Uma breve introdução ao estudo de equações diferenciais 1

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1 Uma breve introução ao estuo e equações iferenciais 1 2 Pero Fernanes Este texto tem o objetivo e apresentar os métoos e resolução os moelos mais básicos e equações iferenciais. A ieia é fornecer um treinamento mínimo na conução e problemas econômicos cuja análise inâmica é essencial e, portanto, carece o entenimento sobre a resolução e interpretação e uma equação iferencial ou e um e um sistema estas em tempo contínuo. Com isto em mente a primeira seção tratará os métoos e resolução e equações iferenciais e lineares e primeira orem. Equações Diferenciais e Primeira Orem t = f(t, y) (1) One f é uma função aa e uas variáveis. Qualquer função iferenciável y = φ(t) que satisfaz essa equação para too t em algum intervalo é chamaa e solução. Se a função f em (1) epener linearmente a variável epenente y, então (1) é ita uma equação iferencial linear e primeira orem. Um exemplo isto é: t = ay + b (2) one a e b são constantes aas. Vamos consierar agora a equação linear e primeira orem mais geral, obtia substituino-se os coeficientes a e b em (2) por funções arbitrárias e t. Em geral escreveremos a equação linear e primeira orem geral na forma-parão t + p(t)y = g(t) (3) one p e g são funções aas na variável inepenente t. A Eq. (2) poe ser resolvia pelo seguinte métoo e integração; se a 0 e y b/a, poemos escrever a equação na forma: Então, integrano, obtemos: ( t ) y b a = a (4) ln y ( b ) = at + C a Elevano tuo à exponencial obtêm-se: e ln y (b a ) = e at+c Lembre aqui que a função exponencial é a inversa o ln: y b a = e at+c y = e at e c + b a y(t) = Ae at + b a (5) 1 Estas tem como base Boyce e DiPrima (2011). 2 Professor Mestre o Departamento e Economia a UERN.

2 One A = e c é apenas uma constante arbitrária. A equação (5) é a solução geral e uma equação iferencial linear e primeira orem. Quase sempre o proceimento é efinir uma conição inicial com o objetivo e estipular um valor particular para a constante arbitrária A. Por exemplo, se supusermos que em t = 0, isto é, no instante zero o moelo, y(0) = 0, obtemos: Então: y(0) = A + b a A = y(0) b a y(t) = [y(0) b a ] e at + b a Uma as formas e estuar moelos matemáticos compostos por equações iferenciais é analisar se tais moelos são estáveis, isto é, se quano t +, a função converge para um eterminao valor. Por exemplo, poemos notar que a equação (5) poe moelar uma variável que possui uma tenência e longo prazo, como por exemplo, preços e commoities. Note: lim t + y(t) = b a Ou seja, b, o valor o equilíbrio o moelo inâmico representao por (5) e este valor é estável. a Infelizmente este métoo ireto não poe ser usao para resolver a equação geral (3) e moo que precisamos o métoo esenvolvio por Leibniz, conhecio como métoo o fator integrante. Este métoo envolve a multiplicação a equação iferencial (3) por uma eterminaa função μ(t) escolhia e moo que a equação resultante seja facilmente integrável. A função μ(t) é enotaa como fator integrante, e a principal ificulae o métoo é etermina-la. Exemplo: Resolva: t y = 1 2 e t 2 O primeiro passo é multiplicar (6) por μ(t): (6) t μ(t) μ(t)y = 1 2 μ(t)e t (7) 2 O truque agora é eterminar μ(t) e moo que a expressão à esquera o sinal e igualae em (7) seja reconhecia como a erivaa e alguma expressão particular. Aqui é preciso lembrar os tipos e erivaa, e verificar qual mais se aproxima o lao esquero a equação (7). Note que a para o lao esquero esta equação ser a erivaa e um prouto e funções, a única conição é μ(t) = 1 2 μ(t). Lembre que: (y(t)μ(t)) = (t) μ(t) + μ(t) (8) y(t) t t t Comparano (8) e (7) percebe-se que o lao esquero e (7) será a erivaa o prouto e funções μ(t)y(t) ese que: t Partino esta conição obtém-se que: μ(t) t = 1 2 μ(t) (9)

3 Que é equivalente à: Integrano os ois laos: ( μ(t) t ) = 1 μ(t) 2 t ln μ(t) = 1 2 (10) (11) ln μ(t) = 1 2 t + C (12) assim: μ(t) = ce 1 2 t (13) A função μ(t) aa por (13) é um fator integrante para a equação (6). Como não precisamos o fator integrante mais geral possível, escolheremos c = 1 e usaremos (13) como: μ(t) = e t 2. O passo seguinte é multiplicar a equação (6) por ser fator integrante encontrao em (13): e t 2 t e t 2y = 1 2 e t 3e t 2 = e t 2 t e 2y t = 1 (14) 2 e5t 6 Note que o lao esquero e (14) é facilmente reconhecio como a erivao o prouto e e2y, t assim (14) fica: t (e 2y) t = 1 2 e5t 6 (15) Integrano os ois laos e (15) obtém-se: e2y t = 3 5 e5t 6 + c, (16) Resolveno para y, obtemos a solução geral e (6), a saber, y = 3 5 e t 3 + ce t 2 (17) Suponha aicionalmente que esejamos encontrar a solução cujo gráfico contém o ponto (0,1) isto é, que passa pelo ponto t = 0 e y = 1. Para obter esta solução particular basta em (17) fazer: 1 = 3 5 e0 3 + ce = c c = = 2 5 Então temos que (17) poe ser reescrita como: y = 3 5 e t e t 2 (18) Vamos agora estener o métoo os fatores a equações a forma: t + ay = g(t) (19) one a é uma constante aa e g(t) é uma função aa. Proceeno como no exemplo interior, poemos perceber que o fator integrante μ t tem que satisfazer:

4 μ t = aμ (20) Logo, o fator integrante é μ(t) = e at. Multiplicano (19) por μ(t), obtemos: at e t + aeat y = e at g(t) t (eat y) = e at g(t) (21) Integrano (21), encontramos e at y = e at g(t)t + c, (22) one c é uma constante arbitrária. Para muitas funções simples g(t) poemos calcular a integral em (22) e expressar a solução y em termos e funções elementares. No entanto, para funções mais complicaas, poe ser necessário eixar a solução em forma integral. Nesse caso, t y = e at e as g(s)s t o + ce at (23) Note que enotamos por s a variável e integração (23), para istingui-la a variável inepenente t, e escolhemos algum valor conveniente para t 0 como limite inferior a integração. Exemplo: Resolva a equação iferencial t 2y = 4 t (24) Discuta o comportamento quano t +. Observe que (24) é uma equação a forma (19), como a = 2; logo, o fator integrante é μ(t) = e 2t. Multiplicano a equação iferencial (24) por μ(t), obtemos; Ou 2t e t 2e 2t y = 4e 2t te 2t t (e 2t y) = 4e 2t te 2t (25) (26) e 2t y = 4e 2t t te 2t t (27) Resolveno a primeira integral obtemos, Resolveno a seguna, 4e 2t t = 4 e 2t 2 = 2e 2t Usano o algoritmo LIATE, temos que: te 2t t uv = uv vu u = t u = t

5 Dessa forma, v = e 2t t v = e 2t 2 = e 2t 2 te 2t t = t 2 e 2t ( e 2t 2 ) t = t 2 e 2t + e 2t 2 t = t 2 e 2t e 2t 4 = (t 2 e 2t + e 2t 4 ) De posse as integrais calculaas basta plugar na equação (27): ye 2t = 2e 2t + ( t 2 e 2t + e 2t 4 ) + c y = 2e 2t e 2t + ( t ) e 2t e 2t + ce 2t y = t 2 + ce2t y = t 2 + ce2t 7 4 Vamos voltar para a equação linear geral e primeira orem (3) t + p(t)y = g(t), (28) one p e g são funções aas. Para eterminar um fator integrante apropriao, multiplicamos (3) por uma função μ(t) a ser eterminaa, obteno: μ(t) t + p(t)μ(t)y = μ(t)g(t) (29) Seguino o mesmo raciocínio conutor o primeiro exemplo, vemos que a expressão a esquera em (28) é a erivaa e um prouto μ(t)y, ese que μ(t) satisfaça a equação Supono μ(t) positiva, temos μ(t) t = p(t)μ(t) (30) μ(t) t μ(t) = p(t) Em consequência, ln μ(t) = p(t)t + k Escolheno a constante k = 0, obtemos a função mais simples possível para μ, a saber, Voltano para (29), temos μ(t) = e p(t)t (31) t [μ(t)y] = μ(t)g(t) (32)

6 Portanto, μ(t)y = μ(t)g(t)t + c (33) one c é uma constante arbitrária. Algumas vezes a integral em (33) poe ser calculaa em termos e funções elementares. No entanto, isso não é possível, em geral, e moo que a solução geral a equação (3) é y = 1 μ(t) t [ μ(s)g(s)s t 0 + c] (34) Observe que a Eq. (34) envolve uas integrações, uma para obter μ(t) a Eq. (30) e outra para eterminar y a equação (34). Exemplo: Resolva o problema e valor inicial ty + 2y = 4t 2 (35) y(1) = 2 (36) Para eterminar p(t) e g(t) corretamente, precisamos primeiro colocar (35) na forma parão (3), y + ( 2 t ) y = 4t (37) De moo que p(t) = 2/t e g(t) = 4t. Para resolver a (37), primeiro calculamos o fator integrante μ(t): Multiplicano (36) por μ(t) = t 2, obtemos: e, portanto, μ(t) = e 2 t t = e 2 ln t = t 2 t 2 y + 2ty = (t 2 y) = 4t 3 t 2 y = t 4 + c one, y = t 2 + c t 2 (38) Aplicações às Ciências Econômicas Equilíbrio e Mercao 3 Suponha que, para uma mercaoria especifica, as funções emana e oferta são as seguintes: Q = α βp (39) Q s = γ + δp (40) 3 Exemplo extraío e Chiang e wainwright (2004).

7 Então e acoro com a pressuposição e equilíbrio o preço será tal que igualará oferta e emana. É fácil ver que quano Q = Q s, obtêm-se: p = α + γ β + δ (41) Se por acaso o preço no tempo inicial, p(0) estiver exatamente no nível e p, o mercao já estará claramente em equilíbrio e nenhuma análise inâmica será necessária. No entanto, se p(0) p, o preço e equilíbrio será possivelmente obtio após um processo e ajuste, urante o qual não somente o preço sofrerá variação ao longo o tempo, mas Q e Q s, seno funções e p, também everão variar ao longo o tempo. Para saber se o p(0) realmente tenerá a p, antes e mais naa, precisa-se estabelecer como se á o parão e variação o preço. Em geral, variações e preços são regias pela intensiae relativa as forças e emana e e oferta no mercao. Supono, que a taxa e variação o preço em relação ao tempo, a qualquer instante, é sempre iretamente proporcional ao excesso e emana (Q Q s ) prevalecente naquele instante. Tal parão e variação poe ser expresso como: p t = j(q Q s ) (j > 0) (42) One por simpliciae, j, representa um coeficiente e ajuste constante. É fácil ver que a partir as funções emana e oferta, (42) poe ser expressa a seguinte forma: p t + j(β + δ)p = j(α + γ) (43) A partir a equação (31) temos que o fator e integração para (43) é ao por: μ(t) = e j(β+γ)t (44) Tomano o prouto e (43) por (44) obtemos: p j(β+γ)t e t + j(β + δ)ej(β+γ)t p = j(α + γ)e j(β+γ)t (45) Tomano como referência a regra a erivaa o prouto temos que lao esquero e (45) poe ser entenio como t (pej(β+γ)t ). Deste moo poemos reescrevê-la como: Integrano (46) obtemos: t (pej(β+γ)t ) = j(α + γ)e j(β+γ)t (46) pe j(β+γ)t = α + γ β + δ ej(β+γ)t + c (47) Resolveno para p: A solução geral é: p(t) = α + γ β + δ ej(β+γ)t e j(β+γ)t + ce j(β+γ)t p(t) = ce j(β+γ)t α + γ + β + δ Definino uma conição inicial geral, isto é um valor para quano t = 0. Obtemos: (48) (49)

8 α + γ p(t) = [p(0) β + δ ] α + γ e j(β+γ)t + β + δ A partir e (50) é fácil perceber que p(t) tene a p quano t +. Isto é, α + γ lim p(t) = t + β + δ = p (50) (51) Moelo e Solow Outra aplicação interessante e equações iferenciais, bastante ifunia é a equação principal o moelo e Solow e Swan (1956) one temos: k t = skα (n + g + δ)k (52) No entanto, este moelo inâmico é efinio por uma espécie e conição terminal que impõe em linhas gerais que k 0, quano, t +. Dessa forma não precisamos e nenhuma ferramenta t para encontrar o valor e longo prazo e k. No entanto, para fins e ilustração vamos emonstrar a trajetória e k. Note que (52) poe ser reescrita como: Da equação (31) obtemos o fator e integração e (53) como: Tomano o prouto e (54) por (53): k t + (n + g + δ)k = skα (53) μ(t) = e (n+g+δ)t (54) k t e(n+g+δ)t + (n + g + δ)e (n+g+δ)t k = sk α e (n+g+δ)t (55) Logo poemos reescrever (55) como: Integrano (56), obtemos: t (ke(n+g+δ)t ) = sk α e (n+g+δ)t (56) Assim: ke (n+g+δ)t = s k α e (n+g+δ)t t (57) t k = se (n+g+δ)t k α e (n+g+δ)s (58) s t 0 A partir e (58) poemos perceber a conveniência a hipótese stea state o Solow e Swan (1956) que simplifica too o processo assumino que k = 0 quano t +. O que simplifica (52) para: t Implicano que: sk α = (n + g + δ)k (59) s k = ( n + g + δ ) Isto é, implicano que k possui a trajetória temporal mais simples possível a e uma constante. 1 1 α (60)