DEDUÇÃO DA EQUAÇÃO DE TRANSPORTE

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1 Prof. Wahington Braga 1/7 DEDUÇÃO DA EQUAÇÃO DE TRANSPORTE CONSERVAÇÃO DA MASSA: Etuamo vário cao no quai a conervação a maa era feita e forma trivial, poi liávamo com itema. Entretanto, para ituaçõe como o a o ecape e maa e um balão e gá, preciaremo contabilizar a maa que ficou lá entro. Utilizano a ua última figura como referencial, poemo ecrever que: MASSA ENTRANDO NO VC - MASSA SAINDO DO VC = VARIAÇÃO LÍQUIDA DA MASSA DENTRO DO VC Coniere a ituação: Por efinição, no intante t, inicial, a fronteira o itema e o Volume e Controle ão coinciente. Em coneqüência, a proprieae o itema e coinciem com a proprieae o VC. No intante final, o itema ocupa o epaço inicao por II + III e o Volume e Controle ocupa o epaço inicao por I + II, ito é, há aina um epaço one itema e Volume e Controle, VC, ão coinciente e portanto, a proprieae em II têm o memo valore. Noo objetivo aqui é eterminar como poeremo relacionar a proprieae o itema com a proprieae o VC no intante poteriore. Para ito, vamo lembrar, inicialmente, que a iferença funamental entre o conceito e itema e o e volume e controle é a noção que maa etá atraveano a fronteira o VC, chamaa e uperfície e controle. Ito implica em que energia etá também cruzano a fronteira, bem como a quantiae e movimento ou qualquer outra proprieae, incluive a

2 Prof. Wahington Braga 2/7 entropia. Para facilitar ou melhor para generalizar noo etuo, vamo tratar o problema a conervação e uma proprieae genérica B (que poerá er a maa, a energia...), exteniva 1 e a ua proprieae inteniva, b, que e relacionam por uma equação como: VC ou S ( ) B= bρ Vol Normalmente, no noo problema, não etamo intereao apena na variação a proprieae B. Frequentemente, o que no interea é aber quanto a proprieae B irá variar em um eterminao intante e tempo. Ito é, etamo frequentemente procurano eterminar a taxa e variação a proprieae B, ou eja: t b ρ (Vol) Do curo e cálculo, tiramo a informação que a erivaa é efinia pela expreão: B(t+ t) B(t) b (Vol) lim t ρ = Aplicano eta efinição à variação a maa entro o Volume e Controle, obtemo: B(t b (Vol) lim + t) B(t) t ρ = one o ínice foi uao para inicar que a proprieae everá er meia no Volume e Controle. Obervano a figura anterior, poemo concluir que: B(t) = B(t) B(t+ t) = B (t+ t) + B (t+ t) I II Entretanto, como a região II é aina compartilhaa, temo que: II + = II + B (t t) B (t t) 1 Significano que epene a maa.

3 Prof. Wahington Braga 3/7 e eta forma, B(t+ t) = B (t+ t) + B (t+ t) I Subtituino na equação que trabalhávamo: t ou melhor: b ρ (Vol) = t 0 II = B (t+ t) + B (t+ t) B (t+ t) I III B I(t + t) + B (t + t) B III(t + t) B (t) lim t B (t+ t) B III(t+ t) t t t b (Vol) lim I ρ = lim t 0 t 0 Porém, evemo lembrar que: e portanto, noa equação e reuz à: B(t + t) B(t) + lim B(t) = B(t) B (t+ t) B III(t+ t) t t t b (Vol) lim I ρ = lim t 0 t 0 B(t + t) B(t) + lim B B (t + t) B (t + t) DB = lim lim + I III t t 0 t t 0 t

4 Prof. Wahington Braga 4/7 recuperano a efinição e erivaa 2. Voltano à figura, não é ifícil concluirmo que o primeiro termo o lao ireito etá aociao, e alguma forma, com a entraa e maa arratano a proprieae B e o eguno termo etá aociao com a aía e maa, (também arratano a proprieae B). Deta forma, vamo olhar melhor o que acontece na entraa e na aía e maa. Na verae, vamo ver ito pela aía, um pouco mai fácil. Coniere a figura abaixo: Na figura, V R é a velociae relativa com que fluio cruza eta fronteira. Conierano que a velociae a paree (por tranlação ou eformação) eja V b, temo que V R = V - V b, one V é a velociae em algum referencial inercial. O volume aociao à maa que etá aino poe er ecrito como: LAcoθ S Entretanto, o comprimento L percorrio urante o tempo L= VR t t pelo fluio ecoano vale Deta forma, poemo eterminar que a quantiae a proprieae B que etá aino o VC é eterminaa pela expreão: r bρv tcoθ A= t bρv.na ˆ R S R Por analogia, a quantiae a proprieae B que etá entrano no VC é: t b V r = ρ.na one o inal negativo é introuzio poi na entraa, a normal n e o vetor velociae etão R ˆ 2 Note que efinimo a erivaa parcial a proprieae B efinia para um itema como D para iferenciar a erivaa a proprieae B ao longo o Volume e Controle, que chamamo e. DB/ é também conhecia como erivaa material ou ubtantiva.

5 Prof. Wahington Braga 5/7 em entio opoto, como motra a figura: Aim, aociano a informaçõe e tomano o limite quano o intervalo e tempo vai a zero, poemo ecrever: B (t+ t) = = ρ ˆ I lim maa entrano b V R.nA B (t+ t) = =+ ρ ˆ III lim maa aino b V R.nA e aim, obtemo finalmente: B = bρ V ˆ R.nA + t DB one inica a uperfície e controle. Ito é, ou DB B = + bρv ˆ R.nA t

6 Prof. Wahington Braga 6/7 D itema bρ (Vol) = bρ (Vol) + bρv ˆ R.nA t Uma importante relação é a conhecia relação e Leibnitz: t ( bρ) bρ (Vol) = (Vol) + bρv ˆ b.na t one V b inica a velociae e eformação o Volume e Controle. Para um VC ineformável, V b = 0 e com ito 3, ( bρ) b (Vol) (Vol) t ρ = t Uaremo eta relação em alguma ituaçõe, para exemplificar. Naturalmente, preciaremo agora trabalhar com alguma a equaçõe poívei. Nete tópico e Termoinâmica, veremo brevemente a equação a continuiae, ou a conervação a maa, ma noa ênfae erá na equação e energia, a er aplicaa a ituaçõe na quai a variaçõe e temperatura ão importante. No tópico e Mecânica o Fluio, iremo trabalhar um pouco mai com a equação a continuiae ma a ênfae erá na equação e quantiae e movimento. EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE, OU CONSERVAÇÃO DA MASSA: Coniere a ituação na qual B interee e ecreve: ou então, D itema = mou b = 1. Neta ituação, a equação e ρ (Vol) = ρ (Vol) + ρv ˆ R.nA t 3 Neta ituação, poemo argumentar que a erivaa a integral é igual à integral a erivaa. Lembre-e que V b etermina o que acontece com o limite (contorno) o VC. Neta ituação, tem-e que V R ur = V.

7 Prof. Wahington Braga 7/7 m t m = + ρv.na ˆ R t Em coneqüência a efinição que emo ao conceito e itema, e maa é contante, temo que: e aim, noa equação paa a er: m 0 t = m 0 = + V ˆ R.nA t ρ m = ρv ˆ R.nA t que inica que a taxa e variação a maa entro o Volume e Controle é equivalente à maa líquia (ito é, à iferença entre a maa que entra meno à que ai) que atraveou a fronteira.