Capítulo 9. Circuitos de Segunda Ordem

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1 EA-53 Circuitos Elétricos I Capítulo 9 Circuitos de Segunda Ordem

2 EA-53 Circuitos Elétricos I 9. Circuitos com Dois Elementos Armazenadores Circuito com dois indutores, onde deseja-se obter a corrente de malha i : H 8 Ω v g i 4 Ω i H di 4i 4i i di i 4 4 d di 4 i i v g di d i di 4 4

3 EA-53 Circuitos Elétricos I d i 4 di di 4 4i i 4 4 v g d i di di 3 i 4i v g d i di 6i v g Equação diferencial de ª ordem Circuitos de ª ordem normalmente possuem elementos armazenadores de energia.

4 EA-53 Circuitos Elétricos I Existem exceções à regra de que circuitos com elementos armazenadores são representados por equações de ª ordem. Exemplo: v g Ω Ω v v F /4 F Equações nodais: dv v v g dv v v g v v g dv 4 dv v v g Com o nó de referência escolhido, as tensões v e v resultam em duas equações diferenciais de ª ordem desacopladas.

5 EA-53 Circuitos Elétricos I 9. Equações de ª Ordem Equação genérica de ª ordem: d x dx a ax f ( t) onde os a i são constantes reais. Solução: resposta completa é igual a soma da resposta natural com a resposta forçada, x x n x f. x deve conter também duas constantes arbitrárias para satisfazer as duas condições impostas pela energia inicial armazenada em cada um dos elementos armazenadores.

6 EA-53 Circuitos Elétricos I Resposta natural x n : Resposta quando f(x), ou seja, a resposta deve satisfazer a equação: d xn dx a n axn Como cada termo da equação contém x n, no mesmo grau, o membro da direita pode ser assumido como x n (equação homogênea). Resposta forçada x f : A resposta deve satisfazer a equação original: d x f dx f a ax f f ( x)

7 EA-53 Circuitos Elétricos I Somando as duas equações e rearranjando os termos, obtemos d d ( x x ) a ( x x ) a ( x x ) f ( x) n f n f n f A resposta natural contém duas constantes arbitrárias e a resposta forçada não. resposta natural solução complementar resposta forçada solução particular

8 EA-53 Circuitos Elétricos I ( ) ( ) Exemplo: Mostre que x Aexp t e x A exp 3t são soluções de d x dx 5 6x Substituindo x Aexp t na expressão acima resulta: d A [ A exp( t) ] 5 [ A exp( t) ] 6A exp( t) d 4A exp A exp ( ) [ exp( t) ] A exp( t) 6A exp( t) ( t) A exp( t) 6A exp( t) ( t) A exp( t) d

9 EA-53 Circuitos Elétricos I ( ) Substituindo x A exp 3t na expressão anterior resulta: d [ A exp( 3t )] 5 [ A exp( 3t )] 6A exp( 3t ) d 3A d [ exp( 3t )] 5A exp( 3t ) 6A exp( 3t ) 9A exp ( 3t ) 5A exp( 3t ) 6A exp( 3t ) 5A exp ( 3t ) 5A exp( 3t )

10 EA-53 Circuitos Elétricos I 9.3 Resposta Natural A resposta natural x n deve satisfazer a equação homogênea: d x dx a ax Evidentemente a função x x n deve ser tal que esta não mude de forma quando diferenciada. Ou seja, a função, sua ª derivada e sua ª derivada devem ter todas a mesma forma. Possível solução: st x n Ae A e s são constantes a serem determinadas.

11 EA-53 Circuitos Elétricos I st Substituindo x Ae na equação homogênea, obtemos n st As e st asae st a Ae Ae st ( ) s a s a Como Ae st não pode ser, pois isto faria x n, então s as a equação característica Solução: s a ± a 4a Portanto, temos duas soluções naturais: n s A e x n s Ae t x t A e A são arbitrárias

12 EA-53 Circuitos Elétricos I Note que a soma das duas soluções também é uma solução, ou seja s t n xn xn A e s Ae x t é uma solução geral da equação homogênea, quando s e s são raízes distintas da equação característica.

13 EA-53 Circuitos Elétricos I Exemplo: equação homogênea Equação característica: d i di 6i s s 6 As raízes são s - e s -8. E a solução geral é: t i A e 8t Ae Os números s - e s -8 são denominadas de freqüências naturais do circuito. As constantes de tempo dos dois termos são τ / e τ /8.

14 EA-53 Circuitos Elétricos I 9.4 Tipos de Freqüências Naturais As freqüências naturais são as raízes da equação característica, portanto, elas podem ser reais, imaginárias ou complexas. A natureza das raízes são determinadas pelo discriminante a 4a. a 4a > < raízes reais e distintas raízes reais e idênticas raízes complexas

15 EA-53 Circuitos Elétricos I Exemplo: resposta é a tensão v. 4 Ω a i v g b R H v - /4 F Nó a: v vg 4 i 4 dv Equação da malha direita: di Ri v i 4 v vg dv R dv d dv v vg v vg v 4 4 R v 4 dv R R dv d g d v vg v v

16 EA-53 Circuitos Elétricos I d v dv 4 ( R ) ( R ) v Rvg dvg Equação homogênea: d vn dv n ( R ) n ( R 4) v Equação característica: s ( R ) s ( 4) R Assim, s, ( ) ( ) R ± R 4( R ) ( R ) ± R R 5 6Ω s, s 5 R 5Ω s s 3 j Ω s j, s j

17 EA-53 Circuitos Elétricos I Raízes Reais e Distintas: Caso Superamortecido Neste caso a resposta natural é dada por: s t A e s Ae x Exemplo: se R 6 Ω no exemplo anterior, temos n t vn t A e 5t Ae Raízes Complexas: Caso Subamortecido As freqüências naturais são complexas do tipo: s α ± jβ, Neste caso a resposta natural é dada por: xn ( α jβ ) t ( α jβ )t A e Ae

18 EA-53 Circuitos Elétricos I Forma mais conveniente: Fórmula de Euler: θ e j cosθ jsenθ ou θ e j cosθ jsenθ xn A e αt e αt e αt e ( α jβ ) t ( α jβ ) A e ( jβ t jβ t ) A e A e [ A ( cosβ t jsen β t) A ( cos β t jsen β t) ] [( A A ) cosβ t j( A A ) sen β t] t onde x n B α t e A A ( B cos β t B sen β t) B j( A ) A Para circuitos reais, α <, a resposta é amortecida com o tempo.

19 EA-53 Circuitos Elétricos I Exemplo: se R Ω no exemplo anterior, temos [ B ( t) B sen( t) ] t vn e cos onde B e B são arbitrários. Raízes Reais e Iguais: Caso de Amortecimento Crítico As freqüências naturais são reais do tipo: s s k Neste caso a resposta natural é dada por: kt x n Ae Então, existe somente uma constante arbitrária independente.

20 EA-53 Circuitos Elétricos I Para se ter freqüências naturais idênticas, a equação característica deve ser ( ) s k s ks k e portanto, a equação homogênea deve ser d xn k dxn k xn Como sabemos que kt Ae é uma solução para A arbitrário, vamos tentar x n h ( t) e kt substituindo na expressão acima e simplificando obtemos d h kt e d h t

21 EA-53 Circuitos Elétricos I Isto é verdade se h(t) tiver a forma de um polinômio do º grau: ( t) A A t h onde A e A são constantes arbitrárias. A solução geral no caso de raízes idênticas é então: ( A A t) e kt xn Exemplo: se R 5 Ω no exemplo anterior, temos vn 3 t ( A A t) e

22 EA-53 Circuitos Elétricos I 9.5 A Resposta Forçada A resposta forçada x f de um circuito genérico de ª ordem deve satisfazer: d x f dx f a ax f f ( x) e não conter constantes arbitrárias. Exemplo: v g 6 V H 8 Ω v g i 4 Ω i H d i di 6i v g

23 EA-53 Circuitos Elétricos I Fazendo i x, temos Resposta natural: d x dx 6x 3 t 8t xn A e Ae Para a resposta vamos tentar x f A, onde A é uma constante a ser determinada: d A da 6A 3 ou seja, x f A. Portanto, a solução geral é: x 6 A 3 t 8t A e Ae A e A são obtidas a partir da energia inicial armazenada nos indutores.

24 EA-53 Circuitos Elétricos I No caso de funções de excitação constantes, pode-se obter x f circuito: do próprio Em regime permanente, o circuito se reduz a: 8 Ω 6 V 4 Ω i Note que a resposta forçada x f i A

25 EA-53 Circuitos Elétricos I Exemplo: v g cos(4t) e x i H 8 Ω v g i 4 Ω i H d x dx 6x 4cos ( 4t) Resposta natural: xn t A e 8t Ae Resposta forçada: tentativa: ( 4t) Bsen( t) x f Acos 4

26 EA-53 Circuitos Elétricos I ( 4t) Bsen( t) x f Acos 4 dx f 4 Asen 4 d x f 6Acos ( 4t) 4Bcos( t) ( 4t) 6Bsen( 4t) Substituindo em d x dx 6x 4cos ( 4t) e rearranjando os termos, obtemos Assim, 4B 4 e 4A, logo ( 4t) 4Asen( 4t) 4cos( t) 4 Bcos 4 B A

27 EA-53 Circuitos Elétricos I Assim, x f sen( 4t) Portanto a solução geral é dada por: x t 8t A e Ae sen ( 4t) Tentativas de respostas forçadas: f(t) k t t e at sen(bt), cos(bt) e at sen(bt), e at cos(bt) x f A At B At Bt C Ae at Asen(bt) Bcos(bt) e at [Asen(bt) Bcos(bt)]

28 EA-53 Circuitos Elétricos I 9.6 Excitação na Freqüência Natural Suponha que a equação do circuito a ser resolvido é dada por: d x dx ( a b) abx f ( t) onde a b são constantes. Equação característica: Portanto, s a e s b. s ( a b) s ab at bt Resposta natural: xn A e Ae A e A são arbitrárias Supor que a função de excitação contém uma freqüência natural, p. ex., ( ) at t e f Procedimento usual para obter a resposta forçada: at x f Ae e determinar A de modo que x f satisfaça: d x dx at ( a b) abx e

29 EA-53 Circuitos Elétricos I Entretanto, substituindo x f Ae at em temos d d x dx at ( a b) abx e ( at ) d ( ) ( at ) ( at ) at Ae a b Ae ab Ae e at at at at Aa e Aa e baae abae at e Motivo de não se poder usar x f Ae at é que este possui a forma de um dos componentes da resposta natural. Vamos testar então x f Ate at. at e impossível!!

30 EA-53 Circuitos Elétricos I x f at Ate dx f A dx f A a ( at ) e at ( ) t a e at Substituindo em d x dx at ( a b) abx e Obtemos Solução geral: ( ) at at at at a t a e ( a b) A( at ) e abate e A x n A e at A a b A e bt te a b at at at ( a b) e e A

31 EA-53 Circuitos Elétricos I Exemplo: v g 6exp(-t) 3 e x i H 8 Ω v g i 4 Ω i H d x dx 6x t e 64 Resposta natural: xn t A e 8t Ae Resposta forçada: tentativa: t x f Ate B Não se pode usar uma resposta forçada que tenha a mesma forma de uma das partes da resposta natural.

32 EA-53 Circuitos Elétricos I Substituindo em d x dx 6x t e 64 e rearranjando os termos, obtemos t 6Ae 6B t e 64 Assim, 6B 64 e 6A, logo B 4 A Portanto, t x f te 4 Solução geral: xn t 8t t A e Ae te 4

33 EA-53 Circuitos Elétricos I Vamos considerar o caso: d x dx ( a b) abx f ( t) ( ) at onde a b e f(t) é dada por f t e, então d x a dx a x at e Equação característica: s as a Solução: s s a Resposta natural: ( A A t) e at xn Neste caso temos que tentar a resposta forçada: x f at At e Substituindo na expressão, obtemos: at Ae e at A

34 EA-53 Circuitos Elétricos I Modo prático geral para a obtenção da resposta forçada: Se um termo de freqüência natural de x n está duplicado em x f, o termo em x f é multiplicado pela menor potência de t que elimina a duplicação.

35 EA-53 Circuitos Elétricos I 9.7 Resposta Completa A resposta natural e a completa possuem constantes arbitrárias, que devem satisfazer condições iniciais de energia armazenada. Exemplo: calcular x(t) para t > que satisfaça: dx x ( t) ( ) x ( t) 5 x( t) t 6e 3t Diferenciando a primeira equação para eliminar a integral, obtemos: dx dx 3t 5x 48e Equação característica: s s 5 s, ± j

36 EA-53 Circuitos Elétricos I Resposta natural: Resposta forçada: [ A ( t) A sen( t) ] t xn e cos 3t x f Ae Substituindo em dx dx 3t 5x 48e 9Ae 3t 6Ae 3t 5Ae 3t 48e 3t 8Ae 3t 48e 3t onde A 6. Resposta completa: x e t [ ( ) ( ) ] 3 A cos t A sen t e t 6

37 EA-53 Circuitos Elétricos I Determinação das constantes arbitrárias: Necessitamos de condições iniciais: ) x() ) ( ) dx x e 3 ( ) 5 x( t) 6 dx( ( ) 5 6 ( ) dx Aplicando a primeira condição inicial na resposta completa, obtemos: x 3 ( ) e [ A cos( ) A sen( ) ] 6e A 6 A 8

38 EA-53 Circuitos Elétricos I Diferenciando x e t [ ( ) ( ) ] 3 A cos t A sen t e t 6 obtemos: dx ( ) dx t e 8 3 [ ( ) ( ) t ] [ ( ) ( ) t A sen t A cos t e A cos t A sen t ] e e e [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) 3 A sen A cos e A cos A sen ] 8 Portanto A. A A 8 Resposta final: x e t [ ( ) ( ) ] 3 8cos t sen t 6e t

39 EA-53 Circuitos Elétricos I Exemplo: Cálculo de v, t >, onde v () v() e v g 5 cos(t) [V] v g kω v kω µf /8 µf kω v Equação nodal de v : 6 dv v v g v 3 3 dv v v cos 4 ( t) Equação nodal no nó inversor do op-amp: 6 v 3 8 dv 3 v 4 dv

40 EA-53 Circuitos Elétricos I dv v 3 d 4 3 dv cos ( t) d v 3 dv 6 v 7 cos ( t) Equação característica: s 3 s 6 Freqüências naturais: s, ± j Resposta natural: Resposta forçada: t e [ Acos( t) A sen( t) ] Acos ( t) Bsen( t) vn v f Substituindo na equação diferencial, obtemos: ( A 4B) cos( t ) ( 4A B) sen( t ) cos( t )

41 EA-53 Circuitos Elétricos I Igualando os coeficientes resulta: onde obtemos A e B 4. Resposta completa: A 4B 4A B v t e [ A ( t) A sen( t) ] cos( t) 4sen( t) cos Note que para t, temos: Como v ( ) v ( ), temos v ( ) ( ) 3 dv 4 dv ( )

42 EA-53 Circuitos Elétricos I Note que v é a tensão sobre o capacitor de /8 µf, assim, v( ) v( ), que substituindo em v t e [ A ( t) A sen( t) ] cos( t) 4sen( t) cos [ A cos( ) sen( ) ] cos( ) 4sen( ) e A A A. ( ) Derivando a equação acima e utilizando dv, obtemos: onde A 6. A A 8 Resposta completa: v e t [ cos( t ) 6sen( t) ] cos( t) 4sen( t )

43 EA-53 Circuitos Elétricos I 9.8 Circuito RLC Paralelo i g R L v C i - Em t, existe: uma corrente inicial i() I no indutor, uma tensão inicial v() V no capacitor. Equação de nó: ( t) v R t v( t) I L C dv ( t) ig d

44 EA-53 Circuitos Elétricos I C d v R dv v L di g Resposta natural: C d v dv v R L Equação característica: Cs s R L Freqüências naturais: s, R ± R C 4C L, ± s RC RC LC De acordo com o discriminante (/R superamortecido, subamortecido e amortecimento crítico. - 4C/L), existem 3 tipos de respostas:

45 EA-53 Circuitos Elétricos I Caso Superamortecido: ou R 4C > L L > 4R C Freqüências naturais são números reais e distintos, e temos o caso superamortecido: s t s t v A e A e Das condições iniciais, para t, e do cálculo de v ( ) ( ) dv v( t) I C R L V ( ) dv ( ) I C R dv V RI RC Usada para determinar as constantes arbitrárias.

46 EA-53 Circuitos Elétricos I Exemplo: R Ω, L 4/3 H, C /4 F, V [V], I -3 [A]. s, RC ± RC LC 4 ± onde s e s 3, portanto v A e t A e 3t Como, v ( ) [ V] dv ( ) 4 [ V/s] podemos obter A 5 e A 3, resultando v 5e t 3e 3t

47 EA-53 Circuitos Elétricos I Esboço de v em função do tempo: v 5e t v 5e t 3e 3t 3e 3t 3 4 t Note a falta de oscilações, o que é uma característica de superamortecimento.

48 EA-53 Circuitos Elétricos I Caso Subamortecido: ou R 4C L L < 4R < C Freqüências naturais são números complexos, e temos o caso subamortecido. Neste caso a resposta contém senos e cossenos e portanto a resposta oscila. Definições: Freqüência de ressonância: ω LC Coeficiente de amortecimento: α RC Freqüência amortecida: ω d ω α [ rad/s] [ Np/s] [ rad/s]

49 EA-53 Circuitos Elétricos I Freqüências naturais: Resposta: s, RC ± RC LC α ± jω d αt v e que possui uma natureza oscilatória. [ A cos( ω t) A sen( ω t) ] d d

50 EA-53 Circuitos Elétricos I Exemplo: R 5 Ω, L H, C / F, V [V], I 3/ [A]. ω LC / α RC 5 / ω d 3 assim, v e t [ A ( 3t ) A sen( 3t )] cos Das condições iniciais, temos v(), dv( )/ 5, logo A e A 5. Portanto, t v 5e sen ( 3t )

51 EA-53 Circuitos Elétricos I Esboço de v em função do tempo: v 5e t t v 5e sen ( 3t ) π/3 4π/3 t 5e t Note a natureza oscilatória da resposta. A resposta é zero nos pontos onde a senóide é zero, que são determinados pela freqüência amortecida.

52 EA-53 Circuitos Elétricos I Caso de Amortecimento Crítico: ou R 4C L L 4R C Freqüências naturais são reais e iguais, dadas por s s α. onde Resposta: α RC [ Np/s] v α t ( A A t) e

53 EA-53 Circuitos Elétricos I Exemplo: R Ω, L H, C /4 F, V [V], I - [A]. α RC / 4 assim, A e A 4. Resposta: t v 4t e

54 EA-53 Circuitos Elétricos I Esboço de v em função do tempo: v t v 4t e t Para cada caso do circuito RLC paralelo, o valor em regime permanente da resposta natural é zero, porque a resposta contém um fator e at, onde a <.

55 EA-53 Circuitos Elétricos I 9.9 Circuito RLC em Série i L R v g v C - Em t, existe: uma corrente inicial i() I no indutor, uma tensão inicial v() V no capacitor. Equação do laço, para t > : di t L Ri i V vg C d d i L di R i C dv g

56 EA-53 Circuitos Elétricos I Freqüências naturais:, ± s R L R L LC O circuito RLC em série está superamortecido se: R L LC > C > 4L R Resposta: s t s t i A e A e O circuito RLC em série está criticamente amortecido se: R L LC C 4L R Resposta: s t ( A A t) e i

57 EA-53 Circuitos Elétricos I O circuito RLC em série está subamortecido se: R L LC < C < 4L R Freqüência de ressonância: ω LC [ rad/s] Coeficiente de amortecimento: α R L [ Np/s] Freqüência amortecida: ω d ω α [ rad/s] Resposta: αt i e [ A cos( ω t) A sen( ω t) ] d d

58 EA-53 Circuitos Elétricos I Exemplo: Encontrar v, para t >, onde v() 6 V e i() A. i H Ω v g V v /5 F - v v n v f mas i dv C Resposta natural: dv 5 di 5 i 5 t i 6 d v dv 5 v d v dv 5v

59 EA-53 Circuitos Elétricos I Podemos obter a equação característica: s s 5 cujas raízes complexas são: Resposta natural: Resposta forçada: Como o capacitor é um circuito aberto e o indutor é um curto circuito em regime permanente, temos que i f e v f. Resposta completa: Como v() 6 V, temos mas 5 assim, s, ± j [ A ( t) A sen( t) ] t vn e cos t [ A ( t) A sen( )] v e cos t dv ( ) i( ) ( dv ) [ A cos( ) A sen( ) ] 6 A t e A 4 [ 4 cos( t) 3sen( )] v e t A A A 3

60 EA-53 Circuitos Elétricos I Exemplo: Encontrar v, para t >, onde v() 6 V e i() A. i H Ω v g 4 cos(t) [V] v /5 F - i dv C dv 5 d v di dv 5 5v d v cos ( t) Resposta natural: [ A ( t) A sen( t) ] t vn e cos

61 EA-53 Circuitos Elétricos I Resposta forçada: d d v f Assim, obtemos A 4 e B. Acos ( t) Bsen( t) [ Acos( t) Bsen( t) ] [ Acos( t) Bsen( t) ] 5[ Acos( t) Bsen( t) ] cos( t) ( 4 A B) cos( t) ( 4B A) sen( t) cos( t) Resposta completa: v e t [ A ( t) A sen( t) ] 4cos( t) sen( t) cos Condições iniciais: v() 6 e i(). v dv ( ) e [ A cos( ) A sen( ) ] 4cos( ) sen( ) 6 ( ) t v e A 4 6 A A A A 5 [ cos( t) 5sen( t) ] 4cos( t) sen( t)

62 EA-53 Circuitos Elétricos I 9. Métodos Alternativos para a Obtenção das Equações Representativas Dois métodos para simplificar os processos de obtenção da equação representativa de um circuito RLC serão apresentados. Uma única equação é necessária, que após a diferenciação, se torna a equação representativa. Entretanto, em circuitos de ª ordem podem existir duas equações simultâneas, das quais a equação representativa é obtida por um processo de eliminação.

63 EA-53 Circuitos Elétricos I Exemplo: Para t >. t 4 Ω a 6 Ω v g V v /4 F H v i - nó a: v v 4 g v v 6 dv 4 b referência nó v : v v t 6 v i ( ) Para se obter a equação representativa em termos de v do circuito devemos eliminar v, assim, o resultado é: d v 7 dv v dv g 6v g

64 EA-53 Circuitos Elétricos I º Método: Definição: operador de diferenciação: então, por exemplo, D Assim, reescrevendo as equações de nós, temos d dx a bx adx bx ( ad b)x v v 4 g v v 6 dv 4 4 D 5 v 6 v 4 v g ( 3D 5) v v 3vg d v v t 6 v i ( ) 6 Dv D v 6 Dv ( D 6) v As variáveis não podem ser comutadas com os operadores nas expressões.

65 EA-53 Circuitos Elétricos I ( D 6)( 3D 5) v ( D 6) v 3( D 6) v g ( D 6) v Dv [( D 6 )( 3D 5) D] v 3( D 6) v g Multiplicando os operadores como se eles fossem polinômios, agrupando os termos e dividindo por 3, resulta: ( ) D 7D v ( D 6) v g Substituindo o operador obtemos a equação representativa do circuito: d v 7 dv v dv g 6v g

66 EA-53 Circuitos Elétricos I O procedimento pode também ser feito através de determinantes: Regra de Cramer para obter v das equações: ( 3D 5) v v 3vg Dv ( D 6) v dada por v onde 3D 5 D D 6 3v g 3 D 6 ( D 6) v g Então, v

67 EA-53 Circuitos Elétricos I º Método: O segundo método é uma mistura dos métodos de laço e de nó, onde selecionamos as correntes de indutor e as tensões do capacitor como incógnitas. Em seguida, aplicamos a lei de Kirchhoff de tensões ao redor do laço que contém um único indutor e a lei de Kirchhoff de correntes nos nós que tenham somente um capacitor conectado. Cada equação, portanto, possui somente uma derivada de corrente de indutor ou de tensão de capacitor, e nenhuma integral.

68 EA-53 Circuitos Elétricos I Exemplo: i e v são incógnitas (variáveis de estado do circuito). Para t >. t 4 Ω a 6 Ω v g V v /4 F H v i - b Nó a: v v 4 g i 4 dv i dv 4 v v 4 g Malha direita: v 6i di v 6 4 dv v vg d dv v v g d v 7 dv v dv g 6v g

69 EA-53 Circuitos Elétricos I Vantagens: não aparecem integrais. uma variável desconhecida é encontrada em função das outras. condições iniciais da primeira derivada são facilmente obtidas para uso na determinação das constantes arbitrárias na solução geral. Por exemplo, da figura anterior, temos i() A e v() 6 V, assim substituindo em: obtemos: v v 4 g i 4 dv ( ) ( ) ( v ) g dv dv ( ) v g

70 EA-53 Circuitos Elétricos I Este método pode ser grandemente facilitado pelo uso de teoria dos gráficos, fazendo: indutores são colocados nos enlaces, cujas correntes constituem um conjunto independente de correntes. capacitores são colocados na árvore, cujas tensões de ramo constituem um conjunto independente de tensões. Cada indutor L é um enlace com corrente i, que forma um laço onde os outros elementos são unicamente ramos de árvore. Portanto, a lei de Kirchhoff de tensões aplicada ao redor do laço conterá somente um termo derivado di L. Este laço é único no gráfico se o único enlace adicional à árvore é L.

71 EA-53 Circuitos Elétricos I Por exemplo: a v g v i v b Laço que contém o indutor de H: a, v, b, a, que fornece: di 6 i v v 6i di

72 EA-53 Circuitos Elétricos I Cada capacitor é um ramo da árvore cuja corrente, em conjunto com as correntes de enlace, constituem um conjunto de correntes saindo de um nó. Se um capacitor é retirado do circuito, a árvore é separada em duas partes conectadas apenas por enlaces. As três correntes são mostradas atravessando a linha vermelha através do capacitor, denominada v, e dois enlaces, somado com zero pela lei de Kirchhoff de correntes, o que é descrito por: a v v 4 g i 4 dv v g v i v b