Equação Diferencial. Uma equação diferencial é uma expressão que relaciona uma função desconhecida (incógnita) y com suas derivadas.

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1 Equação Diferecial Uma equação iferecial é uma epressão que relacioa uma fução escohecia (icógita) com suas erivaas É útil classificar os iferetes tipos e equações para um esevolvimeto sistemático a Teoria as Equações Difereciais Quao a fução icógita epee e uma úica variável iepeete iz-se que a Equação Diferecial é Oriária Uma Equação Diferecial Parcial é uma equação iferecial que ão é oriária A orem e uma EDO é a a erivaa e maior orem cotia a equação Assim uma EDO e orem é uma equação a forma ' '' ( ) F 0 que eprime uma relação etre a variável iepeete uma fução e ão especificaa e suas erivaas ' '' () Eemplos: (a) ( ') + ' ( EDO e orem ) (b) '' + 3' + 6e 0 ( EDO e orem ) (c) L q' '( t) + Rq'( t) + q( t) ε() t 0 ( EDO e orem ) C () ''' + e '' + ' 4 ( EDO e orem 3 ) ' + 3 ( EDO e orem 3 ) (e) ( '') ' ''' ( '' ) 0

2 Daa uma EDO e orem a forma ( ) ' '' ( ) F 0 amitir-se-á que sempre seja possível obter e moo iequívoco sua forma ormal ( ) f ' '' ( ) Note que em geral aa uma EDO a forma ( ) em sempre é possível obter e moo iequívoco sua forma ormal Eemplo: ( ') + ' ( ') + ' ' + 4 e oe segue que ' ou ' Observe aia que amitir que a forma ormal e uma equação iferecial eista ão sigifica amitir que eista uma fução que a satisfaça

3 Por solução e uma EDO e orem ( ) ' '' ( ) F 0 em um itervalo (aberto) I ( α β) etee-se uma fução φ que jutamete com suas erivaas φ ' φ '' φ () satisfaz ieticamete ( ) i e ' '' ( ) F φ φ φ φ 0 para too I Questão a Eistêcia: Daa um EDO qualquer como sabemos se ela ao meos tem solução? Questão a Uiciae: Assumio que uma aa EDO tem uma solução eistirão outras soluções? Que coições evem ser especificaas para permitir uma úica solução? Questão Prática: De que moo etermia-se uma solução? Uma EDO e orem a forma ( Equações Difereciais Lieares ) a ( ( ) + a ( ( ) + + a ( ' + a ( + g( 0 0 é ita liear Uma EDO que ão teha a forma ( ) é chamaa ãoliear Eemplo: (a) θ + ωseθ 0 ω cost ( EDO e orem ão-liear ) t (b) θ + ωθ 0 ω cost ( EDO e orem liear ) t 3

4 Equações e Primeira Orem Em sua forma ormal uma EDO e orem é aa por ' f ( ) De moo geral uma EDO (e orem qualquer) por si só ão estabelece a uiciae a solução quao esta eiste Eemplo: Cosiere a equação iferecial ' + e 0 Por ispeção φ ( e + ce oe c cost é solução essa equação Uma solução φ e uma EDO e primeira orem represeta uma família e curvas eomiaa curvas itegrais Para especificar uma solução particular isto é escolher uma curva itegral particular a família e curvas alguma iformação aicioal eve ser aa por eemplo prefiao um poto ( ) 0 através o qual a curva 0 itegral eve passar Problema e Cauch (PVI): ' f ( ) ( ) 0 0 Eemplo: A fução φ ( 3e é a solução o Problema e Valor Iicial ' 0 (l ) 4

5 Equações Difereciais Oriárias e Orem ' f ( ) O tipo mais simples () ' f ( Seo f cotíua em um itervalo I ( α β ) tem-se ( f ( ' f ( + k ( oe k é uma costate (e itegração) Uma geeralização a partir o tipo mais simples () + p( q( ' oe p e q são fuções cotíuas em um itervalo I ( α β ) Note que () é a mais geral EDO liear e primeira orem Um caso particular e () é ao por (3) ' + p( 0 Uma solução e (3) é ( 0 para too ( α β) Para uma solução ão-ula ' p( (l ) p( se > 0 Daí l ( p( + c oe k é uma costate p( ( ke 5

6 Eemplos: (a) ' cos ( 0 ' cos ( ( cos ( oe k cost + se( + k 4 8 ( (b) ' l 0 ( ) ' l Usao a coição iicial (l ) l l l l (l ) + c Portato l (l ) + c l l + c l l + e 6

7 3 Situação Geral para uma EDO liear e orem () + p( q( ' p e q fuções cotíuas em um itervalo I ( α β ) q ( 0 Iéia (a partir o caso aterior): achar uma fução µ tal que multiplicao () por µ ( 0 o membro esquero e () seja a erivaa e µ ( Se isso for verae ( µ ( ) µ ( q( µ ( ) µ ( q( + k k cost { ( q( k } ( + µ ) ( ) µ e a EDO () está resolvia!! Portato a iéia é muito boa ese que uma fução µ possa ser obtia Ora o que se eseja é que Supoo µ ( > 0 ( µ ( ) µ ( ' + µ ( p( µ '( ) + µ ( ' µ ( ' + µ ( p( µ '( ) µ ( p( ( lµ ( ) p( p( µ ( e ( fator itegrate ) (e portato uma fução µ foi ecotraa!!) Esta técica e resolução é chamaa fator itegrate e aplica-se como visto acima a uma EDO a forma () 7

8 Eemplos: (a) ' + se > 0 Primeiramete eve-se colocar a EDO a forma (): se ' + (i ) Um fator itegrate: µ ( e p( Como Daí p( segue que p( l l µ l ( e (ii) Usao esse fator itegrate: ' + se ( ) se se + k se cos + k oe k cost se cos k + 8

9 (b) ' + e ( ) 0 Note que a EDO já está a forma () (i ) Um fator itegrate: µ ( e p( Como p ( segue que Daí p ( µ ( e (ii ) Usao esse fator itegrate: e ' + e ( e ) e + k e + k A coição iicial ( ) 0 implica que Portato e 0 + k ( e k ( ) e 9