Professor Mauricio Lutz DERIVADAS

Transcrição

1 DERIVADAS Eplorano a iéia e erivaa Vamos iniciar a eploração intuitiva a iéia e erivaa por meio a ieia e variação e uma unção: Observemos que, quano a variável inepenente passa por e vai até, o conjunto e valores a unção passa por ( e chega até ( Chamamos e variação méia a unção nesse trecho o quociente: Eemplo: ( ( Se a variável inepenente é o tempo t e S é o espaço percorrio por um ponto móvel nesse tempo, temos que S é uma unção e t e escrevemos S S(t, que é equação horária o ponto material em movimento Entre os instantes t e t, o ponto material se escola e S ( t até S ( t A variação méia a unção S nesse trecho ou velociae méia com que o ponto material se esloca entre t e t é ao por: S( t V m t t S( t RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: ( 9 wwwaliarroupilhaeubr

2 Observamos que, iano, a variação méia a unção, relativamente à variação a variável, não é constante e epene e Assim, tomano vários caa vez mais próimos e, é possível (mas nem sempre que essa variação méia tena a um eterminao valor Ocorreno isso, no limite, quano tene a o, a variação méia tene a um valor que será chamao e taa e variação instantânea no ponto À taa e variação instantânea a unção no ponto chamamos erivaa a unção em relação à variável no ponto e representamos por: '( Vamos escrevêla numa linguagem mais conveniente Fazeno, D e Dy ( ( temos: + D A variação méia e uma unção é aa pela razão: D y ( +D ( ( ( D D Como consieremos variano para se aproimar e, vamos chamálo apenas e, e a variação méia a unção passa, então, a ser aa por: Dy D ( ( ( +D ( (taa e variação méia a unção no intevalo[, ] Assim, a variação instantânea a unção no ponto ou a erivaa a unção em relação à variável no ponto é aa por: ou aina: Eemplos: Dy '( lim D D ou '( ( ( lim ( +D ( '( lim D D a No caso o ponto material em movimento, quano t tene a t, a velociae méia poe tener a um valorlimite que ará a velociae instantânea no instante t RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: ( 9 wwwaliarroupilhaeubr

3 Analogamente ao eemplo anterior, azeno D t t t e D S S( t S( t, temos: t t + Dt A velociae méia é aa pela razão: Ds S( t S( t Dt t t S( t +Dt S( t t t Como iemos t tener a t, poemos chamálo apenas e t, e a velociae méia no intervalor e t a t é aa, então, por: V m Ds S( t S( t Dt tt S( t +Dt S( t tt Logo, a velociae instantânea no instante t é obtia quano azemos t tener a t ou, equivalentemente, quano azemos representano por V t a velociae instantânea no instante t, temos: ou aina: ( Ds V( t limvm lim ou V Dt Dt Dt V ( t lim t t tt S( t+dt S( t lim t Dt t D ( S( t S( t D t tener a Portanto, Concluímos, então, que a primeira iéia e erivaa e uma unção num ponto o seu omínio é a variação instantânea e uma unção sore em relação à variável num ponto Quano essa variável é o tempo, a erivaa é a velociae instantânea e um ponto material em movimento num eterminao instante t b Qual é a erivaa a unção Estamos procurano '( '( Assim: ( ( lim? ( no ponto ( ( 8 ( ( + + '( lim lim lim lim( + + lim( + + ( + ( Logo, '( RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: ( 9 wwwaliarroupilhaeubr

4 c Determine '(, sabeno que ( + Estamos procurano '( '( Assim: ( ( lim ( + ( ( '( lim lim ( ( + lim lim( Logo, '( 8 Um ponto material se move sobre uma trajetória qualquer seguno a equação horária S ( t t t+, em que S é ao em metros (m e t é ao em segunos (s Determine a velociae o ponto material no instante Estamos procurano S '( ou V( t V( S' ( Assim: S( S( lim t t ( t S' ( lim t t+ t t lim t t t t s t( t lim limt t t t Logo, V( t m / s Assim, a velociae no instante t é e m / s Eercícios Determine a erivaa a unção :Â Â a ( + no ponto ; b ( no ponto einia por: Determine '(, sabeno que :Â Â é einia por ( Um ponto material se move sobre uma trajetória seguno a equação horária S ( t t + (em que S é ao em metros e t é ao em segunos Determine a velociae no instante t s RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: ( 9 wwwaliarroupilhaeubr

5 Uma partícula se move em linha reta seguno a equação horária S ( t t + (S é ao em metros e t é ao em segunos Determine a velociae a partícula no instante t s Uma partícula se move sobre um trajetória seguno a equação horária aa abaio (em que S é ao em metros e t é ao em segunos Determine, em caa caso, a velociae a partícula no instante inicao a S t + t no instante t s b S t + t no instante t s c S t + t + t+ no instante t s A aceleração a é a variação instantânea a velociae V em relação ao tempo t num instante t, ou seja, é a erivaa a velociae V no instante t : a V Sabeno que um ponto material tem velociae variável aa pela ( t ' ( t epressão V t +, etermine sua aceleração, em a t s b t s m /s, nos instantes: Gabarito a b m/s m/s a m/s b 7m/s c 7m/s a m/s b m/s Interpretação geometrica a erivaa Através a geometria analítica sabemos eterminar a inclinação a reta, ou seja, aa uma reta r, seu coeiciente angular é epresso por: P y P y y m y em que (, e (, são ois pontos quaisquer a reta r Chamano e a o ângulo que r orma como o eio, o coeiciente m é a tangente e a, ou seja: m tga RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: ( 9 wwwaliarroupilhaeubr

6 Vejamos, agora, o que vem a ser a inclinação e unções (ou e curvas que as representam em um eterminao ponto Intuitivamente, a inclinação e ( y em ( ( é a inclinação a reta tangente em ( ( simplismente em,, ou Consieremos, por eemplo, a inclinação a unção (, ou a curva que a representa, no ponto A inclinação a secante AB é aa por: ( + h ( ( + h ( + h h+ h h h + h RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: ( 9 wwwaliarroupilhaeubr

7 7 À meia que B vai se aproimano e A,ou seja, quano h vai tenneo a, a reta AB vai se aproimano caa vez mais a reta tangente tem Isso signiica que a inclinação e ( em Numa linguagem mais precisa, escrevemos: ( lim h + h h ( lim( h vai teneno a + h que é eatamente '(, a erivaa a unção no ponto ( com a ierença e que aqui chamamos o acréscimo e h em lugar e (, eistirá a reta tangente e: ' D Portento, eistino ( tga ' que é o coeiciente a reta r, tangente ao gráico e ( Assim, a equação a reta tangente ao gráico e ( y no ponto ( (, y no ponto ( ( é, ao por: '( y ( ou y ( '( ( Observação: Para amitir reta tangente em um eterminao ponto, o gráico a unção não poe ar salto (não poe ser escontínuo nele nem muar bruscamente e ireção (ormar bico nesse ponto Não amitem tangente em os seguintes gráicos e unções: Retas paralelas ao eio y não têm coeiciente, pois m tg9 não está einio Assim, se a tangente ao gráico e uma unção num ponto é paralela ao eio y, a unção também não amite erivaa nesse ponto e izemos que não eiste a tangente ao gráico por esse ponto São eemplos isso as unções, nos pontos inicaos: RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: ( 9 wwwaliarroupilhaeubr

8 8 Eemplos: a Determine a equação a reta tangente ao gráico a unção ( no ponto A equação a reta tangente ao gráico e é ( no ponto ao por: y ( '(( Como (, basta calcular '(, na qual poemos calcular e uas ormas istintas: ou ( + h ( (+ h '( lim Þ '( lim h h h h + h+ h h(+ h lim lim lim(+ h h h h h h '( ( ( lim Þ '( ( ( + lim lim( + ( ( (+ h lim h h ( ( lim lim Portanto: y ( '(( Û y ( Û y ponto Logo, y é a equação a reta tangente ao gráico e ( no RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: ( 9 wwwaliarroupilhaeubr

9 9 b Determine a equação a reta tangente ao gráico a unção ( no ponto Neste caso: ( 8 ou (+ h ( (+ h 8 '( lim lim h h h h h+ h + h h(+ h+ h lim lim h h h h ( ( 8 ( ( + + '( lim lim lim lim( + + Portanto: y ( '(( Û y 8 ( Û y no ponto Logo, y é a equação a reta tangente ao gráico e ( Eercícios Daa a unção :Â Â einia por ( + etermine: a '( ; b a equação a reta tangente ao gráico e ( no ponto RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: ( 9 wwwaliarroupilhaeubr

10 Daa a unção :Â Â a '( ; einia por (, etermine: b a equação a reta tangente ao gráico e ( no ponto Daa a unção :Â Â einia por ( +, etermine a equação a reta tangente ao gráico e ( no ponto Gabarito a b y a b y y Derivaa A erivaa e uma unção y ( num, é igual ao valor a tangente trigonométrica o ângulo ormao pela tangente geométrica à curva representativa e y (, no ponto, ou seja, a erivaa é o coeiciente angular a reta tangente ao gráico a unção no ponto A erivaa e uma unção y (, poe ser representaa também pelos símbolos: y ', y ou '( A erivaa e uma unção ( no ponto é ao por: ( ( ( + h ( ( '( lim lim h Eemplo: Uma partícula se move sobre uma trajetória obeeceno à equação horária S ( t t + t+ (S ao em metros e t ao em segunos Determine: a A unção velociae em unção o tempo Lembramos que a velociae é aa pela erivaa e S (t, ou seja: S( t+ h S( t V ( t S' ( t lim h h Como: S( t+ h S( t [ ( t+ h + ( t+ h + ] ( t + t+ ( t + t h+ th + h + t+ h+ t t t h+ th + h + h Temos: RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: ( 9 wwwaliarroupilhaeubr

11 t h+ th + h + h h(t V ( t lim lim h h h lim(t + th+ h + t + h Logo, V ( t t + + th+ h h + b A velociae a partícula no instante t s Portanto: Procuramos a velociae no instante V ( ( + Logo, a velociae a partícula no instante t s, isto é, S'( ou V ( t s é e m / s c A unção aceleração em unção o tempo A aceleração é aa pela erivaa a velociae, ou seja, a ( t V '( t Assim: V ( t+ h V ( t a( t V '( t lim h h Como: V ( t+ h V ( t ( ( t+ h + ( t + ( t + th+ h + t + t + th+ h t th+ h Temos: th+ h a( t lim h h Logo, a( t t h(t + h lim lim(t + h t h h h A aceleração a partícula no instante t s A aceleração no instante t é aa por V '( ou a ( : a ( Logo, a aceleração a partícula no instante t s é e s m / Derivaas unamentais Nas ormulas abaio, u e v são unções a variável e c uma constante aderivaa a unção constante ( c RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: ( 9 wwwaliarroupilhaeubr

12 Eemplo: b Derivaa a unção potência Eemplo: ( 7 n n 7 n, portanto ( c Derivaa e um prouto e uma constante por uma unção Eemplo: u ( cu c Derivaa a unção ( sen ( sen cos e Derivaa a unção ( cos Eercícios (cos sen Calcule a erivaa '( as seguintes unções: a ( 8 b e ( ( c ( g ( ( ( h ( i ( sen j ( cos k ( cos l ( cos m ( n ( 8 o ( sen p ( q ( r ( s ( t ( u ( v ( w ( cos y ( ( z ( RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: ( 9 wwwaliarroupilhaeubr

13 Calcule as erivaas a ( e æ ç è 8 i ( ö ø 8 7 b ( æ ç è æ ö j ç ø è ö ø 7 c ( g æ ö ç è ø k ( sen ( 8 h ( æ ö l ç cos ø è æ ö m ç sen è ø æ ö n ç cos è ø æ ö o ç cos è ø æ ö p ç sen è ø æ 7 ö q ç sen è ø æ senö r ç è ø æ cosö s ç è ø æ cosö t ç è ø u ( v ( w ( ( y ( z ( 8 Gabarito a b g m h 9 n o s cos t y z c e i cos j sen k sen p q 9 u 9 l sen v w sen r a b 8 8 c e 7 g h 8 i j k cos l sen RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: ( 9 wwwaliarroupilhaeubr

14 m s cos n sen y t sen sen z o sen p u cos q v 7 cos r 9 w cos Proprieaes operatórias Consiere u e v unções a variável aderivaa e uma soma e unções y u+ vþ y' u' + v' y uvþ y' u' v' Eemplo: Daa a unção ( + +, calcular '( ( b Derivaa e um prouto e unções y uv Þ y' u' v+ v' u Eemplo: Calcular a erivaa e ( (+ (7 y ( + (7 y uv Þ y' u' v+ v' u u + Þ u' y' u' v+ v' u (7 + ((+ v 7 Þ v' y ' + 9 c Derivaa e um quociente e unções u u' vv' u y Þ y' v v Eemplo: Seno + (, calcular '( + ( u u' vv' u y Þ y' v v u + Þu' v Þ v' u' vv' u ( ( y v ( y ' ' RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: ( 9 wwwaliarroupilhaeubr

15 Eercícios Determine a erivaa '( as seguintes unções: a ( 7+ b ( c + ( ( + + e ( + ( cos g ( sen h ( sen cos i ( cos j ( ( k ( ( + l ( ( + ( m ( ( ( n ( ( ( + o ( ( + p ( q ( r ( s ( t ( u ( ( ( + 8 v ( ( ( w ( (8( + ( + y ( ( ( + z ( + Calcule as erivaas a (( ( æ æ öö b ç( ç è è ø ø æ ö ö çç æ ( èè ø ø g ( ( 8 e ææ çç èè ö ö ( ø ø æ ( æ ö ö h çç ( èè ø ø ææ ö ö c çç ( + èè ø ø ( ( ( ( i ( 8 ( ( j ( + ( + ææ ö ö m çç ( èè ø ø k ( ( + æ ö n ç è + ø ææ çç èè ö ø l çç ( æ + o ö ç è ø ö ø æ p ö ç è ø q æ ç è ö ø r æ ö ç è ø æ s ö ç è ø RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: ( 9 wwwaliarroupilhaeubr

16 æ t ö ç è + ø æ u ö ç è ø æ ö v ç è ø æ ö w ç è ø æ + ö ç è ø æ + y ö ç è ø æ + z ö ç è 8 ø Gabarito a 7 b c + e + sen g ( sen + cos h cos sen i ( cos sen j k 9 + l + m n p (+ q r ( s (+ + ( o t u v 9 w ( + y z ( + a b c + + e 8 g 8 h + i j 8 + k + l m n ( + o ( + + p ( q ( r + ( s t ( + u + v + w + + ( y ( + z ( 8 RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: ( 9 wwwaliarroupilhaeubr

17 7 Derivaa a potência e uma unção Consieremos g uma unção a variável e n uma constante y g Þ y' n n ( g g' n Eemplo: Daa a unção g ( + Þ g'( y g ( (+, calcular '( ( g g' (+ 8( Þ y' + 7 Derivaa e uma unção eponencial Consieremos g uma unção a variável y a y a g Þ y' a lna g Þ y' a g'lna Eemplos: a Calcular a erivaa e ( ( Þ y' ln b Calcular a erivaa e ( ( Þ y' ln 8 Derivaa a unção logarítmica Consieremos g uma unção a variável y ln Þ y' y log a Þ y' log Eemplos: a Daa a unção A unção aa é a orma: g hþ ' g' h+ h' g g ln Þ g' a e ( (ln, eterminar '( h Þ h' ' g' h+ h' g + ln + ln (+ ln RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: ( 9 wwwaliarroupilhaeubr

18 8 b Daa a unção A unção aa é a orma: y' n n ( g g' g log Þ g' loge y' n n ( g g' (log ( (log, eterminar '( (log loge Eercícios Determine as erivaas as seguintes unções: a ( ( b ( ( + g j ( + e æ ö ( ç h è ø ( e k m ( log n loge c ( ( + ( + ( + ( + i ( ( (ln l ( ln ( (log o p ( ( q ( ( + s v æ ö ( ø ( ç è t w r 8 ( u y ( log z ( log ( ( ln æ ö ( ç8 è ø ( 8 ( (ln Calcule as erivaas ( a ( b ( + + ( 8 ( + e ( g ( j ( + ( ( h + + ( ( k ( + ( + c æ çæ ç èè + ö ö ø ø ( i ( 8 + ( ( l ( + + ( RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: ( 9 wwwaliarroupilhaeubr

19 9 ( n ( 8 o ( m + ( p ( 8 t ( 8 ( ( log + q ( u ( y ( log r ( ( v ( log æ ö 8 z ç è logø s ( 8 ( w ( log Gabarito a b 8 + c (+ e + k ln l + m log e g æ ö ç è ø n ln log loge h + ln i ln j e (ln o (ln p ( q ( + ( + r 8 8 s æ ö ø 8 ç t 8 ln è u 8 ln v ln w ln y log e z log e (ln a ( ( b ( + 8 ( + + c æ öæ ö + + ø ç ç è øè g ( i ( ( ( 8 ( + ( + j k l n ( 8 o ( + 8( 8 e h ( m ( ( + + p ( ln ( + RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: ( 9 wwwaliarroupilhaeubr

20 + q ( ln 8 t (8 8 ln w ( log loge r ln u ln v 8 ( log 7 loge s 8 ln8 y ( log 8log e loge loge z (ln 9 Derivaa a unção composta (regra a caeia Sejam e g são unções a variável Eemplos: a Seja y ( g( e u g( então y (u e '( u'( v v'( ( sen, etermine '( ( u( v( Þ '( u'( v v'( v ( Þv'( u( v senvþu'( v cosv mas v, logo cos v cos Então: ( senþ '( (cos cos b Seja ( ln( +,etermine '( A unção é a orma ( u( v( Þ '( u'( v v'( v ( + Þ v'( u( v lnvþ u' ( v mas v +, logo v v Então: + ( ln( + Þ '( ( + + Eercícios Calcule as erivaas as unções: a ( cos b ( sen(+ c ( ln( sen ( log( e ( log( + ( ( g ( h ( ( + 8 i ( (8 7 j æ ö ( ç k è ø ( + l ( ( + ( m ( sen n ( ( + o ( ( 8 + RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: ( 9 wwwaliarroupilhaeubr

21 p ( cos q ( r + s sen8 ( cos ( t ( ( + u ( log( v ( sen( w ( ( ( y ( ln(cos z ( ( ( Calcule as erivaas a ( sen æ ç è ö ø g ( cos 8 j æ ç è ö 8 ø m ( + p æ ç è t ( ö ø b æ ö ç ø è 8 + e ( + h ( k ( sen n ( q ( sen cos u ( ( cos y ( c ( 8 + i æ ç è 8 ö ø æ 8 ö ç 8 ø è l ( æ ö o ç ø è æ ö r ( + s ç è + ø æ ö v ç è 8 + ø æ ö z ç ç è ø w ( Gabarito a sen b cos(+ c cot g g ( ( loge ( h ( + 8 ( i (8 7 e loge ( + æ ö æ ö j ç ç+ k è ø è ø + n ( + + ( + l m o ( 8 + ( p sen sen + cos RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: ( 9 wwwaliarroupilhaeubr

22 q ( + r sen cos s cos 8 8 t ( + ( + u loge v cos( w ( ( + 8( 9 (8 y sen cos z ( æ ö æ ö 9 a cos b ç ç + c è ø è ø 8 g 8 ( e ( 8 + ( 7 sen8 h ( + ( + j ( m p ( + 9 ( s ( + k t sen 7 ( æ öæ ö 8ç ç è øè ø æ 8 ö æ 7 8 ö i ç ç è ø è ø cos l ( ( + + ( n ( q ( cos sen + r u ( ( sen + cos y ( v 9(9 + 8 æ ö æ ö o ç ç + è ø è ø ( + 8 ( + ( w ( z 8 ( 9 Regra e L Hôspital Esta regra permite calcular certos tipos e limites, cujas ineterminações são o tipo ou, aplicano as regras e erivação Sejam e g unções eriváveis num certo intervalo aberto I, eceto possivelmente, num ponto aî I Se a e se g '( ¹ para ¹ a então + ( tem a orma ineterminaa ou em g( RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: ( 9 wwwaliarroupilhaeubr

23 ( '( lim lim ese que a g( a g'( '( lim a g '( 9 Eemplos: a Calcule o lim Pelo cálculo o limite temos 9 ( 9 lim L Hôspital temse: temse: ( 9 e ( Logo lim b Calcule o e lim Pelo cálculo o limite temos '( eista, ou lim a g'(, o que é uma ineterminação, pela regra e e e lim, o que é uma ineterminação, pela regra e L Hôspital ( e e e ( e Logo lim e + Obs: Poe ocorrer que ao aplicarmos a regra e L Hôspital a epressão '( lim g '( aina seja ineterminaa neste caso ese que as conições a regra estejam veriicaas aplicamos a regra novamente lim '( c Calcule o lim Pelo cálculo o limite temos 8, o que é uma ineterminação, pela regra e L Hôspital temse: lim lim g'( aplicano a regra novamente temos: RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: ( 9 wwwaliarroupilhaeubr

24 ''( lim lim g'' ( '''( 8 lim lim g' ''( lim g ( ( iv iv Eercícios 8 lim Logo lim Ache o limite se eistir: aplicano a regra novamente temos: a sen lim b lim c + lim 7 + lim + + e e lim sen lim g sen lim + h p cos lim ln i e lim e sen sen j cose lim k + + lim + + l ln lim + ln m lim e ln n lim e + ln o lim Gabarito a b c e g h i j k l m n o Aplicações as erivaas Regra a primeira erivaa Consieremos uma unção real, einia num omínio D, tal que é erivável em D Os sinais a unção erivaa crescimento ou ecrescimento e ' estão relacionaos ao RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: ( 9 wwwaliarroupilhaeubr

25 Valem as seguintes proprieaes ÞSe '( a >, então ( é crescente em a ÞSe '( a <, então ( é ecrescente em a Os pontos em que '( poem ser e máimo ou e mínimo ou e inleão Estes pontos são chamaos pontos críticos e Eemplos: a Determine os pontos críticos e estuar a variação a unção (, ÎÂ ( Þ '( '( Þ Þ Þ Þ ± Vamos pegar pontos antes e epois os pontos críticos '( Þ '( ( '( Þ '( ( 9> < ± (ponto crítico '( Þ '( ( 9> Gráico e b Determinar os pontos críticos e estuar a variação a unção ( +, ÎÂ ( + Þ '( '( Þ Þ ( RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: ( 9 wwwaliarroupilhaeubr

26 Þ Þ (ponto crítico Þ Þ (ponto crítico Vamos pegar pontos antes e epois os pontos críticos '( Þ '( ( '(/ '( Þ Þ '( '(/ ( (/ ( ( (/ < < / < Eercícios Para caa unção (, ÎÂ, eterminar os pontos críticos e estue a variação a ( + b ( + c ( ( + + e ( + ( 7 g ( + + h ( 8 + i ( ( j ( 9+ Gabarito a Pontos críticos e ; é ponto e máimo e é ponto e mínimo b Pontos críticos e ; é ponto e inleão e é ponto e mínimo c Pontos críticos e ; e é ponto e inleão Ponto crítico ; é ponto e inleão e Pontos críticos, e ; é ponto e mínimo, é ponto e máimo e é ponto e mínimo Ponto crítico 7/8; 7/8 é ponto e máimo g Pontos críticos e /; é ponto e máimo e / é ponto e mínimo h Pontos críticos, e ; é ponto e mínimo, é ponto e máimo e é ponto e mínimo i Pontos críticos, / e ; é ponto e inleão,/ é ponto e máimo e é ponto e mínimo j Ponto crítico / ; ¾ é ponto e mínimo Regra a seguna erivaa RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: ( 9 wwwaliarroupilhaeubr

27 7 Consieremos uma unção real, einia num omínio D, tal que é erivável até seguna orem em D, isto é, eistem '( e ''( em D Os sinais a unção erivaa '' estão relacionaas à concaviae o gráico Valem as seguintes proprieaes ÞSe ''( a >, então ( tem concaviae para cima em a ÞSe ''( a <, então ( tem concaviae para baio em a Um ponto em que ''( e '' mua e sinal (antes e epois e é um ponto e inleão e Se também '(, izemos que é um ponto e inleão horizontal pois a reta tangente é paralela ao eio Se ''( mas '' não mua e sinal (antes e epois e, então não mua e concaviae em, portanto, neste caso, não é ponto e inleão Eemplos: a Determine os pontos e inleão e estuar a concaviae a unção (, ÎÂ ( Þ '( Þ ''( ''( Þ Þ Vamos pegar pontos antes e epois e ''( Þ ''( ( < ''( Þ ''( ( > RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: ( 9 wwwaliarroupilhaeubr

28 8 (, ÎÂ 8 b Determine os pontos e inleão e estuar a concaviae a unção 8 8 ( Þ '( Þ ''( ''( Þ Þ Vamos pegar pontos antes e epois e '' ( Þ ''( Þ '' ''( ( ( ( > > Não há ponto e inleão Eercícios Determine os pontos e inleão e estue a concaviae a unção, aa a ( b e ( + ( c ( 8 g ( ( ( h ( ÎÂ, Gabarito a Concaviae p/baio em ], ]e concaviae p/cima em [, + [; Ponto e inleão b Concaviae p/cima; Não há ponto e inleão c Concaviae p/cima; Não há ponto e inleão Concaviae p/baio em ], ]e concaviae p/cima em [, + [; Ponto e inleão e Concaviae p/cima em ], ]e concaviae p/baio em [, + [; Ponto e inleão Concaviae p/cima em ], ]; concaviae p/baio em [, ] e concaviae p/ cima [, + [; Ponto e inleão g Concaviae p/cima em ], ]; concaviae p/baio em [, ] e concaviae p/ cima [, + [; Ponto e inleão h Concaviae p/cima; Não há ponto e inleão RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: ( 9 wwwaliarroupilhaeubr

29 9 Máimos e mínimos Lembremos que os pontos e máimos ou e mínimos e uma unção poem ser eterminaos analisano os sinais a erivaa primeira e ' Outro recurso que poe ser empregao na ientiicação e pontos e máimos ou e mínimos é analisar o sinal a erivaa seguna nos pontos que anulam a erivaa primeira Valem as seguintes proprieaes Þ '( e ''( >, se, e somente se é ponto e mínimo e Þ '( e ''( <, se, e somente se é ponto e máimo e Eemplos: a Ientiicar os pontos críticos a unção ( +, ÎÂ críticos: ( + Þ '( Þ ''( '( Þ Þ Þ Þ Þ ± ( Vamos aplicar o critério os sinais a erivaa seguna nos pontos Para ''( Þ ''( ( < Então, é ponto e máimo local e Para + ''( Þ ''( + ( + 8> Então, + é ponto e mínimo local e Para ''( Þ ''( ( 8> Então, é ponto e mínimo local e b Ientiicar os pontos críticos a unção (, ÎÂ ( Þ '( Þ ''( '( Þ Þ Para ''( Þ ''( ( (naa poemos concluir RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: ( 9 wwwaliarroupilhaeubr

30 Sinais e '( Vamos pegar pontos antes e epois os pontos críticos '( Þ '( ( > '( Þ '( ( > Portanto é ponto e mínimo local e Eercícios Ientiicar os pontos críticos e se é ponto e máimo ou mínimo as seguintes unções a ( b ( c ( + ( + e ( + + ( + g ( h ( ( Gabarito aponto critico ; Ponto e máimo b Ponto critico ; Ponto e máimo c Pontos críticos e ; Ponto e mínimo em e ponto e máimo em Pontos críticos e ; Ponto e mínimo em e ponto e máimo em e Pontos críticos e /; Ponto e mínimo em e ponto e máimo em / Ponto critico ; Ponto e mínimo g Pontos críticos, e ; Ponto e mínimo em e e ponto e máimo em h Pontos críticos, e ; Ponto e mínimo em e e ponto e máimo em RS 77 km 7 Passo Novo Fone/Fa: ( 9 wwwaliarroupilhaeubr