singular a trajetória e equilíbrio e a rama secunaria na qual uma solução alternativa corresponente a um moo escontínuo e eformações (bifurcação escontínua) é amissível, e eterminar a suas caraterísticas. Esse instante associa-se ao momento a formação e uma fissura. Neste caso a análise poe ser realizaa como se segue. ntrouz-se uma cinemática com um campo e velociaes escontínuo, ao por: [ Ω X( [) = X( [) ([) & X( [) ; ([) = [ Ω one X & e X& são campos e velociae contínuos e regulares, suficientemente suaves, enquanto que é a função e Heavisie efinia nos omínios isjuntos o corpo ( Ω e Ω ) separaos por uma superfície material. Na igura é mostrao uma representação D o campo proposto. Observa-se que o seguno termo e () correspone ao valor o salto o [ =. campo e velociaes em, y cuja magnitue é X& ( ) X X& X = X X& Ω )LJXUD: Representação D o campo e velociaes para o moelo e escontinuiaes fortes. Neste caso correspone a um ponto [ o omínio Ω. X& Ω X& A taxa e eformação associaa a este campo e velociae resulta na seguinte função generalizaa: V\P ε = [ X = ε δ X V\P V\P Com uma parte regular ε = X X mais outra não regular, eterminaa pela istribuição e Dirac ( δ ). A normal à superfície e escontinuiae, resulta a erivaa material generalizaa a função salto. V\P

4 No ponto one é amissível a existência esta eformação, a equação e balance e forças requer que o vetor e tração W atuano sob o área cuja ireção normal é, e sua taxa ( W = σ Ν VHMDRQWínua em em sua vizinhança. sto é: que eve verificar a equação W & = W W = ; seno W e W a taxa os vetores e tração em e no ponto imeiatamente vizinho, respectivamente. Levano em consieração esta circunstância e assumino que, no momento e se prouzir a bifurcação, o tensor constitutivo o material não mua nas vizinhanças o ponto, resulta que & W = = X& = T X& S Seno o tensor constitutivo tangente o material e T S o tensor e localização (tensor acústico). Para o material isótropo com ano apresentao na seção preceente, são efinios: T U T T U T = ~ σ σ ; TS = ~ σ σ U U U U Da equação (8), o vetor X& resulta também o autovetor o tensor e localização associao a um autovalor nulo. Deste moo, no processo e carregamento a estrutura, surge pela primeira vez a possibiliae e bifurcação escontínua num ponto, quano o mínimo os autovalores o tensor e localização seja nulo. sso equivale a resolver a equação et( ~ T S ) = para a ireção que faz máximo o ; este é justamente o aspecto a ressaltar. Sob certas conições, mas não seno o caso geral, a ireção e eterminaa anteriormente, a qual é normal a propagação a fissura, coincie com a ireção a eformação principal máxima; critério que é normalmente aotao em outros métoos a mecânica a fratura. $QiOLVH GH GHVRQWLQXLGDGHV RUWHV 5HJXODUL]DomR H &RQGLo}HV GH 'HVRQWLQXLGDGH)RUWH No tratamento numérico, a equação (7) eve ser regularizaa. Seja o omínio e espessura finita que contém a, efine-se uma função e posição µ e uma eformação regularizaa V\P µ [ Ω / ε & = ε& X ; µ = [ Para, a cinemática recupera a característica e uma escontinuiae forte. Deste moo atua como um parâmetro e regularização e poe ser visto como a espessura a bana. Consiera-se o seguinte proceimento: introuzino um no momento e etectar bifurcação, faz N (one N << ) na meia que o processo evolui. Consiera-se que para um tempo W = W seno W o instante e inicio a escontinuiae forte, resulta então ser = N. Vejamos quais são as conseqüências que surgem na equação constitutiva epois e introuzir esta cinemática. Da integração a equação () no tempo, para W W, se poe obter que: µ ε ( ) V\P W = ε β W N O termo ε resulta a integração o primeiro termo e () até o tempo W mais a o seguno termo até o tempo W = W. Enquanto que o seguno termo e () é a integração o seguno

5 termo e () entre W e W, com isso: β = X X W W=. É possível mostrar que ε resulta W limitao. Com a eformação no tempo W, evalua-se a tensão: T µ V\P σ = ε ( β ) U N Por outro lao, observa-se que o vetor e tração W é limitao no tempo, e implica que σ é limitao (ver Oliver []). Então a equação (), e o fato que lim σ, impõe que lim U = α ( < α < ). Poe-se mostrar que U segue uma lei o tipo: N α U = U ; W W W N seno U ( W ) = U e α uma variável limitaa e monótona ( α ( W ) = ). Da equação () e o fato que T é limitaa ( T [, U ]), a equação (4-b) eve ser regularizaa efinino um móulo e abranamento intrínseco = N O vetor e tração, epois e um tratamento algebraico a equação (), resulta T T e W > = ( ) β = T β W W α α que é uma equação iscreta WUDomRVDOWR. Obteno β e (4) e substituino em (), obtémse uma relação o tipo: T e ( σ ) > = ( ) β = ( ) ( T ) W = P W = P W W U σ U W W α e mostra que a tensão em é eterminaa pelo vetor e tração na vizinhança a escontinuiae. Esta relação resulta univocamente efinia quano se acrescentam as três restrições implícitas que eterminam a primeira igualae em (5) e que são evias à estrutura particular o tensor ( β ) V\P. Denominamos a estas três restrições implícitas ³&RQGLo}HVGH'HVRQWLQXLGDGH)RUWH ([]), uma vez que se evem verificar no instante e bifurcação para amitir a cinemática escrita por (). (QHUJLDGHUDWXUD&DOLEUDJHP A energia issipaa :' no processo e egraação o material, quano se alcança a relaxação total as tensões, é a integração no volume e no tempo a issipação = σ ε = T U G. É ireto mostrar que resulta : = * GΩ, com omínio e integração na superfície, seno UR W * = = ( one é a máxima tensão obtia num ensaio e tração simples, ( é o móulo e Young. W Enfatiza-se que a equação () foi obtia para um móulo e amolecimento constante, assumino que só houve issipação na região e escontinuiae. Deste moo * representa a energia issipaa (ou liberaa) por uniae e superfície a fissura consoliaa, o mesmo sentio ao em fratura a mecânica ao conceito e energia e fratura. ' N

6 c.) Malha cg (kn) D E 5 4 malha if malha f malha cg,,,,4,5,,7,8,9 8 G (cm) c.) Malha f (kn) k = E - k = E - k = E -4 k = E -5,5,,5,,5,,5,4 c.) Malha if H (cm) )LJXUD Placa com entalhe em estao plano e tensão, D imensões e cargas aplicaas, E isolinhas e eslocamentos ao final o analise mostrano a concentração evio a consoliação a fissura, três malhas e elementos finitos simulaas, ) curvas vs. (apertura o extremo a entalha) para as três malhas, G curvas vs. para iferentes valores o parâmetro N. A área compreenia pelas curvas força-eslocamento (ensaio uniaxial) para os casos e tensão e eformação plana, representa * vezes a área a fissura. Tem-se constao que no caso e tensão plana, e como é e se esperar, não existe iferencia entre as curvas reais obtia versus o valor proposto.

7 $/,&$ (8e5,&$ Apresenta-se a seguir uma série e exemplos numéricos que mostra as possibiliaes o métoo exposto para simular fissuras em moo ou misto. Em toos os casos o material simulao correspone ao concreto. Com o primeiro exemplo, tenta-se mostrar a inepenência a resposta estrutural com uma série e parâmetros e variáveis que entram na formulação o esquema. Os outros exemplos apresentam casos conhecios na literatura, com resultaos experimentais para comparação. Toas as simulações a seguir, tem sio obtias com o moelo só tração. Nos resultaos que se informam, quano o móulo intrínseco é mantio constante e eterminao seguno (), a relação T (U) resulta linear, enominano-se e amolecimento linear. Por outro lao, ao aotar uma relação linear (T) o tipo = ( U / * ) T, resulta ser T uma função exponencial e U enominaa e amolecimento exponencial. Tem-se utilizao um esquema e continuação para o traçao a curva e equilíbrio. Observa-se em geral, em coinciência com Rots [4], que quano a fissura propaga-se em zigzag, a curva e equilíbrio mostra pequenos ³VQDSEDN. A sua solução etalhaa, em algúns casos, resulta custosa o ponto e vista computacional. DODDSODQDHPPRGR, oi simulaa uma placa plana em estao plano e tensão, cuja geometria e conições e contorno são mostraos na igura -a. oram aotaos os seguintes parâmetros o material: móulo e Young ( =. D ; móulo e Poisson µ =. ; energia e fratura * =. - / P e a tensão última W. D =. A espessura a placa é.58p Pretene-se ressaltar em particular, a clara inepenência os resultaos respeito a malha e elementos finitos (tamanho o elementos e orientação a malha) utilizaa e ao parâmetro N (a espessura e no regime e escontinuiae forte). A igura - mostra a curva esforço vs. a abertura o extremo a entalha para três malhas: uma grossa e outras uas com refinamento em iferentes ireções (igura -c). A mesma relação é mostraa nas curvas a igura -e para iferentes valores o parâmetro N. A igura -b apresenta iso-linhas e eslocamento total, que ilustra a trajetória a fissura consoliaa, seno o traçao, similar para toas as malhas simulaas. EODDSODQDRPDUJDVGLDJRQDLV A mesma placa o caso anterior agregano cargas ) na iagonal (igura 4-a), também em estao plano e tensão, mostra uma fissura que se propaga oblicuamente. A relação ) / ) é aproximaamente. mantia constante, aumentano ambas monotonamente até que a força iagonal alcança.78kn. Posteriormente, a carga na iagonal é mantia constante e a apertura G aumentano em forma controlaa. obashashi e colaboraores obtiveram resultaos experimentais para este teste, DSXG Rots [4] e one foram obtios os valores e comparação a igura 4-. Aqui também, a igura 4- mostra que os resultaos, obtios com um abranamento exponencial, são bem aproximaos aos experimentais, embora a carga limite seja superior.

8 O traçao a fissura, como se observa na igura 4-b com as iso-linhas e eslocamento total, coincie com os publicao por Rots []. D (kn) E Resultaos experimentais Resultao teórico 4,,,,4,5,,7 G (cm) )LJXUD placa sob esforços iagonais em estao plano e tensão. D geometria e conições e contorno, E iso-linhas e eslocamento, malha e elementos finitos, G curva força vs. G (abertura o extremo a entalha) D9LJDVXEPHWLGDDOH[mR Uma viga em flexão com entalha, como se mostra na igura 5-a, em estao plano e tensão, é apresentaa a seguir. A fissura mostra uma propagação em moo, como se observa na igura 5-b, one se mostra a eformaa no final a análise. Os resultaos a igura 5-c foram obtios com ois tipos e amolecimento. O corresponente ao amolecimento exponencial coincie bem com a carga limite os resultaos experimentais. Embora estes, não sejam apresentaos na figura. Mas para o caso e amolecimento linear, esta carga é evaluaa com um valor muito alto, se bem que mostra uma flexibiliae maior no regime post-crítico. E9LJDHPRUWDQWHRPXPDHQWDOD Neste caso foi simulaos uma viga em estao plano e tensão submetia a esforços em quatro pontos, como se apresenta na igura -a. O material: ( = 88. D, µ =. 8, * =. - / P e W. 8D =, espessura.5. P. Nos resultaos experimentais, a carga

9 y δ foi imposta com um sistema muito rígio e palancas seguno a análise e Arrea e colaboraores, ver os trabalhos e Bhattacharjee HWDO[5] e e Rots[4]. E= 58.MPa µ =. G= f..j/m Espessura=.m σu= 4. MPa δ.m. N Ã > ),,9,8,7 Amolecimento linear Amolecimento exponencial,. m. m D,5,4,,,,,,,4,,8,,,4, δ >P@ G E )LJXUD viga submetia a flexão, Dimensões geométricas, conições e contorno e aos, E eformaa, curvas esforço vs. eslocamento o ponto e aplicação a carga. O perfil a fissura, como mostrao na igura -c, como também a carga e pico mostraa utilizano amolecimento exponencial, estão em excelente acoro com os resultaos experimentais. δ D P (kn) E G δ (E- - cm) )LJXUD Viga em cortante com entalha simples, D moelo: geometria e cargas aplicaas, E malha e elementos finitos utilizaa no moelo, iso-linhas e eslocamento total que mostram a fissura consoliaa, G curva esforço P vs. eslocamento relativo vertical entre os pontos enfrentaos a entalha ( δ ).

10 Ressalta-se o fato que neste caso é possível conseguir uma resistência estrutural aproximano-se a zero, como se observa na igura- que mostra a curva esforço ) vs. abertura vertical o extremo a entalha. sto implica uma separação genuína o corpo prouzia pela fissura. &&/8 ( oi apresentao um moelo que proporcionou à solução e alguns problemas e propagação e fissuras. O moelo é geral, no sentio que poe ser utilizao para simular escontinuiaes fortes com outros comportamentos constitutivos, por exemplo, a moelação em materiais úcteis e linhas e eslizamento (³VOLSOLQHV ). Embora aqui só mostramos a sua aplicação a fissuração o concreto. Da formulação o moelo, foi feita uma breve introução com o intuito e motivar a parte e aplicações. Desta primeira parte o trabalho se preteneu salientar o conceito e conições e escontinuiae forte, no entanto, uma escrição aprofunaa poe ser encontraa nas referências citaas. Das vantagens que se consiera relevante ressaltar o moelo são as seguintes: basicamente um moelo e contínuo permite a moelação e um fenômeno essencialmente iscreto. Em particular o mesmo moelo constitutivo o contínuo é utilizao para a moelação a resposta tensão-eformação no interior a região em processo e fratura. Assim a relação iscreta tração-salto e eslocamento obtia, é completamente consistente com a o contínuo; o elemento finito melhorao que é utilizao na simulação numérica, embora não apresentao neste trabalho (ver Oliver []), permite o traçao correto a fissura sem necessiae e conhecer DSULRUL o mesmo. nclusive com caminhos em zig-zag. Também não requer e remalhaos, na meia que a fissura progrie. inalmente os resultao mostram-se inepenentes a orientação a malha respeito à ireção e propagação a fissura; a regularização a reposta constitutiva (a introução e um moulo e abranamento intrínseco) resulta num esquema inepenente o tamanho o elemento finito. Algumas estas vantagens foram mostraas nos exemplos apresentaos na última seção este trabalho. 5()(5Ç&,$ [] Oliver, J., On the iscrete constitutive moels inuce by strong iscontinuity kinematics an continuum constitutive equations, aceito para publicação em,qw-rolgv WUXW [] Oliver, J. an Pulio, M.D.G. On the use of strain-softening amage constitutive equations to moel cracking of concrete &RPSXWDWLRQDO RGHOOLQJ R &RQUHWH WUXWXUHV, Euro-C 998 Conference, Bagastein, Austria, March- April, 998. [] Manzoli, O. Un moelo analítico y numérico para la simulación e iscontinuiaes fuertes en la mecánica e sólios. 7HVLV'RWRUDO, Dpto. e Resistencia e Materiales y Estructuras en la ngeniería, Universitat Politècnica e Catalunya, 998. [4] Rots J.G, &RPSXWDWLRQDO RGHOOLQJ R &RQUHWH )UDWXUH, PhD Thesis, Delft Univ. Tech., 988. [5] Bhattacharjee S.S., Léger P., ³Crack in concrete gravity Dams, -WUXW(QJ $&(, Vol, N.4, pp.55-7, 994 [] Oliver J ³Moelling strong iscontinuities in solis mechanics via strain softening constitutive equations. Part Numerical simulation,,qw-xphw(qj vol9,-, 99.