Análise newtoniana de um sistema mecânico com uma força dependente da velocidade e a existência de condições para a conservação de energia

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1 Revista Brasileira e Ensino e Física, v. 36, n. 1, Artigos Gerais Análise newtoniana e um sistema mecânico com uma força epenente a velociae e a existência e conições para a conservação e energia Newtonian analysis of a mechanical system subjecte to a velocity epenent force an the existence of conitions to energy conservation R.V. Sampaio 1, R. Fracalossi 2, A.M. Oliveira 3 1 Grupo e Física Aplicaa, Departamento e Física, Universiae Feeral o Espírito Santo, Vitória, ES, Brasil 2 Faculaes Integraas e Aracruz, Aracruz, ES Brasil 3 Grupo e Estuos Interisciplinares em Ciências a Natureza, Guarapari, ES, Brasil Recebio em 1/1/213; Aceito em 19/7/213; Publicao em 6/2/214 Um sistema mecânico com forças epenentes a velociae é estuao. Mostra-se que, sob escolhas muito particulares para os termos a força resultante em caa ireção, é possível obter o resultao e que a energia total o sistema se conserva, poeno aina ser iviia em três parcelas, associaas a caa ireção, e que também se comportam como uma lei e conservação para a energia iniviualmente. Palavras-chave: conservação e energia, forças epenentes a velociae, mecânica newtoniana. A mechanical system with a velocity-epenent force is analyze. It is shown that with very particular choices for the resulting force terms it is possible to obtain the result that the total energy of the system is conserve an that it can be ivie into three groups, associate with each irection, that hol as iniviual conservation laws. Keywors: energy conservation, velocity-epenent forces, newtonian mechanics. 1. Introução Dese o avento a física moerna, problemas em mecânica clássica têm perio parte e seu prestígio evio ao fato e se tratarem e situações que, se não plenamente iscutias, ao menos já possuem seus possíveis comportamentos bem estabelecios. Desta forma, criase uma tenência em muitas partes a física e não mais se preocupar com novos problemas em mecânica newtoniana mas e buscar entener novos sistemas cujas ferramentas matemáticas e teorias físicas sejam mais sofisticaas. Entretanto, a relativamente recente aboragem e problemas físicos a partir e sistemas itos análogos têm revelao que problemas complexos poem eventualmente ser trataos a partir e um tratamento mais simples que aqueles impostos pela relativiae geral ou pela mecânica quântica. Um exemplo, em outro contexto, poe ser visto no estuo e buracos negros acústicos 1], o que constitui a análise e certas proprieaes esta entiae astrofísica utilizano ferramentas e matéria conensaa usual, isto é, a física e buracos negros é trataa a partir as características hiroinâmicas e um fluio, permitino eterminar com isso a formação os horizontes e eventos e a emissão 3 ariano.oliveira@ifes.eu.br. e raiação por parte o misterioso corpo celeste. Existem outros exemplos semelhantes em que, e maneira geral, a mecânica newtoniana fornece excelentes resultaos em iversos segmentos a astrofísica e cosmologia, ese a teoria e formação e estruturas até moelos e matéria e energia escuras, tais como a teoria MOND 2, 3] que, propono uma moificação na teoria newtoniana, é capaz e resolver o problema a curva e rotação as galáxias espirais sem ter que recorer ao artifício a matéria escura. Portanto, mesmo sem o status e uma teoria funamental, o qual já possuiu, a mecânica newtoniana conserva aina granes e interessantes aplicações em cenários puramente teóricos e ligaos a física contemporânea e ponta, além e toas as incontáveis aplicacões técnicas que estão intimamente ligaas ao nosso ia-a-ia. O grau e acuiae e uma teoria física é meio sob seu teste em eterminao erimento. Este fornece três caminhos: ou a teoria não escreve e nem se aapta ao moelo proposto, ou ela precisa ser moificaa com a inserção e novos e, em geral, mais complexos termos em suas equações, o que leva a consierações menos iealizaas tais como termos e viscosiae, acoplamentos entre coorenaas, entre iversos outros, Copyright by the Socieae Brasileira e Física. Printe in Brazil.

2 131-2 Sampaio et al. ou aina a teoria é plenamente satisfatória e escreve com precisão o sistema ao qual se propõe, algo que epene em muito o quão próximo à realiae eseja-se escrever um eterminao moelo. Teno o seguno estes caminhos em mente, propomos neste trabalho, seguino uma aboragem newtoniana, o estuo e um sistema clássico com alto grau e acoplamento entre as coorenaas e forte epenência com as velociaes em algumas ireções. Em geral forças epenentes a velociae têm seu caráter atribuío à sistemas que issipam ou ganham menos comum energia. Contuo poe-se observar que em corrias e automóveis, por exemplo, quano um carro entra no chamao vácuo o carro imeiatamente a frente, a iferença e pressão entre a traseira o carro perseguior e sua ianteira, o impulsiona para frente, o que caracteriza um ganho e energia. Esse fato está iretamente relacionao com a economia e combustível o carro perseguior. Outro exemplo e ganho ou issipação e energia, com forças epenentes a velociae, poe ser obtio em sistemas envolveno o oscilaor harmônico com termos que o fazem ganhar ou perer energia cuja ressão é aa por ẍ ± γẋ ωx 2 =. 1 A variação a energia com o tempo é E = mẋẍ mω2 xẋ = mẋ ẋ ω 2 x = mγẋ 2, 2 que é positivo ou negativo. Quano positivo tem-se uma solução corresponente ao exemplo o carro perseguior acima mencionao. Entretanto, existem sistemas 4] que, mesmo conteno epenências este tipo em suas forças associaas, tem aina assim sua energia conservaa, o que é um resultao curioso. Tal fato se repete neste trabalho com um conjunto e forças aina mais complexas. O aparente excesso e parâmetros ajustáveis na seguna lei e Newton associaa ao moelo visa, ao contrário o que sugere, estabelecer a maneira menos restritiva possível as situações em que comportamentos conservativos são encontraos. Além isso, observa-se que a conservação a energia, neste caso, poe ocorrer eixo a eixo, isto é, associano a caa força que participa o sistema o eixo no qual se encontra ecomposta, é possível verificar que, mesmo iniviualmente, a energia se conserva. Estes resultaos serão apresentaos na seção seguinte e as consierações finais serão trataas nas conclusões. 2. Forças e energias Em coorenaas esféricas a força resultante atuano sobre um sistema tem sua forma geral escrita por uma relação o tipo F R = F r r,, ϕ, ṙ,, ϕ F r,, ϕ, ṙ,, ϕ F ϕ r,, ϕ, ṙ,, ϕ. 3 Escolheu-se aqui utilizar coorenaas esféricas para tratar um caso particular one o termo que epene licitamente a velociae está contio apenas em uma componente a força, na ireção e ˆϕ. Ou seja, as outra uas componentes ˆr e ˆ não epenerão a velociae. Em geral para que um sistema com três ou ois imensões seja issipativo basta que apenas uma as componentes a força seja epenente a velociae, ou seja, mesmo que as outras componentes a força NÃO sejam epenentes a velociae o sistema como um too é não-conservativo. Pretene-se mostrar que mesmo com essa epenência específica a força o sistema poerá ser conservativo, o que contraria o caso geral, pois era e se esperar, a priori, que o sistema como um too fosse não-conservativo. Em grane parte os casos, consiera-se que a força não epene a velociae, pelos motivos iscutios no parágrafo anterior e aina porque, em muitos casos, inviabiliza um estuo analítico ou uma escrição completa o sistema a ser estuao. Isso ocorre pois, a inclusão e tais termos, causam um aumento na complexiae matemática e, além isso, poem inviabilizar, por exemplo, obtenção as soluções lícitas e não-numéricas para as equações e movimento e, aina, ificulta ou impossibilita o entenimento o papel e eterminaa força no sistema. Uma proposta e forma para a força resultante sobre um sistema curiosa, por epener a velociae e resultar em uma conservação e energia, é aa por lembrano que ϕ = ϕ ρ e ρ = ] ] fr ρ F R = sin g f ρ r ˆr cos g ˆ η ϕ ] γ 2 r 2 sin 2 ρ ˆϕ, 4 seno ρ = r sin a componente raial em coorenaas cilínricas. Essa forma foi escolhia pois é um moelo muito particular one a força epene a velociae e epeneno a escolha as funções: g r, g, f r e f possibilita a obtenção e uma solução não numérica para as equações iferenciais que resultam na equação e movimento para a partícula submetia a tal força. As funções g r, g, f r e f são as forças que efinirão as características inâmicas o sistema físico o qual trataremos neste trabalho; uas são conservativas f r e f e uas não conservativas g r e g. O potencial resultante a força aa pela Eq. 4 poeria ser empregaa em estuos as trajetórias e sistemas físicos sobre a influência e potenciais gravitacionais newtonianos ou e Manev. Note que o termo a componente ˆϕ, na Eq. 4, é quem carrega a epenência a velociae 1 nessa ireção, que é exatamente a mesma utilizaa no trabalho em uas imensões 4], mas com ρ = r sin. Aina assim será obtia uma conservação e energia no sistema. Além isso, iviimos as forças nas ireções ˆr e ˆ 1 De acoro com os livros iáticos, para que a energia se conserve essa força eve ser nula. Ver maiores etalhes nas Refs. 5, 6].

3 Análise newtoniana e um sistema mecânico com uma força epenente a velociae com suas contribuições conservativa e não-conservativa, f i e g i respectivamente, seno o ínice i igual a r ou, serão efinias posteriormente possibilitano a generalização as forças. As constantes η e γ garantem a imensão e força a contribuição associaa a coorenaa ˆϕ. O trabalho 4] tratou e um problema semelhante em que a força na ireção ˆϕ era exatamente a mesma que a proposta acima, substituino-se ρ por r sin. Aqui porém o grau e complexiae é aumentao evio a presença e mais uma força ortogonal. Vale relembrar as relações entre os versores em coorenaas esféricas e seus corresponentes cartesianos. Assim, ˆr = sin cos ϕî sin sin ϕĵ cos ˆk, 5 ˆ = cos cos ϕî cos sin ϕĵ sin ˆk, 6 ˆϕ = sin ϕî cos ϕĵ. 7 e a posição r = rˆr, obtem-se a velociae e a aceleração seno aas por v = ṙˆr r ˆ r sin ϕ ˆϕ, 8 a = ˆr r r ϕ 2 r sin 2 ϕ 2 ˆ r 2ṙ r sin cos ϕ 2 ˆϕ r sin ϕ 2 sin ṙ ϕ 2r cos ϕ. 9 Ao aplicarmos a seguna lei e Newton a componente ˆϕ a força, F ϕ = r sin ϕ 2 sin ṙ ϕ 2r cos ϕ, e multiplicá-lo por 2r 3 sin 3 ϕ, 2r 3 sin 3 ϕf ϕ = 2r 3 sin 3 ϕ r sin ϕ 2 sin ṙ ϕ 2r cos ϕ.1 Note que o lao ireito a Eq. r 4 sin 4 ϕ ] 2, então 1 é igual a r 4 sin 4 ϕ 2] = 2r3 sin 3 ϕf ϕ, 11 one é a massa o corpo em estuo ou a massa reuzia, localizaa no centro e massa, e um sistema constituío por ois ou mais componentes massivos. Substituino a força F ϕ na equação acima e multiplicano-a por p r 4 sin 4 ϕ ] p 1, 2 seno p um número arbitrário iferente a uniae. A inclusão o número p é apenas para ampliar as possibiliaes e escolha os termos polinomiais que poem ser utilizaos para multiplicar a equação em questão. Tal escolha não eve influenciar o resultao final, ou seja, o resultao não eve epener e p como e fato ocorre. Desse moo, temos r 4 sin 4 log ϕ p ] 2 r 4 sin4 2 = p ] 1 ϕ 2r 2 sin 2. Acima, r, e ϕ são constantes e integração. Integrano novamente e isolano a velociae angular ϕ, obtemos ϕ 2 = k2 ϕ 2 r 4 sin 4 r 4 sin 4 2r 2 sin 2, 12 one k 2 é uma nova constante e integração. O esaparecimento e p eve-se à proprieae e log, a log b = log b a. Talvez o comportamento a matéria que compõe os anéis e Saturno, por exemplo, evio às peras e ganhos a velociae angular causaa pelas sucessivas colisões entre as partículas que o compõe poeriam corresponer a esse comportamento. O passo seguinte consiste em aplicar a seguna lei e Newton à força atuante na ireção e ˆ. Com isso, F = a = r 2ṙ r sin cos ϕ Substituino a Eq. 12 na Eq. 13, encontramos F = r 2ṙ cos k2 r 4 sin 4 ϕ 2 r 3 sin 3 ] 2r 2 sin Com a aplicação a seguna lei e Newton na componente r temos F r = a r = r r r sin 2 ϕ 2]. Utilizano novamente a Eq. 12 temos F r = r r k2 r 4 sin 4 ϕ 2 r 3 sin 2 ] 2r 2 sin Combinano as Eqs. 14 e 15, e forma a obter F r sin F cos, teremos sin r r cos r 2ṙ sin 2 cos 2 k2 r 4 sin 4 ϕ 2 ] r 3 sin 3 2r 2 sin 2 = F r sin F cos. Visto que 2 r sin = sin r r 2 cos r 2ṙ e sin 2 cos 2 = 1 então, 2 k2 r 4 r sin sin 4 ϕ 2 ] 2 r 3 sin 3 2r 2 sin 2 = F r sin F cos.

4 131-4 Sampaio et al. Já que ρ = r sin então poe-se escrever a ressão acima em termos e ρ. Para isso vamos multiplica-la por ρ e substituir as componente as forças aas pela Eq. 4, assim ρ ρ ρ k2 r 4 sin 4 ϕ 2 ρ 3 ] 2ρ 2 = ρf r ρ ρf ρ ρg r sin ρg cos. 16 Para que o lao ireito a Eq. 16 tenha apenas termos ligaos a forças conservativas vamos escolher um g r e g e forma que g r sin g cos =. 17 Então, assumino a Eq. 17 temos ρ ρ ρ k2 r 4 sin 4 ϕ 2 ] ρ 3 2ρ 2 = ρf r ρ ρf ρ. 18 Integrano a Eq. 18, a partir a Ref. 5], obtemos uma parcela a energia total E ρ = 1 2 ρ2 L2 2ρ 2 U r ρ U ρ, 19 one L 2 = k r 2 4 sin 4 ϕ 2 tem imensão e momento angular ao quarao e os termos U r e U são as energias potenciais relacionaos com f r ρ e f ρ. O fato e termos introuzio uas energias potenciais U r ρ e U ρ não é e maneira alguma um complicaor e nem invalia os cálculos pois f r ρ e f ρ epenem somente e ρ. Além isso os laos ireitos as equações as forças em r e não epenem a velociae em nenhuma ireção. Isso não significa que estejamos izeno que haja conservação e energia por eixos coorenaos. Obtemos portanto uma parcela a energia total o sistema que é epenente apenas a coorenaa ρ e e sua erivaa em primeira orem. Mais aina, este termo e energia correspone a uma quantiae conservaa, o que é esperao teno em vista a conição 17, a qual anula os termos não-conservativos. Observemos agora o cálculo e F r cos F sin. Aqui, teremos após algumas manipulações algébricas cos r r sin r 2ṙ ] = F r cos F sin, mas note que 2 r cos = cos r r 2 sin r 2ṙ. Como z = r cos, temos z = F r cos F sin. 2 Substituino as componentes F r e F fornecias pela Eq. 4, poemos escrever z = f r ρ cot f ρ tan cos g r sin g. 21 Da conição 17, ou seja, temos g = sin cos g r, 22 z = f r ρ cot f ρ tan g r cos, 23 one foi utilizao sin 2 cos 2 = 1. Note que a equação acima exibe um termo ligao a forças nãoconservativas. É importante salientar aina que f r, f e g r são até o momento arbitrários. Vamos tratar aqui um caso muito particular one escolheremos as funções f r ρ e f ρ como funções proporcionais e inversamente proporcionais a ρ, respectivamente. E a função g r é escolhia como uma composição e termos proporcionais e inversamente proporcionais a r e a cos. Assim, a forma analítica estas três funções poe ser aa por g r = f r ρ = ξ r ρ, 24 f ρ = ξ ρ, 25 λ n r n1 cos n n=2 β n r n 1 cos n. 26 Essa poe não ser a única escolha para os parâmetros que resulta numa conservação e energia. Contuo, é um bom exercício matemático que resulta em uma interpretação física interessante. A forma escolhia para g r, na Eq. 26, nos permite generalizar as possíveis soluções cuja energia será conservativa. O somatório infinito é apenas para generalizar a ressão. Na prática só serão iferentes e zero os coeficientes que representarem um moelo para um específico potencial físico. Esse argumento serve para toos os somatórios esse trabalho. Ou seja, para qualquer orem e potência como escrita acima resultará numa conservação a energia. Vale salientar que tanto g r quanto g são aqui efinias como uma mistura e coorenaas cilínricas e esféricas e isso se faz necessário para que as energias associaas aos eixos z e a possam ser conservaas. Com isso a Eq. 23 assume a forma z = ξ r z ξ z λ n r n1 cos n1 n= n=2 β n r n 1 cos n 1. Multiplicano por ż e integrano, poemos escrever z ξ log z E z = 1 2 ż2 1 2 ξ rz 2 λ n nz n β n z n n. 27

5 Análise newtoniana e um sistema mecânico com uma força epenente a velociae Finalmente, reescreveno a Eq. 19 em termos as Eqs. 24, 25, após a integração, temos E ρ = 1 2 ρ2 L2 2ρ ξ rρ 2 ξ log ρ ρ. 28 Note que a Eq. 27, assim como a Eq. 28, constitui também uma parcela a energia total o sistema epenente apenas a coorenaa z e e sua erivaa em primeira orem ż. Mais uma vez, assim como ocorrio para a coorenaa ρ ver Ref. 28, a Ref. 27 mostra um legítimo comportamento e energia total isto é, com um termo cinético e um potencial associao e aina conserva-se, o que é curioso teno em vista que com as escolhas feitas, os termos não-conservativos não se anulam trivialmente. Isto sugere que a combinação os termos escolhios, a qual é uma conição muito particular, é tal que estes permitem a obtenção e uma quantiae conservaa. Para obter a parcela e energia epenente apenas a coorenaa ϕ basta partir a Eq. 12 e multiplicála por 2 r2 sin 2. Deste moo 2 r2 sin 2 ϕ 2 k 2 r 4 sin 4 ϕ 2 2 r 2 sin 2 2r 2 sin 2 = =E ϕ. 29 A energia total será a soma as Eqs. 27, 28 e 29 one usamos também ρ = r sin e z = r cos. Então E = E z E ρ E ϕ, E = 1 ṙ 2 2 r 2 2 r 2 sin 2 ϕ 2 L 2 2r 2 sin ξ rr 2 λ n nr n cos n β n r n cos n n tan ξ log k 2 r 4 sin 4 ϕ 2 tan 2 r 2 sin 2 2r 2 sin 2 3 Há aina outra possibiliae para a energia total. Ao invés e utilizar a conição 17 escolhemos uma nova conição a partir a Eq. 21. Essa escolha também resultará em um sistema conservativo. Para que isso ocorra temos cos g r sin g =. 31 Com isso a Eq. 22 fica moificaa para g = cos sin g r. 32 Isso poe ser interpretao como uma rotação e π/2 em na Eq. 22, e somente nela. Note aina que a forma a força e consequentemente a energia para os ois referênciais o e antes e epois o giro e π/2 no ângulo serão iferentes. Isso ocorre evio a forma matemática a força que atua no sistema ser iferente, o que resulta em ressões iferentes para a energia total. Da Eq. 21 com a conição 32 e utilizano os valores e f r ρ e f ρ fornecios pelas Eqs. 24 e 25, temos que z = ξ r z ξ z. 33 Multiplicano a equação acima por ż e integrano, obtemos 1 2 ż2 1 z 2 ξ rz 2 ξ log = E z. 34 z c Utilizano a Eq. 16 e substituino g = cotg r, ver Eq. 32, temos para a coorenaa ρ ρ ρ ρ k2 r 4 sin 4 ϕ 2 ] ρ 3 2ρ 2 = ρf r ρ ρf ρ ρ g r sin 2 cos 2, sin ρ ρ ρ k2 r 4 sin 4 ϕ 2 ] ρ 3 2ρ 2 = ρf r ρ ρf ρ ρ g r sin, 35 one foi feito sin 2 cos 2 = 1. Propono para g r a forma seguinte, λ n g r = r n1 sin n β n r n 1 sin n, 36 n=2 ao substituir a Eq. 36 na Eq. 35 e integrarmos, teremos E ρ = 1 2 ρ2 L2 o 2ρ ξ rρ 2 ρ λ n ξ log ρ c nρ n β n ρ n n. 37,n 2 Portanto, neste caso, a energia total o sistema é a soma as Eqs. 29, 34 e 37, one usamos também ρ = r sin e z = r cos ou seja E = E ρ E z E ϕ, E = 1 ṙ 2 2 r 2 2 r 2 sin 2 ϕ 2 L 2 2r 2 sin 2 1 tan 2 ξ rr 2 ξ log tan λ n nr n sin n β n r n sin n n,n 2 k 2 r 4 sin 4 ϕ 2 2 r 2 sin 2 2r 2 sin 2. 38

6 131-6 Sampaio et al. E novamente note que a energia total é conservaa como um too mas também eixo a eixo. 3. Conclusões Neste trabalho uma aboragem newtoniana para escrição e um sistema com alto grau e acoplamento entre forças em iferentes coorenaas foi proposta. Apesar a presença e uma força epenente a velociae, o que confere a sistemas, em geral, características issipativas, é possível mostrar analiticamente que a energia é conservaa e, curiosamente, a energia total pôe ser separaa em parcelas referentes a caa ireção ortogonal ˆρ, ˆ e ẑ isto é, somente sob escolhas profunamente particulares as forças envolvias poe ser possível escrever a energia total e um sistema como uma soma e energias conservaas para caa ireção ortogonal sem comprometer, entretanto, a valiae o teorema e conservação e energia. Enfatizamos mais uma vez que a especificiae este resultao está relacionaa às forças pouco convencionais analisaas e moo que esta pseuo-conservação e energia por eixos não constitui e maneira alguma uma generalização e muito menos reformula os resultaos a teoria newtoniana largamente conhecia. Agraecimentos Os autores esejam agraecer aos árbitros a RBEF pelas correções e sugestões que enriqueceram muito esse artigo. As iscussões acerca os cálculos e conceitos foram e grane valia para os autores. A.M. Oliveira gostaria e agraecer à FAPES pelo apoio financeiro. Referências 1] W.G. Unruh, Phys. Rev. Lett. 46, ] M. Milgrom, Astrophys. J. 27, ; Astrophys. J. 27, ; Astrophys. J. 27, ] H.E.S. Velten, Revista Brasileira e Ensino e Física 3, ] R.V. Sampaio, R. Fracalossi e A.M. Oliveira, Revista Brasileira e Ensino e Física 33, ] S.T. Thornton an J.B. Marion, Classical Dynamics of Particles an Systems Brooks Cole, Belmont, 23, 5 a e. 6] Kazunori Watari, Mecânica Clássica Livraria a Física, São Paulo, 23, 1 a e, v. 2.