CURSO DE CÁLCULO I PROF. MARCUS V. S. RODRIGUES

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1 CURSO DE CÁLCULO I PROF. MARCUS V. S. RODRIGUES FORTALEZA - 009

2 Curso e Cálculo I Capítulo SUMÁRIO Capítulo Limite e continuiae.. Limites: Um conceito intuitivo.. Limites: Técnicas para calcular 9.. Limites: Uma efinição matemática 9.4. Continuiae 5.5. Limites e continuiae as funções trigonométricas 65 Eercícios propostos (Capítulo ) 76 Capítulo A erivaa 79.. A reta tangente e a erivaa 79.. Técnicas e iferenciação 89.. Derivaa e funções trigonométricas 0.4. Regra a caeia Diferenciais e aproimação linear local 0 Eercícios propostos (Capítulo ) 7 Capítulo Funções Logarítmicas e Eponenciais.. Funções inversas.. Diferenciação implícita 4.. Derivaas as funções logarítmicas e eponenciais 4.4. Derivaa as funções inversas trigonométricas e a Regra e L Hopital 59 Eercícios propostos (Capítulo ) 70 Capítulo 4 Aplicações a erivaa Crescimento, ecrescimento e concaviae Etremos relativos Etremos absolutos e gráficos Problemas e otimização Eercícios propostos (Capítulo 4) 6 Respostas os eercícios propostos 0 Referências Bibliográficas

3 Curso e Cálculo I Capítulo CAPÍTULO LIMITE E CONTINUIDADE. Limites: Um conceito intuitivo Dois problemas geométricos estimularam o esenvolvimento o Cálculo: achar a área e regiões planas e achar retas tangentes às curvas. Em ambos os casos se requerem um processo e limite para obter a solução. Porém, o processo e limite ocorre em várias situações, seno o conceito e limite o alicerce sobre o qual toos os conceitos e cálculo estão baseaos. Em geral, poe-se izer que o uso básico e limites é o e escrever o comportamento e uma função quano a variável inepenente se aproima e certo valor. Por eemplo, seja a função; f = Esta função não está efinia para =, porém, poe-se analisar o seu comportamento nas proimiaes e =. Isto é, interessa-se o comportamento e f para valores e próimos a, porém não para =. A aproimação a poe-se ocorrer e uas formas, por valores menores o que, isto é pela esquera, e por valores maiores o que, isto é pela ireita. Dese moo poe-se construir a tabela., apresentaa logo a seguir. Tabela. X,9,99,999,9999,000,00,0, f(),9,99,999,9999,000,00,0, Para reforçar este comportamento poe-se analisar, também, o gráfico a função que é apresentao na figura..

4 Curso e Cálculo I Capítulo 4 Figura. f Analisano a tabela. e a figura. fica eviente que os valores e tornam-se caa vez mais próimos e à meia que estiver mais próimo e, por qualquer um os laos, esquero ou ireito. Poe-se também, tornar os valores e f ( ) o mais próimo que se eseje e, fazeno suficientemente próimo e. Definição... Se os valores e f ( ) puerem ser efinios tão próimos quanto queira e um número L, fazeno suficientemente próimo e p (porém não igual a p ), ou seja; f L quano p, então, escreve-se: lim p f = L (.) escreve-se: Neste caso, tem-se que quano, então, lim =

5 Curso e Cálculo I Capítulo 5 O que foi feito anteriormente foi simplesmente uma conjectura a respeito o valor o limite lim gráficos, para verificar o valor este limite., usano argumentos algébricos e Eemplo Resolvio... Faça uma conjectura sobre o valor o seguinte limite: lim Solução. Observe que esta função não está efinia para =, então, fazeno os valores e se aproimarem e, tanto pela esquera, quanto pela ireita, poe-se construir a tabela.. Logo em seguia tem-se o gráfico cartesiano a função. Tabela. 0,9 0,99 0,999 0,9999,000,00,0, f(),9,99,999,9999,000,00,0, Figura.

6 Curso e Cálculo I Capítulo 6 Da análise a tabela. e o gráfico a pela figura., tem-se: quano (por ambos os laos) logo, poe-se escrever: lim = Eemplo Resolvio... Faça uma conjectura sobre o valor limite: lim 0 + Solução. Esta função não está efinia para = 0, então, fazeno os valores e se aproimarem e 0, tanto pela esquera, quanto pela ireita, poe-se construir a tabela.. Tabela. 0,0 0,00 0,000 0, ,0000 0,000 0,00 0,0 f(),994987,9995,99995,999995,000005,00005,0005, Para fazer o gráfico a função, poe-se simplificar algebricamente a epressão o limite. Para 0, tem-se: ( + + ) ( + + ) + + = = = = Poe-se concluir que o gráfico a função é igual ao gráfico a função y= + + para 0.

7 Curso e Cálculo I Capítulo 7 Figura. Analisano os aos a tabela. e o gráfico ao pela figura., tem-se que: + quano 0 (por ambos os laos) logo, poe-se escrever: lim = + O limite ao pela equação. é chamao comumente e limite bilateral, porque requer que os valores e f ( ) fiquem caa vez mais e L quano tene a p por qualquer lao. Porém algumas funções apresentam comportamentos iferentes em caa um os laos e um ponto p. Em resumo, ao se procurar o limite e f ( ) quano tene a p nunca se consiera = p. Na realiae, a função não precisa estar efinia para = p, como visto nos eemplos anteriores. O que importa é como f está efinia nas proimiaes o ponto p.

8 Curso e Cálculo I Capítulo 8 Em muitas situações a função poe apresentar comportamentos iferentes nas proimiaes e um ponto p. Por eemplo, consiere a função: f se > 0 = = se < 0 no qual o gráfico é apresentao na figura.4. Figura.4 Quano se aproima e 0 pela esquera os valores e f ( ) tenem a (na realiae são iguais a para esses valores), e quano se aproima e 0 pela ireita os valores e f ( ) tenem a (na realiae são iguais a para esses valores). Descrevem-se essas afirmações izeno que o limite e f = é quano tene a 0 pela ireita e que o limite e é quano tene a 0 pela esquera. f =

9 Curso e Cálculo I Capítulo 9 Definição... Se os valores e f ( ) poem se tornar tão próimo e L quanto queira, fazeno suficientemente próimo e p (porém maior que p), ou seja: se f L quano p + poe-se escrever: lim + p f = L (.) Definição... Se os valores e f ( ) poem se tornar tão próimo e L quanto queira, fazeno suficientemente próimo e p (porém menor que p), ou seja: se f L quano p poe-se escrever: lim p f = L (.) Para a função f = nas proimiaes e 0, tem-se: quano 0 e quano 0 + poeno escrever: lim = (limite lateral à esquera) e 0 logo se poe concluir que não eiste o limite lim = (limite lateral à ireita), + 0 lim 0.

10 Curso e Cálculo I Capítulo 0 Teorema... O limite bilateral e uma função eiste em um ponto p se, e somente se eistirem os limites laterais naquele ponto e tiverem o mesmo valor; isto é: = = = lim f L lim f L lim f p + p p (.4) Eemplo Resolvio... Faça o gráfico a função e etermine os limites laterais em =. Verifique se eiste lim f. f + < se = se > Solução. A função é efinia por partes, isto é, a função tem uas leis e formação. Para o intervalo (,) é função se comporta como uma função polinomial e epressão f = + e para o intervalo, + a função se comporta como uma função linear e epressão f =. Logo, o gráfico a função é apresentao na figura.5. Figura.5

11 Curso e Cálculo I Capítulo De acoro com a figura.5, poe-se ver claramente que quano se aproima e pela esquera f ( ) é a parábola e equação + e se aproima e, isto é: f quano aí poe-se escrever: lim f = (limite lateral à esquera) Poe-se ver também que quano se aproima e pela ireita f ( ) é a reta e equação e se aproima e, isto é: f quano aí poe-se escrever: + lim f = (limite lateral à ireita) + Como os limites laterais são iferentes não eiste o limite e f quano tene a, isto é: = = lim f lim f lim f + Em muitas situações os limites laterais não eistem evio ao fato e os valores a função crescer ou ecrescer inefiniamente. Por eemplo, analisano o comportamento a função f poe-se construir a tabela.4. = nas proimiaes e = 0, Tabela.4-0, -0,0-0,00-0, ,000 0,00 0,0 0, f()

12 Curso e Cálculo I Capítulo Figura.6 Analisano os aos apresentaos na tabela.4 e através a figura.6 que mostra o gráfico a função fica eviente o seguinte: à meia que fica mais próimo e 0 pela esquera, os valores e f = são negativos e ecrescem inefiniamente e à meia que fica mais próimo e 0 pela ireita, os valores e f = são positivos e crescem inefiniamente. Definição..4. Se os valores e f ( ) crescem inefiniamente quano tene a p, pela ireita ou pela esquera; ou seja: f + quano p + ou f + quano p então poe-se escrever: lim + p f =+ ou lim f p =+

13 Curso e Cálculo I Capítulo Definição..5. Se os valores e f ( ) ecrescem inefiniamente quano tene a p, pela ireita ou pela esquera; ou seja: f quano p + ou f quano p então, escreve-se: lim + p f = ou lim f p = Logo o comportamento a função f poe ser resumio a seguinte forma: = nas proimiaes e 0, quano 0 e + quano + 0 aí tem-se: lim p = e lim + p =+ Eemplo Resolvio..4. De acoro com os gráficos apresentaos na figuras.7 e.8, escreva o limite em = p na notação e limite apropriao. Figura.7

14 Curso e Cálculo I Capítulo 4 Figura.8 Solução (a). A função ecresce inefiniamente quano tene a p pela esquera e cresce inefiniamente quano tene a p pela ireita. Então: lim = p p e lim + = + p p Solução (b). A função cresce inefiniamente quano tene a p pela esquera e ecresce inefiniamente quano tene a p pela ireita. Então: lim p p =+ e lim + p p = Solução (c). A função cresce inefiniamente quano tene a p tanto pela esquera como pela ireita. Então: lim p p ( ) =+ e lim = + + p ( p) lim p p ( ) Neste caso poe-se escrever por comoiae: =+

15 Curso e Cálculo I Capítulo 5 Solução (). A função ecresce inefiniamente quano tene a p tanto pela esquera como pela ireita. Então: lim p p ( ) = e lim + p p ( ) = lim p p ( ) Neste caso poe-se escrever por comoiae: = Definição..6. Uma reta = p é chamaa e assíntota vertical o gráfico e uma função f ( ) se f esquera ou pela ireita. tene a + ou, quano tene a p pela Às vezes se está interessao em saber o comportamento a função não em torno e um ponto específico p, e sim quano a variável cresce ou ecresce inefiniamente. Isto é chamao e comportamento final a função, pois escreve como a função se comporta para valores e que estão longe a origem. Novamente consiera-se a função f =, mas agora para valores e que estão bem istantes a origem. Fazeno crescer e ecrescer sem limitação, poe-se construir a tabela.5. Tabela f() -0,000-0,00-0,0-0, 0, 0,0 0,00 0,000 ecresce sem limitação cresce sem limitação

16 Curso e Cálculo I Capítulo 6 É eviente a partir a tabela.5 e pelo gráfico a função (ver figura.6), que à meia que os valores e ecrescem sem limitação, os valores e f = são negativos, mas aproimam-se muitíssimo e 0 ; analogamente, à meia que os valores e crescem sem limitação, os valores e f = são positivos, mas aproimam-se muitíssimo e 0. Definição..7. Se os valores e f ( ) subseqüentemente ficam caa vez mais próimos e um número L, à meia que cresce sem limitação; ou seja: f L quano + então, escreve-se: lim + f = L. Definição..8. Se os valores e f ( ) subseqüentemente ficam caa vez mais próimos e um número L, à meia que ecresce sem limitação; ou seja: f L quano então, escreve-se: lim f = L. f Logo, poem-se escrever os comportamentos limitantes a função = a seguinte forma: lim = 0 e lim = 0 + Definição..9. Uma reta y= L é chamaa e assíntota horizontal o gráfico e uma função f ( ) se f L, quano + ou.

17 Curso e Cálculo I Capítulo 7 Eemplo Resolvio..5. De acoro com o gráfico a função f apresentao na figura.9 etermine os limites no infinito. = Figura.9 Solução. De acoro com o gráfico a função (ver figura.9) tem-se que à meia que cresce sem limitação f ( ) se aproima caa vez mais e, isto é: quano + concluino que: lim = +

18 Curso e Cálculo I Capítulo 8 Analogamente, tem-se que à meia que ecresce sem limitação f ( ) se aproima caa vez mais e, isto é: quano concluino que: lim = A reta y = é a assíntota vertical o gráfico a função f =. Definição..0. Se os valores e f ( ) crescem sem limitação quano + ou ; ou seja: f + quano + ou f então, escreve-se: + quano lim + f =+ ou lim f = + Definição... Se os valores e f ( ) ecrescem sem limitação quano + ou ; ou seja: f quano + ou f então, escreve-se: quano lim + f = ou lim f =

19 Curso e Cálculo I Capítulo 9. Limites: Técnicas para calcular Inicialmente estabelecem-se os limites básicos para algumas funções simples e em seguia esenvolvem-se um repertório e teoremas que possibilitará usar estes limites como blocos e construção para encontrar limites e funções mais complicaas. Teorema.. (Limites básicos). () lim = () lim ( k) = k () lim ( k) k k p + (4) lim = p (5) lim = + (6) lim p + = k = (7) lim =+ + 0 (8) lim = 0 (9) lim = 0 + (0) lim = 0 Figura.0 Esses limites aos pelo teorema.. poem ser confirmaos através o gráfico (ver figura.0) as funções y= k (função constante), y= (função ientiae) e y= (função recíproca).

20 Curso e Cálculo I Capítulo 0 Teorema... Suponha que lim representa um os limites lim, lim lim + ou lim. Se eistirem L = f e L g lim lim f ± g = lim f ± lim g = L ± L. () lim f g = lim f lim g = L L. () p = lim, então: p, lim, p + () f lim f L lim = = g lim g L se L 0. lim f = lim f = n L ese que L 0 se n for par. (4) n n n n n (5) lim f = lim f = ( L ). Corolário... Suponha que lim representa um os limites lim, lim, lim, lim p + + ou L = lim f, então: n n lim p p. Se eistirem L = lim f, L lim f =,..., () lim f ± f ±... ± f = lim f ± lim f ±... ± lim f n = L± L ±... ± Ln () lim f f... f = lim f lim f... lim f n = f f f lim lim... lim n n n Eemplo Resolvio... Seno lim f =, lim g = 4 e h Determine: (a) lim g f (b) g lim h f lim = 0.

21 Curso e Cálculo I Capítulo (c) lim + () lim + f g f g h Solução (a). Aplica-se a proprieae () o teorema... lim g f = lim g lim f = 4 = 4 + = 7 Solução (b). Inicialmente aplica-se a proprieae () o teorema.. e em seguia aplicam-se as proprieaes (4) no numeraor e () no enominaor, o referio teorema. g g lim lim g 4 lim = = = = h f lim h f lim h lim f 0 ( ) Solução (c). Inicialmente aplica-se a proprieae (4) o teorema.. e em seguia aplicam-se a proprieae () e logo epois, a proprieaes (5) o referio teorema. lim f g lim + = f + g( ) lim = lim f + g = lim f + lim g = ( 4) + ( ) = 5 Solução (). Inicialmente a aplica-se a proprieae () o teorema.. e em seguia aplicam-se nas parcelas as proprieaes () e (5), respectivamente, o referio teorema. lim f g h lim f g lim h + = + ( ) = lim f lim g + lim h = ( 4)( ) + ( 0) =

22 Curso e Cálculo I Capítulo Eemplo Resolvio... Ache: (a) lim + n (b) lim n Solução (a). Aplicano a proprieae (5) o teorema.., tem-se: lim = lim lim 0 + n = = + + n n Solução (b). Aplicano a proprieae (5) o teorema.., tem-se: lim = lim lim 0 n = = n n fórmulas: Do eemplo resolvio.. poem-se escrever as seguintes lim = 0 + n (.5) lim = 0 n (.6) Corolário... Suponha que lim representa um os limites lim, lim, lim, lim p + + ou lim. Se eistirem L lim f ( ) lim k f = lim k lim f = k L p p = e k um número real, então: Ou seja, em outras palavras o que o corolário afirma é que: um fator constante poe ser movio através o símbolo e limite.

23 Curso e Cálculo I Capítulo Eemplo Resolvio... Seno k uma constante real, então, ache: (a) lim + k n (b) lim k n Solução (a). Inicialmente poe-se escrever o quociente como um prouto entre a constante k e a função k lim = lim k k lim k( 0) 0 + n n = n = = + + n e em seguia aplica-se o corolário... Solução (b). Inicialmente poe-se escrever o quociente como um prouto entre a constante k e a função k lim = lim k k lim k( 0) 0 n n = n = = n e em seguia aplica-se o corolário... Dos eemplos resolvios.. e.., poem-se escrever as seguintes fórmulas, seno k uma constante real qualquer. k lim = 0 + n (.7) k lim = 0 n (.8) Eemplo Resolvio..4. Ache o valor o limite lim ( 9) +. Solução. Inicialmente, poe-se epressar este limite como a soma e limites, corolário... Em seguia aplica-se a proprieae o corolário... nas parcelas e epois a proprieae (5) o teorema...

24 Curso e Cálculo I Capítulo 4 ( + ) = ( ) ( ) + lim 9 lim lim lim lim 9 ( ) ( ) = lim lim + lim lim 9 = lim lim + lim 9 = + 9= Eemplo Resolvio..5. Ache o valor o limite lim. + 9 Solução. Inicialmente usa-se a parte () o teorema.. e em seguia a parte (4) o mesmo teorema. lim lim = + 9 lim + 9 = = = lim 9 ( + ) Nos eemplos vistos anteriormente, poe-se ver que o cálculo e limites se resume à aplicação as proprieaes vistas no teorema.. e e seus corolários,... e..., para reuzir este limite aos limites básicos aos no teorema... Porém em muitos casos este cálculo poe se tornar eaustivo e repetitivo, então, em seguia serão apresentao teoremas que tornam estes cálculos mais rápios e iretos.

25 Curso e Cálculo I Capítulo 5 Teorema... Para qualquer polinômio: 0... n n p = a + a + + a (.9) e qualquer número real c, então: n lim p = lim a + a a = p c (.0) c c 0 n Prova. n = ( n ) lim p lim a a... a c c = lim a + lim a lim a 0 c c c = lim a + a lim a lim n 0 n c c c = a0 + ac a c = p c n n n n Em outras palavras, o teorema.. iz que: o limite e um polinômio em um ponto e seu omínio é a própria imagem este ponto. Eemplo Resolvio..6. Calcule lim ( 4) +. Solução. Como o limite e um polinômio em um ponto e seu omínio é própria imagem este ponto. Isto é o limite é encontrao através a substituição ireta. ( ) lim + 4 = + 4= =

26 Curso e Cálculo I Capítulo 6 Eemplo Resolvio..7. Calcule lim Solução. Inicialmente usa-se a proprieae (4) o teorema.. e em seguia a proprieae () o mesmo teorema, e, finalmente, o teorema... ( ) 4 4 lim 4 = = = = lim lim lim forma O intuito agora é efinir como se comporta a função polinomial a n para n =,,, 4,..., quano + e. A figura. apresenta os gráficos para os casos particulares em que n =, e 4, respectivamente, e os seus limites no infinito. Figura.

27 Curso e Cálculo I Capítulo 7 Os resultaos apresentaos na figura. são os casos particulares o seguinte caso geral: lim + n = + (.) lim n + = se n par se nímpar (.) Eemplo Resolvio..8. Calcule os limites no infinito. (a) lim + k n (b) lim k n Solução (a). n n + se k> 0 lim k = k lim = + + se k < 0 Solução (b). (i) n n + se k > 0 lim k = k lim = n par se k < 0 (ii) n n se k > 0 lim k = k lim = n ímpar + se k < 0 Teorema..4. Um polinômio se comporta como seu termo e maior grau quano + ou. n n ( a0 a an ) ( an ) lim = lim (.) + + n n ( a0 a an ) ( an ) lim = lim (.4)

28 Curso e Cálculo I Capítulo 8 Eemplo Resolvio..9. Calcule os limites. (a) lim ( ) (b) lim ( ) + Solução (a). Como o polinômio se comporta como seu termo e maior grau, tem-se: ( ) ( ) lim = lim 5 = Solução (b). Como o polinômio se comporta como seu termo e maior grau, tem-se: lim + = lim = Uma função racional é uma razão entre ois polinômios, ou seja, é f uma função o tipo g calcular o limite não. f lim p g com g( ) 0. Neste caso, há três métoos para se, epeneno se lim p g converge para zero ou lim g 0, então, usa-se o fato e que o limite a razão é a Se p razão os limites, ou seja: lim p lim f f p f p = = g lim g g p p (.5) Em outras palavras se lim g ( ) 0, o limite f lim p p g substituição ireta. eve ser calculao por

29 Curso e Cálculo I Capítulo 9 Eemplo Resolvio..0. Ache 7 lim. Solução. Como ( ) lim = 0, então o limite eve ser calculao por substituição ireta, logo: 7 7 lim 9 = = + Eemplo Resolvio... Calcule lim. 4 Solução. Inicialmente tem que ser usao o fato e que o limite a raiz cúbica é a raiz cúbica o limite, ou seja: lim + + = lim 4 4 ( ) Agora se calcula o limite a função racional e evio ao fato e que lim 4 = 8 0, então: + + lim = = lim Logo, + + = lim = = 4 4 8

30 Curso e Cálculo I Capítulo 0 Se lim g ( ) = 0 e lim = 0 p p terão um fator comum ( ) cancelano-se primeiro os fatores comuns. Se ( p ) é fator e f f = ( p) F( ) e se ( p ) é fator e g( ) então = ( ) aí: f, então o numeraor e enominaor p e o limite poe, freqüentemente, ser calculao então g p G, ( ) ( ) f p F F lim = lim = lim p g p p G pg (.6) Eemplo Resolvio... Calcule lim 9. lim = 0 Solução. Como ( ), logo, e ( ) ( )( + ) lim 9 = 0, então, há um fator comum 9 lim = lim = lim ( + ) = 6 Eemplo Resolvio... Calcule + lim + +. Solução. Como lim ( + ) = 0 e ( ) + comum ( + ), logo, ( + )( + ) lim + = 0, então, há um fator lim = lim = lim

31 Curso e Cálculo I Capítulo Tem-se uma nova função racional, então, eve-se verificar se o limite o enominaor é igual à zero ou não. Como ( ) limite eve ser calculao por substituição ireta. + ( ) ( ) + lim = = = lim =, então, o + Se lim g ( ) = 0 e lim f ( ) 0, então f lim p p p g é + ou, ou e um lao + e o outro, ou vice versa. Neste caso, evem-se calcular os limites laterais e para isso eve-se analisar o sinal a epressão proimiaes o ponto = p. f g nas Eemplo Resolvio..4. Calcule lim +. Solução. Como lim ( + ) = 0 e ( ) lim = 0, então, evem-se calcular os limites laterais. Sabe-se que os limites laterais são o tipo, então resta saber o sinal. (i) Quano se aproima e pela esquera, < o que implica que + < 0 e como nas proimiaes e = tem-se < 0 > 0. Daí poe-se concluir que: + lim =+ +, então, tem-se que

32 Curso e Cálculo I Capítulo (ii) Quano se aproima e pela ireita, > o que implica que + > 0 e como nas proimiaes e = tem-se < 0 < 0. Daí poe-se concluir que: +, então, tem-se que lim + = + Um moo mais prático e resolver estes limites é através a análise o sinal a epressão +, que é ao pela figura.: Figura. Logo, poe-se concluir que: lim =+ + e lim =. + Em alguns casos e limites envolveno funções com raicais, poese usar um proceimento semelhante ao utilizao no cálculo para funções racionais. Neste caso eve-se simplificar a epressão o limite através a fatoração os termos.

33 Curso e Cálculo I Capítulo Eemplo Resolvio..5. Calcule lim Solução. Como ( + ) lim = e lim = 0, então para resolver + 0 este limite eve-se simplificar a epressão o limite. Ou seja: = lim ( + ) ( + ) = = + ( ) ( ) = = ( ) = Logo, tem-se: = + + lim Como ( ) + 0 substituição ireta, isto é: + 0 ( ) ( ) lim = 0, poe-se calcular o limite através a ( ) lim = = = Daí tem-se: lim = + +

34 Curso e Cálculo I Capítulo 4 Para se calcular os limites no infinito e uma função racional evemse iviir numeraor e enominaor pela potência mais alta e que aparece no enominaor, logo toas as potências e tornam-se constantes ou potências e. Eemplo Resolvio..6. Calcule 5 lim 4 6. Solução. Divie-se numeraor e enominar por, aí: 5 5 lim 5 0 lim lim = = = = = lim 6 Eemplo Resolvio..7. Ache + 5 lim Solução. Divie-se numeraor e enominar por lim = lim , aí: 5 lim = = = = lim 5 + +

35 Curso e Cálculo I Capítulo 5 Outra maneira e se resolver estes limites é consierano o fato e que como uma função racional é uma razão entre ois polinômios e como o polinômio se comporta como seu termo e maior grau no infinito, logo se n m = ( ) e g b b b ( b ) f a0 a... an an 0 = m m 0, então: n n lim = lim = lim m m f a a a a g b b b b n m n m (.7) e n n lim = lim = lim + + m m f a a a a g b b b b n m n m (.8) Ou seja, uma função racional comporta-se quano + e, como a razão entre os termos e mais alto grau no numeraor e no enominaor. Eemplo Resolvio..8. Ache lim Solução. Usano o fato anterior tem-se: lim = lim = lim ( 7) = Eemplo Resolvio..9. Calcule: (a) lim + + (b) lim +

36 Curso e Cálculo I Capítulo 6 Em ambos os itens, seria mais prático manipular a função e forma que as potências e se tornem potências e. Poem-se conseguir isto em ambos os termos iviino-se numeraor e enominaor por e lembrano o fato que =. Solução (a). Diviino, então, numeraor e enominaor por, tem-se lim + = lim Como = e para > 0 tem-se =, aí: lim lim lim lim + + = = = = = lim + lim Solução (b). Fazeno o mesmo proceimento aotao no item (a), então: lim = lim + + Como = e para < 0 tem-se =, aí: lim lim lim lim = = = = = + + lim + lim +

37 Curso e Cálculo I Capítulo 7 No caso e limite e funções efinias por partes, evem-se calcular separaamente os limites laterais e verificar a eistência o limite bilateral (ver teorema..). Eemplo Resolvio..0. Seja caso eista, lim f. f se > =, então calcule, + 4 se < Solução. Como a função é efinia por parte evem-se calcular os limites laterais. Logo, lim f = lim + 4 = + 4 = e lim f = lim = = + + Como lim = = lim valor é ao por: f f, implica que eiste o limite e seu + lim f =. Eemplo Resolvio... Seja g caso eista, lim g. + se < = 0 se =, então calcule, + se > Solução. Como a função é efinia por parte evem-se calcular os limites laterais. Logo, lim g = lim + = + =

38 Curso e Cálculo I Capítulo 8 e lim g = lim + = lim + = + = + lim g. Como lim g = = lim + g, implica que não eiste o limite Eemplo Resolvio... Seja a função Determine, caso eistam, lim f e lim f 0. se < 0 f = se 0< <. se + > Solução. Inicialmente verifica-se a eistência e lim f 0 através o cálculo os limites laterais. Isto é, lim f = lim = 0 0 e lim f = lim = Como lim f = = lim f, tem-se que f Faz-se o mesmo para verificar a eistência e lim f lim f = lim = e lim f = lim + = + + lim =. 0. Isto é, Como lim f = = lim f, tem-se que lim f +.

39 Curso e Cálculo I Capítulo 9. Limites: Uma efinição matemática A efinição e limite aa na seção. este móulo foi baseaa na intuição e como o significao os valores e uma função fica caa vez mais próimo e um valor limitante. Porém, esta efinição é muito imprecisa e inaequaa para alguns propósitos, logo se torna necessário uma efinição mais precisa e um ponto e vista matemático. Par isso consiere a função f : R { p} R cujo gráfico é ao é apresentao na figura. e para o qual f L quano p. Figura. Escolhe-se um número positivo, ε, e traçam-se uas retas horizontais que passam pelos pontos L ε e L + ε, no eio y, para a curva y= f e, então, retas verticais aqueles pontos a curva para o eio (ver figura.4) e sejam 0 e os pontos one as retas verticais interseccionam o eio.

40 Curso e Cálculo I Capítulo 40 Figura.4 Fazeno se aproimar caa vez mais e p, por qualquer um os laos, tem-se que logo estará no intervalo ( 0, ) ; quano isto ocorre, o valor e f ( ) estará entre L ε e L + ε (ver figura.5). Ou seja, se f L quano p, então para qualquer ε > 0 tem-se um intervalo aberto (, ) no eio, com p (, ) e com a proprieae que para caa (, ) 0 0 0, eceto possivelmente p =, tem-se f ( L ε, L ε ) +. Figura.5

41 Curso e Cálculo I Capítulo 4 Definição.. (ª versão preliminar). Seja f ( ) uma função efinia em too e algum intervalo aberto que contenha o número p, com a possível eceção e que f ( ) não precisa ser efinia em p. Escreve-se: lim p f = L (.9) se ao ε > 0, poe-se encontrar um intervalo aberto ( 0, ) e moo que f ( ) satisfaça para caa (, ) 0 que contenha p L ε < f < L+ ε (.0), com a possível eceção e = p. Observa-se através a figura.5 que o intervalo (, ) amplia-se mais à ireita que à esquera. Então, para muitos fins é preferível ter um intervalo com a mesma istância e p. Escolhe-se um número positivo δ menor o que p e p 0 0, e consiere o intervalo ( p δ, p δ ) ampliam à mesma istância e p, em ambos os laos. Uma vez que a conição ε intervalo ( 0, ) e como ( p δ, p δ) ( 0, ) é vália para o intervalo ( p δ, p δ ) + que se L < f < L+ ε é vália para o +, então esta conição também +, como mostrao na figura.6.

42 Curso e Cálculo I Capítulo 4 Figura.6 Definição.. (ª versão preliminar). Seja f ( ) uma função efinia em too e algum intervalo aberto que contenha o número p, com a possível eceção e que f ( ) não precisa ser efinia em p. Escreve-se: lim p f = L (.) se ao ε > 0, poe-se achar um número 0 para caa ( p δ, p δ ) δ > tal que f satisfaça L ε < f < L+ ε (.) +, com a possível eceção e = p. L < f < L+ ε poe ser epressa como A conição ε f L < ε e a conição que está situao no intervalo ( p δ, p δ ) ser epressa como: 0< p < δ +, mas p, poe

43 Curso e Cálculo I Capítulo 4 Definição.. (versão final). Seja f ( ) uma função efinia em too e algum intervalo aberto que contenha o número p, com a possível eceção e que f ( ) não precisa ser efinia em p. Escreve-se: lim p f = L (.) se ao ε > 0, poe-se achar um número δ > 0 tal que f L < ε se 0< p < δ (.4) Eemplo Resolvio... Prove que ( ) lim 5 =. Solução. Deve-se mostrar que ao qualquer número positivo ε, poe-se encontrar um número positivo δ tal que: ( ) 5 < ε se 0< < δ simplificano tem-se: 6 < ε se 0< < δ ( ) < ε se 0< < δ < ε se 0< < δ < ε se 0< < δ ε ε < se 0< < δ, logo fica eviente que δ =.

44 Curso e Cálculo I Capítulo 44 Eemplo Resolvio... Prove que lim 4 =. Solução. Deve-se mostrar que ao qualquer número positivo ε, poe-se encontrar um número positivo δ tal que: ( 4 ) < ε se 0< < δ 6 < ε se 0< < δ ( ) < ε se 0< < δ < ε se 0< < δ < ε se 0< < δ ε ε < se 0< < δ, logo fica eviente que δ =. Eemplo Resolvio... Prove que ( ) lim 7 + = 5. Solução. Deve-se mostrar que ao qualquer número positivo ε, poe-se encontrar um número positivo δ tal que: ( 7 + ) 5< ε se 0 ( ) < ε se 0< + < δ ( ) 7 + < ε se 0< + < δ 7 + < ε se 0< + < δ < < δ ε ε + < se 0< + < δ, logo fica eviente que δ =. 7 7

45 Curso e Cálculo I Capítulo 45 O valor e δ não é único, ou seja, uma vez achao um valor e δ que preenche as conições a efinição.., então, qualquer δ > 0, menor que δ, também satisfaz estas conições. Isto é, se é verae que: então também será verae que f L < ε se 0< p < δ f L ε < se 0< p < δ Eemplo Resolvio..4. Prove que ( ) lim + =. Solução. Deve-se mostrar que ao qualquer número positivo ε, poe-se encontrar um número positivo δ tal que: ( ) + < ε se 0< < δ < ε se 0< < δ Como ( )( ) + < ε se 0< < δ ou = +, então: ε < + se 0< < δ Para garantir esta afirmação, necessita-se achar um δ que controle o tamanho e ambos os fatores o lao esquero, pois o lao ireito á um controle o tamanho e, mas não e +. Para contornar isto, poe-se fazer uma restrição quano ao valor e δ, ou seja, escolheno δ tal que δ, tem-se: < < < 0< < < + <

46 Curso e Cálculo I Capítulo 46 o que implica: + < resultano ε < se 0< < δ ε Assim poe-se tomar δ = (ou menos), sujeito à restrição δ. Ou seja, poe-se obter isto tomano δ como o mínimo entre ε como δ = min,. ε δ = e, escrito Definição..4. Seja f ( ) efinia em too que pertence a algum intervalo aberto infinito, o qual se estene na ireção positiva o eio. Escreve-se: lim + f = L (.5) se ao ε > 0, há um corresponente N > 0, tal que f L < ε se > N (.6)

47 Curso e Cálculo I Capítulo 47 Figura.7 Em outras palavras, se for permitio crescer inefiniamente, então subseqüentemente irá estar no intervalo ( N, + ), marcao pela faia escura a figura.7; quano isto ocorrer os valores e f ( ) estarão entre L ε e L + ε, marcao pela faia clara a figura.7. Definição..5. Seja f ( ) efinia em too que pertence a algum intervalo aberto infinito, o qual se estene na ireção negativa o eio. Escreve-se: lim f = L (.7) se ao ε > 0, há um corresponente N < 0, tal que f L < ε se < N (.8)

48 Curso e Cálculo I Capítulo 48 Figura.8 Em outras palavras, se for permitio ecrescer inefiniamente, então subseqüentemente irá estar no intervalo (, N ), marcao pela faia escura a figura.8; quano isto ocorrer os valores e f ( ) estarão entre L ε e L + ε, marcao pela faia clara a figura.8. Eemplo Resolvio..5. Prove lim 0 + =. Solução. Aplicano a efinição tem-se: 0 < ε se > N < ε se > N Como + então > 0 e poem-se eliminar os valores absolutos nas afirmações acima. Logo, tem-se: < ε se > N

49 Curso e Cálculo I Capítulo 49 ou seja, > se > N ε Daí é eviente que N =. ε Definição..6. Seja f ( ) efinia em too que pertence a algum intervalo aberto conteno p, eceto que f ( ) não precisa estar efinia em p. Escreve-se: lim f p se ao M > 0, poe-se achar δ > 0, tal que: = + (.9) f > M se 0< p < δ (.0) Figura.9 Em outras palavras, supono que f + quano p, e para M > 0 seja δ > 0 o número corresponente escrito na efinição..6.

50 Curso e Cálculo I Capítulo 50 Logo, se aproima-se e p, por qualquer lao, subseqüentemente estará no intervalo ( p δ, p+ δ ), marcao pela faia clara a figura.9; quano isto ocorrer, os valores e f ( ) serão maiores o que M, marcao pela faia escura a figura.9. Definição..7. Seja f ( ) efinia em too que pertence a algum intervalo aberto conteno p, eceto que f ( ) não precisa estar efinia em p. Escreve-se: lim f p se ao M < 0, poe-se achar δ > 0, tal que: = (.) f < M se 0< p < δ (.) Figura.0 Em outras palavras, supono que f quano p, e para M < 0 seja δ > 0 o número corresponente escrito na efinição..7.

51 Curso e Cálculo I Capítulo 5 Logo, se aproima-se e p, por qualquer lao, subseqüentemente estará no intervalo ( p δ, p+ δ ), marcao pela faia clara a figura.0; quano isto ocorrer, os valores e f ( ) serão menores o que M, marcao pela faia escura a figura.0. Eemplo Resolvio..6. Prove que lim = +. 0 Solução. Deve-se mostrar que ao um número M > 0, poe-se achar um δ > 0 tal que: M > se 0< 0< δ ou simplificano < se 0< < δ M mas, < M < M, logo δ =. M

52 Curso e Cálculo I Capítulo 5.4 Continuiae Para se falar em continuiae é necessário antes entener a significao e escontinuiae em um ponto. Por eemplo, sejam os seguintes gráficos apresentaos na figura.. Figura. Em (a) tem-se que o gráfico a função apresenta uma escontinuiae em = p, mesmo seno efinia neste ponto. Isto se eve ao fato os limites laterais neste ponto serem iferentes, ou seja, lim = = lim, o que implica que não eiste lim f L M f + p p f. p

53 Curso e Cálculo I Capítulo 5 Em (b) tem-se que o gráfico a função apresenta uma escontinuiae em = p, mas neste caso eiste lim f ( ) = L. Isto se eve p ao fato e a função não ser efinia em = p, ou seja, não eiste f ( p ). Em (c) a função é efinia em = p e eiste lim f ( ) = L, porém a p função apresenta uma escontinuiae neste ponto. Isto se eve ao fato a imagem e p ser iferente o limite e f ( ) quano tene a p, ou seja, lim p f = L f p. Em () a função apresenta uma escontinuiae em = p, mesmo seno efinia neste ponto. Isto se eve ao fato a função crescer inefiniamente quano se aproima e p, por ambos os laos, ou seja, lim f p =+. Este caso é chamao e escontinuiae infinita. Da análise os gráficos a figura. poe-se chegar à conclusão que para uma função não ser escontínua em = p, é necessário que a função seja efinia em = p, f ( p), é necessário que o limite e f quano tene a p eista, lim, e que lim f p =. f f p p Em outras palavras, para que uma função f ( ) seja contínua em um ponto = p, p D( f ), é necessário que as seguintes conições sejam satisfeitas:. Eista f ( p ).. Eista lim p f = L.. lim = = f L f p p A efinição seguinte resume estas três conições em uma única, que englobas as emais.

54 Curso e Cálculo I Capítulo 54 Definição.4.. Diz-se que uma função f ( ) é contínua em = p, p D( f ) se, e somente se,, lim p f = f p (.) Eemplo Resolvio.4.. Determine se as funções são contínuas em =. (a) + se f = + se = (b) g + se = + se = Solução (a). Como a função é efinia em =, verificase o valor o limite, + lim f = lim = lim + = + e como lim f f ( ) =, ou seja, f ( ) = =, tem-se que f é escontinua em =. Solução (b). Como a função é efinia em =, verificase o valor o limite, + lim g = lim = lim + = + e como lim g g( ) =, ou seja, g ( ) = =, tem-se que g é continua em =. Se uma função f é contínua em caa ponto e um intervalo aberto ( ab, ), então f é contínua em (, ) infinitos a forma ( a, + ), (,b) e (, ) ab. Isto se aplica aos intervalos abertos +. No caso a função ser contínua em (, + ), então é ito que f é contínua em toa parte, ou na reta toa.

55 Curso e Cálculo I Capítulo 55 Eemplo Resolvio.4.. Determine se a função h contínua em =. + se = se > + é Solução. Tem-se que h( ) =, logo se verifica a eistência e lim h Como a função é efinia por partes, então, para que lim h eista é necessário que lim h lim h lim h = lim + = e lim h = lim = =. Daí, Como lim h = = lim h implica que h + tem-se que lim h h( ) em =. lim =. Daí = =, então, poe-se concluir que h é contínua. Eemplo Resolvio.4.. Mostre que as funções são escontínuas em p. se > g = se = p= + se < (a) (b) h + se = p= + se >

56 Curso e Cálculo I Capítulo 56 Solução (a). A função é efinia em g =. =, ou seja, A função é efinia por parte, o que torna necessário o cálculo os limites laterais, para verificar a eistência o limite bilateral. Então: lim g = lim + = e ( ) lim g = lim = + + como g g g lim = = lim lim =. + em =. Por outro lao como lim g g = = a função é escontínua Neste eemplo para tornar a função contínua em =, basta assumir que a função assume o valor e quano =, ou seja, assume-se que g =. Quano o limite eiste, poe-se remover esta escontinuiae, se houver necessiae, assumino o valor a imagem o ponto como seno o valor o limite neste ponto. Esta escontinuiae é chamaa e escontinuiae removível. Solução (b). A função é efinia em h =. =, ou seja, Novamente a função é efinia por partes, então, evem-se eterminar os limites laterais, para verificar a eistência o limite bilateral. Daí, lim h = lim + = e lim h = lim + = como lim h 0 lim h lim h = =. + =. Logo a não eistência o limite garante a escontinuiae em

57 Curso e Cálculo I Capítulo 57 Neste eemplo não há o que ser feito para tornar a função contínua em =, ou seja, a função é sempre escontínua neste ponto. Este tipo e escontinuiae é chamaa e escontinuiae essencial. Teorema.4.. Os polinômios são contínuos em toa parte. Prova. Seja o polinômio 0... p = a + a + + a então, para caa c (, + ), tem-se: = lim p p c c que é a própria efinição e continuiae em caa c real. Logo p( ) é contínuo em (, + ), ou seja, em toa parte. n n Eemplo Resolvio.4.4. Mostre que é contínua em toa parte. Solução. Poe-se escrever a função como: se < 0 = se 0 Logo no intervalo (,0), é o polinômio, então, pelo teorema.4. a função moular é contínua em (,0), enquanto que no intervalo ( 0,+ ) é o polinômio, então, pelo teorema.4. a função moular é contínua em ( 0,+ ). Daí tem-se que a função é contínua em (,0) ( 0, + ). os limites laterais. Agora, basta verificar no ponto = 0. Neste caso evem-se calcular

58 Curso e Cálculo I Capítulo lim = lim = 0 e lim = lim = 0 aí, tem-se que lim = 0= 0, então, poe-se concluir que a função é 0 contínua em toa parte. Teorema.4.. Se as funções f e g são contínuas em = p, então: (a) f (b) f ± g é contínua em = p. g é contínua em = p. (c) f g é contínua em p = se 0 g p. Prova (a). Por hipótese f e g são contínuas em = p, logo lim f = f ( p) e lim g = g p. p (i) Define-se uma função ψ = f + g, então, p = f + g = f + g = f ( p) + g( p) = ψ ( p) limψ lim lim lim p p p p logo, a função ψ é contínua em = p. (ii) Define-se uma função ψ = f g, então, = f g = f g = f ( p) g( p) = ψ ( p) limψ lim lim lim p p p p logo, a função ψ é contínua em = p. Prova (b). Deve ser feita como eercício. Prova (c). Deve ser feita como eercício.

59 Curso e Cálculo I Capítulo 59 Corolário.4... Se as funções f ( ), f ( ),..., fn = p, então: (a) f± f ±... ± fn é contínua em = p. (b) f f... fn é contínua em = p. são contínuas em Prova (a). Deve ser feita como eercício. Prova (b). Se as funções f ( ), f ( ),..., fn tem-se lim =, lim =,..., f f p p f f p p ψ =... n, aí: Define-se f f f = f f f limψ lim... n p p = lim f( ) lim f( )... lim f n ( ) p p p ψ = f p f p... fn p = p Então, como limψ ψ ( p) f f f p ψ =... n é contínua em = p., então, respectivamente, lim f n = f p n. p =, logo, a função Corolário.4... Uma função racional é contínua em toa parte, eceto nos pontos one o enominaor for zero. Prova. Semelhante a prova a parte (c) o teorema.4.. Eemplo Resolvio.4.5. Prove que a função f em toa parte. = é contínua

60 Curso e Cálculo I Capítulo 60 Solução. De acoro com o corolário.4.. uma função racional é contínua eceto nos pontos one o enominaor é zero. Logo para mostrar que a função f basta mostrar que o enominaor nunca é zero, isto é que a equação não tem solução: = 0 A equação acima é uma equação biquaraa, logo, fazeno z=, tem-se a equação o º grau abaio: z + 7z+ = 0 Daí, usano a Fórmula e Báskara: () 7 ± 7 4 7± ± 45 z = = = ano: 7 45 z = e z = solução para: Como 6< 45< 7, então, z e z são ambos negativos não há 7 45 = e = 7 45 Poe-se concluir que a equação = 0 não tem solução real, o que implica que a epressão não apresenta zeros no enominaor, conseqüentemente a função f é contínua em toa parte.

61 Curso e Cálculo I Capítulo 6 Teorema.4.. Suponha que lim simboliza um os limites lim, lim lim e lim +. Se lim g p p = L e se a função f for contínua em L, então: ( ), lim, p + lim f g = f L (.4) Isto é, lim ( ) lim f g = f g (.5) Em outras palavras o que o teorema.4. afirma é que um símbolo e limite poe passar pelo sinal a função ese que o limite a epressão entro esse sinal eista e a função seja contínua neste limite. Corolário.4... (a) Se a função g for contínua em p e a função f for contínua em g( p ), então fog é contínua em p. (b) Se a função g for contínua em toa parte e a função f, também, for contínua em toa parte, então fog é contínua em toa parte. Prova (a). Para provar que a função fog é contínua em p, basta provar que o valor e fog e o valor e seu limite em = p são os mesmos. lim ( fog ) = lim f g = f lim g = f g p = fog p p p p Prova (b). Dever ser feita como eercício. ( )

62 Curso e Cálculo I Capítulo 6 Definição.4.. Uma função f é ita contínua em um intervalo fechao [ ab, ], se as seguintes conições são satisfeitas: (a) f é contínua em ( ab, ). (b) f é contínua à ireita em a, ou seja, lim f f ( a) + a =. (c) f é contínua à ireita em b, ou seja, lim f f ( b) b =. Figura. Teorema.4.4 (Teorema o Valor Intermeiário). Se f for contínua em um intervalo fechao [ ab, ] e k é um número qualquer entre f ( a ) e f ( b ), inclusive, então há, no mínimo, um número c no intervalo [ ab, ] tal que f ( c) = k.

63 Curso e Cálculo I Capítulo 6 Figura. Teorema.4.5 (Teorema e Bolzano). Se f for contínua em [ ab, ], e se f ( a ) e f ( b ) forem iferentes e zero e tiverem sinais opostos, então há, no mínimo, um número c no intervalo ( ab, ) tal que f ( c ) = 0. Figura.4

64 Curso e Cálculo I Capítulo 64 Prova. Consiere o caso em que f ( a ) > 0 e f ( b ) < 0, como mostra a figura.4. Então, por hipótese f é contínua em [ ab, ] e 0 está entre f ( a ) e f ( b ), logo pelo Teorema o Valor Intermeiário, eiste pelo menos um c [ a, b] tal que f ( c ) = 0. Contuo como f ( a ) e f ( b ) são iferentes e zero, então, c está situao em ( ab, ), o que completa a prova. Eemplo Resolvio.4.6. Prove que a função menos uma raiz real. f = + +, tem pelo Solução. Para provar que f possui ao menos uma raiz real, eve-se encontrar um intervalo fechao no qual se tenha as hipóteses o Teorema e Bolzano. Inicialmente consiera-se o intervalo [ 0, ], aí tem-se: f 0 = = > 0 () () () f = + + = > 0 Como não satisfaz as conições o teorema e Bolzano, eve-se escolher um outro intervalo. Consierano agora o intervalo [, 0], então: f = + + = < 0 f 0 = = > 0 Neste caso como a função f = + + é contínua em [, 0] f ( ) é negativo e ( 0) e f é positivo, tem-se pelo Teorema e Bolzano que a função f apresenta pelo menos uma raiz real no intervalo (, 0).

65 Curso e Cálculo I Capítulo 65.5 Limites e Continuiae as Funções Trigonométricas Teorema.5. (Teorema o Confronto). Sejam f, g e h funções que satisfazem à esigualae: g f h (.6) para too e algum intervalo aberto que contenha o ponto p, com a possível eceção que a esigualae não precisa ser vália em = p. Se, lim lim g = L= h (.7) p p então: lim p f = L (.8) Na figura.5 tem-se uma interpretação geométrica para o teorema o confronto. Figura.5

66 Curso e Cálculo I Capítulo 66 Eemplo Resolvio.5.. Suponha que + 4 F 4+ 9, para. Encontre o valor e lim F( ). Solução. Para qualquer intervalo aberto conteno =, tem-se g F h( ), one g = + 4 e h = Logo, poe-se usar o teorema o confronto para encontrar o limite solicitao, isto é, lim g = lim + 4 = 5 e lim h = lim = 5 então, pelo teorema o confronto tem-se que: lim F( ) = 5 Teorema.5.. Se p é um número no omínio natural a função trigonométrica, então: (a) lim sen = senp (b) lim cos = cos p p p (c) lim tg = tgp () lim cotg = cotgp p p (e) lim sec = sec p (f) lim cossec = cossec p p p Do teorema.5., poe-se concluir que as funções seno e cosseno são contínuas em toa parte e as emais funções trigonométricas são contínuas em toos os pontos em que elas são efinias.

67 Curso e Cálculo I Capítulo 67 Prova (a). Para se provar que lim sen = senp, basta provar que p ( sen senp) lim = 0. p Da trigonometria, tem-se: p + p + p p 0 sen senp = sen cos = cos sen mas como p p sen Logo, p e cos p 0 sen senp 0 sen senp p Como, tem-se que lim sen senp 0 p lim 0 = 0 e lim p = 0, então pelo teorema o confronto p p = e, portanto, ( sen senp) completa a prova. Provas (b), (c), (), (e) e (f). Ficam como eercício. lim = 0 o que p Eemplo Resolvio.5.. Ache os limites. (a) lim ( sec ) π + 4 (b) lim ( cos + ) π Solução (a). π lim sec = lim sec = sec = = 4 π + π Solução (b). ( ) lim cos + = lim cos + lim = cosπ + = + = 0 π π π

68 Curso e Cálculo I Capítulo 68 Eemplo Resolvio.5.. Ache o limite lim sen π 4. Solução. Como a função seno é contínua em toa parte, então: π lim sen π sen lim π sen lim π sen = = = = Obs.: = = Eemplo Resolvio.5.4. Ache o limite π sec 8 lim. sec Solução. A epressão o limite poe ser simplificaa, isto é: ( sec )( sec + sec + 4) sec 8 sec sec então: = = + + ( ) sec sec 4 ( ) ( s ) sec 8 lim = lim sec + sec + 4 = lim ec + sec + 4 sec π π π = lim ( sec ) + lim ( sec ) + lim ( 4) π π π π π = lim sec lim sec = sec + sec + 4 π π = =

69 Curso e Cálculo I Capítulo 69 Teorema.5. (Limites Funamentais). (a) sen lim = (b) 0 cos lim = 0 0 Prova (a). Inicialmente, interpreta-se como ângulo meio em raiano e que 0< < π, como mostrao na figura.6. Figura.6 Círculo Trigonométrico Consieram-se, então, as seguintes figuras planas: Figura.7

70 Curso e Cálculo I Capítulo 70 Da figura.7, poe-se concluir: O triângulo OBC tem uma área igual: AOBC = sen. O setor circular OBC tem uma área igual: AOBC =. O triângulo retângulo ODC tem uma área igual: AODC = tg. Logo se verifica a seguinte esigualae: sen tg sen tg iviino tuo por sen, obtém: sen cos sen cos lim = Logo, como 0 e ( ) lim cos =, então, pelo teorema o 0 sen confronto, poe-se chegar a conclusão que lim =. 0 Prova (b). Para esta prova usa-se o resultao a parte (a) o teorema, a continuiae a função seno e a ientiae sen = cos. Isto é, cos cos + cos sen lim = lim = lim cos 0 ( + cos) sen sen sen sen = lim lim lim ()( 0) 0 0 = = = + cos 0 0+ cos

71 Curso e Cálculo I Capítulo 7 Eemplo Resolvio.5.5. Prove que tg lim =. 0 Solução. Como sen tg =, então: cos sen lim tg sen sen 0 lim = lim = lim = = = 0 0 cos 0 cos lim cos cos 0 0 Corolário.5... (a) ( α ) sen lim = 0 α (b) ( α ) cos lim = 0 0 α Prova (a). Para provar este limite, basta se fazer uma substituição a forma u= α. Se 0 implica que u 0, logo: ( α ) sen senu lim = lim = 0 α u 0 u Prova (b). Deve ser feita como eercício. Eemplo Resolvio.5.6. Calcule os limites. (a) sen lim 0 sen ( 4) ( ) (b) lim cot g( 5) 0 Solução (a). Para resolver este limite, multiplica-se enominaor e numeraor por.

72 Curso e Cálculo I Capítulo 7 Daí tem-se: 0 sen 4 sen 4 sen 4 sen( 4 4 4lim ) 0 4() 4 lim lim lim 4 = = = 4 = = 0sen( ) 0 sen( ) 0 sen( ) sen( ) () lim Solução (b). Neste caso, escreve-se: cos( 5) cos 5 cot g( 5) = = 5 sen( 5) sen 5 ( 5) então: cos( 5) lim cos( 5 ) lim cot g 5 = lim = = = 0 0 sen( 5) sen( 5) 5 lim sen Eemplo Resolvio.5.7. Determine o valor o limite lim π π. Solução. Como sen( π ) = 0, então, tem-se uma forma ineterminaa 00. Neste caso eve-se fazer uma substituição e moo que se possa usar um os limites funamentais a trigonometria. Fazeno a substituição u= π, tem-se que = u + π,então: ( π ) cos { π { π sen = sen u + = senu + sen cosu = senu 0 e se π implica que u 0, resultano: sen senu senu lim = lim = lim = π u u π u 0 u 0

73 Curso e Cálculo I Capítulo 7 Definição.5.. Uma função f é ita limitaa em um intervalo I se eistir um número positivo M tal que: f M (.9) para too em I. Geometricamente, isto significa que o gráfico e f no intervalo I fica entre as retas y= M e y= M. Figura.8 A figura.8 mostra o gráfico e uma função limitaa no intervalo fechao [ ab, ]. Isto é o gráfico e y f y= M e y M = para too [ ab, ]. = está compreenio entre as retas

74 Curso e Cálculo I Capítulo 74 Eemplo Resolvio.5.8. Prove que lim sen = 0. 0 Solução. Para prova este limite eve-se recorrer ao teorema o confronto. Como a função seno é uma função limitaa (ver efinição.5.), tem-se: sen Daí poe-se concluir que: sen Como lim ( ) = 0 e 0 lim = 0, então, pelo teorema o confronto 0 poe-se concluir que: lim sen = 0. 0 Teorema.5.4. Se lim f = 0 e se g p omínio e f, conteno p, e M > 0, então: g M para intervalo aberto no lim f = 0 (.40) p mesmo que não eista o limite lim g p. Eemplo Resolvio.5.9. Prove lim π cos = 0. π π

75 Curso e Cálculo I Capítulo 75 Solução. Inicialmente se prova que lim π = 0, então como: π π se π π = π se < π Tem-se que: π π e ( π ) lim π = lim = 0 π + π + ( π ) lim π = lim = 0 Então se poe concluir que lim π = 0. Como π cos π é π limitaa em qualquer intervalo aberto conteno, isto é cos, π então pelo teorema.5.4 tem que lim π cos = 0. π π

76 Curso e Cálculo I Capítulo 76 Eercícios Propostos (Capítulo ) 0) Marque a opção que inica o valor o limite 7 +. lim a) b) 0 c) ) e) 0) Calculano + lim, tem-se como resposta: a) 0 b) c) ) e) 0) O valor o limite lim é ao por: a) 5 b) 4 c) ) e) 6 04) Calculano-se o valor o limite lim + 4 5, obtém-se com resultao: 4+ a) 6 b) 6 c) ) e) 7 05) Ao calcular lim + 0 +, obtém-se como resultao: a) 8 b) c) 8 8 ) e) 06) Marque a opção que inica o valor o limite lim a) b) 4 c) 8 4 ) e) 6 07) O valor e lim + + é: a) b) + c) ) e)

77 Curso e Cálculo I Capítulo 77 08) O valor e lim + é ao por: a) b) + c) 0 ) e) 09) O valor e lim ( + ) ( ) + é ao por: a) b) + c) ) 0 e) 0) Assinale a opção que inica o valor o limite lim a) + b) 4 c) ) e) 4 ) Marque o valor o limite lim ( ) ( + ). a) 6 b) 5 c) ) 4 e) ) Qual é o valor e lim ( ) + + +? a) b) 0 c) ) O valor o limite tg ( 5) lim 0 tg é ao por: ) e) a) b) c) 5 5 ) e) 5 4) Qual o valor e cos + lim? π π a) π b) 0 c) π ) π e) π 5) Marque a opção que correspone ao valor o limite sen lim π π a) π b) c) ) 0 e) π

78 Curso e Cálculo I Capítulo 78 6) O valor o limite lim + π 4( π ) sen π é ao por: a) 4 b) 0 c) π ) π e) 4 7) Qual é o valor e 0 lim? tg π a) π 8) O valor o limite b) π c) π ) π e) π 4 π sen cos lim é ao por: sen cos a) b) c) ) e) 9) Seja g < se = 8 se >. Qual o valor e lim g a) b) c) ) e) 0) Sabe-se que h π cos se < 0 = cos se > 0 sen a) b) c) 0 ) π e) π. Qual o valor o limite lim h? 0?

79 Curso e Cálculo I Capítulo 79 CAPÍTULO A DERIVADA. A Reta Tangente e a Derivaa Muitos fenômenos físicos envolvem granezas que variam, como por eemplo, a velociae e um foguete, a inflação a moea, a contaminação e um rio, a temperatura a água o mar e assim aiante. Por isso, o conceito e erivaa é tão importante, e que é a ferramenta matemática usaa para estuar taas na quais as granezas físicas variam. Observa-se informalmente que, traçaa uma reta secante por ois pontos istintos P e Q sobre uma curva y= f, e se for amitio que Q move-se ao longo a curva em ireção a P, então, poe-se esperar uma rotação a reta secante em ireção a uma posição limite, a qual poe ser consieraa como a reta tangente à curva no ponto P (ver figura.). Figura.