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2 Um sistema linear é um conjunto de n equações lineares do tipo: Este sistema pode ser representado através de uma representação matricial da forma: A.x = b onde: A matriz de coeficientes de ordem x vetor de incógnitas de ordem b vetor dos termos independentes

3 Uma solução do sistema é uma ênupla de Números reais. (X1,X2,... Xn), que quando substituirmos a ênupla nas equações, resulta em equações verdadeiras Método da eliminação Gaussiana: usar operações elementares a Matriz ampliada do Sistema(é a matriz dos coeficientes com a dos termos independentes) Depois que fizermos as operações obtemos uma matriz triangular superior.

4 SOLUÇÕES DE UM SISTEMA: Vazio: quando você resolver e chegar em algum absurdo. Tipo: quando a solução X + Y = 1, for impossível X + Y = 2 Unitário: quando você resolver, e chegar em uma solução só. Tipo: x + 0 = 1 0+ y = 2 Infinitas Soluções: como o nome ta dizendo, quando tem INFINITOS resultados possíveis.

5 SISTEMA HOMOGENIO ASSOCIADO: o vetor dos termos independentes é nulo: A.X = 0 Um Sistema homogêneo admite pelo menos uma solução. eu disse pelo menos, eu não disse SOMENTE UMA NÃO. Admite pelo menos a solução trivial(vetor nulo). OLHA: se o sistema homogêneo admite solução trivial, as soluções não triviais e seus respectivos múltiplos também serão soluções do Sistema. Daí a gente tira que: Se o sistema admite solução trivial: 1) ou só tem o vetor nulo como solução, 2) ou tem infinitas soluções! GENERALIZANDO: SE O SISTEMA ADMITE MAIS DE UMA SOLUÇAO, ENTÃO SÃO INFINITAS!

6 Forma escada: - É única - Você vai escalonar até chegar na forma mais simples possível... Exemplo de forma escada numa matriz 4X4: Outro exemplo de matriz na forma escada:

7 ANOTA AI Ó:

8 Seja A uma matriz mxn. Seja M a forma escada da A DEFINIMOS: POSTO OU CARACTERISTICA DE A: o numero de linhas não nulas de M NULIDADE OU GRAU DE LIBERDADE DE A: n posto(a) SÓ LEMBRANDO: Essa matriz M é a forma escada da matriz AMPLIADA! Esse n ai, nada mais é do que o numero de incógnitas, ou seja, o numero de colunas de A.

9 ATENÇÃO: POSTO = n Possível e determinado CLARO: se tu tem tantas linhas quantas forem as incógnitas, tu pode muito bem determinar as soluções. ATENÇÃO: POSTO < n Possível e indeterminado Se tu tem menos linhas do que incógnitas, como tu vai dizer quem são as soluções? Não da né? Mas quer dizer que não tem solução? NÃO. Só quer dizer que você não sabe quais são elas, por que tem infinitas possibilidades certo?

10 PRESTA ATENÇÃO: Se o sistema é POSSIVEL, NÃO quer dizer que ele tem solução única não. Quer dizer que tu pode determinar se ele tem solução única ou se tem infinitas! SISTEMA SEM SOLUÇÃO ou IMPOSSÍVEL: Note que a minha linha que contem o Z esta zerada. É como se tivesse: 0.z = 10! Isso é possível? NAO Posto(A) ou < Posto(A b) Mais ou menos isso:

11 SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES Impossível Possível Não tem solução Solução Única Infinitas Soluções

12 Atribuindo parâmetros as variáveis livres PRIMEIRO: você vai ver quem é pivô. X e Z tem pivô. SEGUNDO: você vaio ver quem é variável livre: Nesse caso, Y é livre. Ai você vai atribuir um parâmetro a Y. Y = t X = 5-2 t Y = t Z = 4 (x,y,z) = (5,0,4) + t(-1,1,0)

13 QUESTÃO DE MINI-PROVA Exemplo 1: SISTEMAS EQUIVALENTES: Dois Sistemas são equivalentes, se possuem a mesma solução geral

14 Resposta :.Exemplo 1

15 Resposta :.Exemplo 1

16 MATRIZES ELEMENTARES: A partir da matriz identidade com EXATAMENTE uma operação elementar. MATRIZ INVERSA: Pra encontrar a inversa da matriz B por exemplo: B = Repete ela e escalona JUNTO com a matriz identidade: Trás ela pra forma escada novamente e a inversa é a Matriz que você encontrar Do lado direito

17 1) ela só pode ser invertível se for quadrada e também se o determinante for diferente de ZERO. ps:. O determinante da inversa da matriz A = 1/determiante de A Equações lineares degeneradas... - São equações que possuem todos os coeficientes nulos - Claro que por consequência, para essas equações terem solução, o termo independente tem que ser zero. - Por sinal, vão existir infinitas soluções!

18 No primeiro slide, vimos que : A.x = b A matriz de coeficientes x vetor de incógnitas b vetor dos termos independentes Passando A para o outro lado... x = b/a x = b.a 1 A 1 : matriz inversa de A(matriz dos coeficientes) 3) Um sistema de solução única pode ser resolvido de forma independente dos termos independentes - calcula-se a inversa da matriz dos coeficientes, e depois é só multiplicar pelos termos independentes, ou seja, trocar os termos independentes, não implica em reescalonar o sistema.

19 QUESTÃO DE MINI-PROVA Exemplo 2:

20

21 QUESTÃO DE PROVA (questão 7)

22 Resp...

23 Resp...

24 QUESTÃO DE PROVA (questão 3)

25 Resp...

26 Resp...

27 QUESTÃO DE PROVA (questão 4)

28 Resp...

29 Resp...

30 Resp...

31

32 1) determine a forma canônica reduzida, ou seja, a forma escada da matriz: 2) classifique o sistema abaixo é possível, se for, diga as suas soluções. 3) Calcular a inversa de: Tentem fazer antes de olhar o gabarito no próximo Slide

33 1) 2) possível e determinado! 3)

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