PSI3213 CIRCUITOS ELÉTRICOS II

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1 PSI33 CIRCUITOS ELÉTRICOS II Solução do Exercício Complementare Correpondente à Matéria da a Prova a) il ( ) = ( não há geradore independente ) Reitência equivalente vita pelo indutor: i i 5 i E i = i i i E 5 i E E E Req = 5 e > b) t > : R i i i E E E E i 5 E E R i 3 ( ) Corrente de curto-circuito: v = i = eg(t) i i 5 v i i e e i. R g e g 3 L (3 ) 3 c) ( ) R 5 d) Solução particular ( regime ) o. 9 IL 3 E g para. j R j. L 3. 3 j. 3 j + j = 45 o 5 L, ( t) co t 45 (,) 3 i p

2 3 5 para 5t / 3 5 il ( t) e co t 45 (,) 3 ( ) co(45) i L Reecrevendo o circuito no domínio de Laplace, com condiçõe iniciai nula, temo: C E() C G E() G E3() V() C G G = R E3() Incógnita: E(), E() e E3(). ª LK nó : C [E () V ()] C [E () E ()] G [E () αe ()] 3 3 (C G) E () (C αg) E () CV () 3 ª LK nó : G [E () V ()] G [E () E ()] C [E () αe ()] 3 3 (C G) E () (G αc) E () GV () 3 ª LK nó 3: C [E () E ()] G [E () E ()] 3 3 C E () G E () (C G) E () 3 Montando a equação matricial de análie nodal, temo:

3 3 (C G) (C αg) E () CV () (C G) (G αc) E () GV () C G C G E 3() Logo, o valore pedido ão: X (C G) Y (C αg) Z (G αc) W CV () 3 a) Circuito para M em Laplace: 4VL / 4 / VL I IL IC + 4 6/ + VC I Zi ª LK malha : 4 4 I () I () I () I () I () 4 ª LK malha : 6 I () I () 4V () I () L Subtituindo V L() 4 I () 4 4 4I (), temo 6 I () I () 4 4 4I () I () 6 6 I () I () 6 Equação matricial de M:

4 I () I () b) Equação caracterítica: 3 j j 4 rede livre é intável poi a parte real da ua FCP é poitiva. c) Para decobrir a impedância de entrada, vamo analiar o circuito com condiçõe iniciai nula (geradore independente inativado) e excitado por um gerador de tenão E() entre o terminai e : I() + E() 4 / 4VL VL IL + + VC Zi() = E()/I() Para encontrar I() e calcular Zi() = E()/I(), vamo primeiramente aociar a impedância do indutor e do capacitor, chegando no eguinte circuito: I() + E() I 4VL J Zi() = E()/I() VL 4 I() J() E() 4I() 4J() ( )E() ª LK malha I:

5 5 4 J() I() 4V () J() 4 Subtituindo V L() I() J(), temo 4 6 J() I() I() J() J() I() J() I() ( )J() ª LK malha J: L Equação matricial de M: 4 4 I() ( )E() J() Reolvendo I() por Cramer, temo I() ( )E() 4 ( )( ) E() Finalmente, 3 E() 8 4 Z i() I() ( )( ) 6 5 E() Z i(). I(),6,5 4 a) Vamo começar fazendo a análie de malha do circuito no domínio do tempo: ª LK malha : ª LK malha : ª LK malha 3: d(i (t) i (t)) di 3(t) Ri (t) L M e (t) dt dt d(i (t) i (t)) di 3(t) L M i ( )d dt dt C di 3(t) d(i (t) i (t)) L M R3 i (t) dt dt t Tranformando a equaçõe em Laplace com condiçõe iniciai nula, temo ª LK malha :

6 6 R I () L I () I () M I () E () 3 R L I () LI () M I () E () 3 ª LK malha : ª LK malha 3: LI () I () M I 3() I () C LI () L I () M I 3() C LI () M I () I () R I () 3 3 M I () M I () R L I () 3 Equação matricial de M: R L L M I () E () L L M I () C I 3() M M R L b) Com o valore fornecido no enunciado, temo M = k e a equação matricial fica: b) Reolvendo I() por Cramer, E () k I () E () k I () I 3() k k ( ) I () I () E (). E () ( ) ( ) Note que, como não há acoplamento, poderíamo ter encontrado a função de rede diretamente por aociação de admitância, ou eja,

7 7 R C I () L I () Y () Y (). E () R E () C L b) Reolvendo I() por Cramer, E () I () E () ( ) ( ) ( ) E () 3 I () 5 a) Na convençõe do circuito da Figura 3 da Lita Complementar, temo di (t) di (t) v (t) L M dt dt di (t) di (t) v (t) L M dt dt Tranformando ee itema de equaçõe em Laplace e reecrevendo-o matricialmente, reulta V () L M I () i ( ) V () M L I () i ( ). Como i ( ) = i L ( ) = α e i ( ) = i L ( ) = β, temo V () L MI () V () M L I (). Comparando ea equação matricial com a equação fornecida no enunciado, encontramo L 4 H M L H k,5 LL M H 5 b) Vamo começar fazendo a análie de malha do circuito no domínio do tempo:

8 8 ª LK malha : ª LK malha : di t (t) di (t) L M i ( ) i ( ) d e (t) dt dt C t di (t) di (t) L M Ri (t) i ( ) i ( ) d dt dt C Tranformando a equaçõe em Laplace, temo ª LK malha : I () I () v c( ) LI () Li ( ) M I () M i ( ) E () C v c( ) L I () M I () E () Li ( ) M i ( ) C C ª LK malha : I () I () v c( ) LI () Li ( ) M I () M i ( ) RI () C v c( ) M I () L R I () Li ( ) M i ( ) C C Equação matricial de M: v c( ) L M E () Li ( ) M i ( ) C C I () I () v c( ) M L R Li ( ) M i ( ) C C Comparando ea equação matricial com a equação fornecida no enunciado, encontramo R = e C =,5 F. c) Comparando a equação matricial obtida no item b) com a equação de M fornecida no enunciado, temo v ( ) 5 V c E () e (t) en(t)h(t) 4 4 d) Tomando a equação matricial de M obtida no item b), adotando condiçõe iniciai nula e ubtituindo

9 9 j com = rad/ E () Eˆ 45º V I () ˆI, I () Iˆ M L L poi k = reulta a eguinte equação matricial de M em RPS: jl j LL C C Î 45º ˆ I. j L L j L R C C Finalmente, podemo ubtituir L = 4 H, L = H e R =, obtendo j7 j5 Î 45º j5 j ˆ I.

10 Tete equação matricial de análie de malha no domínio de Laplace (condiçõe iniciai nula) do circuito da Figura 6 é dada por : ,5 I ( ) Eg ( I ( ) I ( ) 3 V ( ) ),5 H O valore de e r ão repectivamente : a) ; b) ; c) ; d) ; eg ix i 5.vx i3 r.ix v i vx Reolução: ª LK na malha em Laplace com condiçõe iniciai nula: V () V() I () O gerador de Thévenin equivalente à rede da Figura 6, no domínio de Laplace e com condiçõe iniciai nula, tem E() e Z() iguai, repectivamente, a: a) Ig() /, ( + ) b). Ig(), ( + ) c). Ig(), ( + ) d) 4. Ig(), x I () ig(t) H H Figura 6 ( )I () V() Comparando com a ª linha da equação matricial fornecida, concluímo que Equação adicional de M para compenar a incógnita V(): I () I () ri () r I () I () 3 x 3 ri () I () ( r)i 3() Comparando com a 4ª linha da equação matricial fornecida, concluímo que r. Reolução: Tenão em aberto: E () I g() I g(). Impedância vita: trocando o gerador de corrente por um aberto, temo Z (). Figura 7

11 O tete de 3 a 6 referem-e ao circuito da Figura 7. 3 chave etá em há muito tempo e paa intantaneamente para a poição em t =. corrente i ( ) vale: i i H a) 5 b) t = c) V d),5 4 H H Reolução: Em regime DC, ambo o indutore podem er ubtituído por curto-circuito e temo i ( ) 5 e i ( ). 4 corrente i ( ) vale: Figura 8 a) 5 b) c) d),5 Reolução: Inicialmente, notamo que o indutor de 4 H tem inércia à variação de corrente e i ( ) i ( ) 5. lém dio, o memo argumento e aplica ao indutor de H e i ( ) i ( ). Em regime, o indutore podem er ubtituído por curto-circuito e, com o reitor de curto-circuitado no ecundário, concluímo que i ( ). Em contrapartida, nada podemo concluir ainda obre a corrente i ( ) poi há um laço de indutor no primário. pó o intante em que a chave fecha, o indutor de 4 H etá curtocircuitado e a tenão obre ele erá empre nula para t +, como vito na figura a eguir. t +: i H i v 4 H H expreão do fluxo magnético concatenado com o indutor de 4 H é t (t) v ( )d ( ) 4i ( ) i ( ) 4i ( ) Wb-epira 5 (t) Ψ Wb-epira para todo t. Ma abemo que ( ) 4i ( ) i ( ) 4i ( ) e ( ) Ψ Wb-ep ir a, logo, 4i ( ) i ( ) 5. 4

12 Solução alternativa: Vamo reolver o circuito para t > utilizando nálie de Malha com condiçõe iniciai i ( ) 5 e i ( ). Começando no domínio do tempo, ª LK malha : di (t) di (t) 4 dt dt ª LK malha : di (t) di (t) i (t) dt dt Tranformando a equaçõe em Laplace, temo ª LK malha : 4I () I () 4i ( ) i ( ) ª LK malha : I () I () i ( ) i ( ) 5 Equação matricial de M: 4 I () I () 5 Reolvendo por Cramer, chega-e a 5 5(3 8) 5 I () i (t) 5H(t) i ( ) 5. 4 (3 8) 5 FCP do circuito para t > ão: a) b) e c) 8/3 d) e 8/3 Reolução: plicando nálie de Malha ao circuito para t >, como feito na Solução lternativa do Exercício 4, podemo encontrar a equação caracterítica do circuito e a ua FCP: (devido ao laço 4 de indutor no primário) (3 8) Supondo agora que a chave permaneça empre em, a corrente I() vale (coniderando condiçõe iniciai nula): Reolução: plicando nálie de Malha ao circuito para t > com condiçõe iniciai nula, chegamo à a) /(3 4) equação matricial de M: b) /(3 4) 4 I c) () / d) /[ (4 3)] I () Reolvendo por Cramer, 4 / I ()

13 3 7 Conidere o circuito da Figura 8 com indutância mútua. inale a alternativa que contém a expreão correta de v em função da convençõe adotada na figura. a) v L di di M dt dt v L di di M dt dt c) v L di di M dt dt d) v L di di M dt dt b) v i L M Figura 9 L i v Reolução: di di di di v L M v L M dt dt dt dt 8 admitância vita pelo gerador no circuito da Figura 9 vale: a) i H b), 3,, 4 6 c), 8 3, 99, 6 6 d) 3, 3, 99, 4 6 H, H Figura 3

14 4 Reolução: Coniderando o circuito equematizado a eguir com condiçõe iniciai nula, vale: i i impedância do trecho L//(L+R) H Para o tete de 9 a, conidere o circuito da Figura. V(), I () V(), 3 I () I () 3, V() v H, H 3 I (),99 6, V() 3, 3 I () I () V(),99 6,99 6 V() I () I (). Logo, por aociação de impedância, 3, 3 3, 3 Y().,99 6,99, 4 6,99, 4 6 3, 3 3, 3 9 O itema matricial de análie de malha em condiçõe iniciai nula é dado por: / / I( ) E( ) a) / / I ( ) / / I( ) E( ) b) / / I ( ) / / I( ) E( ) c) / / I( ) I( ) E( ) d) I( ) e(t) i ic F i vc i Figura il H vl

15 5 Reolução: Começando no domínio do tempo e com condiçõe iniciai nula, t ª LK malha : i (t) i ( ) i ( ) d e (t) t ª LK malha : impedância Z() vita em vale: di (t) i ( ) i ( ) d i (t) dt Tranformando a equaçõe em Laplace, temo ª LK malha : I () I () E() ª LK malha : I () I () Equação matricial de M: I () E() I (). a) b) c) d) + Reolução: Por aociação de impedância, temo ( ) / Z().

16 6 Num determinado intante t abe-e que e ( t ) = 5 V, vc ( t ) = 3 V e il ( t ) =. Pode-e afirmar que: a) No indutor teremo vl ( t ) = V. b) No capacitor teremo ic ( t ) =. c) Para determinar vl ( t ) e ic ( t ) é precio conhecer d v dt d) a) e b) etão correta. L e d i dt C t t. Reolução: Coniderando o circuito para t = t a eguir, No indutor, v L(t ) 3 v L(t ) V. No capacitor, 5 3 i C(t ) i C(t ). Para determinar vl ( t ) e ic ( t ), bata aplicar diretamente a ª LK e a ª LK no circuito fotografado em t = t. 5 V ic 3 V F H vl Quai ão a frequência própria do circuito? a) + j e j b) j e + j c) + j e j d) e + Reolução: Equação caracterítica: j j 3 inale a opção correta: a) Em circuito com vinculado a preença de FCP nula coincide com a preença de laço de indutore ou corte de capacitore obrigatoriamente. b) Corte de capacitore e/ou laço de indutore implicam a exitência de FCP nula. c) Inerindo doi capacitore em érie no lugar de um capacitor não implica a exitência de corte de capacitore. d) Para determinar FCP nula, qualquer análie (N, M) erve, ito é, não exitem condiçõe. Reolução: Corte de capacitore e/ou laço de indutore implicam a exitência de FCP nula. Em circuito com vinculado, pode aparecer FCP nula em a preença evidente de laço de indutore ou corte de capacitore. Para determinar FCP nula na nálie Nodal, é precio coniderar a corrente do indutore como incógnita. Já na nálie de Malha, para determinar FCP nula é precio coniderar a tenõe do capacitore como incógnita.

17 7 Para o tete 4 e 5, conidere o circuito da Figura, em que o e (t) co(t 45 ), (V,). k= ~ C Figura 4 umindo C F, o faor da corrente i (t), ou eja, Î,vale aproximadamente (em ): a) b) o j3,9e o e j57 o j46 c),3e d) k= Reolução: relaçõe entre a tenõe e corrente do indutore é Vˆ ˆ ˆ jωl jω M J j j J Vˆ jω M jωl Jˆ j j,5 Jˆ Ê ~ Ĵ ˆV ˆV Ĵ j Fazendo análie de malha, obtemo j45 j j Ĵ e j j,5 j Jˆ Jˆ,857e ˆI,857e o j57 o j3 5 impedância vita pelo terminai e do circuito para C = F vale (em Ω): a) b) c) j5 d) j5 Reolução: Modificando o itema anterior, temo j j Jˆ ˆ E j j j,5 Jˆ C Reolvendo ee itema em Ĵ, a impedância de entrada vale: Eˆ ˆ ( j) j(,5 / C) E Jˆ j(,5 / C) Jˆ C