Universidade Federal do Rio de Janeiro. Circuitos Elétricos I EEL 420. Módulo 10

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1 Universidade Federal do Rio de Janeiro Circuitos Elétricos I EEL 40 Módulo 10 Drawing of Michael Faraday's 1831 experiment showing electromagnetic induction between coils of wire, using 19th century apparatus, from an 189 textbook on electricity.

2 Conteúdo 10 - Elementos de Acoplamento Magnético Indutores acoplados Caracterização da indutância mútua Energia armazenada Coeficiente de acoplamento Enrolamentos múltiplos e matriz de indutância Ligações série e paralela de indutores acoplados Transformadores ideais Transformador de impedância Acoplamento magnético e fontes controladas Exercícios Soluções...18 Circuitos Elétricos EEL40 UFRJ

3 10 Elementos de Acoplamento Magnético 10.1 Indutores acoplados Quando mais de uma bobina são colocadas próximas o campo magnético de uma interage com o campo magnético da outra criando um acoplamento entre elas. Assim, cria-se indutores acoplados que podem ser descritos como 1 = f 1 i 1, i = f i 1, i v 1 = 1 t = f 1 i 1 i 1 t f 1 i i t v = t = f i 1 i 1 t f i i t assim, se os indutores forem lineares e invariantes v 1 t = L 11 di t 1 M dt 1 di t dt v (t )=M 1 di (t) 1 +L dt di (t ) dt ou 1 t =L 11 i 1 t M 1 i t Circuitos Elétricos EEL40 UFRJ 1

4 1 t =M 1 i 1 t L i t onde L 11 e L são as auto indutâncias de cada indutor separadamente e M 1 e M 1 são as chamadas indutâncias mútuas dos indutores acoplados e medidas em Henrys. Estas relações também são válidas para o regime permanente senoidal V 1 = j ω L 11 I 1 + j ω M 1 I V = j ω M 1 I 1 + j ω L I Caracterização da indutância mútua Embora os sinais de L 11 e L sejam sempre positivos, o sinal de M 1 e M 1 podem ser negativos porém sempre são iguais e será chamado simplesmente M. O sinal de M depende da forma como se dá o acoplamento entre os indutores e pode ser determinado experimentalmente, por exemplo, se L for mantido em aberto e uma corrente positiva i 1 circular pelo indutor L 1, a tensão v terá o mesmo sinal de M pois v (t )=M 1 di (t ) 1 +L dt di (t ) dt Quando o sinal de M é importante utiliza-se uma notação de ponto junto aos indutores de forma que, se os sentidos de referência das correntes entram nos terminais marcados com pontos, o acoplamento M é positivo Energia armazenada A energia armazenada na indutância mútua pode ser calculada como t ε(i 1 (t),i (t))= [v 1 (t ' ) i 1 (t ')+v (t ' ) i (t ')] dt ' 0 t ε(i 1 (t ),i (t))= [ L i di dt ' ( ±M i di 1 dt ' +i di 1 dt ' ) +L i di ] dt ' dt ' 0 Circuitos Elétricos EEL40 UFRJ

5 Para obter a energia armazenada nestes indutores acoplados é necessário integrar i 1 com relação a i e i com relação a i 1. O problema que aparentemente é simples, na verdade, esconde a interação entre i 1 e i, o que impede o cálculo direto desta integral. Uma solução alternativa consiste em levar a corrente i 1 para o seu valor final enquanto i =0 e, depois, levar a corrente i para seu valor final enquanto i 1 é mantida constante. Calculando a energia, assim, por partes, obtemos como resultado ε(i 1 (t ), i (t)=0)= 1 L i 11 1 ε(i 1 (t )=cte,i (t))=±m i 1 i + 1 L i ε(i 1 (t ),i (t))= 1 L i 11 1±M i 1 i + 1 L i ε(i 1 (t ),i (t))=ε(i 1 (t),0)±m i 1 i +ε(0,i (t )) ou seja, considerando as correntes positivas, a energia total acumulada pode ser maior que a soma das energias de cada autoindutância, se M for positivo, mas pode ser menor caso o M seja negativo. Se M for negativo, entretanto, a energia armazenada não pode ser negativa. Esta situação de energia zero nos leva a um valor limite para M que pode ser calculado resolvendo a equação da energia considerando uma corrente fixa (i, por exemplo) e a outra variando. Para facilitar a análise, a equação da energia ε(i 1 (t ),i (t))= 1 L i 11 1 M i 1 i + 1 L i, pode ser reescrita na forma padrão de uma parábola ε(i 1 (t ), i (t ))= 1 [( L 11 i 1 + M i L 11 ) +( L M L 11 ) ε(i 1 (t ), i (t ))= 1 [( L 11 i 1 + M L 11 i ) ] i, +( L L 11 M L 11 ) ] i Circuitos Elétricos EEL40 UFRJ 3

6 com vértice em i 1 = (M / L 11 ) i e energia mínima em ε=(l 11 L M )/( L 11 ) i. Assim para que a energia seja sempre maior ou igual a zero L 11 L M Coeficiente de acoplamento A corrente i 1 que passa por um indutor produz um fluxo magnético igual a φ=c 1 N 1 i 1 onde c 1 é uma constante que depende das propriedades magnéticas e da geometria do núcleo e N 1 é o número de espiras do enrolamento. Assim, v 1 =N 1 d φ dt =c N di dt e L 1 =c 1 N 1. Este mesmo fluxo também passa pelo segundo enrolamento induzindo uma tensão v =N d φ dt =c N N di 1 M 1 dt mútua. Então onde N é o número de espiras do segundo enrolamento e c M N 1 N é a indutância L 1 L =(c 1 N 1 ) (c N )=c 1 c (N 1 N ) =( c N N M 1 k ) = M k onde k=c M / (c 1 c ) é chamado de coeficiente de acoplamento e depende de características geométricas e magnéticas do núcleo. O fator de acoplamento é mais comumente expresso como k = M 1 L 11 L Circuitos Elétricos EEL40 UFRJ 4

7 Enrolamentos múltiplos e matriz de indutância Se mais de dois indutores lineares invariantes são acoplados, com sentidos de referência passivo adotado para cada indutor, a relação entre eles é dada por um sistema de equações lineares 1 = L 11 i 1 L 1 i L 13 i 3 =L 1 i 1 L i L 3 i 3 3 =L 31 i 1 L 3 i L 33 i 3 que pode ser reescrito utilizando uma notação matricial, tal que =L i e v= L d i dt e a matriz de indutância L é quadrada e simétrica, de forma que L 1 =L 1, L 13 =L 31,... e desta forma também é possível definir a matriz indutância inversa =L 1 OBS.: Se a matriz de indutâncias for uma matriz x a sua inversa pode ser facilmente calculada pelas fórmulas 11 = L det L, = L 11 det L, 1 = 1 = L 1 det L O uso desta matriz inversa da indutância facilita cálculos quando se utiliza análise de correntes de nó i = Circuitos Elétricos EEL40 UFRJ 5

8 ou seja i 1 = i = 1 1 e t i 1 = 11 0 t v 1 t ' dt ' 1 v t ' dt ' i t i = 1 0 t v 1 t ' dt ' v t ' dt ' i 0 0 do ponto de vista de fasores I 1 = 11 j V 1 1 j V I = 1 j V 1 j V Ligações série e paralela de indutores acoplados Para o circuito entre os pontos A e B. v TOT =v 1 v logo Circuitos Elétricos EEL40 UFRJ 6

9 d dt = d 1 d dt dt se as condições iniciais são nulas tot = 1 tot =L 11 i 1 M i M i 1 L i = L 11 L M i logo L EQ =L 11 L M Por analogia, para o circuito entre os pontos a e b: L EQ =L 11 L M Ligações em paralela podem ser deduzidas de forma semelhante. Por simplicidade utiliza-se a matriz inversa da indutância. EQ = 11 ± 1 Exemplo: Calcular a função de rede H j ω = V I s Circuitos Elétricos EEL40 UFRJ 7

10 A matriz de impedância é L=[ L M M L ] [ =L 1 k k 1 ] = L 1 1 = 1 k L [ 1 k k 1 ] s j t ( ) = Â ( S ) i t I e w j t ( ) = Â ( ) v t V e w H V I ( j w) = s V = j w L I + j w M I = j w L I + j w L k I V = j w M I + j w L I = j w L k I + j w L I 1 1 I 1 = Γ 11 j ω V 1 Γ 1 j ω V = 1 j ω L 1 k V 1 k V I = Γ 1 j ω V 1 Γ j ω V = 1 j ω L 1 k k V 1 V Equacionando as correntes do nó 1 temos I + I + I = I R C 1 S é 1 ù k êg + j w C + ú V 1 - V = I êë j w L( 1- k ) úû j w L( 1- k ) S Equacionando as correntes do nó temos I I I + C + R = 0 Circuitos Elétricos EEL40 UFRJ 8

11 k é 1 ù - V 1 + êg + j w C + ú V = 0 j w L( 1- k ) êë j w L ( 1- k ) úû Somando as duas equações e trabalhando as parcelas podemos chegar a é 1 ù I ( 1 ) S êg + j w C + ú V + V = ë j w L( 1+ k ) û Subtraindo as duas equações e trabalhando as parcelas podemos chegar a é 1 ù I ( 1 ) S êg + j w C + ú V - V = ë j w L( 1- k ) û as equações acima descrevem dois circuitos RLC paralelo, ressonantes, separados, com indutâncias iguais a L(1+k) e L(1-k) respectivamente e com fasores de tensão (V 1 +V ) e (V 1 -V ). A tensão de saída V pode ser obtida pela subtração dos dois fasores de tensão. Então podemos resolver cada circuito separadamente e depois subtrair as tensões 1 w = 1, + L C ( 1 k ) 1 w = L C - ( 1 k ) Q = w C R, Q = w C R V1 = IS R 1 + j Q w / w -w / w ( ) V = IS R 1 + j Q w / w -w / w ( ) 1 é 1 1 V = IS R ê - ë1 + j Q1 / 1-1 / 1 + / - / ( w w w w) j Q ( w w w w ) ù ú û e a função de rede é V 1 é 1 1 = = ê - IS ë1 + j Q1 / 1-1 / 1 + j Q / - / ( w) H j R ( w w w w) ( w w w w ) ù ú û Circuitos Elétricos EEL40 UFRJ 9

12 10. Transformadores ideais Os transformadores são elementos de circuito obtidos com ao menos duas bobinas construídas sobre um núcleo magnético de permeabilidade elevada. Nesta idealização considera-se que a dissipação de energia é nula em cada bobina, as indutâncias próprias são infinitas e os acoplamentos magnéticos são unitários (veja exercício resolvido no fim do módulo). O núcleo apresenta permeabilidade infinita, não existem capacitâncias parasitas. Uma representação mais precisa do transformador real pode ser obtida com a associação de elementos RLC e o transformador ideal ou indutância mútua. v 1 =L 11 di 1 dt +M di dt e v = M di 1 dt +L di dt como k=1, M = L 11 L v 1 =L 11 di 1 dt + L 11 L di dt v = L 11 L di 1 dt +L di dt v = L 11 L di 1 dt + L v 1 L L 11 di 1 L 11 L L 11 L dt = v 1 v L 11 L Como v 1 =n 1 d 1 dt, v =n d dt e 1 = =, então Circuitos Elétricos EEL40 UFRJ 10

13 v v n =. n 1 1 Como as perdas no transformador ideal são nulas a potência de entrada é transferida para a saída. Em outras palavras a energia não é armazenada nem dissipada no transformador. p 1 = p logo v 1 i 1 = v i e v 1 v = i i 1 = n 1 n Transformador de impedância Os efeitos das impedâncias conectadas a um dos enrolamentos de um transformador aparecem nos demais enrolamentos. Está relação é chamada de transformação de impedância. Por exemplo, em um transformador de dois enrolamentos onde uma resistência é conectada em paralelo com o segundo enrolamento, a impedância de entrada do circuito, vista pelo lado do primeiro enrolamento é R E = v ( n 1 1 /n ) v = i 1 (n / n 1 ) i =( n 1 n ) ( v i ) como v = R L i então R E =( n 1 n ) R L Circuitos Elétricos EEL40 UFRJ 11

14 Esta relação de transformação de impedâncias vale para qualquer impedância complexa em uma análise de regime permanente senoidal. Isto significa que um transformador pode ser utilizado para uma função chamada casamento de impedância, para, por exemplo, maximizar a transferência de potência entre dois sistemas de impedâncias distintas. Por exemplo, casar a impedância de um alto falante de 8 com a impedância de saída de um amplificador valvulado de 800. Usar um transformador com relação de espiras de 10: Acoplamento magnético e fontes controladas Os acoplamentos magnéticos estudados neste módulo podem ser descritos por fontes controladas associadas a indutores desacoplados. Neste caso, o acoplamento entre as diferentes partes do circuito é deixado a cargo das fontes controladas. A figura abaixo mostra como fazer as substituições para indutores acoplados e transformadores ideais Exercícios 1) Calcular as indutâncias equivalentes para as redes abaixo. Considere que a indutância mútua de cada rede vale M. Circuitos Elétricos EEL40 UFRJ 1

15 L EQ = L 11 L M L 11 L M ) Um circuito com três indutâncias mutuas, funcionando em regime permanente, é mostrado na figura abaixo. Determinar a tensão vo(t). senoidal. 3) Encontre a expressão para Vo(jw). Considere o circuito em regime permanente 4) Sabendo que o circuito ao lado está em regime permanente senoidal, calcule: a) a impedância de entrada Zin(jw); b) a potência média fornecida pela fonte de corrente; a potência média dissipada no resistor. Circuitos Elétricos EEL40 UFRJ 13

16 5) Determine o que é necessário para que a associação de indutâncias do primeiro circuito seja equivalente aos indutores acoplados do segundo circuito. 6) Para o circuito abaixo e para as condições de regime permanente determine: a) A expressão de i R1 (t); b) A potência média fornecida pela fonte. 7) No circuito abaixo, determine a expressão para a corrente i em função dos elementos RLC. v o é a tensão sobre o capacitor (positivo em cima). Circuitos Elétricos EEL40 UFRJ 14

17 8) Considerando o circuito abaixo, onde os elementos são lineares e invariantes: a) Qual a impedância Z(jw) para o circuito RLC paralelo? b) Qual o valor de R que maximiza sua dissipação de energia? c) Nesta situação qual a potência entregue pela fonte? d) se VC(0=V e IL(0)=1A, qual o valor de IS(t) em regime permanente? 9) Determinar a tensão sobre L9. 10) Sabendo que V 1 é uma fonte cossenoidal com V 1 =0,707V RMS e 79,577 Hz calcule a potência média dissipada em R 8. Circuitos Elétricos EEL40 UFRJ 15

18 11) Determine o que é necessário para que as duas redes sejam equivalentes. 1) O circuito abaixo está em regime permanente. Determine o valor de ZL para a máxima transferência de energia. Qual a potência média sobre ZL. 13) Determinar V 1 para que I =1 0 o Circuitos Elétricos EEL40 UFRJ 16

19 14) Calcule o equivalente Thèvenin entre os terminais A e B do circuito abaixo. 15) Calcule a corrente I. Considere que Zc é resistiva com potência de 43,9W para 0V nominais. 16) Calcular as correntes A1, A e as tensões V1 e V. Considere que V 4 = Circuitos Elétricos EEL40 UFRJ 17

20 10.5 Soluções 1) Calcular as indutâncias equivalentes para as redes abaixo. Considere que a indutância mútua de cada rede vale M. L EQ = L 11 L M L 11 L M ) Um circuito com três indutâncias mutuas, funcionando em regime permanente, é mostrado na figura abaixo. Determinar a tensão vo(t). Circuitos Elétricos EEL40 UFRJ 18

21 I 1 R 1 R j [L 1 L 3 M 13 ] I R j [ L 3 M 3 M 13 M 1 ] =V 1 I 1 R j [ L 3 M 13 M 1 M 3 ] I R R 1 3 j [ L j C L 3 M 3 1 ] =0 V O = 1 j C 1 I senoidal. 3) Encontre a expressão para Vo(jw). Considere o circuito em regime permanente 4) Sabendo que o circuito ao lado está em regime permanente senoidal, calcule: a) a impedância de entrada Zin(jw); b) a potência média fornecida pela fonte de corrente; a potência média dissipada no resistor. V 1 = L 1 j I 1 M j I = j I 1 j 0,5 I V =M j I 1 L j I = j 0,5 I 1 j I V = R I = 8 I = j 0,5 I1 j I I = j 0,5 8 j I 1 Circuitos Elétricos EEL40 UFRJ 19

22 V 1 = j I 1 j 0,5 I = j I 1 j 0,5 j 0,5 8 j I = 0,5 1 j 8 j I 1 V 1 I 1 =Z 1 = j 0,5 8 j = ,99 j P Fonte = 1 I 1 R{Zin}= =0,059W P R = 1 I R= 1 j 0,5 8=0,059 W 8+ j 5) Determine o que é necessário para que a associação de indutâncias do primeiro circuito seja equivalente aos indutores acoplados do segundo circuito. Nas indutâncias acopladas (considerando I saindo do ponto) V 1 = L 1 j I 1 M j I V =M j I 1 L j I Nos indutores ligados em T: V 1 = L a j I 1 L b j I 1 I Circuitos Elétricos EEL40 UFRJ 0

23 V =L b j I 1 I L c j I Manipulando as equações dos indutores acoplados: V 1 = L 1 j I 1 M j I M j I 1 M j I 1 V 1 = L 1 M j I 1 M j I 1 I V = L j I 1 M j I M j I M j I V = L M j I M j I 1 I L a =L 1 M, L b =M, L c = L M 6) Para o circuito abaixo e para as condições de regime permanente determine: a) A expressão de i R1 (t); b) A potência média fornecida pela fonte. As equações de malhas são: I 1 (R 1 + L 1 j ω+ L j ω+ M j ω ) I ( L j ω +M j ω ) V 1 =0 I 1 L j M j I L j R =0 7) No circuito abaixo, determine a expressão para a corrente i em função dos elementos RLC. v o é a tensão sobre o capacitor (positivo em cima). Circuitos Elétricos EEL40 UFRJ 1

24 Equacionando as tensões de nós: V B1 vg 1 R 1 j X L1 0,1 v o V B1 v o R =0 v o v o v V o B1 1 j X C3 R vg =0 R3 j X L 8) Considerando o circuito abaixo, onde os elementos são lineares e invariantes: a) Qual a impedância Z(jw) para o circuito RLC paralelo? b) Qual o valor de R que maximiza sua dissipação de energia? c) Nesta situação qual a potência entregue pela fonte? d) se VC(0=V e IL(0)=1A, qual o valor de IS(t) em regime permanente? 9) Determinar a tensão sobre L9. Circuitos Elétricos EEL40 UFRJ

25 L EQ = L 11 L 10 M L 11 L 10 M = Observe que k = 1 significa que o acoplamento se dá em sentido contrário ao indicado. Para facilitar as contas é possível inverter a marca no indutor L 4 e considerar k e M positivos. M =k L 8 L 9 =1 Restam três malhas. Supondo suas correntes em sentido horário I M1 1 j C 1 j L 8 R 8 I M j L 8 j M I 1 1 j C 1 =0 I M1 j L 8 j M I M j L 9 j L 8 R 7 j M I 1 R 7 =0 V L9 com o positivo para o lado esquerdo da figura, pode se determinado por V L9 =I M j L 9 j M I M1 I M e =1 10) Sabendo que V 1 é uma fonte cossenoidal com V 1 =0,707V RMS e 79,577 Hz calcule a potência média dissipada em R 8. Circuitos Elétricos EEL40 UFRJ 3

26 V 1 I I M1 I M1 M1 N I j C M1 R 6 I M1 I M L 1 j V 3 j C =0 4 I M1 N I M1 j C 4 I M1 N I M1 I M1 N R N V =0 8 I M j L 1 I M j C 5 I M R 7 I M1 N I M1 =0 11) Determine o que é necessário para que as duas redes sejam equivalentes. Para as tensões apenas (vale se houver uma fonte de tensão em V 1 ou V ) V =L 3 j ω I + L L 3 j ω I 1 V 1 = L j ω I 1 + L L 3 j ω I Circuitos Elétricos EEL40 UFRJ 4

27 I 1 = V 1 L L 3 j ω I L j ω V =L 3 j ω I + L L 3 j ω [ V 1 L L 3 j ω I L j ω ] V =L 3 j ω I + L L 3 j ω V 1 L j ω L L 3 j ω I L j ω + V =L 3 j ω I L 3 V L 1 L 3 j ω I V =N V 1= L 3 L V 1 N = L 3 L Levando em conta a impedância V 1 = L j ω I 1 + L L 3 j ω I V =L 3 j ω I + L L 3 j ω I 1 se houver uma carga no secundário então V = I Z x I Zx=L 3 j ω I + L L 3 j ω I 1 I = L L 3 j ω I 1 L 3 j ω+z x V 1 = L j ω I 1 + ( L L 3 j ω) ( L L 3 j ω I 1 ) L 3 j ω+z x Circuitos Elétricos EEL40 UFRJ 5

28 V 1 = I 1 ( L j ω Z x L 3 j ω+z x) V 1 I 1 = 1 N = ( L j ω Z x L 3 j ω+z x) Se L e L 3 V 1 I 1 = 1 N = ( L j ω Z x L 3 j ω ) = L L 3 Z x Portanto, as condições necessárias para a igualdade são: N = L 3 L, L e L 3. 1) O circuito abaixo está em regime permanente. Determine o valor de ZL para a máxima transferência de energia. Qual a potência média sobre ZL. 13) Determinar V 1 para que I =1 0 o Circuitos Elétricos EEL40 UFRJ 6

29 j X EQ1 = j X C1 j X L7 = j 3 j X EQ = j X L3 // j X L4 j X M =k j X L3 j X L4 = j 1 j X EQ = j X j X j X L3 L4 M j j j 1 = j X L3 j X L4 j X M j j j = j 3 j X EQ4 = j X L5 // j X L6 j X EQ4 = j X j X j X L5 L6 M4 j 1 j 3 j 4 = j X L5 j X L6 j X M4 j 1 j 3 j 4 = j X EQ3 = j X L8 j X L9 j X M3 = j j 5 j = j 9 Para simplificar podemos fazer o equivalente Thèvenin de V 1, L 1 e L j X M = j X L1 j X L I 1 = V j X I 1 M = V j X 1 L I j X L1 j X L1 j X L1 = V = j X M I 1 j X L I j X = L V j X 1 j X L I j X L I j X L V L1 j X 1 = V 1 L1 V th =V, Z th =0 Circuitos Elétricos EEL40 UFRJ 7

30 14) Calcule o equivalente Thèvenin entre os terminais A e B do circuito abaixo. Para simplificar podemos calcular a indutância equivalente entre os pontos P e Q. Por simetria observa-se que a corrente por L 10, é zero e, portanto, ele pode ser retirado do circuito. Assim, o equivalente entre os pontos P e Q pode ser calculado como sendo j X EQ = j XL 11 j X L1 // j X L13 j X L14 = j 0 Um dos lados do transformador esta conectado em paralelo com uma fonte de tensão, então seu equivalente será: no primário a fonte V e no secundário uma fonte de valor V. 15) Calcule a corrente I. Considere que Zc é resistiva com potência de 43,9W para 0V nominais. Circuitos Elétricos EEL40 UFRJ 8

31 Refletindo a impedância Zc e X C para o primário do transformador. Z P1 =( n 11 n 1) Z S1 =4 Z C j 45 Refletindo a impedância do secundário do outro transformador. Z P =( n 1 n ) Z S = j Z C j 5 Z C = V P = 0 43,9 =110,5 Z EQ1 = j X L16 // Z P =47,5 j 47,5 V 3 I = V = = Z TOT Z EQ1 Z 4 R5 j X L j 300 =1 j 16) Calcular as correntes A1, A e as tensões V1 e V. Considere que V 4 = Circuitos Elétricos EEL40 UFRJ 9

32 Fazendo as correntes de malha em sentido anti-horário j X M =k j X L3 j X L4 = j 5 60 j+5 j I j (I 1 I )+5 j ( I 1 I 3 )+5 j ( I 3 I )=0 60 j I 3 +5 j ( I 3 I 1 )+5 j (I 3 I )+5 j ( I 3 I 1 )+5 j (I 3 I )=0 15 j I +15 j ( I I 1 )+5 j (I I 3 ) 5 j ( I 3 I 1 )=0 I 1 = 3 I = I 3 = V 1 = 75 j V =30 j Circuitos Elétricos EEL40 UFRJ 30