Polinômios e Funções Racionais

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1 Capítulo 7 Polinômios e Funções Racionais 7. Polinômios Ao iniciarmos nosso estudo sobre funções, consideramos o problema de construir uma caia sem tampa a partir de um pedaço quadrado de plástico maleável de lado igual a l cm. Naquela ocasião, vimos que uma maneira de se fazer isto era cortando pequenos quadrados nos cantos da folha e, então, dobrando na linha pontilhada. O problema consistia em determinar o volume de água que esta caia pode conter, quando completamente cheia. Vimos que uma epressão matemática que fornece tal volume é dada por V() = (0 ). Esta função é um eemplo do que, em matemática, chamamos de polinômio. Os polinômios aparecem na resolução de muitos problemas na vida prática, por isso é importante estudá-los com um pouco mais de cuidado. Este capítulo é destinado a um estudo mais aprofundado de polinômios. Um polinômio de grau n é uma função da forma p() = a n n + a n (n ) a + a + a 0 onde n é um número natural, os coeficientes a o, a,..., a n são números reais conhecidos e a n 0. A função linear afim = a + b, cujo gráfico é uma reta e a função quadrática = a + b + c, cujo gráfico é uma parábola, são eemplos de polinômios de primeiro grau e de segundo grau, respectivamente. O polinômio de grau zero é uma função constante. Cada uma das parcelas a i i de um polinômio é chamada de monômio de grau i. Eercício Dado um polinômio p() = a n n + a n (n ) a + a + a 0, qual o significado geométrico da constante a o? O que se pode afirmar quando a 0 = 0? Os eemplos mais simples de polinômios são as funções potências da forma,,,..., n. Ao lado estão traçados, em conjunto, os gráficos das seguintes funções potência de grau ímpar f() =, g() = 3 e h() = 5, respectivamente. 0 Eercício Quais são as principais características dos gráficos dessas funções? Observando os gráficos acima, o que você pode concluir a respeito do lim n e do lim n, se n é ímpar? Eercício 3 Observe os gráficos das funções = 9 e = , traçados na mesma janela, para 3 3 e 00 00, respectivamente.

2 00 Cap. 7. Polinômios e Funções Racionais e+8 8e+7 6e+7 e+7 e e+7 e+7 6e+7 8e+7 e+8 O que se pode afirmar em relação ao comportamento dessas duas funções quando cresce, em valor absoluto? Ou seja, o que se pode afirmar a respeito do limite dessas duas funções quando + e quando? Verifique que este fato pode ser generalizado, isto é, um polinômio de grau ímpar se comporta como o seu monômio de maior grau quando cresce em valor absoluto. Para isso, trace na mesma janela vários gráficos de monômios e polinômios de mesmo grau para grandes valores de. A última afirmação do eercício anterior pode ser facilmente demonstrada. Para isso, basta observar que: ( ( lim a 0 + a + a a n n = lim n) a 0 lim n + a + a ) (n ) + a (n ) n Como o último limite é igual a a n, o limite do polinômio é dominado pelo limite do monômio de maior grau. A mesma análise pode ser feita para polinômios de grau par. Ao lado estão traçados em conjunto os gráficos das seguintes funções potência de grau par f() =, g() = e h() = 6, respectivamente Eercício Quais são as principais características dos gráficos dessas funções? Observando os gráficos acima, o que você pode concluir a respeito do lim n e do lim ( ) n, se n é par? Eercício 5 Eamine abaio os gráficos das funções = 0 e = , traçados na mesma janela, para e 00 00, respectivamente. No segundo gráfico, é possível distinguir as duas funções? e+0 8e+9 6e+9 e+9 e O que se pode afirmar quanto ao comportamento dessas duas funções, à medida em que cresce, em valor absoluto? Ou seja, qual o limite dessas duas funções quando + e quando? Reforce a sua intuição traçando, na mesma janela, vários gráficos de monômios e polinômios de mesmo grau para valores grandes de, para verificar que a afirmação acima pode ser generalizada, isto é, um polinômio de grau par se comporta como o seu monômio de maior grau quando cresce em valor absoluto. Demonstre esta afirmação. (Esta demonstração é a mesma que foi indicada para o caso n ímpar.) 7. Funções racionais Os polinômios podem ser, evidentemente, multiplicados por constantes, somados, subtraídos e multiplicados, e os resultados serão novamente polinômios. No entanto, se dividirmos polinômios nem sempre obteremos outro polinômio.

3 W.Bianchini, A.R.Santos 0 Esse quociente é chamado de função racional, isto é, uma função racional f() é do tipo f() = p() q(), onde p() e q() são polinômios. Se o denominador q() for uma constante não nula, esse quociente será ele próprio um polinômio. Assim, os polinômios estão incluídos entre as funções racionais. Evidentemente, nos pontos onde q() = 0 a função f não está definida, portanto, o maior domínio de uma função racional é constituído pelo conjunto de todos os números reais ecetuando-se esses pontos. Os zeros de q() são chamados de polos ou pontos singulares da função f. Como os polinômios, as funções racionais apresentam um comportamento característico quando cresce em valor absoluto. Além disso, é importante também estudar o comportamento dessas funções em torno dos seus pontos singulares, pois ao redor desses pontos podem ocorrer mudanças bruscas de sinal e crescimentos ilimitados. São esses pontos que dão origem as assíntotas verticais ao gráfico de uma função, caso essas assíntotas eistam. O objetivo desta seção é estudar o comportamento de uma função racional em torno de seus pontos singulares e também o seu comportamento no infinito. Analisaremos, separadamente, os casos em que o grau do numerador é menor, igual e maior que o grau do denominador. Eemplo Já estudamos o comportamento das funções = e =. Observe abaio os seus gráficos: Repare que, nos dois casos, o pólo das duas funções é o ponto = 0 e que os valores das duas funções se tornam ilimitados quando se aproima de 0. (A reta = 0 é uma assíntota vertical ao gráfico das funções.) Além disso, nos dois casos, f() = 0 e, portanto, a reta = 0 é uma assíntota horizontal ao gráfico dessas funções. lim Este comportamento é típico das funções racionais cujo grau do numerador é menor do que o grau do denominador. Para ilustrar esta afirmação, eaminemos um outro eemplo. Eemplo Considere a função f() = os pontos e, que são os seus polos.. O seu maior domínio é o conjunto do todos os reais, ecetuando-se Para estudar o comportamento dessa função perto dos polos é suficiente calcular lim f(), lim f(), lim + e lim f(). + Em todos esses casos, os valores da função crescem sem limite, em valor absoluto. Como já vimos, este comportamento se traduz, matematicamente, dizendo que a função tende a + ou a e ocorre sempre que os valores do denominador se aproimarem de zero e o limite do numerador eistir e for diferente de zero. (Lembre-se de que nada se pode afirmar a priori se o limite do numerador também for igual a zero.) O sinal dependerá do sinal da fração quando se aproimar do polo pela esquerda ou pela direita. No eemplo acima temos lim + = +, porque a fração assume valores positivos, cada vez maiores, à medida que se aproima de por valores maiores que e, lim =, porque a fração é negativa e assume valores cada vez maiores, em valor absoluto, quando se aproima de, por valores menores que. Observe as tabelas a seguir, onde se evidencia este comportamento numericamente. A primeira mostra o comportamento numérico da função quando se aproima de, pela direita, e a segunda, quando se aproima de, pela esquerda. f()

4 0 Cap. 7. Polinômios e Funções Racionais As retas = e = são assíntotas verticais ao gráfico dessa função. Da mesma forma lim f() =. Estudaremos, agora, o comportamento desta função quando cresce em valor absoluto. lim f() = + e + Para isso precisamos calcular os limites da função quando tende a + e quando tende a. Observe abaio os gráficos desta função e da função f() = Compare o comportamento destas duas funções quando +. Perceba que estas duas funções se comportam da mesma maneira quando + ou quando. Para comprovar algebricamente este fato, basta colocar em evidência os termos de maior grau no numerador e no denominador da fração e simplificar. Assim, como tem-se = 0 e lim = ( ) ( ) = ( ), lim = lim ( ) = 0. =, portanto, o limite do produto é zero. (Repare que esta operação é possível porque pois lim estamos estudando o comportamento da função para valores grandes de, e, portanto, estamos considerando 0.) Da mesma forma, lim ( ) = 0. A reta = 0 é uma assíntota horizontal ao gráfico dessa função. Eercício Estude o comportamento da função f() =, no infinito e próimo aos pólos, para + + c c =, 0,, e 3, respectivamente. Determine também suas assíntotas verticais e horizontais, caso eistam. Confira suas conclusões traçando o gráfico dessas funções com a ajuda do Maple. Eemplo Considere a função f() = + 3. O domínio de f é o conjunto de todos os números reais, ecetuando-se = 3. Este ponto é o seu pólo. Para determinar o comportamento desta função nas proimidades deste pólo, é preciso calcular o lim f() e o lim f() Para isto, observe que quando se aproima de 3, quer pela direita, quer pela esquerda, o numerador da fração se aproima de 7 e, portanto, é positivo nos dois casos. Mas, quando se aproima de 3 pela esquerda, o denominador assume valores negativos cada vez mais próimos de zero, de modo que o quociente é sempre negativo e cresce em valor absoluto, ou seja, o quociente tende a.

5 W.Bianchini, A.R.Santos 03 Por outro lado, quando se aproima de 3 pela direita, o quociente é um número positivo que se aproima de zero, de modo que a fração é positiva e crescente, ou seja, tende a +. Observe, mais uma vez, as tabelas a seguir, onde o comportamento desta função é evidenciado numericamente. A primeira tabela mostra o comportamento da função quando 3 +. A segunda, quando Estes limites indicam que a reta = 3 é uma assíntota vertical do gráfico desta função. Além disso, + lim + 3 = lim e, dessa última epressão, é fácil concluir que este limite é. A reta = é, portanto, uma assíntota horizontal ao gráfico dessa função. O gráfico dessa função evidencia o seu comportamento característico Eemplo Analisemos agora a função =. Essa função não está definida para = 0. O seu comportamento na vizinhança desse ponto é traduzido pelas epressões lim f() = e lim f() =. A reta = 0 é, portanto, uma assíntota vertical ao gráfico dessa função. Para analisar o comportamento desta função quando, observe que Como lim = 0, concluímos que lim =. = lim lim De maneira análoga, concluímos que lim =. inft No entanto, a igualdade = implica que o ( ) lim = 0. = + Este limite indica que, à medida que cresce em valor absoluto, os valores da função se aproimam cada vez mais da reta =, portanto, essa reta é uma assíntota inclinada ao gráfico dessa função. (Veja Problema 9 do Cap. 6 ). Observe a seguir o comportamento dessa função evidenciado pelo seu gráfico traçado em conjunto com o da função =.

6 0 Cap. 7. Polinômios e Funções Racionais Este comportamento é típico das funções racionais cujo grau do numerador é maior do que o grau do denominador. Quando o grau do numerador é uma unidade maior que o grau do denominador, a função racional tem uma assíntota inclinada. Para determinar a equação dessa assíntota basta dividir o numerador pelo denominador, como fizemos no eemplo anterior. De um modo geral, dada uma função racional do tipo f() = n() d(), se o grau de n() for maior ou igual ao grau de d(), podemos dividir o numerador pelo denominador para obter n() = d() q() + r(), onde o grau do resto da divisão r() é menor que o grau do divisor d(). Assim, podemos escrever f() = q() + r() d(). Esta forma de eprimir a função é ideal para estudarmos o seu comportamento no infinito. Como o grau de d() r() é maior do que o grau de r(), temos que lim = 0, o que nos leva a concluir que d() lim (f() q()) = 0, isto é, a função f se comporta como a função q para grandes valores de, em valor absoluto. Dizemos, neste caso, que o gráfico de f() é assintótico ao gráfico de q(). Em outras palavras, à medida que cresce em valor absoluto, o gráfico de = f() se aproima cada vez mais do gráfico de = g(), sem nunca chegarem a se interceptar. Se o gráfico de q() for uma reta, dizemos que esta reta é uma assíntota ao gráfico de f. (Veja Problema 9 do Cap. 6 e Projeto Assíntotas e Outras Funções Limitantes.) Eercício Faça a mesma análise dos eemplos anteriores para as seguintes funções:. =. = + 3. = +. = Comportamento no infinito de funções racionais - Conclusão Os eemplos anteriores indicam que o comportamento de uma função racional f() = p() q() é determinado pelo comportamento do quociente dos monômios de mais alto grau do numerador p() e do denominador q(). Este fato pode ser justificado em cada caso particular, como você viu nos eemplos acima, colocando-se em evidência a parcela de maior grau do numerador e do denominador. Assim, deiamos para você mostrar que, se p() = a 0 + a a n n e q() = b 0 + b b m m, tem-se:. Se n < m, então, lim. Se n > m, então, lim 3. Se n = m, então, lim p() q() = 0. p() q() pode ser + ou, dependendo dos sinais de a n e b m. p() q() = a n b m.

7 W.Bianchini, A.R.Santos Atividades de laboratório Utilizando o Maple e um computador, faça as atividades propostas no arquivo lab3.mws da versão eletrônica deste teto. 7. Para você meditar: N-ésima diferença Considere o polinômio = > f:=->^/-3*+5/;. Vamos calcular os seus valores para = 0,,, 3 e. f := > []:=0;[]:=;[3]:=;[]:=3;[5]:=; := 0 := 3 := := 3 5 := > for i from to 5 do [i]:=f([i]) od; := 5 := 0 3 := 3 := 5 := 3 Vamos, agora, calcular as diferenças entre dois valores consecutivos de. > for i from to do dif[i]:=[i+]-[i] od; É fácil ver que os pontos ( i, dif i ) estão alinhados. dif := 5 dif := 3 dif 3 := dif := > plot([[[],dif[]],[[],dif[]],[[3],dif[3]],[[],dif[]]]); Isto indica que se formarmos as diferenças das diferenças obteremos constantes. De fato, temos: > for i from to 3 do dif[i]:=dif[i+]-dif[i] od; dif :=

8 06 Cap. 7. Polinômios e Funções Racionais dif := dif 3 := A diferença das diferenças é chamada segunda diferença, e nesse eemplo é constante e igual a. A questão que surge é se isto ocorre por acaso ou se eiste uma regra para as funções quadráticas que garanta que a seqüência formada pelas segundas diferenças é uma constante.. Prove que, se os valores de são igualmente espaçados, as primeiras diferenças definem uma função linear e as segundas diferenças permanecem constantes.. Mostre que, para a função cúbica f() = 3, se os valores de são igualmente espaçados, as primeiras diferenças definem uma função quadrática de, as segundas, uma função linear de e as terceiras diferenças são constantes. 3. Esta propriedade pode ser generalizada para um polinômio de grau n? Mais tarde voltaremos a este problema para mostrar como ele está relacionado com o problema das retas tangentes a uma curva. 7.5 Projetos 7.5. Assíntotas e outras funções limitantes Vimos ao estudar as funções racionais, que quando o grau do numerador é maior que o grau do denominador, a função f() = p() q() não tem nenhuma assíntota horizontal, pois os valores da função crescem sem limite quando. No entanto, como vimos no Eemplo, estas funções podem apresentar assíntotas inclinadas, isto é, pode eistir uma reta = a + b tal que (f() (a + b)) = 0. Isto significa que, à medida que os valores de crescem, em lim valor absoluto, os pontos do gráfico da função f se aproimam cada vez mais do gráfico da reta = a + b. A questão que se coloca agora é saber se eistem outras funções g(), não lineares, tais que (f() g()) = lim 0. Nesse caso dizemos que o gráfico da função g() é assintótico ao gráfico da função f, ou que g determina o comportamento assintótico de f. O objetivo desse projeto é estudar o comportamento assintótico das funções racionais determinando a equação da função limitante.. Seja f() = (a) Determine a assíntota vertical ao gráfico dessa função. (b) Eistem assíntotas horizontais? (c) Escreva f() na forma f() = s() + r() q() e trace os gráficos de f() e s() na mesma janela para 0 0 e O que você pode observar? (d) Prove que s() é uma assíntota inclinada ao gráfico de f.. Seja f() = (a) Determine uma função g tal que lim (f() g()) = 0. (b) Trace na mesma janela os gráficos de g e de f. 3. Como é possível reconhecer e determinar o comportamento assintótico de uma função racional?. Use a sua conclusão para determinar a função limitante de f() = 3 +6 e trace o gráfico de f e de sua função limitante na mesma janela. 5. Determine uma função f() que seja assintótica a q() = + e que tenha uma assíntota vertical em = 0. Trace o gráfico dessas duas funções na mesma janela. 6. Determine uma função f() que seja assintótica a q() = e tenha uma assíntota vertical em =. Trace o gráfico dessas duas funções na mesma janela. 7. Determine as condições sobre uma função racional que garantam (a) a eistência de uma assíntota inclinada. (b) a eistência de uma função assintótica não linear. (c) Dê eemplos de cada um dos casos.

9 W.Bianchini, A.R.Santos Interpolação de Lagrange e ajuste de curvas Nas atividades de laboratório aprendemos como utilizar o Maple para encontrar a equação do polinômio que passa por um certo conjunto de pontos. Como um polinômio de grau n tem n + coeficientes, é necessário conhecer, pelo menos, n + pontos desse polinômio para que possamos determinar a sua equação, isto é, para determinar uma reta precisamos conhecer dois de seus pontos, para determinar uma parábola da forma = a + b + c são necessários três pontos e assim por diante. Nesse caso, para determinar os coeficientes do polinômio, precisamos resolver um sistema linear de n + equações e igual número de incógnitas. Se esse sistema for determinado, o problema está resolvido. Entretanto, resolver sistemas de equações é um processo muito caro computacionalmente, em termos de dispêndio de tempo e de memória, por isso outras abordagens são utilizadas. O objetivo desse projeto é descrever a técnica chamada de Interpolação de Lagrange para resolver este problema. Esta técnica foi desenvolvida por Joseph L. Lagrange (736-83), um dos primeiros matemáticos a demonstrar o Teorema do Valor Médio e um dos fundadores do Cálculo das Variações. A idéia é descrita a seguir. Suponha que se deseja determinar o polinômio de grau n que passa por n + pontos ( i, i ) dados. Para cada um dos pontos i é fácil construir um polinômio p i tal que p i ( i ) = i e p i ( j ) = 0 para todo j i. Esse polinômio será da forma p i () = n+ j= A ( j), j i onde a constante A é determinada pela condição p i ( i ) = i. O polinômio p = n+ i= chamados de nós. O eemplo a seguir ilustra essa técnica. p i () será o polinômio que procuramos. Os pontos usados nessa construção são Problema: Determinar a parábola que passa pelos pontos (, 0.36), (, 0.97) e (3, 0.). Primeiro vamos definir os valores dos pontos: > valores_:=[,,3]: > valores_:=[0.36,0.97,0.]: Qualquer polinômio com zeros nos pontos = e = 3 é múltiplo de ( )( 3). Assim temos: > p[]:=->a[]*(-)*(-3); p := A ( ) ( 3) Para determinar o valor de A, usamos a condição p ( ) = : > A[]:=solve(p[](valores_[])=valores_[],A[]); A := Procedendo da mesma maneira para os outros pontos, obtemos: > p[]:=->a[]*(-)*(-3); p := A ( ) ( 3) > A[]:=solve(p[](valores_[])=valores_[],A[]); > p[3]:=->a[3]*(-)*(-); A := p 3 := A 3 ( ) ( ) > A[3]:=solve(p[3](valores_[3])=valores_[3],A[3]); A 3 := A parábola que queremos é a soma dos três polinômios obtidos acima: > p[]:=a[]*(-)*(-3); > p[]:=a[]*(-)*(-3); > p[3]:=a[3]*(-)*(-); p := ( ) ( 3) p := ( ) ( 3) p 3 := ( ) ( ) > Lagrange:=epand(sum(p[i],i=..3)); Lagrange :=

10 08 Cap. 7. Polinômios e Funções Racionais Vamos verificar que este é o polinômio que queremos: > f:=unappl(lagrange,); > f(); > f(); > f(3); f := Usando a Interpolação de Lagrange, ache a função polinomial de quarto grau determinada pelos pontos ( 5, 630), (, 5), (0, 3), (3, 630) e (6, 75).. O Maple faz interpolações automaticamente com o comando interp(valores, valores,). Use esse comando para conferir a resposta obtida para o item anterior. Na verdade, as únicas funções cujos valores sabemos calcular por meio de um número finito de operações elementares (adições, multiplicações e suas inversas) são os polinômios, por isso eles são usados, em geral, para aproimar outras funções, tais como funções trigonométricas e eponenciais, cujos valores não podem ser calculados diretamente. Para analisar como esse método funciona, vamos comparar a função = Em primeiro lugar, vamos definir a função f : > f:=->/(^+); f := + + com diferentes interpolações por polinômios. A seguir, escolhemos os pontos que serão os nós da interpolação e calculamos o valor de f nesses pontos: > valores_:=[0,,]; > valores_:=map(f,valores_); valores := [0,, ] valores := [0, 5, 7 ] > L:=interp(valores_,valores_,); L := Vamos agora, comparar as duas funções traçando os seus gráficos na mesma janela: > plot([f(),l],=-..5); Aumentando o número de pontos haverá mais valores onde a função f e a sua interpolação polinomial coincidirão: > valores_:=[0,,,3,]; > valores_:=map(f,valores_); valores := [0,,, 3, ] valores := [0,, 5, 3 0, 7 ]

11 W.Bianchini, A.R.Santos 09 > L:=interp(valores_,valores_,); L := > plot([f(),l],=-..5,=-..,color=black); Essa parece ser uma aproimação melhor para a função f definida acima? Aumentando o número de pontos considerados na interpolação, podemos melhorar a aproimação produzida. Desta vez, em vez de considerarmos os nós igualmente espaçados, vamos aumentar o número de nós, no intervalo onde a função muda mais rapidamente: > valores_:=[0,0.3,0.6,,.3,.6,,3,]; valores := [0,.3,.6,,.3,.6,, 3, ] > valores_:=map(f,valores_); valores := [0, ,.76706,, ,.9380, 5, 3 0, 7 ] > L8:=interp(valores_,valores_,); L8 := Veja o resultado obtido, graficamente: > plot([f(),l3],=-..5,=-..); Tendo em vista que a função f, definida acima, tem uma assíntota horizontal, o que se pode esperar de uma interpolação polinomial para essa função para grandes valores, positivos ou negativos, de?. A última aproimação obtida é consideravelmente melhor que a anterior? Para responder a essa pergunta trace vários gráficos da função = f() L k para estimar o erro máimo que cometemos no caso de aproimarmos f por polinômios de grau,, 8 e, respectivamente e conclua se L é uma aproimação significativamente melhor que L 7 ou L. Essa medida para o erro é chamada norma do supremo. 3. Por meio desse processo, sempre é possível obter uma boa aproimação para qualquer função sobre um intervalo fiado. Escolha criteriosamente os nós para obter uma aproimação polinomial para a função = cos( π ), com erro menor que 0, 0, no intervalo [0, 5]. Use a norma do supremo para estimar o erro cometido.

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