UNIVERSIDADE GAMA FILHO PROCET DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CONTROLE E AUTOMAÇÃO. Professor Leonardo Gonsioroski

Transcrição

1 UNIVERSIDADE GAMA FILHO PROCET DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CONTROLE E AUTOMAÇÃO

2 Definiçõe O gráfico do Lugar geométrico da raíze, conite no deenho de todo o valore que o pólo de malha fechada de uma função de tranferência aumirão num plano de coordenada complea, quando variarmo o ganho k.

3 Definiçõe Conidere o itema abaio:

4 Definiçõe Diagrama do pólo Lugar da Raíze K 0 K 5 K 5 K 5 ' 0 '' 0 ' 9, 47 '' 0, 5 ' 86, '' 83, ' 5 '' 5-0 K 50 K jω j5 j4 j3 j j - j - j - j3 - j4 - j5

5 A caracterítica báica da repota tranitória de um itema de malha fechada depende eencialmente da localização do pólo de malha fechada do itema. É importante então, que o projetita aiba como o pólo de malha fechada e movem no plano compleo a medida que o ganho de malha varia

6 Como deenhar o Lugar Geométrico da Raíze???

7 Solucionando a Equação Caracterítica. Limitaçõe e dificuldade da análie do pólo atravé da olução da equação caracterítica:. Equaçõe caracterítica de grau uperior a 3, ão muito trabalhoa requerendo o uo de método computacionai pra a olução.. É uma análie etática, poi, e o ganho variar, o cálculo deverão er refeito. O método do Lugar da raíze permite que a raíze da equação caracterítica ejam repreentada graficamente para todo o valore do ganho k.

8 Propriedade Importante Conidere o eguinte itema báico como eemplo:

9 Propriedade Importante. Condiçõe de ângulo e módulo KG( ) H( ) 0 KG( ) H( ) KG ( ) H( ) KG( ) H( ) j0 () KG( ) H( ) Condição de Módulo o KG ( ) H( ) (k )80, onde k 0, ±, ±, ±3,... Condição de ângulo

10 Propriedade Importante Por eemplo e KG( ) H( ), for dado por: k( z) KG( ) H( ) ( p )( p )( p )( p O ângulo do vetore no plano compleo e originam no pólo e zero e vão até um ponto medido no entido anti-horário. 3 4 ) Portanto o ângulo de KG ( ) H( ), erá: KG( ) H( ) φ θ θ θ3 θ 4 e o Módulo de KG( ) H( ), erá: KB KG ( ) H( ) A A A A 3 4

11 Propriedade Importante. Definição de ramo: Ramo é o caminho percorrido pelo pólo quando variamo o ganho k. (obervar na figura do quadro o doi ramo criado pela variação do valor de k). O número de Ramo erá empre igual ao número de pólo do itema.

12 Propriedade Importante 3. Análie do pólo e zero no infinito de uma função de tranferência. Toda função de pouirá um número igual de pólo e de zero, e for levado em conta o pólo e zero infinito. K Por eemplo, a Função de Tranferência KG( ) H( ) tem 3 pólo finito e ( )( ) nenhum zero finito, ma e analiarmo o comportamento deta função no infinito veremo que: Se a função tender ao infinito, quando tender ao infinito, então a função terá um ou mai pólo no infinito. Se a função tender a zero quando tender ao infinito, então a função terá um ou mai zero no infinito. No cao acima, Fazendo tender ao infinito, a função e tornará K KG( ) H( ) K Cada do denominador faz com que a função e torne nula quando tende ao infinito, portanto eta função poui 3 zero no infinito, como era de e eperar.

13 Propriedade Importante 4. Simetria O lugar geométrico da Raíze é imétrico em relação ao eio real.

14 Repreentação do Gráfico do Lugar da Raíze Vamo etipular 6 pao para traçarmo completamente o gráfico que repreenta o Lugar geométrico da raíze de uma dada equação caracterítica. Pao : Determinar o número de ramo. O número de ramo do lugar geométrico da raíze é igual ao número de pólo de malha fechada.

15 Repreentação do Gráfico do Lugar da Raíze Pao : Determinar o egmento obre o eio real que fazem parte do LGR. Nete cao utiliza-e a propriedade de ângulo. auma que: Como regra geral, No eio real, o lugar geométrico da raíze eite à equerda de um número ímpar de pólo e/ou zero finito obre o eio real.

16 Repreentação do Gráfico do Lugar da Raíze Informação Importante O lugar geométrico da raíze e inicia no pólo finito e infinito de G()H() e termina no zero finito e infinito de G()H().

17 Repreentação do Gráfico do Lugar da Raíze Pao 3: Determinar onde etão o pólo ou zero no infinito. O Lugar geométrico da raíze tende a reta aintótica quando o lugar da raíze tende ao infinito. Além dio, a equação da aíntota é dada pelo ponto de intereção obre o eio real a, e o ângulo θ a, da eguinte forma: θ a # pólo o (k )80 finito # zero finito a pólo finito zero # pólo finito # zero finito finito onde k 0, ±, ±, ±3,...

18 Repreentação do Gráfico do Lugar da Raíze Eercício de Fiação Para cada lugar da raíze motrado na figura abaio, diga e o eboço pode ou não caracterizar o lugar geométrico da raíze. Cao o eboço não poa repreentar o lugar geométrico da raíze, eplique o porquê. Forneça toda a jutificativa.

19 Repreentação do Gráfico do Lugar da Raíze Eercício de Fiação Eboce(em detalhamento) a forma geral do lugar geométrico da raíze para cada diagrama de pólo e zero em malha aberta motrado na figura abaio:

20 Repreentação do Gráfico do Lugar da Raíze Eercício de Fiação Eboce o Lugar geométrico da raíze para o itema com realimentação unitária motrado abaio, cheque o ângulo de partida do pólo compleo.

21 Repreentação do Gráfico do Lugar da Raíze Eercício de Fiação Para o diagrama de pólo e zero em malha aberta motrado na figura abaio, eboce o lugar geométrico da raíze e determine o ponto de chegada.

22 Repreentação do Gráfico do Lugar da Raíze Com ee 3 Pao conegue-e um racunho do Lugar Geométrico da Raíze. Em muita ituaçõe, apena ee Racunho já no traz informaçõe uficiente para o projeto de um itema de controle. Entretanto, o LGR pode no fornecer mai informaçõe. a) Qual o ponto e o ângulo com que o LGR ai ou entra no eio real? b) Se houveem pólo e zero compleo, quai eriam o ângulo de Partida (no cao de pólo) e o ângulo de chegada (no cao de zero)? c) Em que ponto o LGR cruza o eio imaginário? Para reponder ee quetionamento, faz-e neceário fazer um gráfico detalhado do LGR. Nete Cao preciaremo aplicar mai 3 pao, informado a eguir.

23 Repreentação do Gráfico do Lugar da Raíze Pao 4: Determinar o ângulo e o ponto de chegada e partida no eio real. O ponto onde o lugar da raíze deia o eio real é chamado de ponto de partida. O ponto onde o lugar da raíze retorna ao eio real é chamado de ponto de chegada Nee ponto o ramo do lugar da raíze formam um ângulo de 80 o /n com o eio real, onde n é o número de pólo de malha fechada chegando ou aindo de um ponto de chegada ou de partida no eio real.

24 Repreentação do Gráfico do Lugar da Raíze Pao 4: Determinar o ângulo e o ponto de chegada e partida no eio real. Eemplo: Nee cao o ângulo de partida e chegada, erão de 90 º. O ponto de partida e de chegada ão encontrado reolvendo-e a equação: m n p zi i O valore de a, encontrado erão o ponto de partida e/ou chegada no eio real.

25 Repreentação do Gráfico do Lugar da Raíze Pao 4: Determinar o ângulo e o ponto de chegada e partida no eio real. m n zi p i O itema tem pólo, - e -. E poui zero, 3 e 5. ubtituindo na epreão fica: ,45, e 3,8

26 Repreentação do Gráfico do Lugar da Raíze Pao 5: Determinar o ângulo de partida e chegada no pólo e zero compleo.

27 Repreentação do Gráfico do Lugar da Raíze Pao 6: imaginário Determinar o ponto de intereção com o eio do Para e determinar o ponto de intereção no eio imaginário pode-e utilizar o critério de Routh-Hurwitz da eguinte forma: a) ecreve-e a matriz de Routh normalmente. b) Encontra-e o valor do Ganho K, fazendo a linha igual a zero. c) O ponto de cruzamento com o eio imaginário é então determinado com a reolução da equação auiliar obtida a partir da linha.

28 Reumindo O 6 pao para deenharmo perfeitamente o gráfico do lugar da raíze ão: Para e obter apena um racunho... o Pao: Determinar o número de ramo o Pao: Determinar o egmento obre o eio real 3 o Pao: Determinar onde etão o pólo ou zero no infinito Para detalhar o Lugar Geométrico da Raíze 4 o Pao: Determinar o ângulo e o ponto de chegada e partida no eio real 5 o Pao: Determinar o ângulo de partida e chegada no pólo e zero compleo 6 o Pao: Determinar o ponto de intereção com o eio do imaginário

29 Eercício de Fiação o Pao: Determinar o número de ramo, poi tem pólo. Seja um itema de controle com pólo em j e -j e com zero reai em - e -3. Contrua o Lugar Geométrico da Raíze. o Pao: Determinar o egmento obre o eio real jω j j

30 Eercício de Fiação 3 o Pao: Determinar onde etão o pólo ou zero no infinito - Não tem pólo no infinito 4 o Pao: Determinar o ângulo e ponto de partida e chegada no eio real. z m n zi p i Quem ão o pólo e o zero? jω p p z 3 j j j j

31 Eercício de Fiação 4 o Pao: Determinar o ângulo e ponto de partida e chegada no eio real. j j 3 Uando ee valore, temo: 3 j j 3 j p j p z z ( )( ) Donde e tira que: 43 9,, O ângulo de chegada e partida no eio real o o n 80 90

32 Eercício de Fiação jω j - 3 -, j

33 Eercício de Fiação 5 o Pao: Determinar o ângulo de partida e chegada no pólo e zero compleo φ arctag 8, 43 3 φ arctag 4, 03 4 o o φ o o φ 90 θ 8, 43 4, θ jω θ, 46 o j θ ϕ ϕ - 3 -, j 90 o

34 Eercício de Fiação Com θ, 46 o jω j,46 o - 3 -, j Por Simetria,46 o

35 Eercício de Fiação 6 o Pao: Determine o ponto de intereção com o eio imaginário G() ( )( 3) ( j)( j) ( )( 3) j jω j

36 Eercício de Fiação ( ) ( )( ) ( ) ( ) K K K K G ( ) ( )( ) 3 G - ( ) ( )( ) ( )( ) 3 3 K K G K Aplicando a regra de Routh na FT de Malha Fechada. ( ) K K K K ( ) ( ) / K K K ( ) ( ) ( ),77 3,4 0 5 / 6 5 / 0 6 j K K ±

37 Eercício de Fiação Reultado final jω j,77 j,46 o - 3 -, j -j,77,46 o

38 Eercício de Fiação Eboce o lugar da raíze do itema com realimentação unitária motrado abaio e determine o ponto de entrada e aída. z jω z p p 5 6 j j

39 o Pao: Determinar o número de ramo, poi tem pólo. o Pao: Determinar o egmento obre o eio real 3 o Pao: Determinar o ponto de chegada. m n zi p 5 6 i Quem ão o pólo e o zero? Uando ee valore, temo: 6 5 ( )( ) ( 5)( 6) z z p p Donde e tira que: 56, 5, 43

40 o Pao: Determinar o número de ramo, poi tem pólo. o Pao: Determinar o egmento obre o eio real jω j - 6-5, , j

41 4 o Pao: Determinar onde etão o pólo ou zero no infinito - Não tem pólo no infinito 5 o Pao: Determinar o ângulo e o ponto de chegada e partida no eio real 6 o e 7 o Pao: Não e aplicam o n o jω j - 6-5, , j

42 Eercício de Fiação Dado o itema com realimentação unitária que poui a função de tranferência do canal direto. K( ) G( ) 4 3 Faça o eguinte: a. Eboce o lugar geométrico da raíze. b. Determine o ponto de intereção com o eio imaginário. Determine o ganho K nee ponto. c. Determine o ponto de entrada. d. Determine o ângulo de partida do pólo compleo.

43 Solução: a. Eboce o lugar geométrico da raíze. Para eboçar o lugar geométrico da raíze bata 3 do 7 pao aprendido. o Pao: Determinar o número de ramo o Pao: Determinar o egmento obre o eio real 3 o Pao: Determinar onde etão o pólo ou zero no infinito

44 Solução: a. Eboce o lugar geométrico da raíze. Para eboçar o lugar geométrico da raíze bata 3 do 7 pao aprendido. o Pao: Determinar o número de ramo o Pao: Determinar o egmento obre o eio real 3 o Pao: Determinar onde etão o pólo ou zero no infinito Função de Tranferência ( ) G ( ) K 4 3 Quantidade de Pólo j3 j3 Quantidade de Ramo

45 Solução: a. Eboce o lugar geométrico da raíze. Para eboçar o lugar geométrico da raíze bata 3 do 7 pao aprendido. o Pao: Determinar o número de ramo o Pao: Determinar o egmento obre o eio real 3 o Pao: Determinar onde etão o pólo ou zero no infinito Pólo j3 Zero z j3 jω j3 j j j - j - j3

46 Solução: a. Eboce o lugar geométrico da raíze. Para eboçar o lugar geométrico da raíze bata 3 do 7 pao aprendido. o Pao: Determinar o número de ramo o Pao: Determinar o egmento obre o eio real 3 o Pao: Determinar onde etão o pólo ou zero no infinito Sabemo que temo um zero no infinito, temo que aber agora para que lado ele e encontra: pólo finito zero finito a # pólo finito # zero finito θa # j3 j3 o o ( k 80 ) 80 o pólo finito # zero finito 80 ( ) 6 - jω j3 j j - - j - j - j3

47 Solução: a. Eboce o lugar geométrico da raíze. Para eboçar o lugar geométrico da raíze bata 3 do 7 pao aprendido. o Pao: Determinar o número de ramo o Pao: Determinar o egmento obre o eio real 3 o Pao: Determinar onde etão o pólo ou zero no infinito - jω j3 j j - - j - j - j3

48 Solução: b. Determine o ponto de intereção com o eio imaginário. Determine o ganh K nee ponto. Para encontrar ee ponto, bata uarmo Routh na FT de Malha Fechada. Função de Tranferência Malha Aberta K( ) G ( ) G ( ) 0 ( K 4) 3 K K 0 ( K 4) ( K 4) K 4 Função de Tranferência Malha Fechada com realimentação unitária K K( ) ( K 4) 3 K ± j4, 58 - j4,5 jω j3 j j - - j - j - j3

49 Solução: c. Determine o ponto de entrada. Para determinar o ponto de entrada, bata uar a fórmula já conhecida. m n zi pi j 3 j 3 jω j4,5 j3 j3 ( ) ( ) 4 9 NMI ,58-6,58? j3 j j j - j - j3 -j4,5