Universidade Federal do Rio de Janeiro. Princípios de Instrumentação Biomédica. Módulo 6

Transcrição

1 Universidade Federal do Rio de Janeiro Princípios de Instrumentação Biomédica Módulo 6 Steinmetz Tesla Hertz Westinghouse

2 Conteúdo 6 - Análise de Regime Permanente Senoidal Números complexos Fasores e Equações Diferenciais Ordinárias Representação de uma senóide por um fasor Aplicação do método fasorial às equações diferenciais Resposta completa e resposta de regime permanente senoidal Resposta completa Análise de regime permanente senoidal Superposição em regime permanente Impedância e Admitância Ressonância Potência em regime permanente senoidal Potência complexa Valor eficaz Máxima transferência de potência Exercícios...13

3 6 Análise de Regime Permanente Senoidal 6.1 Números complexos Um número complexo pode ser expresso na forma retangular A= A R j A I ou polar A= A e j ou A= A Onde A é o módulo de A e é o ângulo de fase ( ). Algumas operações importantes com números complexos: R[ z 1 t z t ]=R[ z 1 t ] R[ z t ] R[a z 1 t ]=a R[ z 1 t ] d R[ A e j t ] dt =R[ d A e j t ] dt se R[ A e j t ]=R[ B e j t ] então A= B se A= B então R[ A e j t ]=R[ B e j t ] 6. Fasores e Equações Diferenciais Ordinárias 6..1 Representação de uma senóide por um fasor Uma função do tempo definida como A m cos t possui amplitude A m, freqüência angular e fase. A soma algébrica desta função com outras de mesma freqüência, ou suas derivadas, resultará em uma nova função de mesma freqüência angular. Assim, é de se esperar que, uma vez determinada a freqüência da função, ela possa ser tratada Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 1

4 algebricamente em função da sua amplitude e fase. Isto significa que, uma vez determinado, função A m cos t pode ser representada por um número complexo A= A m e j (observar que A m = A ). Da mesma maneira, a partir deste número complexo e da freqüência angular, é possível reconstruir a função original. Exemplo 1: x t =R A e j t x t =R A m e j e j t x t =R A m e j t x t =R[ A m cos j t j A m sen j t ] x t =R[ A m cos j t ] Exemplo : v t = 110 cos 60 t /3 A= 110 e j /3 v t =R A e j 60 t O número complexo A que representa a senóide A m cos t é chamado de fasor. Poderíamos ter especificado a senóide em termos da função seno, mas neste caso teríamos que obter o sinal no tempo a partir da parte imaginária de A e j t. A especificação de um fasor não carrega informação à cerca da freqüência angular do sinal original e por isso, quando se trabalha com fasores, é necessário conhecer as freqüências envolvidas no problema. A representação senoidal de freqüências é usada principalmente para a determinação da resposta particular da equação diferencial ordinária com coeficientes reais quando a Princípios de Instrumentação Biomédica COB781

5 excitação é uma senóide, ou seja, quando a equação diferencial que descreve o problema é da forma: a 0 d n x dt n a 1 d n 1 x dt n 1... a n 1 d x dt a n x= A m cos t 6.. Aplicação do método fasorial às equações diferenciais Seja a 0 d n x dt n a 1 d n 1 x dt n 1... a n 1 d x dt a n x= A m cos t com a 0, a 1,..., a n e A m,, são constantes reais, os fasores serão A= A m e j e X =X m e j Substituindo na equação diferencial a 0 d n R X e j t j t d R X e... a dt n n 1 a dt n R X e j t =R A e j t d n R a 0 X e j t... d R a X e n 1 dt n dt j t R[a 0 j n X e j t ]... R[a n X e j t ]=R[ A e j t ] R a n X e j t =R A e j t R[a 0 j n X e j t... a n X e j t ]=R[ A e j t ] a 0 j n X... a n X = A [a 0 j n... a n ] X =A X = A [ a 0 j n... a n ] Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 3

6 X = A a n a n... a n 1 a n X = = arctan a n 1 a n a n a n... Exemplos: Um circuito RLC série é excitado com uma fonte de tensão v S t = V cos t. Calcule a tensão sobre o capacitor em regime permanente. L C d v C t dt R C dv t C v dt C t =v S t A solução particular é da forma v C t = V C cos t =R[V C e j t ] A relação entre o fasor resposta e a excitação é [ L C j R C j 1] V C =V V V C = 1 L C j R C V C = V 1 L C R C R C V C = = arctan 1 L C Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 4

7 v C t = V C cos t Para o circuito RLC série com R=Ω, H=1H, C=1F e v S t =10 cos t. Calcular a resposta forçada do circuito. Realize os cálculos pela forma tradicional e utilizando fasores. L di t R i t 1 dt C i t dt=10 cos t d i t dt R L di t 1 dt L C i t = 10 sen t L sem fasores i F t = A cos t B sen t di F t = A sen t B cos t dt d i F t = A cos t B sen t dt A cos t B sen t [ A sen t B cos t ] A cos t B sen t = 10 sen t A B A=0 B A B= 10 A=5, B=0 i F t =5 cos t d i t dt R L di t 1 dt L C i t = 10 sen t L com fasores a saída é da forma Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 5

8 i F t = I F cos t =R[I F e j t ] I F = I F e j a entrada v é da forma v= 10 L cos t =R[V e j t ] j V = V e [ j R j 1 j L L C ] I = V F L e [ j j 1] I F =10 e j 10 I F = j j 1 =10 =5 I F = = arctan 1 1 =0 i F t = I F cos t =5 cos t 0 Para o circuito RLC série com R=3/Ω, L=1/H, C=1F e v S t =cos t u t v S t =10 cos t. Calcular a resposta de regime permantente da tensão sobre o capacitor. As condições iniciais são i L 0 = I 0 =A, v C 0 =V 0 =1V. L C d v C t dt R C dv t C v dt C t =v S t 1 d v C dt 3 dv C dt v C =u t cos t v C, p t =R V e j t = V cos t Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 6

9 v S t =R E e j t =cos t [ 1 j 3 j 1] V =E E V = [ 1 j 3 j 1] = 1 1 j 3 =0, ,40 v C, p t =0,316 cos t 108, Resposta completa e resposta de regime permanente senoidal Resposta completa y t = y h t p p t para todo t onde a solução particular escolhida é uma senóide, e por isso pode ser obtida por fasores. A resposta homogênea pode ser obtida pelos métodos descritos nos módulos anteriores, em função das condições iniciais. Para o caso particular, com uma única fonte de excitação senoidal e uma só variável de saída y, podemos escrever y t =k 1 e s 1 t k e s t... k n e s n t A m cos t onde k 1, k,..., k n e s 1, s,..., s n dependem das condições iniciais e A m e dependem da solução particular Observa-se que, se a resposta é estável as exponenciais tendem a zero quando o tempo tende a infinito, restando como resposta y(t), apenas a solução particular que pode ser obtida fasorialmente. Esta é definida como sendo a resposta de regime permanente senoidal. Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 7

10 6.3. Análise de regime permanente senoidal Para regime permanente senoidal, analisado por fasores, valem as mesmas regras de análise utilizadas circuitos resistivos, pois as leis de Kirchhoff continuam sendo aplicadas. Assim sendo são válidas as mesmas considerações sobre linearidade e invariância com o tempo, o que inclui os teoremas de superposição, Thèvenin e Norton bem como associações de componentes e simplificações e, obviamente, os métodos de análise por correntes de malha e tensões de nó Superposição em regime permanente Para os casos de circuitos excitados com fontes senoidais, sejam elas de freqüências iguais ou diferentes, podemos utilizar o princípio da superposição para obter a resposta da variável de rede desejada. A justificativa aqui é igual a estudada anteriormente porém se as senóides possuírem freqüências diferentes não podemos somar diretamente os fasores, pois a soma de duas ou mais senoides de freqüências distintas não é uma senóide. 6.4 Impedância e Admitância Em regime permanente, v t = V cos t 1, v t =R [V e j t 1 ] e i t = I cos t i t =R[ I e j t ] então podemos reescrever as relações entre corrente e tensão para o resistor, o capacitor e o indutor Para o resistor v= R i Substituindo os fasores na equação acima temos I =G V ou V =R I A relação também indica que, como R é um número real, o ângulo de fase entre a tensão e a corrente é nula. Para o capacitor i=c dv dt Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 8

11 Substituindo os fasores na equação acima temos I = j C V ou V = 1 j C I Observe que as relações se tornaram semelhantes às relações do resistor. O conceito generalizado de resistência no plano complexo é chamado de impedância e o análogo da condutância é chamado de admitância. A parte imaginária de uma impedância se chama reatância e a parte imaginária de uma admitância se chama susceptância. Sendo assim, em regime permanente senoidal o capacitor tem um comportamento de reatância capacitiva normalmente representado por X C. Observe que a reatância do capacitor é um número complexo então os fasores de tensão e corrente não terão o mesmo ângulo, ou seja, não estarão em fase. Observe também que a corrente sempre estará adiantada em relação a tensão de um ângulo de 90 o. Para o indutor v= L di dt Substituindo os fasores na equação acima temos I = 1 j L V ou V = j L I Observe novamente que a relação de regime permanente senoidal entre a corrente e a tensão no indutor também são semelhantes às encontradas no resistor. Assim o indutor também apresenta uma reatância indutiva normalmente representada por X L. Observe também que a reatância indutiva também é um número complexo e a fase entre tensão e corrente será de 90 o, porém neste caso a corrente no indutor está atrasada com relação a tensão. 6.5 Ressonância Efeito que ocorre quando a impedância é puramente real, ou seja, a reatância capacitiva se iguala em módulo à reatância indutiva (circuito série), ou a susceptância Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 9

12 capacitiva se iguala em módulo a susceptância indutiva (circuito paralelo). Seja o circuito RLC paralelo da figura abaixo cuja admitância, no formato Y =G j B, corresponde a Y = 1 R j C 1 j L onde G= 1 R e B= C 1 L Na ressonância B vale zero, ou seja C 1 L =0 o que ocorre em 0 = 1 L C. Obeserve que num circuito ressonante paralelo a impedância do circuito LC é infinita e a impedância de um circuito LC ressonante série é zero. Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 10

13 6.6 Potência em regime permanente senoidal p t =v t i t p t =V M cos t V I M cos t I p t = V I M M [cos V I cos t V I ] Observe que há um nível contínuo somado a uma oscilação de potência com o dobro da freqüência de excitação. O nível médio da potência corresponde a p t = V I M M cos V I. Dependendo do ângulo de fase é possível que a rede alimentada pela fonte de excitação senoidal absorva e forneça energia (sempre que o ângulo de fase entre tensão e corrente for diferente de zero) Potência complexa S= V I * onde V e I são fasores S= V M e j V I M e j I = V I M M j V I e S = V M I M é a potência aparente S= P j Q onde S é a potência complexa (VA) Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 11

14 P= V I M M cos V I é a potência média (W). Q= V I M M sen V I é a potência reativa (VAR) Valor eficaz 6.7 Máxima transferência de potência Seja um equivalente Thévenin com fonte de tensão Vs e impedância Zs alimentando uma carga ZL. Qual o valor de ZL para a máxima transferência de energia entre o equivalente Thévenin e a carga? p= 1 I R Z L I= V S Z S Z L p= 1 V S R Z L Z S Z L R L p= 1 V S R L R S X L X S R L p MÁX = 1 V S R L R S então X L = X S p = 1 R L V S R R R L S L R S R L =0 R L R S 4 ou seja R L =R S Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 1

15 p MÁX = V S 8 R S cuja eficiência máxima chega a 50%. 6.8 Exercícios 1) Considere os dois circuitos abaixo: a) calcule as funções de transferência H R (jω) = V R /V e H C (jω) = V C /V; b) esboce os gráficos de módulo e fase de H R (jω) e H C (jω); c) determine as freqüências de corte para os dois circuitos. H R j = V R j V j = V j 1 j C R 1 R V j = j C R 1 j C R H R j = j C R j C R 1 1 j C R 1 j C R = C R j C R 1 C R C R H R j = [ 1 C R ] arctan C R H C j = V C j V j = V j 1 1 j C R j C 1 V j = 1 1 j R C 1 j C R 1 j C R H C j = 1 = 1 j C R 1 j C R 1 C R Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 13

16 1 H C j = [ arctan C R ] 1 C R ordem. Compare estas respostas com aquelas obtidas do módulo de circuitos de primeira ) Calcule a tensão sobre o indutor em regime permanente senoidal. Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 14

17 V 0,707 j 0,707 v L3 j = j L R j L 3 = 3 40 j 00 0,06 j 00 0,06 = V L3 v L3 t = V L3 cos 00 t 3) Para cada um dos conjuntos voltagem-corrente abaixo, calcule a potência média nos terminais entre os circuitos A e B; em cada caso diga em que direção (de A para B ou de B para A) flui a potência média calculada. a) v t =100 cos t 4, i t =0 cos t 1 b) v t =100 cos t 4, i t =0 cos t 11 1 a) P= 1 v i MAX MAX cos v i = cos 45 o 15 o =500W potência média fornecida por A b) P= 1 v i cos v i =100 0 MAX MAX cos 45 o 165 o = 866W Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 15

18 potência média fornecida por B 4) Para o circuito mostrado abaixo: a) Calcule Vo(t) em regime permanente; b) Qual o período de Vo(t)? c) A resposta está atrasada ou adiantada com relação a Vs(t)? d) Qual é o valor do avanço/atraso? a) Vo j = Vs R 1 R X R 1 = Vs R j R C 1 1 C1 R 1 j R C 1 R R X C1 onde = 500 b) Período=T = 1 f = s 5) Para os sinais v t =10 cos 10 t e i t =0,45 cos 10 t 0,5 : a) Quem 4 está adiantado de quem? b)quantos graus? c) Quantos segundos? a) A tensão está adiantada com relação a corrente. Desenhando os fasores que representam v e i e girando os fasores no sentido anti horário percebe-se que o fasor de tensão cruza o eixo real positivo antes do fasor de corrente (normalmente se escolhe o fasor que leva ao menor ângulo entre os dois fasores). b) 75 0 ou 1,31 rad (se optarmos por dizer que a corrente está adiantada com relação a tensão, o ângulo seria ). c) Uma regra de três resolve o problema. Sabe-se que os cossenos variam a 10rad/s então 1,31 radianos demoram 0,31s Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 16

19 restante. 6) Para o circuito abaixo, retire Z L e calcule o equivalente Thévenin do circuito Colocando uma fonte de tensão de valor v no lugar de ZL e considerando que uma corrente i entra nesta fonte temos: Para o nó A, onde se ligam R, C 1 e L v A V R 1 v A j C 1 v A v j L =0 v A = j L V v R 1 j L L C 1 1 Para o nó B, entre L, C e v v v A j L v j C i=0 v [ 1 j L R 1 L j L 3 L C 1 j C ] = V 1 L C 1 j L i Comparando a equação acima com a de um equivalente Thévenin observa-se que: v G TH =G TH V TH i 7) Para o circuito abaixo, calcular Ix e Vx de regime permanente. Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 17

20 O problema só pode ser resolvido por superposição pois as fontes de corrente e tensão apresentam frequências diferentes. V j = ,3 o, V =1000 X L = j e X C1 = j 4 V Ix V j = = ,3o = ,3o =10 90 o R 1 X L X C1 j ,3 o Vx V j = R 1 X C1 Ix V = 5 63,4 o o = ,4 o Ix V t =10 sen 1000 t Vx V t =0 10 sen 1000 t 63,4 o I j = 135 o, I =000 X C = j Z EQ = X L // R 1 X C1 = j // j = j Vx I j =I 1 Z EQ R X C = 135 o [ j j ]=8 135 o Ix I j = I Z EQ X L = 135o 45 o = 4 90 o 90 o Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 18

21 Ix I t =4 sen 000 t Vx I t =16 cos 000 t 135 o Ix t =Ix V t Ix I t Vx t =Vx V t Vx I t Princípios de Instrumentação Biomédica COB781 19