Sistemas lineares. x,..., x são as incógnitas; 1 Introdução

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1 Sistemas lineares Vamos pensar na seguinte situação-problema: Um terreno e 8000 m² eve ser iviio em ois lotes. O lote maior everá ter 000 m² a mais que o lote menor. Vamos calcular a área que caa lote everá ter. Seno x e y, respectivamente, as áreas estinaas ao lote maior e ao lote menor o terreno, temos um sistema e uas equações com uas incógnitas: x y 8000 x y 000 Lá no começo o curso vimos alguns moos e resolver sistemas e equações e uas incógnitas. Resolveno, temos x 4500 e y 3500, que é a única solução o sistema, e que poemos inicar por (4500, 3500). A partir e agora, seremos capazes e resolver sistemas lineares com várias equações e várias incógnitas. De moo geral, enominamos equação linear toa equação que poe ser escrita na forma: ax ax a3x3... anxn b One x, x, x,..., 3 a, a, a,..., 3 x são as incógnitas; n a são números reais n chamaos coeficientes as incógnitas; b é o termo inepenente. Geralmente as incógnitas aparecerão como x, y, z... 3xy7 é uma equação linear em x e y; x 3y z 0 é uma equação linear em x, y e z; x 5y z 4t 0 é uma equação linear em x, y, z e t; Introução o que são equações lineares? Note que as incógnitas estão toas numa relação e soma e são toas incógnitas e º grau. Portanto, pela efinição, não são equações lineares: xy 0, x² y 5, x² xy yz z² 9,... Vamos analisar uma equação linear: 3xy 8. Poemos izer que o par orenao (4, 3) é uma solução a equação, pois: O par orenao (6, 0) é uma solução a equação, pois: O par orenao (5, ) não é solução a equação, pois: Vamos ver outra equação linear: 3x y z 8. Poemos izer que o terno orenao (, 4, ) é uma solução a equação, pois: O terno orenao (0, 6, ) é uma solução a equação, pois: 30 6 ( ) 8 O terno orenao (5,, 3) não é solução a equação, pois: 35 ( ) 3 8. Você já eve ter percebio que certos conjuntos orenaos atenem a equação aa, e outros não. Generalizano, se tivermos a equação: a x a x a x a x b, n n izemos que a ênupla* orenaa e números reais,, 3,..., n é solução a equação se: a a a a b n n *Ênupla é o conjunto orenao e n termos. Se tivéssemos termos, seria par, 3 termos, terno, e por aí vai. 50 Prof. Diego Meeiros Escola Preparatória a UFABC

2 3 SISTEMAS DE EQUAÇÕES lineares Chamamos e sistema linear m n o conjunto S e m equações em n incógnitas que poe ser representaa assim: ax ax a3x3... anxn b ax ax a3x3... anxn b S... a x a x a x... a x b m m m3 3 mn n m Vamos a alguns exemplos: 3xy 6 é um sistema linear nas x 3y 0 incógnitas x e y. x y z 0 x y z x y z 8 nas incógnitas x, y e z. é um sistema linear 33 Já vimos a solução e uma equação linear. Qual seria a solução e um sistema linear? Dizemos que,, 3,..., n é solução e um sistema linear quano ela é solução e toas as equações o sistema. Exemplos: (,3) não é solução o sistema x3x3 33 3, pois:. 3x5y (,3, ) é solução o sistema x y 3z 3 3 ( ) 4x y z 3, pois 4 3 ( ) 3. x y z 6 3 ( ) 6 4 classificação e um sistema linear Em geral, um sistema qualquer poe ser classificao a seguinte forma: sistema Sistema possível e eterminao (SPD), ou seja, possui somente uma solução. Sistema possível e ineterminao (SPD), ou seja, possui infinitas soluções. Sistema impossível (SI), ou seja, não possui nenhuma solução possível. Mais aiante veremos como classificar um sistema qualquer nessas conições. Poemos associar a um sistema linear uas matrizes cujos elementos são os coeficientes as equações que formam o sistema. Vamos tomar um exemplo: Ao sistema matrizes incompleta, e a matriz 5 4 mesmo B 3 7 completa. possível (tem solução) impossível 5 MATRIZES ASSOCIADAS A UM SISTEMA LINEAR 5x4y poemos associar as 3x7 y A , chamaa matriz B , ou até é chamaa e matriz Note que B é obtio e A acrescentano-se a coluna relativa aos coeficientes inepenentes as equações o sistema. EXERCÍCIOS DE TREINO eterminao (a solução é única) ineterminao (tem infinitas soluções). Ientifique se as equações são lineares ou não: a)5xy 6 b) x 4y z 0 c) x² y 0 )3xy 0 e) x² y² 69 f) 3x 4x x3 0 Prof. Diego Meeiros Escola Preparatória a UFABC 5

3 . Calcule o valor e k para que o par orenao (3, k) seja uma solução a equação linear 3x y = Verifique se: x5y a) (3, ) é uma solução o sistema 3x6y3 b) 4,,3 é uma solução o sistema x y z 6 x 3y z 3 6 regra e cramer Até agora você eve ter visto no Ensino Funamental (ou viu e reviu no Capítulo ) como resolver sistemas e equações o º grau e com incógnitas, que naa mais são o que sistemas lineares. A regra e Cramer é muito prática na resolução e sistemas lineares 33. Vamos a ela: Substituímos a coluna os coeficientes e x pela matriz os termos inepenentes e calculamos o eterminante, chamao D. x 3 b c D b c b c 3 3 Fazemos o mesmo para a coluna e y e para a coluna e z e chamamos D y e D z. y a c D a c a c z a b D a b a b 3 3 A única solução o sistema (que só é possível se D 0 ) é aa então por: 3 x Tomemos um sistema 33 qualquer: a x b y c z a x b y c z a x b y c z Como você eve se lembrar, poemos expressar um sistema linear por meio e uma multiplicação e matrizes, e que havia uas matrizes em especial: matriz as incógnitas e matriz os termos inepenentes: a b c a b c e a 3 b3 c 3 3 Para a regra e Cramer, seguimos os seguintes passos: Calculamos o eterminante D a matriz os coeficientes. a b c D a b c a b c x D x D y D y Para ver se entenemos, vamos a um exemplo: D x 4y 7z Resolva o sistema x 3y 6z 5x y z 8 A matriz o sistema é termos inepenentes é D z z D e a matriz os Para resolver este problema, vamos calcular o eterminante D a matriz associaa ao sistema linear ao: Prof. Diego Meeiros Escola Preparatória a UFABC

4 Vamos calcular D x substituino a coluna corresponente aos coeficientes e x pela matriz os termos inepenentes. 4 7 D x 8 Fazemos o mesmo com 7 D y e D z. D y D z 5 8 Calculamos então as soluções o problema: D x 8 x D 8 D y 56 y D 8 D z 8 z D 8 A solução o sistema é então S (,, ). 7 sistemas equivalentes Dois sistemas lineares são equivalentes quano eles possuem o mesmo conjunto solução. Mais fácil o que emonstrar, é ar exemplos: x y 0 Vamos tomar o sistema. x y Resolveno o sistema, temos que S = {(6, 4)}. Pegamos outro sistema 3 x y 6. x 5y 8 Se você resolver esse sistema, também verá que o conjunto solução é S = {(6, 4)}. Dizemos então que esses sistemas são equivalentes. O conceito e sistemas equivalentes é muito importante na resolução e sistemas através o escalonamento, que veremos agora. EXERCÍCIOS DE TREINO 4. Resolva os sistemas através a regra e Cramer: x y 4z 0 a) x 3y z 0 x 4z 0 x 3y z b) 3x 3y z 8 yz 0 x y z 9 c) x y z 3 3x y z 4 x y z ) x y z x y z 8 Sistemas escalonaos Consieremos um sistema linear S no qual, em caa equação, existe pelo menos um coeficiente não nulo. Dizemos que S está na forma escalonaa (ou, simplesmente é escalonao) se o número e coeficientes nulos, antes o º coeficiente não nulo, aumenta e equação para equação. Observemos: 3x y z Nenhum coeficiente nulo y 3z Um coeficiente nulo z 5 Dois coeficientes nulos 4x y 5z 3 Nenhum coeficiente nulo 3y z Um coeficiente nulo Prof. Diego Meeiros Escola Preparatória a UFABC 53

5 4x y z t w Nenhum coeficiente nulo z t w 0 Dois coeficientes nulos w 3 Três coeficientes nulos Note que quano passamos e uma linha para outra o número e coeficientes não nulos vai ecresceno. Esse é o sistema escalonao. Vamos aprener a resolver um sistema escalonao. Para isso, vamos separar em ois casos: º CASO: SISTEMA COM NÚMERO DE EQUAÇÕES IGUAL AO NÚMERO DE INCÓGNITAS x y z 5 Consieremos o seguinte sistema: y z 3 3z 6 Começamos a partir a 3ª equação: 3z 6 z Com o valor que escobrimos, substituímos z por na ª equação: y z 3 y ( ) 3 y 4 3 y Com os valores que escobrimos para y e z, substituímos na ª equação: x y z 5 x () ( ) 5 x 4 5 x Temos então o conjunto solução,, S. Quano temos o número e equações igual ao número e incógnitas temos um sistema possível e eterminao. º CASO: SISTEMA COM NÚMERO DE EQUAÇÕES MENOR QUE O NÚMERO DE INCÓGNITAS x y z 00 Vamos consierar o sistema: yz 0 Observe que esse sistema não possibilita que saibamos precisamente um único conjunto solução, ou seja, infinitos conjuntos solução atenem o sistema. Para tanto, o que poemos fazer é escrever o conjunto solução com base na solução e uma as incógnitas. Essa incógnita é chamaa e incógnita livre, e é a incógnita que não está no início e nenhuma as equações. No sistema em questão, é a incógnita z. Se chamarmos o valor a incógnita z e, poemos resolver o sistema como se fosse um sistema o º caso visto acima: z yz 0 y 0 y x y z 00 x 00 x 3 00 x 00 3 Logo, o sistema é possível e ineterminao e possui a solução S 00 3,,. Quano temos o número e equações menor o que o número e incógnitas temos um sistema possível e ineterminao. Há casos em que o sistema é escalonao, mas uma e suas equações traz uma situação que é impossível e ser atenia. Por exemplo: x 4y 3z 0 y4z 0 0z 5 A terceira equação traz uma equação que é impossível e ser atenia, afinal, qualquer número multiplicao por 0 resulta 0. Nesse caso, o sistema é impossível. 54 Prof. Diego Meeiros Escola Preparatória a UFABC

6 9 escalonamento Vimos que é muito simples resolver um sistema escalonao. Mas como poemos transformar um sistema qualquer num sistema escalonao? O processo envolve três regras bem simples para que o sistema escalonao seja equivalente, ou seja, que possua o mesmo conjunto solução o sistema original. As operações serão inicaas pelas equações one estamos trabalhano, por exemplo: E significa equação, E, equação, e aí por iante. Estas são as regras:. Trocar a posição as linhas. Exemplo: 3x y 6 x 4y x 4y 3x y 6. Multiplicar os ois membros e uma equação por uma constante k, ese que k 0. 3x y z 5 ( ) 6x y z 0 3. Substituir uma equação o sistema pela soma e uas equações o sistema, que poem ter sio ou não multiplicaas por uma constante k. x y 4z 7 ( 3) 3x5y9z 5 A E se tornará a soma a E com a E multiplicaa por 3, ou se. Logo, temos: 3x5y9z 5 3 x y 4z 7 3x 5y 9z 5 3x 5y 9z 5 3x 6y z y3z 4 x y 4z 7 x y 4z 7 Então, 3x 5y 9z 5 y 3z 4 Observe que uma incógnita sumiu na ª equação. Vamos ver alguns exemplos: x y z 7 Resolva o sistema x 7y z. 3x 5y z 8 Vamos primeiro anular os coeficientes e x na ª e 3ª equações. x y z 7 x 7 y z 3x 5y z 8 x y z 7 3y z 7 y5z 3 3 No processo e escalonamento, convém eixar o º coeficiente a equação igual a. Então, trocamos E E3. x y z 7 y 5z 3 3yz 7 Agora, anulamos o coeficiente e y na 3ª equação: x y z 7 y 5z 3 3 3yz 7 + x y z 7 y 5z 3 6z 3 Agora temos um sistema escalonao. Poemos facilmente resolvê-lo. 6z 3 z y 5z 3 y 5 3 y 3 x y z 7 x 3 7 x Logo,,3, S. Prof. Diego Meeiros Escola Preparatória a UFABC 55

7 3x y z Resolva o sistema x y z 0 x y z Para começar, vamos trocar e posição a ª e a ª equação: x y z 0 3x y z x y z Vamos anular os coeficientes e x na ª e 3ª equações. x y z 0 3 3x y z x y z x y z 0 5y 4z 5y4z Observe que a ª e a 3ª equações após o processo e escalonamento se tornaram iguais, então, na prática só há uma equação, logo, temos uas equações e três incógnitas, que é o tipo possível e ineterminao. x y z 0 5y4z Tomano z como a incógnita livre, temos: z 5y4z 5y 4 4 y 5 x y z 0 4 x x Logo, S,, 5 5. Resolva o sistema x 4y 0z 6 3x 6y 5z Vamos multiplicar a ª equação por. x 4y 0z 6 x y 5z 3 3x 6y 5z 3x 6y 5z Agora, vamos anular o coeficiente e x na ª equação: x y 5z 3 3 3x 6y 5z x y 5z 3 0x 0y 0z Note que a última equação é impossível e ser atenia, logo, o sistema é impossível e S. x y 3 Resolva o seguinte sistema x y 5 5xy 4 Note que esse sistema ter mais equações os que incógnitas. Para que ele seja possível e eterminao, ao escalonarmos o sistema ele everá resultar em uas equações que possuam a mesma resposta. Se não possuírem, o sistema é impossível. x y 3 5 x y 5 5xy 4 x y 3 3y 7y Observe que a ª e a 3ª equação resultam em valores istintos para y. Logo, o sistema é impossível e S. 56 Prof. Diego Meeiros Escola Preparatória a UFABC

8 EXERCÍCIOS DE TREINO 5. Resolva os sistemas através o escalonamento: x y 4z 0 a) x 3y z 0 x 4z 0 x 3y z b) 3x 3y z 8 yz 0 Isto implica izer que para saber se um sistema é possível e eterminao (SPD), possível e ineterminao (SPI) ou impossível (SI) não é necessário que se resolva o sistema. Vejamos alguns exemplos: x y3 Discuta, em função e m, o sistema. x my Primeiro calculamos o eterminante a matriz incompleta o sistema: c) ) x y z 9 x y z 3 3x y z 4 x y z x y z x y z D m m Para D 0 m 0 m, temos SPD. Para D 0 m 0 m, temos SPI ou SI Nesse último caso, para eciir entre as uas possibiliaes, substituímos m por no sistema: Compare com os resultaos o exercício Escalone os seguintes sistemas: x y 3 a) xy 6 3x3y 8 x y z b) x 3y z 5 0 DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR Discutir um sistema linear em função e um ou mais parâmetros significa izer para quais valores o(s) parâmetro(s) o sistema é possível (eterminao ou ineterminao) ou impossível. Quano o número e equações o sistema é igual ao seu número e incógnitas, há um métoo geral e iscussão. Basta calcular o eterminante a matriz incompleta o sistema Se D 0, o sistema é possível e eterminao. Se D 0, o sistema é possível e ineterminao, ou impossível x y 3 xy Multiplicano a ª equação por, temos: x y 3 x y equações incompatíveis Trata-se e um sistema impossível. Então temos: m SPD m SI Discuta, em função e m, o sistema x y z x y 3z 6. mx y 5z 3 Começamos pelo cálculo o eterminante: D 3 m 0 m 5 Prof. Diego Meeiros Escola Preparatória a UFABC 57

9 Para D 0 m 0 0 m 5, temos SPD. Para D 0 m 0 0 m 5, temos SPI ou SI Levano m 5 ao sistema, e o escalonano, temos: x y z 5 x y 3z 6 5x y 5z 3 x y z 3y 5z 4 6y0z 8 Como a ª e a 3ª equação são proporcionais, poemos reescrever o sistema com somente uma as equações em questão, resultano num sistema possível e ineterminao. Então temos: m 5 SPD m 5 SPI ax y Discuta, em função e a e b, o sistema. 3x y b Temos a D a 6 3 Para D 0 a 6 0 a 3, temos SPD. Para D 0 a 6 0 a 3, temos SPI ou SI. Para a 3, temos: 3xy. 3x y b Quano b, as uas equações são iguais e o sistema torna-se possível e ineterminao. Quano b, as uas são incompatíveis e o sistema torna-se impossível. a 3 SPD Logo, a 3 e b SPI. a 3 e b SI sistemas homogêneos Dizemos que um sistema é homogêneo quano o termo inepenente e toas as equações são iguais a zero. Por exemplo: 4x 3y 5z 0 3x y 7z 0 x y z 0 x y0 3xy 0 De um moo geral, a solução (0, 0, 0,...) atene o sistema homogêneo, ou seja, o sistema homogêneo sempre é possível. Esta solução é chamaa e solução nula, trivial ou imprópria. Se o sistema amitir mais e uma solução, poemos izer que ele é possível e ineterminao ou também se iz que possui soluções próprias ou não triviais. Vamos a um exemplo: Para que valores reais e m o sistema mx y 3z 0 my z 0 amite soluções próprias? mx z 0 Como o sistema homogêneo é sempre possível, poemos afirmar que, seno o número e equações igual ao número e incógnitas, vale a regra: D 0 SPD D 0 SPI Assim, evemos ter D 0, isto é, m 3 0 m 0 m m² m 0 m 0 ou m. EXERCÍCIOS DE TREINO 0 7. Discuta em função e m os seguintes sistemas: x y3 a) x my 6 x my z 7 b) 4x y z 3 x y mz 3 58 Prof. Diego Meeiros Escola Preparatória a UFABC

10 x 3y 4z c) 3x 4y 3z b 5x 7y az 8 8. Para quais valores e k o sistema linear kx y 0 amite somente a solução trivial? kx ky 0 9. Verifique se o sistema linear homogêneo x y z 0 x y 4z 0 é SPI ou SPD. x y 3z 0 LISTA DE EXERCÍCIOS. (Fuvest SP) Em uma festa com n pessoas, em um ao instante, 3 mulheres se retiraram e restaram conviaos na razão e homens para caa mulher. Um pouco mais tare, 55 homens se retiraram e restaram, a seguir, conviaos na razão e 3 mulheres para caa homem. O número n e pessoas presentes inicialmente na festa era igual a: a) 00 b) 05 c) 5 ) 30 e) 35. (Unesp SP) Em uma sala, havia certo número e jovens. Quano Paulo chegou, o número e rapazes presentes na sala ficou o triplo o número e garotas. Se, ao invés e Paulo, tivesse entrao na sala Alice, o número e garotas ficaria a metae o número e rapazes. O número e jovens que estavam inicialmente na sala (antes e Paulo chegar) era: a) b) 9 c) 8 ) 6 e) 5 3. (Mackenzie SP) O iretor e uma empresa, o Dr. Antonio, convocou toos os seus funcionários para uma reunião. Com a chegaa o Dr. Antonio à sala e reuniões, o número e homens presentes na sala ficou quatro vezes maior que o número e mulheres também presentes na sala. Se o Dr. Antonio não fosse à reunião e enviasse sua secretária, o número e mulheres ficaria a terça parte o número e homens. A quantiae e pessoas, presentes na sala, aguarano o Dr. Antonio é: a) 0 b) 9 c) 8 ) 5 e) 4 4. (UPF RS) A empresa Brinque Muito realizou uma grane oação e brinqueos para um orfanato. Essa oação compreeneu 535 brinqueos, entre bolas e bonecas, 370 brinqueos entre bonecas e carrinhos, e o total a oação entre bolas e carrinhos foi e 455 brinqueos. É possível afirmar que, para realizar a oação, a empresa prouziu: a) 30 bolas b) 45 carrinhos c) 35 bonecas ) 780 brinqueos e) 350 brinqueos 5. (Unicamp SP) Encontre o valor e a para que o sistema x y 3z a x y z 3 7x 4y 3z 3 seja possível. Explicite a solução geral e uas possíveis soluções o sistema. 6. (Unicamp SP) Uma empresa eve enlatar uma mistura e amenoim, castanha e caju e castanha-o-pará. Sabe-se que o quilo o amenoim custa R$ 5,00, o quilo e castanha o caju, R$ 0,00 e o quilo a castanha-o-pará, R$ 6,00. Caa lata eve conter meio quilo essa mistura e o custo total os ingreientes essa lata eve ser e R$ 5,75. Além isso, a Prof. Diego Meeiros Escola Preparatória a UFABC 59

11 quantiae e castanha e caju em caa lata eve ser igual a um terço a soma as outras uas. a) Escreva o sistema linear que representa a situação escrita acima. b) Resolva o referio sistema, eterminano as quantiaes, em gramas, e caa ingreiente por lata. 7. Um senhor feual construiu um fosso, circunao por muros, em volta e seu castelo, conforme a figura abaixo, e uma ponte para atravessá-lo. Em um certo ia, ele eu uma volta completa no muro externo, atravessou a ponte, e eu uma volta inteira no muro interno, totalizano 530 passos. No ia seguinte, eu uas voltas no muro externo, atravessou a ponte e eu uma volta no muro interno, perfazeno 80 passos. Poe-se concluir que a largura L o fosso é, em passos: a) 36 b) 40 c) 44 ) 48 e) (UFPA-PA) No mercao Ver-o-Peso, três veneores combinaram e vener três espécies e peixe, caa uma elas por um preço parão, e fazer uma competição para ver quem venia mais, no períoo e uma hora. Sabe-se: O veneor A veneu 7 kg o peixe x, 5 kg o peixe y, 4 kg o peixe z, e arrecaou R$ 65,00 O veneor B veneu 8 kg o peixe x, 7 kg o peixe y, 6 kg o peixe z, e arrecaou R$ 88,00 O veneor A veneu 5 kg o peixe x, 4 kg o peixe y, 3 kg o peixe z, e arrecaou R$ 49,00 Determine os preços o quilo e caa peixe. 9. (Fuvest SP) O sistema linear não amite solução se m for igual a: a) 0 b) c) ) e) x my z 0 x y z x y z 3 0. (UFRGS RS) A soma os valores e k que tornam o sistema ineterminao é: a) 7 b) c) ) 7 e) 0 x y z 0 kx 3y 4z 0 x ky 3z 0. (UFPI PI) Os valores e a para que o sistema x y z 0 x ay z 0 ax y z 0 trivial são: a) 0 e b) e c) ) e 0. (Fatec SP) Do sistema amita soluções iferentes a x y z 3 x y z, x 3y z 9 concluímos que o prouto xyz é igual a: a) 8 b) 4 c) 30 ) 36 e) (PUC MG) O valor e a que torna o sistema x ay impossível é: x y a a) b) c) 0 ) e) x y z 0 4. (UnB) O sistema x y 3z 0: 3x z 0 a) Tem uma única solução b) Não tem soluções reais c) Tem três soluções istintas ) Tem infinitas soluções reais 60 Prof. Diego Meeiros Escola Preparatória a UFABC