ESTUDO DE REPETITIVIDADE E REPRODUTIBILIDADE PARA DADOS FUNCIONAIS

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1 Belo Horizonte MG Brasil 04 a 07 e outubro e 011. ESTUDO DE REPETITIVIDADE E REPRODUTIBILIDADE PARA DADOS FUNCIONAIS Aleanre Homsi Peott (UFRGS) aleanre.peott@hotmail.com Flavio Sanson Fogliatto (UFRGS) ffogliatto@proucao.ufrgs.br Neste artigo apresenta-se um métoo para estuos e repetitiviae e reproutiviae (R&R) estinaos a analisar a capaciae e o esempenho e sistemas e meição quano as variáveis e interesse são funcionais isto é caracterizaas poor uma coleção e aos que formam um perfil ou uma curva e não por uma observação iniviual. O métoo proposto envolve a aaptação e testes e hipótese e a análise e variância e um e ois fatores usaos em comparações e populações na avaliação e sistemas e meições. A proposta e aaptação foi baseaa na utilização a istância e Hausorff como uma meia e proimiae entre as curvas. O métoo foi aplicao a um estuo simulao e R&R estruturao para analisar cenários em que o sistema e meição foi aprovao e reprovao. Palavras-chaves: Estuos e R&R; aos funcionais; ANOVA as istâncias

2 Belo Horizonte MG Brasil 04 a 07 e outubro e INTRODUÇÃO A avaliação o esempenho e a capaciae e um sistema e meição (SM) envolve a análise e iferentes tipos e características e qualiae (CQs). Eistem CQs em que o resultao a amostragem a variável e interesse é ao por uma coleção e aos ou vetor e valores. Essa coleção e aos forma um perfil ou uma curva. O conteúo informativo e uma curva é maior que o e um ponto iniviual. Os valores iscretos meios são pontos e uma função epenente e outra variável enominaa eploratória. Ramsay e Silverman (005) enominam essas variáveis e resposta e aos funcionais. A função que representa o conjunto e aos poe ser obtia através e um processo e interpolação utilizano técnicas e suavização. O estuo e Repetitiviae & Reproutiviae (R&R) é uma ferramenta a EQ usaa na análise e um SM. Nos estuos e R&R o instrumento e meição é usao para meir repetias vezes as amostras e um prouto. A repetitiviae se refere à variabiliae característica o instrumento e meição e ecorre a sua capaciae e fornecer leituras repetias muito próimas sob as mesmas conições. A reproutibiliae se refere à capaciae e um SM apresentar os mesmos resultaos a partir a alteração nas conições e meição tais como muanças e avaliaores iferentes turnos e trabalho ou alterações e processo. O objetivo o estuo e R&R é eterminar se a variabiliae o SM é relativamente menor que a variabiliae o processo monitorao (VIM 008; BURDIC BORROR e MONTGOMERY 003; AIAG 00). O métoo e análise mais usao em estuos e R&R é a Análise e Variância (ANOVA Analysis of variance). A ANOVA permite ecompor a variabiliae o SM e avaliar a interação entre os componentes. A estimativa a variabiliae o sistema é eterminaa pelo cálculo o erro aleatório obtio com as replicações. O erro e meição é composto pela ispersão o instrumento pelo efeito o avaliaor e pelo erro aleatório evio às replicações. Os critérios mais usaos para avaliar a capaciae e um SM são: (i) Ínice e Capaciae e Meição (ICM 1 ) como um percentual e variabiliae o processo; (ii) Ínice e Capaciae e Meição (ICM ) como um percentual a variabiliae a especificação o processo; e (iii) a Razão Sinal-Ruio (SNR) ou número e categorias istintas (nc). O ICM 1 inica a istorção a variação o processo evio ao SM. O ICM mostra a habiliae o instrumento e classificar os proutos frente às especificações. O nc reflete a capaciae o SM iscriminar categorias entro a variação o processo. A inústria automotiva recomena o uso o ICM 1 e o nc nas avaliações os sistemas e meições. (BARRENTINE 003; BURDIC BORROR e MONTGOMERY 005; AIAG 00). As pesquisas recentes que envolvem estuos e R&R não aboram a avaliação e características e qualiae que se comportam como curvas. A maior parte esses trabalhos enfoca a análise e SMs e uma variável. Majeske (008) apresenta um métoo e análise e para SMs com múltiplas variáveis e respostas inepenentes. O métoo foi aplicao a um SM formao por um ispositivo que mee iferentes CQs simultaneamente. O métoo envolve a aplicação a ANOVA multivariaa (MANOVA) e apresenta critérios e aceitação para os inicaores ICM 1 ICM e nc. As pesquisas recentes em ADF focalizam a representação os aos a eterminação e comportamentos paronizaos e as variações entre iferentes curvas. Ferraty e Vieu (003) empregam o Estimaor e ernel para classificar curvas a categorias eistentes. Ramsay e Silverman (005) apresentam as aaptações e iferentes técnicas multivariaas para o conteto funcional tais como Análise e Componentes Principais e Moelos lineares e

3 Belo Horizonte MG Brasil 04 a 07 e outubro e 011. suavização por Splines. Abramovich e Angelini (006) apresentam um moelo e Análise e Variância para aos funcionais (FANOVA Functional Analysis of variance). O moelo estabelece um proceimento para teste e significância baseao em coeficientes e wavelet empíricos que permite caracterizar iferentes tipos e respostas funcionais suavizaas sob alternativas não-paramétricas. Mosesova et al. (006) generalizam algumas técnicas traicionais e monitoramento e processos para aplicação em aos que se comportam como curvas. O objetivo este artigo é esenvolver e aaptar a ANOVA para avaliar um SM one variáveis funcionais são mensuraas. O atenimento esse objetivo eve solucionar os problemas causaos pelo uso equivocao e métoos para variáveis simples em estuos e R&R one a variável e resposta é funcional. O esenvolvimento e novas técnicas e análise e aos funcionais eve contribuir para o avanço o estao a arte sobre a análise e sistemas e meições e processos inustriais com variáveis e resposta funcionais.. ABORDAGEM CLÁSSICA DA ANOVA EM UM ESTUDO DE R&R Um eperimento clássico para o estuo e R&R usa a ANOVA e ois fatores. O primeiro fator é a Peça (P) e o outro o Avaliaor (A). O moelo estatístico para a variável e resposta consierano fatores e efeitos fios (MONTGOMERY e RUNGER 003): = + i + j + ( ij i + i = 1 I; j = 1 J; k = 1 ; (1) Na eq. (1) é a grane méia i é o efeito o i-ésimo avaliaor j é o efeito a j-ésima peça () ij é o efeito a interação entre o avaliaor i e a peça j e é o resíuo ou erro aleatório normalmente istribuío e com méia zero. O resíuo é ao pela eq. () one ij. representa o valor esperao para a CQ. A ANOVA pressupõe observações normalmente e inepenentemente istribuías com iêntica variância para os iferentes níveis os fatores. Desvios moeraos a normaliae não implicam em uma séria violação o pressuposto. (MONTGOMERY 001; MONTGOMERY e RUNGER 003). () ij. O objetivo a ANOVA é testar a hipótese e igualae as méias ou se os efeitos os fatores e a interação são iguais a zero. As variâncias evem ser calculaas a partir as somas quaraas os resíuos. A Soma Quarática Total (SQT) é aa na eq. (3); a Soma Quarática os Avaliaores (SQA) é aa na eq. (4); a Soma Quarática as Peças (SQP) é aa na eq. (5); a Soma Quarática a interação entre os Avaliaores e as Peças (SQAP) é aa na eq. (6); a Soma Quarática os Resíuos (SQR) é aa na eq. (7). A equação e ientiae que associa as SQs acima é aa na eq. (8) com número e graus e liberae (GDL) ao na eq. (9) one o termo o lao esquero se refere ao GDL a SQT e os termos o lao ireito se referem ao GDL e SQA SQP SQAP e SQR respectivamente. I J i1 j1 k 1 SQT (3) I i 1 i.. SQA J (4) J j 1. j. SQP I (5) I J i j ij i j SQAP (6) 3

4 I J XXXI ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Belo Horizonte MG Brasil 04 a 07 e outubro e 011. SQR (7) i1 j1 k 1 ij. SQT = SQA + SQP + SQAP + SQR (8) (IJ 1) = (I 1) + (J 1) + (I 1)(J 1) + IJ( 1) (9) As méias quaráticas e caa fator são aas pela razão entre as somas quaraas e os GDL os respectivos fatores. Se o efeito e um fator for significativo o valor esperao a méia quarática o fator eve ser iferente o valor esperao a méia quarática os resíuos. O teste F etermina se os efeitos o avaliaor a peça e a interação são significativos. Em geral a interação não eve ser significativa. Neste caso é recomenável unificar as somas quaraas somano SQAP à SQR e os graus e liberae corresponentes. A aição as somas quaraas e o novo número e graus e liberae geram novos valores para as méias quaráticas e corresponentes valores calculaos e F (MONTGOMERYe RUNGER 003). AIAG (00) apresenta o cálculo a ecomposição a variabiliae e um SM. A repetitiviae ou variação o equipamento é enominaa VE. A reproutibiliae ou variação os avaliaores é enominaa VA. A variação o SM é avaliaa pelo cálculo o R&R. A variação total o estuo é enominaa e VT. VP é a variação a peça ou processo. A variabiliae e caa fator é comparaa com a variabiliae total o SM. A Tabela 1 apresenta o cálculo a percentagem que caa fator consome a variação total o sistema. Os componentes a variação o SM são representaos pelo esvio parão 515 sigma usao por ser e mais fácil interpretação o que a variância. No caso e ocorrer um valor negativo sob a raiz quaraa a variação o fator corresponente eve ser consieraa nula. Fonte e Variação Desvio Parão 515 sigma Percentual a Variação Total Repetitiviae Reproutibiliae Interação P A Peça VE 5 15 MQR 100 VE/VT MQA MQAP VA VA/VT I MQAP MQR VAP VAP/VT MQP MQAP VP VP/VT J R&R R & R VE VA VAP 100 R&R/VT Total VT R & R VP Tabela 1 Componentes a variabiliae e um SM Os inicaores e capaciae os sistemas e meição são calculaos a seguinte forma: ICM 1 % R & R (10) 4

5 Belo Horizonte MG Brasil 04 a 07 e outubro e 011. R & R ICM (11) LSE LIE VP nc (1) R & R Os critérios e ecisão recomenaos para avaliação e um SM (BARRENTINE 003; BURDIC BORROR e MONTGOMERY 005; AIAG 00) são os seguintes: (i) se ICM 1 01 e/ou nc 5 o SM é aprovao; (ii) se 01 <ICM 1 03 e/ou < nc < 5 o SM poe ser aprovao epeneno a capaciae o processo e os custos e seleção o prouto; e (iii) se ICM 1 > 03 e/ou nc o SM é reprovao. 3. MÉTODO PROPOSTO Consiere um estuo clássico e R&R esenvolvio na seção. O problema aqui aborao consiste em avaliar o esempenho e um SM cuja CQ é uma variável funcional. Na aboragem clássica a variável e resposta é meia por um valor único ao pela eq. (1). Na Análise e Daos Funcionais (ADF) a variável e resposta é meia por uma coleção e pontos representaos por um vetor. Sejam i avaliaores e j peças iferentes. Caa avaliaor efetua k repetições a meição e uma CQ cuja variável e resposta é funcional.a variável e resposta é formaa por curvas compostas por n pontos. As observações a k-ésima repetição o i-ésimo avaliaor sobre a j- ésima peça estão organizaas no vetor no espaço R. = [( 1 t 1 ) ( N t N )] (13) one i = 1 I j = 1 J k = 1 e n= 1 N são inteiros e positivos e t é um número real não negativo. Consierano que a variável e resposta é uma curva os resíuos usaos nos cálculos a variância a ANOVA evem ser eterminaos através e uma meia e proimiae entre curvas. Uma meia e proimiae entre uas curvas é aa pela istância entre elas. Fogliatto (008) usou a Distância e Hausorff (DH) para converter respostas funcionais em respostas simples em um conteto e otimização e eperimentos com múltiplas respostas. A DH fornece uma meia a istância entre uas curvas ou conjuntos e pontos iferentes. Quanto menor a istância maior a semelhança entre os ois conjuntos. A DH é efinia como o limite superior (valor máimo) o conjunto as istâncias mínimas entre os pontos e ois vetores. O valor e máimo poe ser substituío pela meiana ou pela soma as istâncias mínimas. Souza (008) usou iferentes meias e istâncias para testar se a curva méia e um grupo e curvas é igual a uma curva previamente conhecia. O métoo proposto (ANOVA as istâncias) se baseia no cálculo a DH entre curvas observaas e as curvas méias esperaas. Uma curva méia é efinia pelo conjunto as méias os pontos as curvas observaas. Sejam i.. os vetores as méias os i avaliaores aos por: J J j k j 1 k 1 N i.. t1 tn J J (14) Sejam. j. os vetores as méias as j peças aos por: 5

6 Belo Horizonte MG Brasil 04 a 07 e outubro e 011. I I i k i 1 k 1 N. j. t t 1 N (15) I I Sejam ij. os vetores as méias os i avaliaores e as j peças aos por: k 1 1 k 1 N ij. t1 tn (16) Seja o vetor a grane méia corresponente a toas as observações ao por: I J I J i j k i 1 j 1 k 1 N t1 tn (17) IJ IJ As istâncias entre as curvas observaas aas na eq. (13) e as curvas méias as equações (14) a (17) estão associaas às variabiliaes características o SM. A ANOVA as istâncias será apresentaa em uas aboragens. As aboragens se iferenciam pelo cálculo a istância entre as curvas: a primeira aboragem calcula a DH através a meiana; a seguna através a méia. A aboragem as meianas é assim implementaa. A partir a eq. (3) obtém-se a Soma Quarática Total (SQT) aa por: SQT I J i1 j1 k 1 (18) é a DH entre caa curva observaa em um eterminao grupo e a curva a grane méia aa pela eq. (19). Essa istância é equivalente ao resíuo entre o valor observao e o esperao a observação ij.. meiana n n one (19) n min n seno a istância (0) n corresponente à istância Eucliiana entre um ponto o vetor e um ponto o vetor ; consierano-se os pontos n e 111 essa istância seria aa por: t t (1) A eq. (1) mostra que a DH é uma istância eucliiana. Essa operação pere a informação a posição a curva observaa em relação à curva méia. Isto é uas curvas iferentes poem ter a mesma DH porém estarem em posições simétricas em relação à curva méia. A alternativa para não perer essa informação é atribuir um sinal a caa DH calculaa. O sinal será positivo se o valor a resposta o ponto que coincie com a DH for maior que valor a curva méia no mesmo instante t e negativo se menor. A informação o sinal eve ser usaa para a verificação os pressupostos e normaliae os resíuos. 6

7 Belo Horizonte MG Brasil 04 a 07 e outubro e 011. A Soma Quarática os Avaliaores (SQA) é obtia a partir a Eq. (4) seno aa por: SQA J I i 1 i.. () i.. é a istância entre a curva méia i.. aa por: i meiana.. n n i.. one e caa avaliaor e a curva a grane méia (3) min n i.. i.. i.. n (4) seno a istância n i.. i.. efinia pela Eq. (1). Da Eq. (5) se obtém a Soma Quarática as Peças (SQP) aa por: SQP I J j 1. j. (5) é a istância entre a curva méia. j.. j e caa peça e a curva a grane méia. aa por:. j. n j one meiana n.. (6) min n. j. n.j.. j. (7) seno a istância n. j.. j. efinia pela Eq. (1). A Soma Quarática para a interação entre os avaliaores e as peças (SQAP) correspone à iferença as istâncias aas pelas Equações (6) e (9) seno aa por: SQAP ij. i.. I J i j ij i. j. (8) é a istância entre a curva méia ij. as k repetições e a curva méia o respectivo avaliaor i i.. aa por:.. meiana.. ij. i i..n i.. i n ij. one (9) min i.. n ij. i.. n ij. ij. (30) seno a istância i.. n ij. ij. efinia pela eq. (1). Por fim a Soma Quarática os Resíuos (SQR) é obtia a partir a eq. (7) seno aa por: SQR I J i1 j1 k 1 ij. (31) ij. é a istância entre caa curva observaa e a curva méia o respectivo avaliaor i e peça j ij. aa por: 7

8 ij meiana ij. n one. ij.n ij. XXXI ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Belo Horizonte MG Brasil 04 a 07 e outubro e 011. (3) min ij. n ij. n (33) seno a istância ij. n efinia pela eq. (1). Eistem uas alternativas para o cálculo e SQR. A primeira alternativa é usar iretamente a eq.(31). A seguna é usar a ientiae a eq. (8) e as eq. (18) () (5) e (8). As uas alternativas poem levar a resultaos iferentes. A iferença ocorre porque o valor esperao usao na eq.(31) poe variar e curva para curva. Essa iferença epene a variação ao longo e t. A escolha a primeira alternativa poe levar a pequenos esvios na ientiae a eq. (8). A escolha a seguna alternativa poe levar a uma istorção no valor e SQR. A escolha a fórmula e cálculo o métoo eve levar em conta o impacto nos erros tipo I e II. O número e GDL eve ser calculao e acoro com a eq. (9). As Méias Quaráticas são aas pela eq. (34) a (37). I J 1 MQA I 1.. i i J I 1. MQP J 1 MQAP MQR. j j I J.. j ij. i. j. I 1 1 i 1 1 J I J i1 j1 k 1 ij. IJ 1 Se o efeito e um fator for significativo o valor esperao a méia quarática o fator eve ser iferente o valor esperao a méia quarática os resíuos. A tabela ANOVA para o moelo a eq. (1) é apresentaa na Tabela. O teste F etermina se os efeitos o avaliaor a peça e a interação são significativos. Se o valor calculao a estatística F (F CAL ) for maior que o valor tabelao e F eve-se rejeitar a hipótese nula. Caso o efeito a interação não seja significativo a tabela a ANOVA eve ser reformulaa para unificar a variância a interação à variância os resíuos. A Tabela fornece as informações suficientes para avaliar o esempenho o SM. A avaliação é baseaa no cálculo as percentagens que caa componente contribui para a variação total o SM. Tais percentagens são calculaas conforme apresentao na Tabela 1. A capaciae o SM eve ser avaliaa pelos inicaores ICM 1 ICM 1 e o nc escritos nas eq. (10) e (11). Os critérios e aprovação evem ser os mesmos apresentaos anteriormente. A seguna aboragem para o cálculo as istâncias baseaa nas méias poe ser interessante em casos one se eseje maior sensibiliae a ANOVA a valores etremos em pontos específicos as curvas. Para tanto eve-se substituir o operaor e meiana usao nas eq. (19) (3) (6) (9) e (3) pelo operaor e méia. Para iferenciar as istâncias calculaas a. O nas uas aboragens a istância calculaa através a méia é esignaa por cálculo as somas quaráticas segue o mesmo proceimento a aboragem a meiana e a (34) (35) (37) (36) 8

9 Belo Horizonte MG Brasil 04 a 07 e outubro e 011. tabela ANOVA para essa aboragem é similar àquela apresentaa na Tabela. Os critérios e aprovação o SM são como apresentaos anteriormente. Fonte e Variação Soma os Quaraos GDL Méia Quarática F CAL F TAB i 1 I Avaliaor J j 1 i.. J Peça I Interação AP. j. ij... (I 1).. (J 1) I J 1 i j 1 i j Erro I J SQR ij Total I J i1 j1 k1. i1 j1 k 1 (I 1) I J 1.. i i MQA I 1 (J 1) I J j 1. j. J 1 IJ( 1) I J i j ij. i. j. I 1 J 1 I J i j k IJ ij. 1 MQA/ MQR MQP/ MQR MQAP /MQR F (I-1)IJ(-1) F (J-1)IJ(-1) F (I-1) (J-1)IJ(-1) Tabela Tabela ANOVA as Distâncias e ois fatores 4. EXEMPLO NUMÉRICO Esta seção apresenta o resultao a aplicação os métoos propostos na seção anterior a um estuo e R&R simulao. O estuo foi baseao no caso e um fabricante e pneus que avalia a qualiae os proutos através a viscosiae a borracha. A meição é feita em um reômetro que mee as proprieaes visco-elásticas a borracha. O instrumento fornece a curva reométrica e vulcanização a borracha a partir a qual são obtios os valores usuais para caracterização a borracha. Uma característica viscosa é aa pelo torque suportao por uma amostra e borracha em iferentes instantes o tempo e vulcanização. A curva e vulcanização a borracha segue o moelo a istribuição e Weibull isto é X e t one X representa o torque 0 1 e 3 são os coeficientes eperimentais o moelo e t o tempo em minutos. A partir esse moelo é possível eterminar o valor o torque em qualquer tempo no intervalo moelao o que permite que a curva e vulcanização seja comparável em intervalos fios e tempo. O objetivo a simulação foi gerar curvas corresponentes às k meições os i avaliaores efetuaas sobre as j peças e referência. Foram geraas curvas para a obtenção e três cenários no conteto a avaliação e um SM ois os quais são apresentaos aqui. No primeiro cenário foram geraas as curvas e forma que o estuo e R&R resultasse na aprovação o SM. No seguno cenário foram simulaas curvas que resultaram na reprovação o SM. Neste caso o SM foi reprovao evio ao efeito o avaliaor. O terceiro cenário e reprovação o SM evio ao efeito o equipamento e meição é omitio. As uas aboragens propostas na seção 3 foram usaas na análise e caa cenário simulao. O estuo simulao e R&R envolve a avaliação e um SM com avaliaores e 5 peças. Caa avaliaor efetua 5 repetições a meia cuja variável e resposta é funcional. A variável e 9

10 Belo Horizonte MG Brasil 04 a 07 e outubro e 011. resposta é formaa por curvas compostas e 11 pontos. A primeira fase o processo e simulação foi a obtenção e cinco curvas e referência corresponentes as cinco peças e referência. As curvas e referência foram obtias a partir o moelo e Weibull com iferentes parâmetros e ajuste 0 1 e 3. A seguna fase o processo e simulação foi a geração as curvas observaas para caa cenário. Para simular os valores meios foram aicionaos ois termos e erro aleatório ao moelo e Weibull. Foram usaos erros aleatórios com istribuição N( ). O primeiro termo e erro correspone à influência o avaliaor sobre o SM. O seguno termo e erro correspone ao erro característico o equipamento e meição. O erro o equipamento e meição foi iviio em ois fatores evio à iferença e escala a variável e resposta. Em toos os cenários o teste -S e normaliae mostrou que não há eviência significativa para que a hipótese e normaliae os aos seja rejeitaa a um nível e confiança e = 005. Também em toos os cenários o efeito a interação não foi significativo e os termos e SQAP unificaos aos o SQR. 4.1 SM APROVADO A Tabela 3apresenta a ANOVA as meianas e a Tabela 4 traz a ANOVA as méias. O teste F mostra que há efeito significativo para a variação as peças nos ois casos. O efeito os avaliaores não foi significativo. Foi usaa a eq. (31) para o cálculo a SQR. Fonte e Variação SQ GDL MQ FCAL FTAB Avaliaor Peça Resíuos Total Tabela 3 ANOVA e ois fatores as meianas (sem interação) A Tabela 5 apresenta os inicaores e capaciae e esempenho o SM no cenário aprovao para as uas aboragens. O resultao a Tabela 5 é compatível com o cenário simulao. O SM foi aprovao nas uas aboragens. O esvio na ientiae a eq. (8) passou e na aboragem a meiana para nas aboragens a méia e a iagonal. Consierano os critérios e aprovação a Tabela 6 o SM foi aprovao. Fonte e Variação SQ GDL MQ FCAL FTAB Avaliaor Peça Resíuos Total Tabela 4 ANOVA e ois fatores as méias (sem interação) Fonte e Variação MEDIANA MÉDIA %VE 79 9 %VA 1 14 %VP

11 Belo Horizonte MG Brasil 04 a 07 e outubro e 011. %R&R nc Tabela 5 Comparação as percentagens e variação o SM por cenário simulao 4. SM REPROVADO DEVIDO A VA A Tabela 6 apresenta a ANOVA as meianas e a Tabela 7 a ANOVA as méias. O teste F mostra que há efeito significativo para a variação as peças e os avaliaores nos ois casos. Fonte e Variação SQ GDL MQ FCAL FTAB Avaliaor Peça Resíuos Total Tabela 6 ANOVA e ois fatores as meianas (sem interação) Fonte e Variação SQ GDL MQ FCAL FTAB Avaliaor Peça Resíuos Total Tabela 7 ANOVA e ois fatores as méias (sem interação) A Tabela 8 apresenta os inicaores e capaciae e esempenho o SM no cenário aprovao para as uas aboragens. Fonte e Variação MEDIANA MÉDIA %VE %VA %VP %R&R nc Tabela 8 Comparação as percentagens e variação o SM por cenário simulao O resultao a Tabela 8 é compatível com o cenário simulao. O SM foi reprovao nas uas aboragens. A fonte e variação que mais contribuiu para a reprovação foi a VA. O esvio na ientiae a eq. (8) passou e 0005 na aboragem a meiana para 0008 na aboragem a méia. Em vista os valores a Tabela 8 o SM foi reprovao. 5. CONCLUSÃO A avaliação o esempenho e proutos e processos inustriais que envolvem a análise e aos funcionais aparece como necessiae crescente na Engenharia a Qualiae. Dao funcional é a variável e resposta formaa por coleção e aos que formam um perfil ou 11

12 Belo Horizonte MG Brasil 04 a 07 e outubro e 011. uma curva. Prouto e processos com CQs meias por variáveis funcionais evem ser analisaos por métoos apropriaos consierano toos os pontos observaos a curva. O métoo proposto nesse trabalho é uma aaptação o estuo e R&R para o tratamento e análise e aos funcionais. O métoo apresenta apenas um resultao para análise e tomaa e ecisão no qual estão consieraos toos os pontos a curva. O principal elemento a proposta foi a utilização as DH entre as curvas. A DH é uma meia e proimiae entre curvas. Em uma análise e variância a meia e proimiae as curvas está para o nível e variação o SM como a meia e ispersão e uma variável simples. Um proceimento etalhao por equações e tabelas foi esenvolvio para avaliar os componentes a variação e um SM em que os aos são curvas. A ANOVA as Distâncias soluciona os problemas causaos pelo uso equivocao e métoos para variáveis simples em estuos e R&R one a variável e resposta é funcional. O métoo proposto é uma alternativa para a análise na otimização e eperimentos e respostas funcionais trataos por métoos multivariaos. A ANOVA as Distâncias poe ser usaa com faciliae em planilhas eletrônicas comuns sem a necessiae e programas computacionais compleos. REFERÊNCIAS ABRAMOVICH F. &ANGELINI C. Testing in mie-effects FANOVA moels. Journal of Statistical Planning an Inference Vol. 136 p AIAG.Measurement Systems Analysis (3 r e.). Detroit: Chrysler Corporation For Motor Company an General Motors Corporation 00. BURDIC R..; BORROR C.M.&MONTGOMERY D.C. Design an analysis of gauge R&R stuies. Philaelphia: SIAM 005. BARRENTINE L. B. Concepts for R&R stuies ( n E.). Milwaukee: ASQ 003. BURDIC R..; BORROR C.M. & MONTGOMERY D.C. A Review of Methos formeasurement Systems Capability Analysis. J. Quality TechnologyVol. 35 p FERRATY F. &VIEU P. Curves iscrimination: a nonparametric functional approach. Computational Statistics & Data Analysis Vol. 44 p FOGLIATTO F.S.Multiresponse optimization of proucts with functional quality characteristics. Quality an Reliability Engineering International Vol. 4 p MAJESE.D.Approval Criteria for Multivariate Measurement System. J. Quality Technology Vol. 40 p MONTGOMERY D.C.&RUNGER G.C.Applie Statistics an Probability for Engineers (3 r e.). New York: John Wiley 003. MONTGOMERY D.C.Design an Analysis of Eperiments. New York: John Wiley 001. MOSESOVA S.A.; CHIPMAN H.A.; MacAY R.J. &STEINER S.H. Profile Monitoring Using Mie- Effects Moels. Univ. of Waterloo: BISRG Report RR RAMSAY J.O. & SILVERMAN B.W.Functional ata analysis( n E.). New York: Springer 005. SOUZA C.P.E. Testes e hipóteses para aos funcionais baseaos em istâncias: um estuo usano splines. Dissertação. UNICAMP: Departamento e Estatística 008. VIM. International vocabulary of metrology Basic an general concepts an associate terms (3 r e.). Joint Committee for Guies in Metrology: