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1 ESTUDO SOBRE A APROXIMAÇÃO DE SISTEMAS DINÂMICOS NÃO-LINEARES POR MODELOS QUASE-LINEARES-POR-PARTES Alexanre Kouki Komaa, Rorigo Fontes Souto, Luis Carlos Góes Pça. Mal. Euaro Gomes, n o 50 Instituto Tecnológico a Aeronáutica São José os Campos, SP, Brasil Av. Brg. Faria Lima Embraer SA São José os Campos, SP, Brasil Pça. Mal. Euaro Gomes, n o 50 Instituto Tecnológico a Aeronáutica São José os Campos, SP, Brasil s: alexanre.komaa@gmail.com, rorigo.souto@embraer.com.br, goes@ita.br Abstract This work analyses the approximation of a nonlinear ynamical system by a quasi-piecewise-linear ynamic system. This term is ue to the proposal of approximating the nonlinear behavior of the system by weighte linearize systems previously selecte. The propose approach is applie on the penulum system with a control input an a isturbance. The results are compare with those of the nonlinear moel. Keywors linearization, nonlinear ynamical systems, quasi-piecewise linearization, har stop moeling Resumo Este trabalho faz a análise a aproximação e um sistema inâmico não-linear por um sistema inâmico quasi-linearizao-por-partes. Este termo vem a proposta e se aproximar o comportamento não-linear o sistema pelo comportamento ponerao e iversos sistemas lineares previamente selecionaos. A proposta é aplicaa sobre o sistema o pênulo simples com uma entraa e controle e um istúrbio. Os resultaos obtios são comparaos com os o moelo não-linear. linearização, sistemas inâmicos não-lineares, moelos quase-lineares-por-partes, moela- Palavras-chave gem e batentes 1 Introução A simulação e sistemas inâmicos não-lineares e grane porte poe ser bastante custosa computacionalmente, mesmo com a aplicação e métoos numéricos para sua otimização, tais como aqueles isponíveis em pacotes computacionais como o Matlab: ODE15, ODE15s, ODE45, entre vários outros, caa um teno suas vantagens e esvantagens sobre iferentes moelos. Quano o enfoque a otimização a simulação não está no métoo numérico por trás os algoritmos, mas sim a maneira como o moelo é estruturao, a linearização o sistema para sua simulação nos entornos os pontos linearizaos mostra-se um proposta interessante. Entretanto, neste caso, a região o espaço e estaos one o moelo linear é válio poe ser muito restrita epeneno o sistema e o ponto e operação escolhio. Por outro lao, o moelo linearizao poe ser bem abrangente para outro ponto. Por este motivo, a aproximação o moelo não-linear pela combinação e iversos moelos linearizaos a Linearização por Partes poe ser vantajosa para alguns casos e poe não apresentar bons resultaos para outros. Por exemplo, quano o objetivo a linearização e um moelo por partes não é a otimização a simulação, mas sim o projeto e compensaores por técnicas e controle linear, a linearização por partes e sistemas inâmicos apresenta bons resultaos, como analisao em (Pettit an Wellstea, 1995) e (Shamma an Athans, 1990). O foco este trabalho, no entanto, é uma análise inicial e moelos quasi-linearespor-partes com relação aos ganhos computacionais que eles poem proporcionar na simulação e sistemas inâmicos não-lineares. A referência (Rewieǹski, 2003) propõe uma forma elegante e computar essa combinação e moelos linearizaos por meio a poneração baseaa no vetor e estaos o sistema. Neste caso, a aproximação eixa e ser o tipo linearpor-partes e passa a ser, como mencionao por (Rewieǹski, 2003), quasi-linear-por-partes. A aproximação e sistemas inâmicos não-lineares por sistemas inâmicos linearizaos por partes acaba seno um caso e uma aboragem quasilinear-por-partes. Para transformar o moelo quasi-linear-por-partes em um moelo linear por partes, basta ponerar os iversos sistemas linearizaos combinaos por uma regra o tipo chaveamento, ou seja, atribuir poneração máxima ao moelo linearizao que está mais próximo o vetor e estaos. Como a metoologia propõe uma aproximação os sistemas não-lineares pela somatória poneraa e sistemas lineares, a estrutura obtia

2 aina é não-linear, pois a função e poneração é não-linear e epenente o vetor e estaos. A referência (Rewieǹski, 2003) mostra que o métoo poe reuzir consieravelmente o esforço computacional quano a planta não-linear apresenta um grane número e estaos. Os trabalhos em (Rewieǹski, 2003) e em (Bon, 2010) aplicam com sucesso a aboragem quasi-linear-por-partes em sistemas e grane porte altamente não-lineares. Deve-se enfatizar a istinção entre os moelos quasi-linearizaos-por-partes e os moelos LPV (Linear a Parâmetros Variantes). Enquanto os moelos LPV são, como sua própria nomenclatura sugere, lineares, os moelos quasi-linearespor-partes são não-lineares. Isso porque os primeiros consistem em uma coleção e moelos lineares inexaa por parâmetros exógenos, enquanto os segunos são formaos por uma soma poneraa e sistemas linearizaos cuja função e poneração epene os estaos o sistema, ou seja, parâmetros enógenos (Shamma, 1990). Este trabalho faz uma análise inicial a aplicação o métoo utilizano um pênulo simples e haste rígia com uma perturbação aeroinâmica e uma entraa na forma e um torque no eixo e rotação. O interesse aqui aina não é analisar o ganho computacional, mas sim a qualiae os resultaos o moelo quasi-linear-por-partes, mesmo porque se trata e um sistema com apenas ois estaos, one os ganhos computacionais a simulação não são tão relevantes. Este trabalho está iviio a seguinte forma: a seção 2 mostra as generalizações utilizaas para representação matemática e sistemas inâmicos não-lineares, bem como sua represetanção na forma linearizaa. Na seção 3, apresenta-se a moelagem o pênulo simples e sua linearização. A seção 4 mostra a metoologia utilizaa para a aproximação o sistema pelo moelo quasi-linearpor-partes. A seção 5 ilustra um exemplo numérico aplicano a proposta no moelo o pênulo. Por fim, são apresentaas metas futuras e as evias conclusões sobre a aplicação o métoo. Notação: As granezas vetoriais serão representaas com negrito e granezas escalares e matrizes serão representaas sem negrito. Por exemplo, x é o vetor e estaos e x 1 e x 2 são elementos este vetor. A matriz ientiae e orem n x n x é representaa por I nx. 2 Linearização O moelo inâmico não-linear será representao a seguinte maneira: ẋ = F (x, u), (1) one x D R nx é o vetor e estaos, u U R nu é o vetor e entraas, F : D U R nx, n x é o número e estaos e n u é o número e entraas o sistema. A linearização e (1) em torno e um ponto e operação x i e entraa u i será obtia pela expansão e F (x, u) por séries e Taylor, esprezano os termos e alta orem. Isso quer izer que o moelo linearizao em torno e x i e u i será enotao por: ẋ = A i (x x i ) + B i (u u i ) + F (x i, u i ), (2) one A i e B i são as matrizes jacobianas e F (x, u) em relação a x e u respectivamente, ambas avaliaas em x i e u i. Diz-se que o sistema está linearizao em torno e um ponto e operação estacionário quano a parcela F (x i, u i ) é nula. Este caso implica em erivaas nulas quano x e u são avaliaas em x i e u i, respectivamente. Por outro lao, quano F (x i, u i ) 0, iz-se que o sistema foi linearizao em torno um ponto e operação não-estacionário. A linearização como apresentaa em (2) poe ser facilmente obtia computacionalmente. Por este motivo, ela será utlizaa como base os moelos linearizaos apresentaos neste trabalho. 3 Moelagem o Pênulo Simples O pênulo clássico foi escolhio como exemplo porque se trata e um sistema inâmico não-linear que poe ser facilmente linearizao em qualquer ponto e operação o seu omínio. Além isso, trata-se e um sistema relativamente simples, sobre o qual as estratégias e moelagem e simulação propostas são facilmente implementaas. A figura (1) ilustra o sistema em questão. A refe- Figura 1: Pênulo clássico com perturbações. rência angular o sistema é o eixo vertical passano pelo eixo e rotação. O ângulo θ o pênulo com relação à referência é positivo para posições angulares à ireita a referência e negativo para posições angulares à esquera a referência. Em +90 o e em 90 o será inserio o efeito o batente, responsável por um comportamento bastante não linear o sistema nessas regiões. As entraas o sistema são o momento M no eixo e rotação e a força aeroinâmica F a sempre paralela ao batente, one M assume valores positivos quano aplicao no sentio anti-horário e F a assume valores positivos quano aplicaa a esquera para a ireita na figura (1).

3 Aplicano-se a seguna lei e Newton para sistemas rotacionais em relação ao eixo e rotação o pênulo: 2 θ = M + MFa + M W + M Fb = M F a L cos θ mgl sin θ bl θ, (3) one M Fa é o momento evio à força aeroinâmica no corpo e massa m, M W é o momento evio à força peso a massa m e M Fb é momento evio à força e atrito viscoso a massa m com o ar. Isolano θ, tem-se: θ = M 2 F a cos θ g L sin θ b θ. (4) Definino x 1 = θ e x 2 = θ como variáveis e estao, tem-se que: ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = M 2 F a cos x 1 g L sin x 1 b x 2. (5) As matrizes A i e B i a equação (2) são, portanto, aas por: [ ] 0 1 A i = F a sin x 1i L g cos x 1i b, (6) [ ] 0 0 B i = 1 cos x 1i, (7) one F a é o valor a entraa F a em torno a qual o moelo é linearizao e x 1i é um elemento e x i = [ ] T x 1i x 2i. Até aqui, o efeito o batente foi ignorao. Logo, o equacionamento em (5) só é válio para o intervalo 90 < θ < 90 o. Para θ 90 e θ 90, o efeito o batente foi aicionao ao equacionamento como seno uma força elástica cuja constante elástica k é bastante alta. O momento evio à força elástica, M Fel = kl sin( θ bat ), é consierao no somatório e momentos na equação (3) multiplicano-o pelo comprimento a haste, ou seja: 2 θ = M + MFa + M W + M Fb + M Fel = M F a L cos θ mgl sin θ bl θ + kl 2 sin( θ bat ), (8) one θ bat correspone a pequenas variações e θ em torno os batentes em ±90. Portanto, poese consierar sin( θ bat ) θ bat. Para o caso a inserção o efeito o batente em x 1i próximo a 90, a matriz e estaos linearizaa passa a ser: [ ] 0 1 A i = F a sin x 1i g L cos x 1i + kl 2 b. (9) A matriz B i não é afetaa. 4 Moelos Dinâmicos Quasi-Lineares-por-Partes A referência (Rewieǹski, 2003) representa o moelo não-linear e um sistema inâmico um pouco iferente aquele apresentao em (1): g(x) = f(x) + B(x)u, (10) t one g : R nx R nx, f : R nx R nx, B(x) tem imensões n x n u. A linearização e (10) em torno e x i é aa por: t (g(x i) + G i (x x i )) = = f(x i ) + A i (x x i ) + B(x i )u, (11) one A i e G i são matrizes jacobianas e f(x) e g(x), respectivamente, avaliaas em x. No mesmo trabalho, (Rewieǹski, 2003) propõe a aproximação o moelo não-linear pela seguinte combinação poneraa e moelos lineares: = [ ] w i (x)(g(x i ) + G i (x x i )) t w i (x)(f(x i ) + A i (x x i ) + B(x i )u), (12) one s é o número e moelos linearizaos e w i (x) R é a função e poneração que é multiplicaa pelo corresponente moelo linearizao em torno e x i. Normalizano, tem-se que s w i(x) = 1. Na próxima subseção será usao um os métoos e cálculo e w i (x) propostos por (Rewieǹski, 2003). A escolha os pontos e linearização também será brevemente iscutia nessa seção. A representação (10) não engloba moelos matemáticos como os o pênulo, moelao por (5) e (8), pois nesses casos as funções F (.) epenem e x e u e não permitem a separação o tipo f(x)+b(x)u, pois tanto x e u são argumentos e funções trigonométricas e há multiplicação entre elementos e x e u. Com isso, retomamos à representação matemáticas a equação (1) aplicaa ao moelo o pênulo. A equação (10) generaliza o lao esquero a igualae consierano que ele é ao por uma função g, em vez e simplesmente erivaas as variáveis e estao como em (1). Acontece que, para a moelagem em (1), g(x) = x e, portanto, G i = I nx e g(x i ) = x i para qualquer x i. Logo, o lao esquero a equação (11) resume-se a t x. Agora, aaptano a representação quasilinear-por-partes em (12) para o moelo linearizao representao por (2), e usano o resultao

4 o parágrafo anterior, tem-se que: t w i (x)x = w i (x)(a i (x x i ) + B i (u u i ) + F (x i, u i )). (13) O vetor x o lao esquero a equação poe ser retirao o somatório, pois não epene e i. Lembrano que s w i(x) = 1 para qualquer x, temse que: t x = w i (x)(a i (x x i ) + B i (u u i ) + F (x i, u i )). (14) 4.1 Seleção e Pontos e Linearização Uma primeira ieia apresentaa por (Rewieǹski, 2003) para a seleção e pontos e linearização se baseia na istância o estao atual até o ponto linearizao mais próximo selecionao. Se esta istância estiver acima e um valor, então eve-se tomar o estao atual como um novo ponto e linearização. Note que o métoo exige que haja uma ou mais roaas prévias e simulação o moelo não-linear. Isso implica que na simulação o moelo quasi-linear-por-partes, o comportamento a entraa eve estar próximo aquele usao nos treinamentos. Esta metoologia é conhecia na literatura como Trajectory Piecewise-Linear, pois se baseia em trajetórias previamente conhecias o vetor e estaos para uma entraa típica o sistema. Outros métoos mais aprimoraos para seleção e pontos e linearização são apresentaos por (Rewieǹski, 2003), mas não serão aboraos neste trabalho. Para o sistema o pênulo, um ao comportamento e M e F a foi efinio ao longo o tempo. Com este comportamento, urante a simulação o moelo não-linear os moelos linearizaos são obtios por meio o seguinte algoritmo: 1. Gerar o moelo linearizao em torno o ponto inicial x 1 e fazer i = 1; 2. Simular o sistema não-linear enquanto ( ) x xj min < δ, 1 j i x j Para δ > 0 3. Gerar um novo moelo linearizao em torno e x i+1 = x, e fazer i := i + 1. O valor δ é o raio a hiperesfera com centro em x i entro a qual o moelo linearizao i é consierao válio. A referência (Rewieǹski, 2003) propõe outras formas e selecionar os pontos e linearização baseao na análise e erros. Como consequência, δ eixa e ter um valor fixo, o que é uma proposta interessante. Isso porque há regiões o espaço e estaos one os moelos linearizaos são válios entro e uma hiperesfera e raio menor e outras one eles são mais abrangentes. Esta metoologia, no entanto, não será aboraa neste artigo. 4.2 Cálculo as Ponerações Uma vez que os moelos linearizaos foram selecionaos, a poneração w i para caa moelo i é calculaa urante a simulação, pois ela epene e x. A proposta e (Rewieǹski, 2003) é a seguinte: 1. Para i = 1,..., s calcular i = x x i ; 2. Tomar = min,...,s i ; 3. Para i = 1,..., s faça ŵ i = e βi/ ; 4. Normalizar ŵ i : 1 Calcular S(x) = s ŵi; 2 Para i = 1,..., s faça w i (x) = ŵ i (x)/s(x). Esta aboragem consiera uma transição suave entre os moelos linearizaos à meia que o vetor e estaos sai e uma hiperesfera one um moelo é válio para ir à região em outra hiperesfera. Essa transição passa a ser mais rápia quanto maior for o valor e β. 5 Resultaos Utilizano m = 1kg, L = 1m, b = 1Ns/m e g = 9, 81m/s 2, as equações e estao em (5) ficam com os seguintes valores numéricos: ẋ 1 = x 2 ẋ 2 = M F a cos x 1 9, 81 sin x 1 x 2. (15) Para o teste o métoo sobre o sistema o pênulo foram escolhios os comportamentos as entraas M e F a mostraos na figura (2). O comportamento e θ está mostrao no terceiro gráfico a figura. Este comportamento as entraas foi escolhio para primeiro analisar a influência iniviual e caa entraa na forma e egrau e epois a influência e ambos atuano juntos. Notar que nos arreores e 14,5s, 21,5s, 27,5s e 46,5s há uma leve atuação o batente impeino que θ fique menor que -90 e maior que +90. Para a região one não há o efeito o batente, os algoritmos propostos nas subseções 4.1 e 4.2 foram aplicaos no moelo (5). Utilizano δ = 0, obtio por tentativa e erro - foram extraíos oze moelos linearizaos. Os moelos foram obtios em torno e conições e equilíbrio, ou seja, θ = 0 /s, ou F (x i, u i ) = 0 na equação (2). Para isso, evem ser encontraos os valores e M e F a que equilibram o sistema em torno o θ esejao. Estes valores compõem o vetor u i.

5 que o efeito a mola atue somente quano a massa vá e encontro ao batente. Se a linearização fosse feita em torno os mesmos ±93, mas com θ = 0 /s, a força mola atuaria em momentos inesejáveis. Por exemplo: para x a = [ /s ] T espera-se que a mola atue empurrano a massa, fazeno com que θ iminua. Já para x b = [ /s ] T não se espera o mesmo comportamento, pois a massa está se afastano o batente, seno que somente a força a graviae e as entraas M e F a evem atuar sobre ela. Se o batente fosse linearizao em torno e x 0 = [ 93 0 /s ] T, o efeito a mola surgiria tanto no estao x a quanto no estao x b. Figura 2: Simulação o moelo não-linear Utilizano β = 200 e aplicano o algoritmo a subseção 4.2, obteve-se o resultao a figura (3). Notar que, como o batente não foi consierao, o comportamento o overshoot nas regiões próximas a ±90 não foi limitao. A curva mais fina é o comportamento o sistema linearizao em torno e θ = 0 e θ = 0 /s. Ela foi aicionaa para mostrar a iscrepância entre os comportamentos o moelo real com o moelo linearizao em um único ponto. 2. Para que a força elástica não tenha efeito nas regiões istantes e θ = ±90 foram aicionaos mais ois moelos em ±80. Isso garante que a poneração seja baixa para o efeito o batente quano a massa m sai as proximiaes e ±90. Com isso, mais ois moelos foram aicionaos, totalizano 16 moelos. Aina utilizano β = 200, agora com k = 10 4 N/m, obteve-se os resultaos a figura (4). As iferenças entre os moelos não-linear e quasilinear-por-partes ficaram mais próximos na região o batente, mas ficaram istorcios quano saem essa região e retornam para as proximiaes e θ = 0. A figura (5) mostra o zoom entre 14s e 24s. Figura 3: Simulação o moelo quasi-linear-porpartes sem o efeito o batente. Aos oze moelos linearizaos obtios, serão somaos mais quatro para a consieração o batente. Isso por ois motivos: 1. O efeito a mola foi aicionao em θ = 93 com θ = 5ra/s = 286, 48 /s, para que θ não atingisse valores maiores que +90, e em θ = 93 com θ = 5ra/s = 286, 48 /s, para que θ não atingisse valores menores que -90. Como θ 0, o moelo linearizao nestas regiões é não estacionário, ou seja, F (x i, u i ) 0 na equação (2). Com essa restrição e velociae angular para a poneração esses moelos há uma maior garantia e Figura 4: Simulação o moelo quasi-linear-porpartes com o efeito o batente. Para entener este comportamento, foi feita uma aproximação no gráfico e θ entre 14s e 24s. Junto com ele, foram plotaas as ponerações relacionaas aos moelos linearizaos em torno e ±93 e ±80 na figura (6). A figura (6) mostra que em torno e 14,1s o moelo o batente (corresponeente a w 13, one o ínice 13 correspone ao moelo linearizao em θ = 93 ) assume uma poneração baixa (a orem e 10 4 ), mas suficiente para barrar o aumento e θ evio ao grane valor a constante elástica. Logo epois, a poneração o moelo linearizao

6 Figura 5: Simulação o moelo quasi-linear-porpartes com o efeito o batente - zoom entre 14s e 24s. próximos o moelo não-linear quanto aqueles a região mais comportaa o espaço e estaos, ou seja, aquela não afetaa pelo efeito a força a mola. Contuo, observou-se que a poneração e moelos lineares o batente foi efetuaa como o esperao, ano inícios e que a metoologia poe aproximar comportamentos e forte nãolineariae como este. Uma proposta e trabalho futuro é a e investigar se a extração e mais moelos lineares o batente, com iferentes velociaes e aproximação, melhoraria os resultaos. De moo geral, essa aboragem sugere que regiões o espaço e estaos com maior não-lineariae necessitam e mais moelos lineares para poneração. Este trabalho buscou a generalização o trabalho e (Rewieǹski, 2003). Neste processo, ele acabou evienciano iversas ificulaes geraas pelas particulariaes o moelo em si, e pelos iferentes efeitos causaos pelas não-lineariaes. Aqui, foram aplicaas as propostas mais simples e seleção e pontos e linearização aquelas apresentaas em (Rewieǹski, 2003). Uma sugestão e trabalho futuro seria analisar a viabiliae a aplicação e suas técnicas mais aprimoraas baseaas em análise e erros para seleção e pontos e linearização. Agraecimentos Figura 6: Zoom entre 14s e 24s a simulação o moelo quasi-linear-por-partes e os pesos e os moelos linearizaos em ±93 e ±80. em torno e 80 assume valores que oscilam em torno e 0,5 evio ao comportamento oscilatório neste intervalo. As ponerações w 13, w 14, w 15 e w 16 se mantém praticamente nulas até aproximaamente 21s, quano a poneração o moelo e θ = 93 assume um valor a orem e 1, , evio à aplicação contrária e F a. Logo epois, a poneração e θ = 80 assume valores que oscilam entre 0 e 1. 6 Conclusões A metoologia proposta apresentou bons resultaos para as regiões bem comportaas o moelo o pênulo. A tentativa e aplicação o métoo na região o batente obteve resultaos razoáveis para o caso analisao, seno que necessita e uma maior investigação para casos iferentes e perturbações. A não-lineariae causaa pelo batente foi substituía pelo moelo massa-mola linear em ±93. Houve a necessiae e que esse moelo linear fosse não estacionário, para consierar a velociae não nula com que a massa se aproxima essas posições. Os resultaos não ficaram tão Os autores agraecem o Instituto Nacional e Ciência e Tecnologia que através o Instituto e Estruturas Inteligentes incentivou este trabalho. Referências Bon, B. N. (2010). Stability-Preserving Moel Reuction for Linear an Nonlinear Systems Arising in Analog Circuit Applications, Tese e outorao, Department of Electrical Engineering an Computer Science, Massachusetts Institute of Technology. Pettit, N. B. O. L. an Wellstea, P. E. (1995). Analyzing piecewise linear ynamical systems, IEEE 33r CDC. Rewieǹski, M. J. (2003). A Trajectory Piecewise- Linear Approach to Moel Orer Reuction of Nonlinear Dynamical Systems, Tese e outorao, Department of Electrical Engineering an Computer Science, Massachusetts Institute of Technology. Shamma, J. S. (1990). An overview of lpv systems, IEEE Transactions on Automatic Control. Shamma, J. S. an Athans, M. (1990). Analysis of gain scheule control for nonlinear plants, IEEE Transactions on Automatic Control.