EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER: RESOLUÇÃO ANALÍTICA E SIMULAÇÃO PARA O ÁTOMO DE HIDRÔGENIO

Transcrição

1 EQUAÇÃO DE SCHÖDINGE: ESOLUÇÃO ANALÍTICA E SIMULAÇÃO PAA O ÁTOMO DE HIDÔGENIO ADIANO PILLA ZEILMANN, DÉBOA SPENASSATO, NEUZA OO 3 esumo - Em 96, Erwin uolf Josef Alexaner Schröinger escreveu o comportamento o movimento e um elétron em seu estao estacionário. O mesmo formulou a equação consieraa o embasamento inicial a teoria quântica. Com o objetivo e compreener a relação a matemática com iversas outras áreas o conhecimento, fez-se um estuo a resolução analítica a equação e Schröninger em coorenaas esféricas e, a partir os resultaos encontraos, foram feitas simulações que possibilitaram escrever os níveis e energia o elétron o átomo e hirogênio. Palavras-chaves: Equação e Schröninger em coorenaas esféricas, átomo e hirogênio. SCHÖDINGE EQUATION: ANALYTICAL ESOLUTION AND SIMULATION FO THE HYDOGEN ATOM Mestrano o Programa e Pós-Grauação em Moelagem Computacional FUG, ariano.zeilmann@gmail.com. Mestrana o Programa e Pós-Grauação em Moelagem Computacional FUG, eboraspenassato@hotmail.com. 3 Professor Ms. em Moelagem Matemática, Instituto e Ciências Exatas e Geociências UPF, neuza@upf.br. Vetor, io Grane, v.8, n., p ,

2 Abstract In 96, Erwin uolf Josef Alexaner Schröinger escribe the behaviour of the motion of an electron in a stationary state. The same formulate the equation consiere to be the initial founation of quantum theory. Aiming to unerstan the relationship of mathematics with several other fiels of knowlege, he mae a stuy of the resolution of analytical Schröninger equation in spherical coorinates an, base on the results, simulations were mae which allowe to escribe the energy levels of electron of the hyrogen atom. Key wors: Schröninger equation in spherical coorinates, hyrogen atom. INTODUÇÃO Mecânica quântica é um ramo a física que estua o movimento os pequenos elementos, enominaos e partículas, que formam a matéria, ou seja, átomos, moléculas e elétrons. As partículas microscópicas, como os elétrons, não se movem seguino as leis clássicas o movimento, aas pela mecânica newtoniana. Essas partículas, porém, seguem outras leis que parecem ser mais apropriaas para a propagação e uma ona. Assim, um movimento onulatório será totalmente conhecio, se for conhecia a epenência espacial e temporal a função e ona. Foi a partir o artigo e Erwin Schröinger (887-96), intitulao An Unulatory Theory of the Mechanics of Atoms an Molecules, que surgiu o interesse em investigar a relação entre a matemática com a física quântica, trataa no referio artigo. Dessa forma, o objetivo este trabalho foi investigar a equação e Schröinger, analisano os conceitos matemáticos empregaos e relacionano-os com outras áreas o conhecimento, como física e química. Para isso foi feito um levantamento bibliográfico com objetivo e investigar quais teorias a física-matemática seriam importantes para a compreensão a equação quano aplicaa ao átomo e hirogênio, bem como quais os proceimentos necessários para a obtenção e sua solução analítica. Após, eu-se continuiae ao trabalho com uma aplicação a teoria estuaa na resolução Vetor, io Grane, v.8, n., p ,

3 analítica a equação e Schröinger no sistema e coorenaas esféricas, especificamente para o átomo e hirogênio. A última etapa foi a a simulação a solução analítica, usano o aplicativo matemático Maple 0. A partir a sistematização as teorias investigaas nas etapas anteriores, foram realizaas simulações, que possibilitaram, através e análise a solução a equação e Schröinger, a comprovação os resultaos obtios com a teoria a física quântica. Utilizou-se também, o software Hyrogenic Atom Viewer v.5 [] para provar a veraciae as respostas e formas e posições para o átomo e hirogênio. MATEIAL E MÉTODOS A escrição matemática e muitos fenômenos físicos é feita por funções que envolvem uas ou mais variáveis inepenentes. Qualquer relação entre uma essas funções e suas erivaas parciais resulta o que enominamos Equações Diferenciais Parciais (EDP) [0]. De uma forma geral, a EDP poe ser expressa por: k u u u u u F x, x,..., x,,,...,,,,..., = 0 n u k x xn x x x xn one X =( x, x,..., xn ) D, D é o omínio em n, F é uma função aa e u(x,y) é uma função que se quer eterminar. Das equações iferenciais parciais existentes, as lineares, homogêneas e e seguna orem possuem grane importância evio ao fato e que com elas é possível moelar iversos fenômenos físicos. Na busca e solução para uma EDP eve-se observar alguns aspectos importantes, tais como: (i) a existência e soluções; (ii) a uniciae e soluções; (iii) e a epenência a solução nos aos iniciais e /ou e contorno. Certos problemas mais complicaos, efinios em regiões circulares, esféricas e cilínricas, são melhor analisaos se forem trataos em coorenaas polares, esféricas ou cilínricas, pois em muitos problemas a física, as conições e contorno são tais que os valores e uma função (ou e sua erivaa) são especificaos em curvas ou superfícies. Vetor, io Grane, v.8, n., p ,

4 O métoo clássico para resolução e problemas e valor e contorno é o métoo e Fourier. A valiae esse métoo epene a consieração e que toas as funções, escritas nas conições e fronteira, tenham expansão em série e Fourier, ou seja, as conições e fronteira são o tipo Sturm-Liouville, o que permite encontrar a solução o problema e valor e contorno em termos e conjuntos ortogonais e funções. Depeneno o tipo e sistema e coorenaas no qual a equação iferencial estará seno resolvia, o problema e Sturm-Liouville envolverá a equação e Legenre. O métoo a separação e variáveis é um os métoos usao nas investigações sobre onas e vibrações. A sua característica essencial é a substituição a EDP por um conjunto e equações iferenciais orinárias (EDO). A solução esejaa a equação iferencial parcial se exprime então como uma soma constituía pelas soluções as equações iferenciais orinárias. Ao encontrar as soluções gerais as equações orinárias, a solução final será o prouto as funções encontraas. Neste artigo, propõe-se resolver a equação e Schröinger (), escrita em coorenaas esféricas, para o átomo e hirogênio, através o métoo e separação e variáveis. h µ r + V r r ψ r sen ( r, θ, ϕ ) ψ ( r, θ, ϕ ) = E ψ ( r, θ, ϕ ) + r θ sen θ θ ψ θ + r sen ψ + θ ϕ Seguno Schröinger [8], à primeira vista, esta equação parece oferecer aos maus meios e resolver problemas atômicos, por exemplo, a efinição e níveis iscretos e energia no átomo e hirogênio. Tratano-se e uma equação iferencial parcial, oferece uma vasta multipliciae e soluções, uma multipliciae mesmo e uma maior orem e magnitue transcenente ao sistema e soluções e equações iferenciais orinárias a mecânica comum. Para a resolução, a função ψ (, θ, ϕ) funções, ψ ( r, θ, ϕ) = ( r) Φ( ϕ) Θ( θ), one ( r) () r poe ser escrita como um prouto e três é uma função que epene somente e r e representa o movimento raial e afastamento o elétron. Φ (ϕ ) é uma função que epene somente e ϕ e mostra a posição polar o elétron. Θ (θ ) é uma função que epene somente e θ e mee a posição azimutal a trajetória o elétron. Vetor, io Grane, v.8, n., p ,

5 Assim, para resolver a equação e Schröinger, é preciso encontrar as erivaas parciais e ψ em relação às variáveis r, ϕ e θ, iviir a equação por Φ Θ, multiplicar os termos a equação resultante por r sen θ e, posteriormente, simplificar a mesma. Assim obtém-se a seguinte equação: h sen θ µ r senθ Φ" ( r ' ) + ( sen θθ' ) + + V( r,θ, ϕ) Θ θ Φ r sen θ Er sen θ= 0 (.) Em seguia, ao multiplicar toos os termos a equação (.) por µ h e sabeno que o potencial elétrico ( r, θ, ϕ) e 4 πε r senθ sen θ e r senθ ( r ' ) + ( senθ Θ' ) Θ θ V 0 =, tem-se: Φ" µ e + r senθ = 0 E 4 Φ h πε0r Agora, resolveno por separação e variáveis as equações (.3) e (.4) r senθ µ e ( r ' ) + ( senθ Θ' ) r sen θ E = m Θ θ h 4πε0r (.) (.3) Φ " Φ = m (.4) chega-se a seguinte conclusão: na equação (.4) as raízes o polinômio característico são λ = ± mi e m é um número inteiro não negativo, que representa o número quântico magnético. Dessa forma, para a solução movimento e giro elétron no sentio horário, será : λ = mi, ou seja, o imϕ Φ ( ϕ) = N e (.5) seno que Φ (ϕ) é a função ona o átomo e hirogênio, a qual contém toa a epenência em função o potencial ϕ, one ϕ varia e 0 a π. Portanto, para encontrar N é preciso normalizar a função (.5). Deste moo, basta substituir o valor e imϕ N = π, em (.4). Assim, Φ ( ϕ) = ( π ) e. m Tomano a equação (.), chega-se as seguintes equações: r µ ( ') e r + r + E = l( l + ) h 4πε0r (.6) e Vetor, io Grane, v.8, n., p ,

6 Θsenθ θ m sen θ ( senθ Θ' ) = l( l + ) (.7) r Organizano e simplificano (.6) : r r r ( r) ( l ) µ e l E 4 h πε 0r r ( r) = 0 (.8) A equação (.8) é a equação raial, cujas soluções são as funções e Laguerre. Então, a solução poe ser escrita na forma e senθ u nl ( r) = N nl e ξ L ξ l l+ n+ Para a equação (.7) : θ ( senθ Θ' ) ( ξ) m + + l( l + ) 0 sen Θ = θ Ao fazer as transformações necessárias e substituições, encontra-se ( u ) Θ( u) + u m ( u ) + l( l + ) Θ ( u) = 0 (.9) (.0) As soluções a equação (.0), conhecias como equação polar, é através os polinômios associaos e Legenre. As soluções aceitáveis essa equação terão a seguinte forma: ( m Θl, m θ ) = Bl, msen θ Pl, m ( u) (.) Θ l, m = Deve-se saber também que se m > l = 0,,,..., então, 0. Por isso limitase o móulo e m ao intervalo 0 m l, one l = 0,,,... e representa o número quântico azimutal. Esse número etermina a forma o orbital, ou seja, etermina o momentum angular o elétron, que é ligao à sua energia cinética. A energia cinética é relacionaa com o movimento angular o elétron, então epene e l, mas é limitaa pela energia total o sistema, que é eterminao por n. Dessa forma, a solução a equação (.) será a expressão (.) [ ] m sen θ m m l l ( l + )( l m)! ( ) ( u ) Θ ( θ ) u l,m = m l l (.) 4π ( l + m)! u l! u Vetor, io Grane, v.8, n., p ,

7 ψ Enfim, como citou-se inicialmente, a resolução para o átomo e hirogênio é ( r, θ, ϕ ) = ( r) Φ( ϕ) Θ( θ ), isso nos leva à seguinte solução: ψ n, l, m ( r, θ, ϕ) 3 ξ n l ( n l )! = e 3 na p= 0 [( n + l)! ] m m l l ( ) ( u ) u u m l l! n [ ] m imϕ u l sen θ e π ( ) p [( n + l)! ] ( l + )( l m)! ξ ( n l p)!(l + + p)! p! p 4π ( l + m)! ESULTADOS E DISCUSSÕES Um orbital é, essencialmente, o e estao o elétron entro o átomo, ou seja, é região a eletrosfera one há maior probabiliae e estar localizao o elétron o átomo. Too orbital o átomo e hirogênio é efinio por três números quânticos: n, l, m. Os ois números l e m vêm as soluções angulares. Quano n = iz-se que o elétron está na camaa K. Para n =,3,4,..., iz-se que o elétron está na camaa L, M, N, O, P ou Q. Por sua vez, caa camaa é iviia em subcamaas, que corresponem aos iferentes conjuntos e números quânticos l e m. Como l é epenente o valor e n, é possível saber para caa nível e energia o átomo e hirogênio o número e tipo e orbitais possíveis. Assim, n está relacionao com a imensão o orbital. É possível afirmar que para um ao nível e energia, caracterizao pelo valor e l, existem l+ possíveis autofunções, eterminaas pelo valor e m amitio, já que m = -l, -(l-),...,0,... l. No caso o átomo e hirogênio as conições l m l e 0 l n, levam a autofunções para caa valor próprio e nível e energia. Nas figuras a seguir observam-se algumas funções Y θ, ϕ) = Θ ( θ). Φ ( ) em l, m ( l, m m ϕ iagramas polares em três imensões, construíos no aplicativo Maple 0, que ilustram as afirmações feitas anteriormente. O ângulo θ mee-se ao respeito o eixo z, por isso usa-se θ = π θ. 0 A FIGUA representa o orbital o nível um, em três imensões. Assume-se o conjunto e valores n =, l = 0 e m = 0, para obter a relação Y ( θ ) 4π. 0,0 = n Vetor, io Grane, v.8, n., p ,

8 Figura. epresentação em três imensões o orbital o nível um o átomo e hirogênio. Para o conjunto e valores = n, l = e = 0 resultao está representao pela FIGUA 3. m, tem-se Y ( θ ) = 3 4π cos θ. Este,0 Figura 3. epresentação em três imensões o orbital o nível o átomo e hirogênio, com m=0. A FIGUA 4 apresenta o orbital o nível 3, em três imensões, seno ( 3cos θ ) 5,0 ( θ) = 4π Y a expressão que origina os gráficos, com o conjunto e valores n = 3, l = e m = 0. Figura 4. epresentação em três imensões o orbital o nível 3 o átomo e hirogênio, com m=0. Vetor, io Grane, v.8, n., p ,

9 Observano as figuras acima, poe-se afirmar que, quano se resolve a equação e Schröinger para o átomo e hirogênio, obtêm-se as energias para os níveis energéticos e os orbitais atômicos. Encontrano assim um iagrama e níveis energéticos no interior o átomo, isto é, um átomo constitui-se e um sistema energético quantizao. Para valiar as simulações realizaas, utilizou-se o software Hyrogenic Atom Viewer v.5 []. As FIGUAS 5 e 6, comprovam que os resultaos encontraos, a partir a solução analítica a equação e Schröinger, estão e acoro com os encontraos na literatura. Figura 5. epresentação o orbital 3, consierano n=3, l= e m=0. Figura 6. epresentação o orbital s, consierano n=, l=0 e m=0. Vetor, io Grane, v.8, n., p ,

10 Constata-se que o conteúo energético o átomo vai aumentano a caa camaa energética. Isso ocorre porque o elétron em eterminao ponto e istância o núcleo começa a entrar em excitação liberano, assim, energia. Além isso, um elétron só poe assumir eterminaos níveis e energia no átomo, aos quais correspone um número quântico principal, n, n =,,...,+, e está relacionao com a imensão a orbital, com a energia o nível a orbital. O número quântico e momento angular l, l = 0,,,..., n- está relacionao com a forma a orbital, especifica o tipo e orbital. Já, o número quântico magnético m, m = -l,..., 0,..., +l está relacionao com a orientação as orbitais no espaço CONCLUSÕES O átomo e hirogênio é um sistema complexo, apesar e ser um átomo com uma constituição muito simples, é um sistema triimensional, o que obriga à utilização a equação e Schröinger a três imensões, a energia potencial o seu elétron varia com a posição. A equação e Schröinger naa mais é o que uma equação iferencial e seguna orem, a qual poe ser aplicaa a um sistema como o átomo e hirogênio, e assim, se calcular os níveis e energias corresponentes. A equação e Schröinger é e fácil utilização para o átomo e hirogênio, porém, quano aumentao o número atômico, os métoos numéricos são mais eficazes e facilitam a resolução o problema. Essa equação encontra limitações, pois só se aplica a partículas com velociaes baixas; Os gráficos apresentam algumas formas e posições para o átomo e hirogênio, que estão e perfeito acoro com a literatura, e para confirmar a veraciae as respostas utilizou-se o software Hyrogenic Atom Viewer v.5. Nas figuras poe-se entener a transição que o elétron faz nos orbitais e que quanto mais longe o núcleo o elétron começa a entrar em excitação, ficano assim caa vez mais rápio o que faz ocorrer a troca para outros níveis e energia. EFEÊNCIAS BIBLIOGÁFICAS [] BOYCE, W.E.; DIPIMA,.C. Equações iferenciais elementares e problemas e valores e contorno. 7. e. io e Janeiro: LTC, 998. Vetor, io Grane, v.8, n., p ,

11 [] FALSTAD, P. Hyrogenic Atom Viewer. v.5, 008. Disponível em: < Acesso em: 30 e Abril e 00. [3] FELTE,. Funamentos a Química. São Paulo: Eitora Moerna, volume único,996. [4] FOMOSINHO, S.J.; VAANDAS, A.J.C. Estrutura e reactiviae molecular: uma introução com base no moelo a caixa e potencial. Lisboa: Funação Calouste Gulbenkian, 986. [5] KAPLAN, W. Cálculo avançao. São Paulo: Egar Blücher, v., [9--]. [6] PESSOA Jr., O. Conceitos e física quântica.. e. São Paulo: Livraria a Física, 005. [7] POHL, H.A. Introução à mecânica quântica. São Paulo: Egar Blücher, 97. [8] SCHÖDINGE; E. An Unulatory theory of the mechanics of atoms an molecules.the Physical eview, v.8, n.6, p , ez. 96. [9] SEAS, F.; YOUNG, H.D.; ZEMANSKI, M. W. Física.. e. io e Janeiro: LTC, 996. v.. [0] STEPHENSON, G. Uma introução às equações iferenciais parciais para estuantes e ciência. São Paulo: Egar Blücher, 975. [] ZILL, D.G. Equações iferenciais, São Paulo: Pioneira, 003. Vetor, io Grane, v.8, n., p ,