Formulação de fenda discreta embebida para análise tridimensional de fratura em materiais quase-frágeis

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1 a Formulação e fena iscreta embebia para análise triimensional e fratura em materiais quase-frágeis Three-imensional fracture simulation of quasi-brittle materials using an embee iscrete crack approach Carlos Octávio Daniel Dias-a-Costa Jorge Alfaiate Euaro Júlio Resumo A aboragem e fena iscreta tem ganho caa vez mais importância para a moelação o comportamento até à rotura e materiais quase-frágeis, como o betão ou as alvenarias. Este facto eve- -se sobretuo às vantagens intrínsecas a este tipo e aboragem quano comparaa com a aboragem e fena istribuía, nomeaamente no que iz respeito à inepenência a malha e elementos finitos. As formulações e escontinuiaes embebias eistentes consieram locais os graus e liberae aicionais, evios às escontinuiaes, o que faz com que não seja garantia a continuiae e tensões e aberturas nos nós as escontinuiaes. Neste artigo apresenta-se a 3D Discrete Strong Discontinuities Approach (3D-DSDA), esenvolvia com o objetivo e simular o comportamento e elementos triimensionais até à rotura. Foram simulaos alguns eemplos com o objetivo e valiar a formulação esenvolvia. Os resultaos obtios com base na 3D-DSDA foram comparaos com resultaos e ensaios eperimentais e e simulações efetuaas consierano uma formulação biimensional e escontinuiaes fortes embebias. Abstract The use of the iscrete crack approach to moel the fracture behaviour of quasi-brittle materials, such as concrete or masonry, has increase significantly. This is mainly ue to the intrinsic avantages of this kin of approach hen compare ith the smeare crack approach, namely in terms of finite element mesh inepenence. The eisting iscrete crack approaches consier the aitional egrees of freeom as local an, therefore, both the iscontinuity jumps an tractions are not continuous along the iscontinuity. In this paper the 3D Discrete Strong Discontinuities Approach (3D-DSDA) is introuce, evelope ith the aim of moelling the 3D fracture behaviour of quasi-brittle materials. Some eamples ere simulate in orer to assess the capabilities of the evelope formulation. The obtaine results using 3D-DSDA ere compare ith those obtaine from both eperimental tests an numerical simulations using a bi-imensional embee strong iscontinuities approach. Palavras-chave: Materiais quase-frágeis / Aboragem e fena iscreta / / Descontinuiaes fortes / Descontinuiaes embebias / / Moelação triimensional e fratura Keyors: Quasi-brittle materials / Discrete crack approach / Strong iscontinuities / Embee iscontinuities / Three-imensional fracture moelling 37

2 Carlos Octávio CERIS, Instituto Superior Técnico Universiae e Lisboa, Portugal carlos.octavio@tecnico.ulisboa.pt Daniel Dias-a-Costa School of Civil Engineering The University of Syney, Austrália ISISE, Departamento e Engenharia Civil Universiae e Coimbra, Portugal aniel.iasacosta@syney.eu.au Jorge Alfaiate CERIS, Instituto Superior Técnico Universiae e Lisboa, Portugal jorge.alfaiate@tecnico.ulisboa.pt Euaro Júlio CERIS, Instituto Superior Técnico Universiae e Lisboa, Portugal euaro.julio@tecnico.ulisboa.pt 1 Introução Nos últimos anos têm surgio algumas aboragens e fissura iscreta embebia que têm como objetivo principal uma correta simulação o comportamento à fratura e materiais quase-frágeis. Atualmente eistem várias técnicas, baseaas em enriquecimento noal ou elementar, que permitem simular o comportamento estrutural quano este é essencialmente biimensional. No entanto, o caso triimensional apresenta aina várias ificulaes, em especial no que iz respeito ao aumento o número e graus e liberae, uma vez que conuz à eterioração o esempenho computacional. Assim seno, não eiste uma técnica estabelecia para simulação e problemas triimensionais, facto que é particularmente importante na análise à rotura e materiais cimentícios na meso-escala, one o carácter triaial o estao e tensão e o processo e microfissuração tem e ser eviamente consierao. Este artigo pretene, assim, apresentar uma formulação triimensional, que correspone à etensão para o caso 3D a Discrete Strong Discontinuities Approach (DSDA) [1, 2], esenvolvia no âmbito a aboragem e fissura iscreta e baseaa na técnica e enriquecimento elementar. Esta formulação permite o enriquecimento e elementos finitos convencionais, através a incorporação e graus e liberae aicionais com o objetivo e meirem a abertura a fissura, seno a transmissão a abertura para os nós o elemento efetuaa consierano movimentos e corpo rígio. A formulação esenvolvia permite aina a simulação e um ao problema utilizano um número significativamente menor e graus e liberae aicionais, quano comparao com técnicas e enriquecimento noal (GFEM ou XFEM) [3]. Acresce que não são necessárias integrações em subomínios o elemento finito fissurao, o que torna a formulação mais simples e implementar. Aviso legal As opiniões manifestaas na Revista Portuguesa e Engenharia e Estruturas são a eclusiva responsabiliae os seus autores. Legal notice The vies epresse in the Portuguese Journal of Structural Engineering are the sole responsibility of the authors. Octávio, C. [et al.] Formulação e fena iscreta embebia para análise triimensional e fratura em materiais quase-frágeis. Revista Portuguesa e Engenharia e Estruturas. E. LNEC. Série III. n.º 5. ISSN (novembro 2017) Formulação variacional e uma escontinuiae forte Nesta secção apresenta-se a cinemática a escontinuiae forte no âmbito a aboragem e fissura iscreta. Consiere-se o omínio Ω (ver Figura 1(a)), no qual G correspone à superfície eterior e G correspone ao plano a escontinuiae, efinino ois subomínios: Ω + e Ω. Assume-se que o carregamento é aplicao e forma estática, incluino forças e volume b e conições e fronteira t e u, as quais são aplicaas, respetivamente, nas superfícies G t e G u. O vetor n é efinio como ortogonal à superfície fronteira, apontano para o seu eterior, enquanto n + correspone ao vetor normal ao plano e escontinuiae, apontano para o interior e Ω +. O campo e eslocamentos totais, u, resulta a soma e uas contribuições: (i) o campo regular e eslocamentos, û; e (ii) o campo e eslocamentos eclusivamente evio à abertura a escontinuiae, ũ, i.e.: u( ) = uˆ ( ) + u ( ) (1) one é a função e Heavisie, assumino 0 ou 1, consoante se esteja em Ω ou Ω +, respetivamente. 38

3 Figura 1 (a) Domínio Ω atravessao por uma escontinuiae forte G ; e (b) Representação o eslocamento ao longo e um corte intersetano a escontinuiae A abertura a escontinuiae, u (ver Figura 1(b)), é obtia aplicano iretamente a Equação (1) a ambos os subomínios: u = ( u + u ) = u (2) Consierano a hipótese e pequenos eslocamentos, o campo e etensões é ao pela equação: + ( ) s u s s s uˆ G u u n G em (3) ε = = + +δ Ω one ( ) s correspone à parte simétrica e ( ) e correspone ao prouto iáico. O equilíbrio o omínio poe ser escrito pelo princípio os trabalhos virtuais, o qual tem a seguinte forma no caso a presença e escontinuiaes [1, 4-6]: Ω\ Ω\ s ( ) ( ) u b u t 0 + δu : σ Ω δ u t G + + δ Ω+ δ G = Gt A Equação (4) é semelhante ao princípio clássico os trabalhos virtuais, teno apenas um seguno termo (aicional), que representa o trabalho realizao pela escontinuiae. 3 Formulação o elemento finito enriquecio Nesta secção são apresentaas as equações iscretizaas para um elemento finito com escontinuiae embebia, bem como o proceimento aotao para transmissão a abertura a escontinuiae. 3.1 Discretização a formulação O omínio W representao na Figura 1 poe ser iscretizao em múltiplos elementos finitos. Na Figura 2 apresenta-se um esses elementos, com omínio W e, conteno uma escontinuiae, G e. A escontinuiae é assumia planar e efinia pelos nós i, j, k e l, sobre as arestas o elemento. (4) Figura 2 Domínio W e atravessao por uma escontinuiae forte G e : (a) configuração ineformaa; e (b) possível configuração eformaa Os eslocamentos o elemento são calculaos rescreveno as Equações (1) e (2) a seguinte forma: ( ) ( ) e e e e e e e u = N a + I H a Ω se (5) ( ) e e+ e e e e = = u u u N a em (6) one N e correspone à matriz as funções e forma o elemento, a e contém os eslocamentos totais noais, ã e representa os eslocamentos noais evios eclusivamente à abertura a escontinuiae, I é a matriz ientiae e H e Γ é uma matriz iagonal obtia pelo cálculo a função e Heavisie para caa um os graus e liberae e caa nó o elemento. Os eslocamentos noais evios à abertura a escontinuiae poem ser escritos a seguinte forma: e ek e a = M (7) one e é um vetor conteno a abertura a escontinuiae em ek caa um os n nós aicionais que a efinem e M é a matriz e transmissão a abertura a escontinuiae aos nós o elemento finito, que se encontra etalhaa na secção 3.2. O campo e etensões o elemento finito é obtio meiante erivação a Equação (5): ( ) ( G ) e e e e e e e ε = B a + I H a Ω se (8) com ( ) ( ) e e e B L N = (9) seno L e o operaor iferencial. Assim seno, poe eterminar-se a tensão no omínio, e forma incremental, utilizano a seguinte equação: ( ) ( G ) e e e e e e e e σ = D B a + I H a Ω se (10) enquanto a tensão na escontinuiae é aa por: e t = T u = T N em G (11) e e e e e e one D e e T e são as matrizes e rigiez tangente o contínuo e a escontinuiae, respetivamente. 39

4 As Equações (5) a (11) poem ser utilizaas para iscretizar a Equação (4), obteno-se o seguinte sistema e equações: K a K = fˆ (12) e e e e e aa a ( ) K a + K + K = f (13) e e e e e e a one: K = B D B Ω (14) aa e e Ω K = B D B Ω (15) a e e Ω K = B D B Ω (16) a e e Ω K = B D B Ω (17) e e Ω K = N T N G (18) e com B = B H M (19) e e e ek G M et 0, 5 2 0, l l l l , , l l l l , 5 2 0, 5 1 l l 1 1,, = l l 2 2 0, 5 3 0, 5 3 0, 5 1 0, 5 2 l l l l l l 1 1 0, 5 2 0, l l 2 2 0, 5, l l l l (23) seno as forças obtias e acoro com as seguintes equações: f = N b Ω+ N t G ˆT e e e e Ω G G t ( ) e e e ek T e = (20) f f H M fˆ (21) f = M H N b Ω+ M H N t G e ekt et et e ekt et et e e e e e e Ω G G (22) Uma vez que a formulação foi euzia iretamente o princípio variacional representao na Equação (4), eiste consistência variacional e a simetria o sistema e equações está garantia sempre que sejam aotaas leis constitutivas simétricas. 3.2 Transmissão os saltos as escontinuiaes Nesta secção é aboraa a forma e transmissão a abertura a escontinuiae para os nós o elemento finito enriquecio. Assume-se que a abertura a escontinuiae ocorre meiante um movimento e corpo rígio, utilizano-se esta hipótese para se obter os eslocamentos nos restantes nós o elemento. Assim seno, utiliza-se a matriz e transmissão M ek (ver Equação (7)), a qual incorpora a possibiliae e translação e e rotação e Ω e+ em relação a Ω e. Esta matriz resulta a avaliação a matriz M e para caa um os nós o elemento finito e posterior acoplamento. A matriz M e poe ser obtia através a rotação a matriz Me, que correspone à matriz e transmissão efinia seguno o referencial local a escontinuiae. A escontinuiae poe ser formaa por 3 ou 4 nós, conuzino a matrizes M e iferentes (ver Equações (23) e (24), respetivamente): M et 0, l 1 0, l 2 0, 5 3 0, 5 3 0, 5 1 0, l l l l , 5 2 l 1 0, 5 1 l (1 λ ) 0 5 (1 λ ) 0 5 l l l l = 0, 5 2 l 1 0, 5 1 l 2 λ λ λ λ l l l l , 5 2 l 1 2,, , l 2 0, 5 3 (1 λ ), λ (1 ) l l l l (24) 40

5 Figura 3 Determinação e: (a) l 1 e l 2 para escontinuiaes e 3 nós; (b) l 1 e l 2, para escontinuiaes e 4 nós; (c) l 1 e λ 1, para escontinuiaes e 4 nós; e () l 2 e λ 2, para escontinuiaes e 4 nós one 1 = 1 i, = i, = i e l 3 1, l 2, l 1, l 2, λ 1 e λ 2 são efinios e acoro com a Figura 3. Na Figura 3(a) é representaa uma escontinuiae e 3 nós, no seu sistema e eios local, e forma a ilustrar a eterminação e l 1 e l 2, enquanto na Figura 3(b) a 3() é representaa a forma e eterminar l 1, l 2, l 1, l 2, λ 1 e λ 2 para uma escontinuiae e 4 nós. Como foi atrás referio, a matriz M e é obtia através a rotação a matriz M e, para o referencial global, a seguinte forma: e T e M = A M,I, (25) 4.1 Viga submetia a fleão em três pontos Nesta secção foi simulao o ensaio eperimental realizao por Petersson [8], e forma a permitir a comparação com o resultao obtio por Dias-a-Costa et al. [3] com a formulação DSDA esenvolvia para o caso biimensional. O ensaio consistiu numa viga e betão submetia a fleão em três pontos, com um vão e 2000 mm e um entalhe ( mm 2 ) localizao na zona e meio- -vão a viga, na parte inferior a secção transversal ( mm 2 ) ver Figura 4. one A correspone à matriz e rotação para o caso triimensional e I é uma matriz ientiae cuja iagonal principal é formaa por n submatrizes A, e acoro com a seguinte equação: A 0 0 A I 0 = 0 0 A 4 Resultaos (26) Nesta secção apresentam-se ois eemplos para testar a formulação esenvolvia. Na secção 4.1, utiliza-se um eemplo e uma viga e betão submetia a fleão em três pontos, enquanto na secção 4.2 se simula uma viga testaa eperimentalmente por Gálvez et al. [7]. Refere-se que se aotou a regra e Neton-Cotes/Lobatto com quatro pontos e integração para o cálculo a rigiez a escontinuiae (Equação (18)) e uma quaratura e Gauss com ois pontos para os restantes termos e rigiez relacionaos com o omínio o elemento (Equações (14) a (17)). Figura 4 Viga submetia a fleão em três pontos esquema estrutural o ensaio (50 mm e profuniae, imensões em mm) Foram utilizaas as seguintes proprieaes para o betão a viga simulaa: móulo e Young E = 300 N/mm 2 ; coeficiente e Poisson ν = 0,2; resistência à tração f t0 = 3,33 N/mm 2 ; energia e fratura G F = 0,11 N/mm; e rigiez normal e e corte para ambas as ireções iguais a 10 5 N/mm 3. Tal como efetuao por Dias-a-Costa et al. [3], a escontinuiae foi prescrita a priori na malha e elementos finitos, conforme ilustrao na Figura 4, e forma a garantir uma correta comparação com a formulação biimensional. Consierou-se aina que a escontinuiae prescrita evoluía em moo-i e fratura e e acoro com uma lei e amolecimento eponencial. A malha e elementos finitos utilizaa (ver Figura 5) para simular o ensaio acima escrito é formaa por 1266 elementos finitos 41

6 heaéricos, compostos por 1928 nós. Tal como na simulação efetuaa por Dias-a-Costa et al. [3], foi utilizao, por questões e convergência, o métoo arc-length com constrangimento, garantino assim um aumento monotónico o eslocamento vertical num os nós e carregamento. 4.2 Viga com fissura inclinaa Nesta secção são apresentaos os resultaos a simulação e um estuo eperimental realizao por Gálvez et al. [7], seno também os resultaos obtios comparaos com os obtios por Dias-a-Costa et al. [3], que utilizou a formulação biimensional e escontinuiaes fortes embebias. Este ensaio consiste numa viga e betão com comprimento e 675 mm e um entalhe (3 75 mm 2 ) localizao na zona e meio-vão a viga, na parte inferior a secção transversal ( mm 2 ) ver Figura 8. Figura 5 Viga submetia a fleão em três pontos malha aotaa para a simulação Na Figura 6 encontra-se representaa a configuração eformaa, para um eslocamento vertical e 1,8 mm, obtia utilizano a formulação 3D-DSDA, enquanto na Figura 7 se encontra apresentaa a comparação entre a resposta obtia e as corresponentes respostas eperimental e numérica utilizano a formulação 2D-DSDA. Figura 6 Viga submetia a fleão em três pontos configuração eformaa para um eslocamento vertical e 1,8 mm Figura 8 Viga com fissura inclinaa esquema estrutural o ensaio (50 mm e profuniae, imensões em mm) De acoro com [7], as proprieaes o betão são as seguintes: móulo e Young E = N/mm 2 ; coeficiente e Poisson ν = 0,2; resistência à tração f t0 = 3,0 N/mm 2 ; energia e fratura G F = 0,0688 N/mm; e rigiez normal e e corte para ambas as ireções iguais a 10 5 N/mm 3. Também neste eemplo a fissura foi prescrita, inclinaa e fazeno um ângulo e 64º com a horizontal, e forma a permitir uma correta comparação com os resultaos obtios por Dias-a-Costa et al. [3], bem como com os resultaos e uma simulação numérica efetuaa pelo autor o trabalho eperimental. Consierou-se aina que a escontinuiae prescrita evoluía em moo-i e fratura e e acoro com uma lei e amolecimento eponencial. A malha e elementos finitos utilizaa (ver Figura 9) para simular o ensaio acima escrito é formaa por 1101 elementos finitos heaéricos, compostos por 1636 nós. Tal como na simulação efetuaa por Dias-a-Costa et al. [3], foi utilizao, por questões e convergência, o métoo arc-length com constrangimento, garantino assim um aumento monotónico a abertura a escontinuiae. Figura 7 Viga submetia a fleão em três pontos comparação o resultao obtio com as respostas eperimental e numérica utilizano a formulação biimensional A conclusão mais importante a retirar é a semelhança eistente entre a curva carga vs. eslocamento obtia com a formulação acima escrita e os resultaos obtios eperimentalmente por Petersson [8]. Deve aina realçar-se o facto e a curva obtia ser praticamente coinciente com a corresponente à formulação biimensional, valiano assim o resultao obtio com a formulação aqui esenvolvia. Figura 9 Viga com fissura inclinaa malha aotaa para a simulação 42

7 Na Figura 10 encontra-se representaa a configuração eformaa, para uma abertura a escontinuiae e 0,5 mm, obtia utilizano a formulação 3D-DSDA, enquanto na Figura 11 se encontra apresentaa a comparação entre a resposta obtia e as corresponentes respostas eperimental e numérica utilizano a formulação 2D-DSDA. Figura 10 Viga com fissura inclinaa configuração eformaa para uma abertura e 0,5 mm as escontinuiaes aos vários nós os elementos finitos que as contêm é feita meiante movimento e corpo rígio. Os eemplos apresentaos, embora sejam simples, permitem a comparação entre a resposta obtia com a formulação esenvolvia e os resultaos eperimentais e numéricos, obtios com uma formulação biimensional e escontinuiaes fortes embebias. Os ois casos estuaos são problemas que poem ser analisaos biimensionalmente, pelo que se fez a comparação os resultaos obtios com a formulação triimensional (3D-DSDA) com os resultaos obtios com a formulação 2D-DSDA. Por outro lao, os resultaos obtios poem ser comparaos com os obtios eperimentalmente por Petersson [8] e Gálvel et al. [7], respetivamente. Verificou-se, em ambos os casos, uma boa concorância entre o resultao a formulação 3D-DSDA e o resultao eperimental, tanto em termos a fase elástica, como a carga e pico e o comportamento pós-pico. Neste momento estão a ser moelaos outros ensaios com vista a uma completa valiação a formulação esenvolvia para um conjunto mais alargao e testes. Agraecimentos Este trabalho foi financiao pela Bolsa e Doutoramento conceia pela Funação para a Ciência e a Tecnologia FCT, com a referência SFRH/BD/85922/2012, por Funos FEDER através o Programa Operacional Fatores e Competitiviae COMPETE e por Funos Nacionais através a FCT no âmbito o projeto No. FCOMP FEDER (ref. FCT PTDC/ECM/119214/2010). Referências Figura 11 Viga com fissura inclinaa comparação o resultao obtio com as respostas eperimental e numéricas [3, 7] Da análise numérica efetuaa eve estacar-se a semelhança eistente entre a curva carga vs. abertura a escontinuiae obtia com a formulação 3D-DSDA e os resultaos numéricos obtios por Dias-a-Costa et al. [3] e por Gálvez et al. [7]. Deve referir-se também a proimiae eistente entre os resultaos obtios e os resultaos os ensaios eperimentais. 5 Conclusões Nesta secção foi apresentaa uma formulação inovaora que permite a simulação e problemas triimensionais consierano escontinuiaes fortes embebias. Esta aboragem possui iversas vantagens, nomeaamente no que iz respeito à simpliciae as equações obtias, que evitam integrações em subomínios, bem como ao reuzio número e graus e liberae aicionais necessários na sua implementação, comparano com outras aboragens. Estes graus e liberae aicionais são também globais, assegurano assim continuiae e tensões nas escontinuiaes, ao longo as fronteiras entre elementos, algo que não é habitualmente conseguio noutras aboragens e enriquecimento elementar. Tal como foi escrito acima, a transmissão a abertura [1] Dias-a-Costa, D.; Alfaiate, J.; Sluys, L.J; Júlio, E. "A iscrete strong iscontinuity approach", Eng. Fract. Mech. 76 (2009) oi: /j.engfracmech [2] Dias-a-Costa, D. Strong Discontinuities in the scope of the Discrete Crack Approach, Universiae e Coimbra, [3] Dias-a-Costa, D.; Alfaiate, J.; Sluys, L.J.; Júlio, E. "A comparative stuy on the moelling of iscontinuous fracture by means of enriche noal an element techniques an interface elements", Int. J. Fract. 161 (2010) oi: /s [4] Malvern, L.E. Introuction to the mechanics of a continuous meium, Prentice-Hall International, [5] Dias-a-Costa, D.; Alfaiate, J.; Sluys, L.J.; Júlio, E. "Toars a generalization of a iscrete strong iscontinuity approach", Comput. Methos Appl. Mech. Eng. 198 (2009) oi: /j.cma [6] Dias-a-Costa, D.; Alfaiate, J.; Sluys, L.J.; Areias, P.; Júlio, E. "An embee formulation ith conforming finite elements to capture strong iscontinuities", Int. J. Numer. Meth. Engng. 93 (2013) oi: /nme [7] Gálvez, J.C.; Elices, M.; Guinea, G.V.; Planas, J. "Mie Moe Fracture of Concrete uner Proportional an Nonproportional Loaing", Int. J. Fract. 94 (1998) oi: /a: [8] Petersson, P.E. Crack groth an evelopment of fracture zones in plain concrete an similar materials, Lun Institute of Technology,

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